Funciones trigonométricas inversas

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Funciones trigonométricas inversas

  1. 1. 1FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNCIONESHIPERBÓLICASROSA MARÍA MÉNDEZ PARRALUZ KARIME DÍAZ TRUJILLOLILIANA INÉS PÉREZ VELASCOOLGA ENITH RODRÍGUEZCÁLCULO IIARMENIA, DICIEMBRE DE 2011UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO
  2. 2. 2FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSASSon funciones necesarias para calcular los ángulos de un triángulo apartir de la medición de sus lados, aparecen con frecuencia en lasolución de ecuaciones diferenciales.Sin embargo, ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tieneinversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no soninyectivas, pero restringiendo su dominio se puede hallar la inversa.FUNCIÓN SENOLa función no es uno a uno en su dominio naturalporque altrazarcualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto.Elcodominio es [-1, 1], su gráfica es:FUNCIÓN ARCOSENO (INVERSA DE LA FUNCIÓN SENO)
  3. 3. 3Si , entonces la inversa se denota o tambiénsedenota .La notación de inversa , no se debe confundir con .La función inversa de restringido es:, su dominio es [-1,1] y el recorrido es , su gráfica escreciente, es una función impar porqueLa gráfica es:EVALUACIÓN DE LA INVERSA DEL SENOEvalúeSe busca el ángulo en el intervalo–para el cual , por lotanto y–, por lo tanto .
  4. 4. 4FUNCIÓN COSENOLa función no es uno a uno en su dominio natural porque altrazar cualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto.El codominio es [-1, 1], su gráfica es:FUNCIÓN ARCOSCOSENO (INVERSA DE LA FUNCIÓN COSENO)Si , entonces la inversa se denota o también sedenota .La notación de inversa , no se debe confundir con .La función inversa de restringido es:, su dominio es [-1,1] y el recorrido es , su gráficaesdecreciente, es una función par porque .
  5. 5. 5La gráfica es:EVALUACIÓN DE LA INVERSA DEL COSENOEvalúeSe busca el ángulo en el intervalo , para el cual , porlo tanto y , por lo tanto .FUNCIÓN TANGENTELa función no es uno a uno en su dominio. El codominio es elconjunto de los números reales, su gráfica es:
  6. 6. 6FUNCIÓN ARCOTANGENTE (INVERSA DE LA FUNCIÓN TANGENTE)Si , entonces la inversa se denota o también sedenota .La notación de inversa , no se debe confundir con .La función inversa de restringido es:, su dominio es [ , ] y el recorrido es–, su gráfica escreciente, es una función par porque .La gráfica es:EVALUACIÓN DE LA INVERSA DE LA TANGENTEEvalúeSe busca el ángulo en el intervalo ( , para el cual , porlo tanto y–por lo tanto .
  7. 7. 7FUNCIÓN COTANGENTEFUNCIÓN (INVERSA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE)La función cotangenteinversa, denotada por , está definida por:, donde es cualquier número real.Su dominio es y el recorrido es , su gráfica es:
  8. 8. 8FUNCIÓN SECANTEFUNCIÓN ARCOSECANTE (INVERSA DE LA FUNCIÓN SECANTE)La función secante inversa, denotada por o arcosecante, estádefinida por:y , su grafica es:
  9. 9. 9FUNCIÓN COSECANTEFUNCIÓN (INVERSA DE LA FUNCIÓN COSECANTE)La función cosecante inversa, denotada por , está definida por:, donde es cualquier número real, su gráficaes:
  10. 10. 10DERIVADA DE LAS FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS INVERSASINTEGRALES DE LAS FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS INVERSAS, donde ., donde ., donde .
  11. 11. 11FUNCIONES HIPERBÓLICASSe llaman Funciones hiperbólicas porque se pueden describir como lasproyecciones, según el eje X y el eje Y, de los puntos sobre unahipérbola.Sus propiedades algebraicas son análogas a las de lasfunciones trigonométricas.En muchas aplicaciones del análisis matemático se encuentrancombinaciones de las funciones exponenciales del tipo: , ;tales combinaciones se consideran como nuevas funciones y sedesignan:, donde es cualquier número real., donde es cualquier número real.Con las funciones senh y cosh se pueden definir las funcioneshiperbólicas restantes:Estas funciones son conocidas como seno hiperbólico (senh), cosenohiperbólico (cosh), tangente hiperbólica (tanh), cotangente iperbólica(coth), secante hperbólica (sech), y cosecante hiperbólica (csch).Se observa que, en el campo real, las funciones hiperbólicas sonfunciones dependientes de la función trascendente elemental .
  12. 12. 12Esto no ocurre en las funciones circulares que son funcionestrascendentes elementales, independientes de la función exponencial,en el campo real.GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICASSENO HIPERBÓLICOLa aplicación es un homeomorfismo estrictamente crecientede en .Dominio de la función:Rango de la función:
  13. 13. 13COSENO HIPERBÓLICOLa aplicación continua no es monótona en . Su restriccióna es estrictamente creciente; dicha restricción es unhomeomorfismo de sobre .Dominio de la función:Rango de la función: .TANGENTE HIPERBÓLICALa aplicación continua es estrictamente creciente sobre ; portanto es un homeomorfismo de sobre .
  14. 14. 14Dominio de la función:Recorrido de la función: .COTANGENTE HIPERBÓLICALa función continua es estrictamente decreciente en losintervalos y , donde se define. La restricción a unhomeomorfismo de en o sobre y su restricción a estambién unhomeomorfismo de sobreDominio de la función:
  15. 15. 15Recorrido de la función:SECANTE HIPERBÓLICALa aplicación continua no es monótona en . Su restriccióna es estrictamente decreciente; dicha restricción es una aplicaciónde sobre .Dominio de la función:Rango de la función: .
  16. 16. 16COSECANTE HIPERBÓLICALa aplicación continua es estrictamente decreciente en losintervalos , donde se define; su recorrido es
  17. 17. 17DERIVADAS DE LASFUNCIONES HIPERBÓLICASINTEGRALES DE LASFUNCIONES HIPERBÓLICAS
  18. 18. 18GLOSARIOHomeomorfismo: un homeomorfismo (del griego ὅ μοιος (homoios) =misma y μορφή (morphē) = forma) es una biyección entre dos espaciostopológicos por una aplicaciónbiyectiva que es continua y cuya inversaes continua. En este caso, los dos espacios topológicos se dicenhomeomorfos. Las propiedades de estos espacios que se conservan bajohomeomorfismos se denominan propiedades topológicas.HomeomorfismoSean X e Yespacios topológicos, y f una función de X a Y; entonces, f esun homeomorfismo si se cumple que:f es una biyecciónf es continuaLa inversa de f es continuaSi es un homeomorfismo, X se dice homeomorfo a Y. Si dosespacios son homeomorfos entonces tienen exactamente las mismaspropiedades topológicas. Desde el punto de vista de la teoría decategorías, dos espacios que son homeomorfos son igualestopológicamente hablando.
  19. 19. 19TALLER - GRUPO 18. Dada la ecuación , determine el valor exacto de cadauna de las siguientes expresiones:(a)sen x; (b) tan x;(c)cot x; (d) sec x;(e)csc x.Como , ,existe un triángulo rectángulo quecontiene un ángulo agudo, cuya medida es . Además, es el radio dellado adyacente dividido por la hipotenusa del triángulo rectángulo. Lalongitud del lado opuesto del triángulo se encuentra por la aplicacióndel teorema de Pitágoras, . De la gráfica se concluye que:a)b)c)d)e)Dibuje la gráfica de:25.
  20. 20. 2026.41. En los siguientes ejercicios calcule la derivada de la función.
  21. 21. 21a)b)En los ejercicios 7, 8 y 17, evalúe la integral indefinida. Apoye larespuesta gráficamente o mostrando que la derivada de la respuesta esel integrando.7.Esta integral , es de la forma.
  22. 22. 22Se tiene que:Demostración de que la derivada de la respuesta es el integrando:8.Esta integral , es de la forma.Se tiene que:= =Demostración de que la derivada de la respuesta es el integrando:
  23. 23. 2317.Desdoblando el integrando en dos partes tenemos:(1) (2)(1) es de la formaReemplazando a=1Se tiene por sustitución:Reemplazando:
  24. 24. 24Por propiedad deSe tiene que:Uniendo (1) y (2), tenemos:Demostración de que la derivada de la respuesta es el integrando:
  25. 25. 25En los ejercicios 32 y 33, demuestre la fórmula mostrando que laderivada del miembro derecho es igual al integrando.32.Para volver a la variable original:Luego, .33. ,Para volver a la variable original:Integral de la formaSeaIntegral de la formaSea
  26. 26. 26Luego, .9.10.Derive:18. a.
  27. 27. 27b.En los ejercicios 49 y 50, exprese la integral indefinida en términos deuna función hiperbólica inversa y como un logaritmo natural.49.
  28. 28. 2850.Muestre que:Demostración:En , se hace ; luego; ;; ;Sustituyendo estas equivalencias en :Efectuando los productos indicados y reduciendo términos semejantes:
  29. 29. 29Demostración:En , , se hace ; luego; ;; ;Sustituyendo estas equivalencias en :Efectuando los productos indicados y reduciendo términos semejantes:

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