Laplace

Revisão de Transformada de Laplace - Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná
1.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Data de impressão (versão): 25 de janeiro de 2005, 10:38:28 documento composto com LATEX2ε usando LYX.
A Transformada de Laplace1 é um método de resolução de equações diferenciais e dos correspondentes problemas de
valor inicial e de valor de contorno. Ela é importante para o Controle Automático porque os modelos matemáticos dos sistemas
físicos que se deseja controlar são, em geral, descritos por equações diferenciais. A aplicação da Transformada de Laplace
permite prever o que deve acontecer no futuro de um sistema o que é fundamental para o controle deste sistema. Em outras
palavras, pode-se prever qual será a resposta de um sistema a uma entrada conhecida e isso é importante para: 1) elaborar uma
entrada que leve o sistema a um determinado estado; e 2) simular o comportamento do sistema e verificar se a entrada elaborada
surtiu o efeito desejado; 3) ter uma visão geral do comportamento do sistema.
Existem duas Transformadas de Laplace:
1. A Transformada de Laplace Bilateral;
2. A Transformada de Laplace Unilateral.
O maior interesse é pela Transformada de Laplace Unilateral que é largamente empregada no estudo de sistemas lineares
invariantes no tempo e na resolução de equações diferenciais. O processo de resolução das equações diferenciais 2 consiste de
três etapas principais:
1a etapa: Um problema “difícil” é transformado numa equação “simples” (equação subsidiária - algébrica).
2a etapa: Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas.
3a etapa: A solução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a solução do problema dado.
Desta maneira, a Transformada de Laplace reduz o problema de resolução de uma equação diferencial a um problema algébrico.
A terceira etapa é facilitada pelas tabelas, cujo papel é análogo ao das tabelas de integrais na integração. (Estas tabelas também
são úteis na primeira etapa.) Uma está incluída no fim do capítulo.
O método é amplamente usado na Matemática aplicada à Engenharia, onde possui numerosas aplicações. É particular-
mente útil nos problemas em que a força de propulsão (mecânica ou elétrica) tem descontinuidades: por exemplo, atua apenas
durante um curto intervalo de tempo, ou é periódica mas não é simplesmente uma função senoidal ou co-senoidal. Outra vanta-
gem é que ele resolve diretamente os problemas. Realmente, os problemas de valor inicial são resolvidos sem que se determine
de início uma solução geral. De modo análogo, resolvem-se as equações não-homogêneas sem necessidade de resolver primeiro
a equação homogênea correspondente.
Neste capítulo, a Transformada de Laplace é considerada sob ponto de vista prático, ilustrando sua utilização em pro-
blemas importantes de engenharia. Portanto este capítulo é dedicado à aplicação da Transformada de Laplace às equações
diferenciais ordinárias3. As equações diferenciais parciais também podem ser tratadas pela Transformada de Laplace.
Função Gama
A função gama de x denotada por Γ(x) é definida como:
Γ(x) =
Z ∞
0
e−t
tx−1
dt para x > 0. (1.1)
Pode-se ainda calcular:
Γ(x+1) =
Z ∞
0
e−t
tx
dt
dv = e−t dt ∴ v = −e−t
u = tx
∴ du = xtx−1
dt
= −e−t
tx
∞
0
+x
Z ∞
0
e−t
tx−1
dt .
O primeiro termo da última expressão à direita é nulo, a integral é Γ(x). Isso fornece a relação:
Γ(x+1) = xΓ(x). (1.2)
Como
Γ(1) =
Z ∞
0
e−t
dt = 1,
1Pierre-Simon Laplace (1749-1827).
2São equações que modelam o comportamento de sistemas dinâmicos e por isso são importantes para o Controle Automático.
3De uma única variável.
25 de janeiro de 2005 Prof. Luís Paulo Laus, Eng. MSc. 1

conclui-se que:
Γ(2) = Γ(1+1) = 1·Γ(1) = 1!
Γ(3) = Γ(2+1) = 2·Γ(2) = 2!
Γ(4) = Γ(3+1) = 3·Γ(3) = 3!
...
...
Γ(k +1) = k! k = 0, 1, 2,... (1.3)
A função gama é uma versão contínua do fatorial, isso é, ela existe para valores fracionários do argumento e para os valores
inteiros ela é igual ao fatorial do valor precedente (Γ(k) = (k −1)!). Note que a função gama é uma função de números reais:
Γ
1
2
=
Z ∞
0
e−t
t
1
2 −1
dt =
Z ∞
0
e−t
t− 1
2 dt
t = λ2
∴ dt = 2λdλ
Γ
1
2
= 2
Z ∞
0
e−λ2
dλ
onde a integral 2√
π
R x
0 e−λ2
dλ é chamada de função de erro de x, para x → ∞ esta integral vale 1, logo:
Γ
1
2
=
√
π. (1.4)
Exemplo 1: calcular a função gama de 3,5 = 7/2 usando o valor de Γ(0,5) junto com a equação ( 1.2):
Γ
1
2
=
√
π
Γ
3
2
= Γ 1+
1
2
=
1
2
Γ
1
2
=
1
2
√
π
Γ
5
2
= Γ 1+
3
2
=
3
2
Γ
3
2
=
3
2
1
2
√
π =
3
4
√
π
Γ
7
2
= Γ 1+
5
2
=
5
2
Γ
5
2
=
5
2
3
4
√
π =
15
8
√
π.
A Figura 1.1 ilustra o comportamento da função gama. Observe, no gráfico, alguns pontos de interesse: Γ(1) = 0! = 1, Γ(2) =
1! = 1, Γ(3) = 2! = 2, Γ(4) = 3! = 6 e Γ(0,5) =
√
π ∼= 1,772453851.
1
2
3
4
5
6
0
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
x
Γ(x)
Figura 1.1: Função gama de x
1.2 Transformada de Laplace
Seja g(t) uma dada função definida para todos os valores positivos de t. Multiplicando g(t) por e −st , onde e é uma constante4, e
integrando em relação a t de zero ao infinito. Então, se a integral resultante existe, ela será uma função de s, digamos G(s).
G(s) =
Z ∞
0
g(t)e−st
dt
4A constante e é a base dos logaritmos nemperianos ou naturais e vale aproximadamente 2,718281828459045235360287471352662497757247093699959574966968.

A função G(s) é chamada a Transformada de Laplace da função original g(t) e será representada por L {g(t)}. Assim:
G(s) = L {g(t)} =
Z ∞
0
g(t)e−st
dt . (1.5)
A operação realizada sobre g(t) é chamada Transformada de Laplace. É comum incluir o zero no intervalo de integração,
isso é, quando o limite à direita e à esquerda de zero são diferentes, usa-se o valor à esquerda para incluir os fatos que ocorrem
quando t = 0.
Além disso, a função original g(t) na equação (1.5) é chamada de Transformada Inversa ou, simplesmente, a inversa de
G(s), e será representada por L −1{G(s)}; assim, escreve-se
g(t) = L −1
{G(s)}.
NOTAÇÃO
Representa-se a função original por uma letra minúscula, de modo que G(s) designe a transformada de g(t), e Y(s) designe
a transformada de y(t), etc.
Exemplo 2: Seja g(t) = 1 quando t > 0. Determinar G(s).
L {g(t)} = L {1} =
Z ∞
0
e−st
dt = −
1
s
e−st
∞
0
;
assim, quando Re(s) > 0,
L {t} =
1
s
.
A notação na primeira linha à direita é conveniente, mas deve-se dizer uma palavra a respeito dela. O intervalo de integração
em (1.5) é infinito. Uma integral deste tipo é chamada de integral imprópria e, por definição, é calculada de acordo com a regra:
Z ∞
0
e−st
g(t)dt = lim
T→∞
Z T
0
e−st
g(t)dt .
Daí, nossa notação significa
Z ∞
0
e−st
dt = lim
T→∞
−
1
s
e−st
T
0
= lim
T→∞
−
1
s
e−sT
+
1
s
e0
=
1
s
(Re(s) > 0)
Esta notação é usada em todo o texto. Note, ainda, que se Re(s) ≤ 0 a integral não existe porque o limite tende a infinito.
Por outro lado, quando Re(s) > 0 tem-se a parte real de s positiva, como s = σ+ jω, pode-se escrever
e−sT
= e−(σ+jω)T
= e−σT
e−jωT
= e−σT
(cosωT − j senωT) .
Se T tende à infinito, o valor do co-seno e do seno são indeterminados, mas limitados no intervalo [−1, 1], e e −σT → e−∞ = 0.
Então dizemos que a integral só converge para valores de s com parte real positiva (Re(s) > 0). Esta aparente desvantagem pode
ser removida (veja a Seção 1.2.3) mas por hora ela deve ser levada em conta na determinação do domínio da Transformada de
Laplace de uma função.
Exemplo 3. Seja g(t) = eat, quando t > 0, onde a é uma constante. Então,
G(s) =
Z ∞
0
e−st
eat
dt =
Z ∞
0
e−(s−a)t
dt =
−1
s−a
e−(s−a)t
∞
0
;
conseqüentemente, quando Re(s−a) > 0 ou Re(s) > Re(a),
L {eat
} =
1
s−a
.
1.2.1 Algumas Funções Importantes
Função Degrau de Heaviside5 ou Função Degrau Unitário
A função degrau unitário é definida por:
u(t) =
⎧
⎨
⎩
1 se t ≥ 0
0 se t < 0
Esta função apresenta uma descontinuidade em t = 0, uma vez que o valor de u(t) se modifica instantaneamente de 0 para 1
quando t = 0, como mostrado na Figura 1.2. É interessante observar que se pode criar outras funções baseando-se na função
degrau unitário.
5Oliver Heaviside (1850-1925).

t
1
u(t)
1
u(t −a)
t
a a b
1
u(t −a)− u(t −b)
t
Figura 1.2: Função Degrau de Heaviside ou Função Degrau Unitário
Função Delta de Dirac6 ou Função Impulso Unitário
A função delta de Dirac é definida por:
δ(t) = 0 para t = 0
Z +∞
−∞
δ(t) dt = 1
Observe que ela não é definida para t = 0. Muitos autores dizem que ela tende a infinito quando t → 0, definindo assim
o limite de δ(t) quando t → 0. Embora isso não seja necessário já que não é usado para provar nenhuma propriedade da função,
é conveniente para facilitar a visualização. Por isso, a função delta é representada como uma seta para cima em t = 0 com
comprimento igual à uma unidade e uma reta sobre o eixo dos tt representando os valores onde t = 0 para os quais a função delta
é nula, como mostrado na Figura 1.3.
t
1
δ(t)
1
δ(t −a)
t
a a
1
δ(t −a)−δ(t −b)
t
b
Figura 1.3: Função Delta de Dirac ou Função Impulso Unitário
Outra forma de definir a função delta de Dirac é através da integral do produto da função delta por uma outra função g(t):
δ(t) = 0 para t = 0 (1.6)
Z +∞
−∞
g(t)δ(t) dt = g(0) (1.7)
que se justifica pelo fato da função delta não ser nula apenas na origem, assim apenas o valor que g(t) assume na origem é que
influencia o valor da integral.
A função delta pode ser vista como sendo a derivada da função degrau unitário:
δ(t) = u (t) =
d u(t)
dt
Note que em t = 0 a função u(t) apresenta uma descontinuidade onde a sua derivada não é definida: o limite a esquerda quando
t → 0 vale zero enquanto o limite a direita quando t → 0 vale 1. Como houve um salto para cima a derivada deve tender a infinito
em t = 0. Exatamente como a função delta de Dirac.
A Transformada de Laplace bilateral da função delta vale:
L {δ(t)} =
Z ∞
−∞
δ(t)e−st
dt
para t = 0, δ(t) = 0 e portanto e−st não importa (está sendo multiplicado por zero). Para t = 0, e−st vale 1. Logo, pela equa-
ção (1.7):
L {δ(t)} =
Z ∞
−∞
δ(t) dt = 1
Portanto, a Transformada de Laplace unilateral da função delta de Dirac também vale 1 porque a função δ(t) vale 0 de −∞ até
0, logo sua integral vale 0 também. Em outras palavras, integrar a função δ(t) de −∞ até +∞ é equivalente a integrá-la de 0 até
+∞7.
6Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984).
7Há uma certa falta de rigor matemático nesta declaração mas, mesmos assim, o seu resultado é válido.

Deve-se prosseguir desta maneira, aplicando a definição da equação 1.5 para obter a transformada de uma função após
outra, diretamente a partir da definição? A resposta é negativa. E a razão é que a transformada de Laplace goza de propriedades
gerais úteis para esse objetivo. Uma propriedade de grande importância é que a Transformada de Laplace é uma operação linear,
como o são também a diferenciação e a integração. isto significa o seguinte:
1.2.2 Linearidade da Transformada de Laplace
Teorema 1 (Linearidade da Transformada de Laplace)
A Transformada de Laplace é uma operação linear, isto é, para quaisquer funções g(t) e h(t) cujas Transformadas
de Laplace existem e quaisquer constantes a e b, tem-se
L {ag(t)+bh(t)} = aL {g(t)}+bL {h(t)}.
DEMONSTRAÇÃO. Por definição,
L {ag(t)+bh(t)} =
Z ∞
0
(ag(t)+bh(t))e−st
dt = a
Z ∞
0
e−st
g(t)t +b
Z ∞
0
e−st
h(t)dt = aL {g(t)}+bL {h(t)}
Exemplo 4. Seja8 g(t) = coshat =
(eat +e−at)
2
. Empregando o Teorema 1 e o resultado do Exemplo 3, encontra-se
L {coshat} =
1
2
L {eat
+e−at
} =
1
2
1
s−a
+
1
s+a
;
isto é, quando Re(s) > Re(a) (≥ 0)
L {coshat} =
s
s2 −a2
.
Na Tabela 1.1 encontra-se uma pequena lista de algumas funções elementares importantes e de suas Transformadas de Laplace.
Quando as transformadas da Tabela 1.1 são conhecidas, quase todas as transformadas mais usuais podem ser obtidas pelo
emprego de alguns teoremas gerais simples que são examinados nas seções seguintes.
As fórmulas 3, 4 e 5 na Tabela 1.1 são casos especiais da fórmula 6. Esta decorre de 7 e de Γ(n+1) = n!, da equação (1.3),
onde n é um inteiro não-negativo. A fórmula 7 pode ser demonstrada a partir da definição:
L {ta
} =
Z ∞
0
e−st
ta
dt,
fazendo st = x. Então, dt = dx
s . Empregando a equação (1.1)...
L {ta
} =
Z ∞
0
e−x x
s
a dx
s
=
1
sa+1
Z ∞
0
e−x
xa
dx =
Γ(a+1)
sa+1
(s > 0).
A fórmula 8 foi demonstrada no Exemplo 3. Para demonstrar as fórmulas 9 e 10, faz-se a = jω na fórmula 8. Segue-se
L {ejωt
} =
1
s− jω
=
1
s− jω
s+ jω
s+ jω
=
s+ jω
s2 +ω2
=
s
s2 +ω2
+ j
ω
s2 +ω2
.
Por outro lado, pelo Teorema 1, L {ejωt
} = L {cosωt + jsenωt} = L {cosωt} + jL {senωt}.
Igualando as partes real e imaginária destas equações, obtém-se as fórmulas 9 e 10.
A fórmula 11 foi demonstrada no Exemplo 4, e a fórmula 12 pode ser demonstrada de maneira semelhante.
Concluindo esta seção introdutória, cabem algumas considerações sobre a existência da Transformada de Laplace. Em
termos intuitivos, a situação é a seguinte: para um s fixo, a integral em (1.5) existirá se todo o integrando e−stg(t) tender a zero
de modo suficientemente rápido quando t → ∞, ou seja, pelo menos como uma função exponencial com expoente negativo. Isto
motiva a desigualdade (1.8) no teorema de existência subseqüente. g(t) não necessita ser contínua. Isto tem importância prática
uma vez que as entradas descontínuas (forças de propulsão) são exatamente aquelas para as quais a Transformada de Laplace se
torna particularmente útil. basta exigir que g(t) seja secionalmente contínua em cada intervalo finito na faixa t ≥ 0.
Por definição, uma função g(t) é secionalmente contínua num intervalo finito a ≤ t ≤ b se g(t) é definida neste intervalo e
tal que o intervalo possa ser subdividido em um número finito de intervalos, em cada um dos quais g(t) é contínua e tem limites
finitos quando t tende para qualquer ponto extremo do intervalo de subdivisão a partir do interior.
Decorre da definição que os saltos finitos são as únicas descontinuidades que uma função secionalmente contínua pode
ter; estas são conhecidas por descontinuidades ordinárias. A Figura 1.12 mostra um exemplo. Além disso, está claro que a classe
de funções secionalmente contínuas inclui toda função contínua.
8cosh é a função co-seno hiperbólico definida por coshx =
(ex +e−x)
2
. Existe também a função seno hiperbólico definida por senhx =
(ex −e−x)
2
. Ambas
estão relacionadas com equação de Euler com a qual é fácil mostrar que cosx =
(ejx +e−jx)
2
e senx =
(ejx −e−jx)
2 j
. Se nessas equações a constante imaginária
j for simplesmente suprimida obtemos o co-seno e seno hiperbólicos, respectivamente.

Tabela 1.1: Algumas Funções Elementares g(t) e suas transformadas de Laplace L {g(t)}
# g(t) L {g(t)} Região de Convergência
1 δ(t) 1
2 1
1
s
Re(s) > 0
3 u(t)
1
s
Re(s) > 0
4 t
1
s2
Re(s) > 0
5 t2 2!
s3
Re(s) > 0
6 tn
(n inteiro e positivo)
n!
sn+1
Re(s) > 0
7 ta (a positivo)
Γ(a+1)
sa+1
Re(s) > 0
8 eat 1
s−a
Re(s) > Re(a)
9 cosωt
s
s2 +ω2
Re(s) > 0
10 senωt
ω
s2 +ω2
Re(s) > 0
11 coshat
s
s2 −a2
Re(s) > |Re(a)|
12 senhat
a
s2 −a2
Re(s) > |Re(a)|

1.2.3 Região de Convergência
Para calcular a Transformada de Laplace pela definição dada pela equação ( 1.5) foi necessário restringir os valores de s para que
a integral convirja. Surpreendentemente, no entanto, a Transformada de Laplace das funções apresentadas é válida mesmo fora
da região de convergência. Isso se deve ao “Teorema da Extensão Analítica” que vem da teoria das variáveis complexas. Esse
teorema estabelece que, se duas funções forem iguais em um comprimento finito ao longo de qualquer arco em uma região em
que ambas as funções são analíticas9, então elas são iguais em toda a parte na região. Assim, usando qualquer arco (uma reta,
o eixo real por exemplo) que tenha parte na região de convergência e parte fora dela (ver Figura 1.4), ou seja, na região onde
a integral não existe, é possível estender a validade do resultado (da transformada obtida) para fora da região de convergência
incluindo todos os pontos onde a função (a Transformada de Laplace) é analítica.
00000
00000
0000000000
00000
11111
11111
1111111111
11111
a integral converge
transformada existe
logo a
a integral não converge
mas mesmo assim a
transformada existe
arco (reta) nas duas regiões
a
Região de
Corvergência
Re(s)
Im(s)
Figura 1.4: Plano s com região de convergência e extensão da existência da Transformada de Laplace
Portanto, mesmo que seja necessário restringir os valores de s para tornar a integral da equação ( 1.5) absolutamente
convergente, uma vez obtida a Transformada da Laplace pode-se considerar essa transformada válida para qualquer valor de s
com exceção dos pólos10 já que nos pólos a transformada não é analítica.
Mais detalhes sobre a região de convergência e sua relação com a lei de causa-efeito e a Transformada Inversa de Laplace
são vistos na Seção 1.3.4.
1.2.4 Representação Gráfica da Transformada de Laplace
Não é comum representar graficamente uma Transformada de Laplace (que é uma função de s) porque se trata de uma função
complexa de uma variável complexa. A representação é muito complica e difícil de construir a menos que se disponha de um
software para isso. Mesmo assim, é difícil de visualizar e interpretar o gráfico já que é uma representação de uma 11 superfície
tridimensional. Além disso, grande parte da informação ou do sentimento sobre o comportamento destas funções complexas
podem ser obtidos de um gráfico muito mais simples para a grande maioria dos casos de interesse prático.
Considere como exemplo a Transformada de Laplace de e−t que vale 1
s+1 de acordo com Fórmula 8. Como s é um
número complexo ele possui duas dimensões independentes (parte real e imaginária). O resultado de 1
s+1 também é um número
complexo e também possui duas dimensões independentes. Não é possível representar um número complexo com apenas uma
dimensão e também não é possível construir um gráfico tetradimensional para representar as partes reais e imaginárias dos
números complexos. Portanto deve-se usar algum artifício para reduzir para três o numero de dimensões a serem representadas e
usar uma perspectiva. Não é prático reduzir o número de dimensões da variável independente s porque isso tolhe a representação
a ponto de torná-la sem sentido. Portanto, só resta reduzir o número de dimensões da variável independente (da função, ou seja,
da transformada) e trabalhar com dois gráficos.
Assim, as partes real e imaginária de s são chamadas respectivamente de σ e ω e representadas nos dois eixos horizontais;
elas são as variáveis independentes ou, se preferir, as partes real e imaginária da variável independente s pois s = σ + jω. No
eixo vertical deve-se representar o valor numérico da transformada que varia em função de s, ou seja, para cada posição no plano
σω existe um número complexo associado. Pode-se, então, representar a transformada usando duas perspectivas: uma para a
parte real e outras para a parte imaginária de 1
s+1 como mostrado na Figura 1.5-a e b. A interpretação destes gráficos é muito
difícil pois deve ser feita conjuntamente.
Uma forma alternativa mais intuitiva é representar a transformada na forma polar como mostrado na Figura 1.5-c e d.
Embora a interpretação ainda tenha que ser feita de forma conjunta, o gráfico do módulo diz muito do comportamento da função
quando a amplitude e o da fase quanto ao atraso. A questão da fase (atraso) depende da interpretação da transformada: 1) se é
uma transformada de um sinal, a fase representa o atraso de cada componente (cada produto senóide-exponencial que compõe
o sinal); e 2) se a transformada representa o comportamento de um sistema, a fase representa o atraso sofrido por cada sinal, ou
componente do sinal de entrada, dependendo de sua freqüência complexa (parte real ligada ao amortecimento, parte complexa
ligada a freqüência da senóide). Da mesma forma, o gráfico do módulo deve ser interpretado de forma diferenciada, conforme
9Uma função analítica em uma região é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem em qualquer ponto desta região.
10Pólos são os valores de s que anulam o denominador da transformada.
11Na verdade são duas superfícies tridimensionais como é visto mais a frente.

a natureza da transformada: 1) se é uma transformada de sinal, o módulo representa amplitude do sinal para cada freqüência
complexa; e 2) se a transformada representa o comportamento de um sistema, o módulo representa o ganho pelo qual cada
componente do sinal de entrada é multiplica para compor o sinal de saída. A interpretação na forma retangular é mais difícil
porque as partes real e imaginária da transformada não são simples de interpretar, ou melhor, não trazem uma informação fácil
de interpretar como fase (atraso) e módulo (amplitude/ganho).
−3
−2
−1
0
1 −2
−1
0
1
2
0
−3
−2
−1
0
1 −2
−1
0
1
2
1
2
3
4
5
6
−3
−2
−1
0
1 −2
−1
0
1
2
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−3
−2
−1
0
1 −2
−1
0
1
2
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
−2π
− 7π
4
− 3π
2
− 5π
4
−π
− 3π
4
− π
2
− π
4
ωω
ω ω
σ
σσ
σ
1
s+1
∠
1
s+1
(a) (b)
(c) (d)
Im
1
s+1
Re
1
s+1
Figura 1.5: Gráfico da Transformada de Laplace de e−t
: (a) parte real, (b) parte imaginária, (c) módulo, (d) fase (em radianos)
de
1
s+1
Observe na Figura 1.5-d que há uma descontinuidade quando ω passa de negativo para positivo quando σ é negativo. Este
salto de fase deve ser interpretado com cautela: para análise em regime (como as obtidas com o emprego da Série e Transformada
de Fourier12) o ângulo de fase representa o atraso ou adiantamento de sinal em relação à referência de tempo. Contudo, na análise
transitória (principal aplicação da Transforma de Laplace) o ângulo de fase representa um valor numérico para construção do
gráfico já que todos os sinais são considerados nulos para t < 0. Por isso, a fase foi representada sempre com sinal negativo, para
dar a impressão de que o sinal está atrasado em relação ao sinal de entrada ou que o sistema sempre atrasa o sinal. Caso contrário,
o sistema não seria causal (não obedeceria a lei de causa-efeito). Isso é um pouco falho porque um sinal com fase de 45 0
pode
estar realmente atrasado de −3150 ou −6570, etc. Não se sabe o atraso em termos de ângulo de fase porque o sinal de saída em
geral não é periódico (não se repete), porém, o atraso pode ser considerado em termos temporais, o que é mais significativo. Isso
diminui um pouco a utilidade da interpretação do gráfico de fase.
O módulo da transformada tende a infinito quando s se próxima de −1+ j0 por qualquer lado (ver na Figura 1.5-c). Este
ponto corresponde ao pólo (valor que anula o denominador) da transformada. Assim, grande parte do comportamento da função
pode ser obtido apenas pela análise dos valores de s que a anulam o denominador (pólos) e numerador (zeros).
Na Figura 1.6-c pode-se notar que o gráfico apresenta picos nós pólos ±j cai a zero em s = 0 porque este é o valor que
anula o numerador da transformada. A fase, representada na Figura 1.6-d, é bastante complexa.
A Figura 1.7 traz uma representação alternativa: ao invés de desenhar um gráfico complicado e trabalhoso, representa-se
apenas os pólos e zeros da função. A interpretação da fase é quase impossível de ser feita, porém, a interpretação do módulo é
direta: a função tende a infinito (picos) nos pólos (marcados com ×) e tende a zero, ou seja, tende ao plano σωnos zeros (marcados
com ◦). A interpretação cabe a quem está lendo o gráfico; pode-se imaginar o que ocorre com a função nas poximidades do pólos
e zeros.
Está disponível gratuitamente na internet o software ft3d no endereço http://www.ft3d.cjb.net/. Esse software
foi desenvolvido no Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR / Curitiba) pelo aluno de mestrado Felipe
Marcon para plotagem de gráficos de funções de transferências13. Ele roda em Windows e pode ser usado para plotar grande
12Jean-Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830).
13Função de transferência é a Transformada de Laplace da resposta ao impulso de um sistema quando a energia inicial do sistema é nula.

−2
−1
0
1
2 −2
−1
0
1
2
0
−2
−1
0
1
2 −2
−1
0
1
2
−2
−1
0
1
2
−2
−1
0
1
2 −2
−1
0
1
21
2
3
4
−2
−1
0
1
2 −2
−1
0
1
2
−3
−2
−1
0
1
2
3
s
s2 +1
∠
s
s2 +1
Im
s
s2 +1
Re
s
s2 +1
−2π
− 7π
4
− 3π
2
− 5π
4
−π
− 3π
4
− π
2
− π
4
ωω
ω ω
σ
σσ
σ
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1.6: Gráﬁco da Transformada de Laplace de cost: (a) parte real, (b) parte imaginária, (c) módulo, (d) fase (em radianos)
de
s
s2 +1
pólos
zero
Im(s)
Re(s)
Figura 1.7: Gráﬁco mostrando os pólos e zeros da transformada de cost

parte das de Transformadas de Laplace das funções em que se tem interesse prático. Infelizmente ele só plota o módulo da função
em 3D mas tem a vantagem de gerar um gráfico renderizado de alta qualidade e plotar os pólos e zeros bem como a resposta em
freqüência. Há também a possibilidade de se usar o gnuplot para gerar os gráficos, mas além de um pouco trabalhoso (domínio
do software) ele produz resultados de pouca qualidade se comparados ao obtidos com o ft3d. O mesmo ocorre com os software
matemáticos como octave, Matlab e MuPAD.
1.2.5 Deslocamento no Tempo
Teorema 2 (Teorema do deslocamento no tempo)
Se uma função g(t) é deslocada no tempo de forma que o instante inicial (t = 0) se torne τ, isso é, g(t −τ), então a
sua Transformada de Laplace se tornará L {g(t −τ)} = e−sτL {g(t)} = e−sτ G(s) desde que g(t) = 0 no intervalo
(−τ, 0) (ou (0, −τ) se τ for negativo).
L {g(t −τ)} =
Z ∞
0
g(t −τ)e−st
dt =
Z ∞
0
g(t −τ) u(t)e−st
dt .
já que a integral é calculada de zero à infinito multiplicar o integrando por u(t) não altera o valor da integral. Mudando a variável
t = λ+τ, tem-se:
L {g(t −τ)} = L {g(λ)} =
Z ∞
−τ
g(λ) u(λ+τ)e−s(λ+τ)
dλ.
Se g(t) = 0 no intervalo (−τ, 0) (ou (0, −τ) se τ for negativo) pode-se dizer que g(t −τ) u(t) = g(t −τ) u(t −τ). Esta igualdade
é ilustrada na Figura 1.8 para τ > 0, pode-se mostrar que o mesmo é verdade para τ < 0. Realizando a mudança de variável, esta
igualdade também significa que g(λ) u(λ+τ) = g(λ) u(λ).
t
1
u(t)
t
1
u(t −τ)
τ
t
g(t −τ)
τ
τ
t
g(t −τ)
τ
t
g(t −τ) u(t)
t
g(t −τ) u(t −τ)
g(t)
−τ
τ
t
Figura 1.8: Nulidade de g(t) no intervalo (−τ, 0) implica que g(t −τ) u(t) = g(t −τ) u(t −τ)
Dividindo o intervalo de integração, tem-se:
L {g(t −τ)} = e−sτ
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Z 0
−τ
g(λ) u(λ)e−sλ
dλ
=0 já que u(λ)=0
+
Z ∞
0
g(λ) u(λ)e−sλ
dλ
=L {g(t)}
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
= e−sτ
L {g(t)}.
A condição do teorema 2 merece um comentário. Se g(t −τ) u(t) = g(t −τ) u(t −τ) significa que g(t) é nula no intervalo
(−τ, 0) ou (0, −τ) caso τ seja negativo (logo −τ é positivo). Na Figura 1.9 pode-se ver dois caso nos quais a função g(t) não é
nula neste intervalo e, portanto o teorema 2 não é aplicável; a área que aparece hachurada na Figura 1.9-a e b vai alterar o valor
da integral. Ainda, se τ > 0 diz-se que a função g(t − τ) está atrasada em relação à g(t) e que a função g(t + τ) está adiantada
porque ocorrem depois e antes de g(t), respectivamente. Se τ < 0 a função g(t −τ) está adiantada em relação à g(t) pois isso é
igual à g(t +τ) com τ > 0.
Exemplo 5: Seja h(t) = cos(ωt −ϕ) u(t −
ϕ
ω
) é uma função co-seno nula se t < ϕ/ω e deslocada para o instante inicial t0 = ϕ/ω,
a Transformada de Laplace de h(t) é
L {h(t)} = L {cos(ωt −ϕ)} = e−s ϕ
ω L {cos(ωt)} =
se−s ϕ
ω
s2 +ω2
.

t
g(t)
τ
t
g(t −τ)
t
g(t)
t
g(t +τ)
τ
t
g(t)
t
g(t −τ)
τ
(b)(a) (c)
Figura 1.9: Deslocamento no tempo: (a) atraso no tempo, não é possível aplicar o teorema 2; (b) adiantamento no tempo, não é
possível aplicar o teorema 2; (c) atraso no tempo, é possível aplicar o teorema 2.
1.2.6 Convolução
Teorema 3 (Teorema da Convolução)
A Transformada de Laplace da convolução de duas funções no tempo é o produto das Transformadas de Laplace das
duas funções, ou seja, se L {g(t)} = G(s) e L {h(t)} = H(s) então L {g(t)∗h(t)} = L {g(t)}L {h(t)} = G(s)H(s)
se g(t) = 0 para t < 0 e h(t) = 0 para t < 0.
DEMONSTRAÇÃO. A convolução de duas funções no tempo denotada por g(t)∗ h(t) é deﬁnida como:
g(t)∗ h(t) =
Z +∞
−∞
g(λ)h(t −λ) dλ =
Z +∞
−∞
h(λ)g(t −λ) dλ.
Por deﬁnição, a Transformada de Laplace da convolução vale:
L {g(t)∗ h(t)} =
Z ∞
0
g(t)∗ h(t)e−st
dt
=
Z ∞
0
g(t)∗ h(t) u(t)e−st
dt
=
Z ∞
0
Z +∞
−∞
h(λ)g(t −λ) dλ u(t)e−st
dt
=
Z ∞
0
Z +∞
−∞
h(λ)g(t −λ) u(t)e−st
e−s(λ−λ)
dλdt
=
Z ∞
0
Z +∞
−∞
h(λ)e−sλ
g(t −λ) u(t)e−s(t−λ)
dλdt
=
Z +∞
−∞
Z ∞
0
h(λ)e−sλ
dt dλ
=
Z +∞
−∞
h(λ)e−sλ
Z ∞
0
dt dλ.
Dizer que g(t) = 0 se t < 0 é o mesmo que g(t −λ) u(t) = g(t −λ) u(t −λ) para λ arbitrariamente grande (ver Figura 1.8 com
τ = λ → ∞). Assim:
L {g(t)∗ h(t)} =
Z +∞
−∞
h(λ)e−sλ
Z ∞
0
g(t −λ) u(t −λ)e−s(t−λ)
dt dλ.
Pode-se, então, substituir t −λ por ξ e dt por dξ já que λ é constante para a integral mais interna o que leva à
L {g(t)∗ h(t)} =
Z +∞
−∞
h(λ)e−sλ
Z ∞
0
g(ξ) u(ξ)e−sξ
dξ dλ
Como h(t) = 0 para t < 0, tem-se:
L {g(t)∗ h(t)} =
Z +∞
0
h(λ)e−sλ
Z ∞
0
g(ξ) u(ξ)e−sξ
dξ dλ
=
Z ∞
0
g(ξ) u(ξ)e−sξ
dξ
Z ∞
0
h(λ)e−sλ
dλ
= L {g(t)}L {h(t)}
= G(s)H(s).

O Teorema da Convolução é fundamental para a análise de sistemas. Um sistema linear e invariante no tempo pode ser
representado por um sinal chamado de resposta ao impulso. A resposta ao impulso de um sistema G é uma função do tempo
g(t) que é o sinal de saída do sistema quando é aplicado um impulso unitário (ou delta de Dirac) na entrada do sistema. Assim:
g(t) = G{δ(t)}.
Se o sistema for invariante no tempo a resposta ao impulso será G{δ(t −τ)} = g(t −τ), ou seja, uma entrada de impulso deslocada
no tempo de um valor τ gera uma saída de resposta ao impulso deslocada do mesmo valor de tempo. Lembrado que, pela deﬁnição
do impulso:
x(t) =
Z +∞
−∞
x(τ)δ(t −τ) dτ
e supondo que a aplicação do sinal x(t) ao sistema G produz o sinal de saída y(t), tem-se:
y(t) = G{x(t)}
= G
Z +∞
−∞
x(τ)δ(t −τ) dτ .
Se o sistema for linear a integral do sinal de entrada produzirá a integral do sinal de saída. Ou seja, um sinal integrado
é aplicado a entrada é equivalente a aplicar o sinal ao sistema e integrar a saída. Considerando x(τ) dτ o peso do sinal δ(t −τ),
tem-se:
y(t) =
Z +∞
−∞
x(τ)G{δ(t −τ)} dτ.
Se o sistema for invariante no tempo:
y(t) =
Z +∞
−∞
x(τ)g(t −τ) dτ = x(t)∗ g(t)
que é uma integral de convolução.
Assim, a resposta de um sistema linear e invariante no tempo pode ser conhecida para qualquer sinal se for conhecida a
resposta ao impulso. Usando a Transformada de Laplace pode-se calcular a transformada da resposta Y(s) se for conhecida a
transformada da entrada X(s) e a transformada da resposta ao impulso G(s) do sistema. Pode-se, então, aplicar a transformada
inversa (ver Seção 1.3) para calcular y(t) sem que haja a necessidade de calcular uma integral de convolução. A grande vantagem
é que a transformada da resposta ao impulso G(s) do sistema, que caracteriza completamente um sistema linear e invariante no
tempo, pode ser obtida sem a necessidade da obtenção da resposta ao impulso no tempo e sem a necessidade da aplicação da
Transforma de Laplace. Em outras palavras, um sistema pode ser modelado diretamente em s.
Exemplo 6: suponha que a transformada da resposta ao impulso do sistema G seja G(s) = 3
s+1 . Neste sistema é aplicando um
sinal x(t) = cost que tem por transformada X(s) = s
s2+1
. A transformada do sinal de saída será:
Y(s) = X(s)G(s) =
3s
(s2 +1)(s+1)
= 3
1
s+1
+
1
s2 +1
−
s
s2 +1
que é a transforma de
y(t) = 3e−t
+3sent −3cost = 3e−t
+3
√
2sen t −
π
4
e que foi obtida expandindo o produto X(s)G(s) em frações parciais e procurando cada termo na Tabela 1.1. Na Seção 1.3
este procedimento é sistematizado.
Lembrando que Y(s) é um número complexo, é fácil determinar o seu gráﬁco levando em conta que o produto de dois números
complexos é o produto dos módulos e a soma das fases como ilustrado na Figura 1.10.
1.2.7 Multiplicação por eat
Teorema 4 (Teorema dual do deslocamento no tempo)
Se uma função g(t) é multiplicada por um fator eat, então a Transformada de Laplace do produto será L {g(t)eat} =
G(s−a) onde G(s) = L {g(t)}.
L g(t)eat
=
Z ∞
0
g(t)eat
e−st
dt =
Z ∞
0
g(t)e−(s−a)t
dt .
Substituindo s−a = ξ tem-se:
L g(t)eat
=
Z ∞
0
g(t)e−ξt
dt

−3
−2
−1
0
1
−2
−1
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−3
−2
−1
0
1
−2
−1
0
1
2
0
−3
−2
−1
0
1
−2
−1
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−3
−2
−1
0
1
−2
−1
0
1
2
0
−3
−2
−1
0
1
−2
−1
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
−3
−2
−1
0
1
−2
−1
0
1
2
0
X(s) G(s) Y(s)
+ =
=×
σ
ω
|X(s)|
−2π
− 7π
4
− 3π
2
− 5π
4
−π
− 3π
4
− π
2
− π
4
σ
ω
∠X(s)
σ
ω
|G(s)|
−2π
− 7π
4
− 3π
2
− 5π
4
−π
− 3π
4
− π
2
− π
4
σ
ω
∠G(s)
σ
ω
|Y(s)|
−2π
− 7π
4
− 3π
2
− 5π
4
−π
− 3π
4
− π
2
− π
4
σ
ω
∠Y(s)
Figura 1.10: Uso do Teorema de Convolução para determinar o gráﬁco de transformada do sinal de saída de um sistema
que é exatamente igual à Transformada de Laplace com ξ no lugar de s, assim:
L g(t)eat
=
Z ∞
0
g(t)e−ξt
dt = G(ξ) = G(s−a).
Ou seja, quando a função g(t)é multiplicada por eata transformada L {g(t)eat} é igual a transformada de g(t), isso é, G(s) =
L {g(t)} trocando s por s−a.
Este teorema é de importância fundamental para o cálculo da Transforma Inversa de Laplace. Ele também é conhecido
como propriedade do amortecimento porque mostra que, se a função g(t) for amortecida por um fator exponencial e −at com
a > 0, a transformada desta função será deslocada para esquerda de a unidades.
Exemplo 7: calcule a transformada de g(t) = t coshωt. Lembrando que coshx =
ex +e−x
2
, tem-se:
g(t) = t coshωt =
t
2
eωt
+e−ωt
=
t
2
eωt
+
t
2
e−ωt
.
Pelo teorema 4 e 1 é fácil perceber que se deve calcular a transformada de t/2, que vale 1
2s2 , e então substituir s por s−ω
e s+ω para cada um dos termos respectivamente. Assim:
L {g(t)} =
1
2(s−ω)2
+
1
2(s+ω)2
=
s2 +2sω+ω2 +s2 −2sω+ω2
2((s−ω)(s+ω))2
=
s2 +ω2
(s2 −ω2)2
.
Exemplo 8: calcule a transformada inversa de G(s) =
s−α
(s−α)2 +ω2
. Substituindo s−α por S, tem-se que
G(s) =
S
S2 +ω2
que, pela tabela 1.1, corresponde a transformada de cosωt. Contudo, pelo teorema 4 deve-se multiplicar a transformada
inversa obtida da tabela por eat onde a = α. Logo, a transformada inversa procurada vale:
g(t) = L −1
{G(s)} = eαt
cosωt t ≥ 0.
1.2.8 Existência das Transformadas de Laplace
Teorema 5. (Teorema da Existência das Transformadas de Laplace)
Seja g(t) uma função que é contínua em m intervalos sobre qualquer intervalo ﬁnito em t ≥ 0 e satisfaz à
|g(t)| ≤ Meγt
para qualquer t ≥ 0 (1.8)
e para certas constantes γ e M. Então, a Transformada de Laplace existe para todo Re(s) > Re(γ).

DEMONSTRAÇÃO. Como g(t) é contínua em intervalos, e−stg(t) é integrável sobre qualquer intervalo finito sobre o eixo t e de
(1.8),
|L { f}| =
Z ∞
0
e−st
g(t)dt ≤
Z ∞
0
e−st
|g(t)| dt ≤
Z ∞
0
e−st
Meγt
dt = M
Z ∞
0
e−(s−γ)t
dt =
M
s−γ
(Re(s) > Re(γ))
Isto completa a demonstração.
As condições do Teorema 5 são suficientes para a maioria das aplicações, e é simples determinar se uma função satisfaz
ou não a uma desigualdade da forma (1.8). Por exemplo, satisfazem a condição (1.8)
cosht < et , tn < n!et(n = 0,1,...) para qualquer t > 0,
e qualquer função limitada em valor absoluto para todo t ≥ 0, tal como um seno ou um co-seno de uma variável real. Exemplo
de função que não satisfaz a uma relação da forma (1.8) é a função et2
, porque, por maiores que sejam escolhidos os números M
e γ em (1.8)
et2
> Meγt
para qualquer t > t0 ,
onde t0 é um número suficientemente grande que depende de M e γ.
Note que as condições no Teorema 5 são suficientes em lugar de necessárias. Por exemplo, a função 1/
√
t é infinita para
t = 0, mas sua Transformada de Laplace existe; de fato, de acordo com a definição e tendo em vista que Γ(1/2) =
√
π, obtém-se
L {t−1/2
} =
Z ∞
0
e−st
t−1/2
dt =
1
√
s
Z ∞
0
e−x
x−1/2
dx =
1
√
s
Γ
1
2
=
π
s
.
Se a Transformada de Laplace de uma função existe, ela é única. Reciprocamente, pode-se mostrar que se duas funções
(ambas definidas no semi-eixo real positivo) têm a mesma transformada, tais funções não podem diferir entre si em um intervalo
de comprimento positivo (embora possam ser diferentes em vários pontos isolados). Como isto não tem importância nas apli-
cações, pode-se dizer que a inversa de uma transformada é essencialmente única. Em particular, se duas funções contínuas têm
a mesma Transformada de Laplace, elas são completamente idênticas. Este fato é realmente importante, na prática. Por quê?
(Recorde a introdução ao capítulo).
1.2.9 Exercícios
1. Determinar as Transformadas de Laplace das seguintes funções.
(a) t +2
(b) at +b
(c) a+bt +ct2
(d) 4t3 +t2
(e) acos2t
(f) e−at+b
(g) sen(ωt +θ)
(h) sen(ωt −θ) u(t −θ/ω)
(i) cosh2
3t, 14
(j) sen2
4t,15
(k) e−7t
cosh2t
(l) e−7t
cos2t
2. Determinar g(t) usando a Tabela 1.1 e as propriedades vistas até agora se L {g(t)} vale: (T no exercício 2g é constante).
(a)
1
s2 +9
(b)
3
s+π
(c)
a1
s
+
a2
s2
+
a3
s3
(d)
2s+1
s2 +4
(e)
4(s+1)
s2 −16
(f)
2
s
+
1
s+2
(g)
2nπT
T2s2 +(2nπ)2
(h)
s
s2 +n2π2
(i)
1
(s+1)(s+2)
(j)
3
s2 +3s
(k)
3
4
s−5/2
(l) s−3/2
3. Demonstrar (1.11).
4. Obter a fórmula 12 da Tabela 1.1 a partir da fórmula 8.
5. Obter a fórmula 8, Tabela 1.1, a partir das fórmulas 11 e 12.
6. Deduzir, mediante integração por partes, as fórmulas 9 e 10 da Tabela 1.1.
7. Tendo em vista que coshx = cos(jx) e senhx = −j sen(jx), j2 = −1, obter as fórmulas 11 e 12 da Tabela 1.1 a partir das
fórmulas 9 e 10.
14
Dica: use a definição do co-seno hiperbólico; coshx =
ex
+e−x
2
.
15Dica: use a forma exponencial complexa da função seno; senx =
ejx
−e−jx
2 j
.

1.2.10 Transformadas de Laplace de Derivadas e Integrais
Provavelmente, a propriedade mais importante da Transformada de Laplace é linearmente (Teorema 1 na seção anterior). A
seguir, em ordem de importância, vem o fato de que, em termos rudimentares, a derivada de uma função g(t) corresponde
simplesmente à multiplicação por s da transformada G(s). Isto permite a substituição das operações de cálculo por simples
operações algébricas nas transformadas.
Além disso, como a integração é a operação inversa da derivação, é de supor que ela corresponda à divisão da transforma-
das por s. Este é realmente o caso. Assim, esta seção cobre o seguinte. O Teorema 6 se refere à derivação de g(t), o Teorema 7
se refere à extensão às derivadas de ordem mais elevada e o Teorema 8 se refere à integração de g(t). São incluídos exemplos
bem como uma primeira aplicação a uma equação diferencial.
Teorema 6 (Derivada de g(t))
Suponha que g(t) seja contínua para t ≥ 0, satisfaça (1.8) para determinados γ e M, e possua uma derivada g (t)
parcialmente contínua sobre qualquer intervalo finito situado em t ≥ 0. Então a Transformada de Laplace da
derivada g (t) existe, quando s > γ e
L {g (t)} = sL {g(t)} −g(0) (s > γ). (1.9)
DEMONSTRAÇÃO. Considere em primeiro lugar o caso em que g (t) é contínua para t ≥ 0. Então, de acordo com a definição e
mediante uma integração por partes:
L {g (t)} =
Z ∞
0
e−st
g (t)dt = e−st
g(t)
∞
0
+s
Z ∞
0
e−st
g(t)dt
Como satisfaz (1.8), a parte integrada no último membro é nula no limite superior, quando s > γ, e se reduz a −g(0) no
limite inferior. A última é simplesmente L {g(t)}, sua existência para s > γ sendo uma conseqüência do Teorema 5. Assim,
fica demonstrado que a expressão à direita existe quando s > γ e igual a −g(0)+sL {g(t)}. Em conseqüência L {g (t)} existe
quando s > γ, e (1.9) é verificada.
Quando g (t) é parcialmente contínua, a demonstração é bem semelhante; neste caso, o intervalo de integração da integral
original deve ser dividido em intervalos parciais tais que g (t) seja contínua em cada um deles.
Observação. Este teorema pode ser estendido a funções parcialmente contínuas g(t), mas em lugar de ( 1.9) obtém-se a
fórmula (1.16) do Problema 7 no fim da presente Seção.
Aplicando (1.9) à derivada de segunda ordem g (t), obtém-se:
L {g (t)} = sL {g (t)} −g (0)
= s[sL {g(t)} −g(0)]−g (0)
= s2
L {g(t)} −sg(0)−g (0) (1.10)
Analogamente,
L {g (t)} = s3
L {g(t)} −s2
g(0)−sg (0)−g (0) (1.11)
etc. Por indução, obtém-se então a seguinte extensão do Teorema 6.
Teorema 7 (Derivada de Ordem n Qualquer)
Sejam g(t) e suas derivadas g (t), g (t),...,g(n−1)(t) funções contínuas para t ≥ 0, que satisfazem (1.8), para certos
valores de γ e de M, e seja a derivada g(n)(t) parcialmente contínuas sobre qualquer intervalo finito na faixa t ≥ 0.
Então, a Transformada de Laplace de g(n)(t) existe quando s > γ e é dada pela fórmula
L {g(n)
(t)} = sn
L g(t)} −sn−1
g(0)−sn−2
g(0)−...−g(n−1)
(0) (1.12)
Exemplo 9. Seja g(t) =t2. Determinar L {g(t)}. Tem-se que g(0) = 0, g (t) = 2t, g (0) = 0, g (t) = 2 e L {2} = 2L {1} = 2/s.
De (1.10) vem
L {g (t)} = L {2} =
2
s
s2
L {g(t)} ou L {t2
} =
2
s3
Exemplo 10. Seja g(t) = sen2 t. Determinar L {g}. Tem-se que g(0) = 0.
g (t) = 2sent cost = sen2t
e (1.9) nos dá
L {sen2t} =
2
s2 +4
= sL {g(t)} ou L {sen2
t} =
2
s(s2 +4)

Exemplo 11. Seja g(t) = t senωt. Determinar L {g(t)}. Tem-se que g(0) = 0,
g (t) = senωt +ωt cosωt , g (0) = 0,
g (t) = 2ωcosωt −ω2
t senωt
g(t)
= 2ωcosωt −ω2
g(t),
de modo que, por (1.10)
L {g (t)} = 2ωL {cosωt} −ω2
L {g(t)} = s2
L {g(t)}
Empregando a fórmula para a Transformada de Laplace de cosωt, obtém-se:
(s2
+ω2
)L {g(t)} = 2ωL {cosωt} =
2ωs
s2 +ω2
Conseqüentemente, o resultado é
L {t senωt} =
2ωs
(s2 +ω2)2
Exemplo 12. Uma equação diferencial
Resolver o problema de valor inicial
y +4y +3y = 0, y(0) = 3, y (0) = 1.
Seja Y(s) = L {y(t)}, a Transformada de Laplace da solução y(t) (desconhecida). Então, pelos Teoremas 6 e 7 e as
condições iniciais,
L {y (t)} = sY −y(0) = sY −3
L {y (t)} = s2Y −sy(0)−y (0) = s2Y −3s−1.
Levando na Transformada de Laplace da equação diferencial dada, obtém-se:
s2
Y −3s−1+4(sY −3)+3Y = 0
s2
Y +4sY +3Y = 3s+13.
A equação da transformada Y(s) da função y(t) desconhecida é chamada equação subsidiária da equação diferencial dada.
Em nosso exemplo, ela pode ser escrita
(s+3)(s+1)Y = 3s+13.
Resolvendo algebricamente em relação a Y e usando frações parciais, obtém-se:
Y =
3s+13
(s+3)(s+1)
=
−2
s+3
+
5
s+1
.
Mas na Tabela 1.1 vê-se que
L −1 1
s+3
= e−3t
, L −1 1
s+1
= e−t
.
Usando a linearidade (Teorema 1), vê-se que a solução de nosso problema é:
y(t) = −2e−3t
+5e−t
.
No processo acima foi admitido que a solução y(t) desconhecida tenha uma transformada Y(s) e os Teoremas 6 e 7 sejam
aplicáveis. Uma vez achada a solução, estas hipóteses devem ser justiﬁcadas. Praticamente falando, é mais simples e mais
natural veriﬁcar por substituição de y(t) satisfaz a equação dada e as condições iniciais. Este é o caso.
O processo é resumido na Figura 1.11.
A presente seção é concluída com a integração de g(t), a operação inversa da derivação; espera-se que ela corresponda à
divisão da transformada por s, uma vez que a divisão é a operação inversa da multiplicação.
Teorema 8 (Integração de g(t))

Problema dado
y +4y +3y = 0
y(0) = 3
y (0) = 1
Solução do problema dado Solução da equação subsidiária
Equação subsidiária
s2
Y +4sY +3Y = 3s+13
y(t) = −2e−3t +5e−t Y =
−2
s+3
+
5
s+1
espaço t espaço s
L −1
L
Figura 1.11: Solução de equações diferenciais usando Transformada de Laplace
Se g(t) é parcialmente contínua e satisfaz a condição (1.8), então
L
Z t
0
g(τ)dτ =
1
s
L {g(t)} (s > 0, s > γ) (1.13)
DEMONSTRAÇÃO. Suponha que g(t) seja parcialmente contínua e satisfaça a condição (1.8), para determinados
γ e M. Evidentemente, se (1.8) se verifica para um dado γ negativo, também se verifica para γ positivo, de modo que
pode-se supor γ positivo. Então, a integral
h(t) =
Z t
0
g(τ)dτ
é contínua e, empregando (1.8), obtém-se,
|h(t)| ≤
Z t
0
|g(τ)| dτ ≤ M
Z t
0
eγτ
dτ =
M
γ
(eγt
−1) (γ > 0)
Além disso, h (t) = g(t), exceto nos pontos em que g(t) é descontínua. Assim, h (t) é parcialmente contínua sobre
qualquer intervalo finito e, de acordo com o Teorema 6.
L {g(t)} = L h (t) = sL {h(t)}−h(0) (Re(s) > Re(γ))
Evidentemente, h(0) = 016 e, portanto,
L {h(t)} =
1
s
L {g(t)} = L {
Z t
0
g(τ)dτ}
Isto completa a demonstração.
A fórmula (1.13) é acompanhada de uma fórmula útil, que se obtém escrevendo L {g(t)} = G(s), trocando os dois
membros e considerando a transformada inversa dos dois lados. Assim,
L −1 1
s
G(s) =
Z t
0
g(τ)dτ. (1.14)
Exemplo 13. Seja L {g(t)} = 1
s2(s2+ω2)
. Achar g(t). Da Tabela 1.1, obtém-se:
L −1 1
s2 +ω2
=
1
ω
senωt .
Daí e do Teorema 8, decorre que
L −1 1
s
1
s2 +ω2
=
1
ω
Z t
0
senωτdτ =
1
ω2
(1−cosωt).
Aplicando o Teorema 8 mais uma vez, obtém-se a resposta desejada.
L −1 1
s2
1
s2 +ω2
=
1
ω2
Z t
0
(1−cosωτ)dτ =
1
ω2
t −
senωt
ω
.
16Integral de 0 até 0 de uma função, se existir, é sempre 0.

1.2.11 Valor Inicial e Final de uma Função no Tempo
Dada uma função do tempo g(t), denomina-se de valor inicial o valor que esta função tem quando t = 0, ou seja, g(0). Da
mesma forma, denomina-se de valor final o valor de g(t) quando o tempo tende a infinito, ou seja, lim t→∞ g(t). Estes dois
valores, particularmente o valor final, são muito importantes na análise de sistemas.
Se a Transformada de Laplace de g(t) for conhecida, é possível calcular os valores inicial e final sem o conhecimento
da função no tempo. Isso é muito útil na análise de sistema porque permite determinar o valor de regime (valor final) de um
sistema para um dado sinal de entrada sem a necessidade de conhecer a resposta do sistema no tempo o que poupa muito trabalho.
Também é possível determinar o ganho de um sistema que é o valor final se a entrada do sistema for um degrau unitário.
Teorema 9 (Valor inicial)
Se g(t) é uma função sem descontinuidade na origem, o valor de g(t) para t = 0 é dado por:
g(0) = lim
s→∞
sG(s)
onde G(s) é a Transformada de Laplace de g(t).
DEMONSTRAÇÃO: usando o teorema 6 e a definição da Transformada de Laplace, tem-se que
L {g (t)} = sL {g(t)} −g(0)
Z ∞
0
g (t)e−st
dt = sL {g(t)} −g(0).
Tomando o limite da expressão acima quando s → ∞, tem-se
lim
s→∞
Z ∞
0
g (t)e−st
dt = lim
s→∞
(sL {g(t)} −g(0)) = lim
s→∞
sL {g(t)} −g(0)
que tende a zero porque e−st tende a zero quando s → ∞ e a integral de zero é zero, logo
lim
s→∞
sL {g(t)} −g(0) = 0
g(0) = lim
s→∞
sL {g(t)} = lim
s→∞
sG(s).
Interessante observar que, se a função g(t) não for contínua em t = 0, este teorema fornece o limite a direita, isso é
lim
t→0+
g(t) = lim
s→∞
sG(s).
Teorema 10 (Valor final)
O valor final de g(t) é dado por:
lim
t→∞
g(t) = lim
s→0
sG(s)
onde G(s) é a Transformada de Laplace de g(t).
DEMONSTRAÇÃO: usando o teorema 6 e a definição da Transformada de Laplace, tem-se que
L {g (t)} = sL {g(t)} −g(0)
Z ∞
0
g (t)e−st
dt = sL {g(t)} −g(0).
Tomando o limite da expressão acima quando s → 0, tem-se:
lim
s→0
Z ∞
0
g (t)e−st
dt = lim
s→0
(sL {g(t)} −g(0)) = lim
s→0
sL {g(t)} −g(0).
Contudo, e−st tende a um quando s → 0, assim
lim
s→0
Z ∞
0
g (t)e−st
dt =
Z ∞
0
g (t) dt = g(t)
∞
0
= lim
t→∞
g(t)−g(0) = lim
s→0
sL {g(t)} −g(0).
Cancelando g(0) nos dois lados da equação acima o teorema fica provado.
Exemplo 14. Determinar o valor inicial g(0) sabendo que
G(s) =
s
s2 +ω2
.
Aplicando diretamente o teorema 9, tem-se
g(0) = lim
s→∞
sG(s) = lim
s→∞
s2
s2 +ω2
= 1.
Este resultado também poderia ser obtido se fosse observado que g(t) = cosωt (veja formula 1.6 na tabela 1.1).

Exemplo 15. Determinar o valor inicial de u(t) que é descontínua em t = 0. A transformada de u(t) é dada por:
L {u(t)} =
1
s
.
Aplicando diretamente o teorema 9, tem-se
lim
t→0+
u(t) = lim
s→∞
sU(s) = lim
s→∞
s
s
= 1.
Note que, por definição, limt→0− u(t) = 0. Em outras palavras, u(t) não tem um valor inicial simples porque a função é
descontínua em t = 0. São então definidos dois valores iniciais: um à esquerda de zero e outro à direita. Neste caso, o
teorema 9 só calcula o valor inicial à direita.
Exemplo 16. Determinar o valor final de g(t) sabendo que
G(s) =
s
s2 +ω2
.
Aplicando diretamente o teorema 10, tem-se:
lim
t→∞
g(t) = lim
s→0
sG(s) = lim
s→0
s2
s2 +ω2
= 0.
Ganho de um Sistema Linear e Invariante no Tempo
Na Seção 1.2.6 foi estabelecido que o sinal de saída de um sistema linear e invariante no tempo pode ser calculado conhecendo-se
o sinal de entrada e a resposta (sinal de saída) do sistema ao impulso. A resposta ao impulso caracteriza complemente os sistemas
lineares e invariantes no tempo. A determinação da saída envolve o cálculo de uma integral de convolução ou, pela aplicação do
teorema 3, da Transformada de Laplace (direta e inversa). Assim, é possível determinar a transformada Y(s) do sinal de saída
conhecendo-se a transformada X(s) do sinal de entrada e a transformada G(s) da resposta ao impulso por:
Y(s) = G(s)X(s).
O ganho de um sistema linear e invariante no tempo é definido como valor final da saída quando a entrada é um degrau
unitário. Lembrando que a transformada do degrau unitário vale 1/s (que será usado como sinal de entrada, ou seja, X(s) = 1/s)
e usando a letra k para denotar o ganho, pode-se calcular o ganho k por:
k = lim
s→0
sY(s) = lim
s→0
sG(s)X(s) = lim
s→0
G(s).
Este valor é fundamental para estabelecer o comportamento de um sistema em regime permanente, ou seja, um certo
tempo após receber uma perturbação. Este espaço de tempo deve ser suficientemente grande para o sistema se estabilizar (entrar
em regime). Sistemas de controle tendem a ter um ganho unitário para anular o chamado erro em regime permanente.
Exemplo 17. Determinar o ganho de um sistema cuja transformada da resposta ao impulso vale:
G(s) =
ω2
n
s2 +2ξωns+ω2
n
onde ωn e ξ são constantes17. Aplicando o limite acima
k = lim
s→0
G(s) = lim
s→0
ω2
n
s2 +2ξωns+ω2
n
=
ω2
n
ω2
n
= 1.
1.2.12 Transformada de Laplace de Funções Periódicas
Teorema 11 (Transformada de funções periódicas)
Se g(t) é uma função periódica18 para t > 0 com período T, então g(t +T) = g(t), ou mesmo g(t +nT) = g(t) para
todo n natural. A Transformada de Laplace de g(t) pode ser calculada integrando sobre apenas um único período:
L {g(t)} =
1
1−e−T s
Z T
0
g(λ)e−st
dt . (1.15)
17ωn é chamado de freqüência natural e ξ de fator de amortecimento.
18
Quando se trata de Transformada Unilateral de Laplace, a que está em voga, não importa o valor da função antes de zero; contudo, ela deve ser periódica
depois de t = 0, isso é, deve se repetir exatamente de tempos em tempos após o instante t = 0.

DEMONSTRAÇÃO: por deﬁnição a Transformada de Laplace de g(t) vale:
L {g(t)} =
Z ∞
0
g(t)e−st
dt
=
Z T
0
g(t)e−st
dt +
Z 2T
T
g(t)e−st
dt +
Z 3T
2T
g(t)e−st
dt +···
=
∞
∑
n=0
Z (n+1)T
nT
g(t)e−st
dt .
Integrando um termo da somatória com a mudança de variável λ = t −nT, tem-se
Z (n+1)T
nT
g(t)e−st
dt =
Z T
0
g(λ+nT)e−s(λ+nT)
dt = e−snT
Z T
0
g(λ+nT)e−sλ
dt = e−nT s
Z T
0
g(λ)e−sλ
dt .
Substituindo novamente t = λ,
L {g(t)} =
∞
∑
n=0
e−nT s
Z T
0
g(t)e−st
dt =
Z T
0
g(t)e−st
dt
∞
∑
n=0
e−nT s
.
Já que a integral não depende de n ela pôde ser retirada da somatória. Lembrando que a série geométrica 19
∞
∑
n=0
xn
=
1
1−x
converge se |x| < 1. Substituindo x = e−T s, obtém-se:
∞
∑
n=0
e−T s n
=
∞
∑
n=0
e−nT s
=
1
1−e−T s
se T Re(s) < 1. Disto se conclui que a transformada vale
L {g(t)} =
Z T
0
g(t)e−st
dt
∞
∑
n=0
e−nT s
=
1
1−e−T s
Z T
0
g(t)e−st
dt .
para Re(s) < 1/T. Usando o teorema da extensão analítica pode-se estender a região de convergência para qualquer
valor de s diferente de zero porque o denominador da equação ( 1.15) é nulo para s = 0.
Exemplo 18. Determinar a Transformada de Laplace da senóide retiﬁcada (meia onda) que em um período pode ser representada
por g(t):
g(t) =
⎧
⎨
⎩
senωt se 0 ≤ t < π
ω
0 se π
ω ≤ t < 2π
ω = T
g(t)
T
t
19
A série geométrica
∞
∑
n=0
xn
converge e tem por soma
1
1−x
se |x| < 1 porque a soma dos n primeiros termos Sn vale:
Sn = 1+x+x2
+··· +xn−1
que se multiplicada por x fornece
xSn = x+x2
+··· +xn−1
+xn
que quando subtraída de Sn leva à
(1−x)Sn = 1−xn
Sn =
1
1−x
−
xn
1−x
.
No limite, quando n → ∞:
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
1
1−x
−
xn
1−x
=
1
1−x
−
1
1−x
lim
n→∞
xn
.
Se |x| < 1, então limn→∞ xn
= 0 e a soma vale
lim
n→∞
Sn =
1
1−x
=
∞
∑
n=0
xn
.

Como o período vale T = 2π
ω , aplicando a equação (1.15), obtém-se:
L {g(t)} =
1
1−e−T s
Z T
0
g(t)e−st
dt
=
1
1−e−T s
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
Z π/ω
0
senωt e−st
dt
v = senωt
du = e−st dt
+
Z 2π/ω
π/ω
0e−st
dt
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Resolvendo por partes, escolhendo v = senωt e du = e−st dt que leva à dv = ω cosωt dt e u = − e−st
s , tem-se:
L {g(t)} =
1
1−e−T s
⎛
⎜
⎜
⎝−senωt
e−st
s
π/ω
0
0
+
Z π/ω
0
ω cosωt
e−st
s
dt
⎞
⎟
⎟
⎠
=
1
1−e−T s
ω
s
Z T/2
0
cosωt e−st
dt
v = cosωt
du = e−st dt
Resolvendo por partes, novamente, escolhendo v = cosωt e du = e−st dt que leva à dv = −ω senωt e u = − e−st
s ,
tem-se:
L {g(t)} =
1
1−e−T s
ω
s
−cosωt
e−st
s
π/ω
0
−
Z π/ω
0
ω senωt
e−st
s
dt
=
1
1−e−T s
ω
s
1
s
e−sπ/ω
+1 −
ω
s
Z π/ω
0
senωt e−st
dt
=
1
1−e−T s
ω
s2
1+e−sπ/ω
−
ω
s
2 1
1−e−T s
Z π/ω
0
senωt e−st
dt
L {g(t)}
=
1
1−e−T s
ω
s2
1+e−sT/2
−
ω
s
2
L {g(t)}
Assim,
L {g(t)} 1+
ω
s
2
=
1
1−e−T s
ω
s2
1+e−sT/2
L {g(t)}
s2 +ω2
s2
=
1+e−sT/2
1−e−T s
ω
s2
L {g(t)} =
1+e−sT/2
1−e−T s
ω
s2 +ω2
Usando a identidade
1+x
1−x2
=
1+x
(1−x)(1+x)
=
1
1−x
com x = e−sT/2 ∴ x2 = e−sT/2 2
= e−T s obtém-se, ﬁnalmente:
L {g(t)} =
1
1−e−sT/2
ω
s2 +ω2
=
1
1−e−πs/ω
ω
s2 +ω2
.
1.2.13 Exercícios
1. Empregando (1.5), deduzir:

(a) L {sent} de L {cost}
(b) L {senh2t} de L {cosh2t}
2. Empregando os Teoremas 6 e 7, mostrar que
(a) L {t cosωt} =
s2 −ω2
(s2 +ω2)2
(b) L {t coshat} =
s2 +a2
(s2 −a2)2
(c) L {t senhat} =
2as
(s2 −a2)2
(d) L {teat
} =
1
(s−a)a
3. Empregando Exemplo 3 (estendido pela aplicação do Teorema 1) e o exercício 2a, mostrar que:
(a) L −1
{
1
(s2 +ω2)2
} =
1
2ω3
(senωt −ωt cosωt)
(b) L −1
{
s2
(s2 +ω2)2
} =
1
2ω
(senωt +ωt cosωt)
4. Verificar o resultado do Exemplo 13 mostrando que:
L {g(t)} =
1
ω2
1
s2
−
1
s2 +ω2
5. Determinar L {cos2 t}
(a) utilizando o resultado do Exemplo 10 e o Teorema de Pitágoras cos2 t +sen2 t = 1 ;
(b) pelo método empregado no Exemplo 10;
(c) exprimindo cos2 t em termos de cos2t.
6. Desenvolva os detalhes da demonstração do Teorema 6, supondo que f (t) tem saltos finitos em t1,t2,...,tm.
7. (Extensão do Teorema 6). Tem interesse prático nas aplicações a seguinte extensão do Teorema 6. Mostre que se f(t) é
contínua, a menos de uma descontinuidade ordinária (salto finito) em t = a (t > 0), e se as outras condições permanecem
as mesmas que no Teorema 6, então
L {g (t)} = sL {g(t)} −g(0)−[g(a+0)−g(a−0)]eas
(1.16)
g(t)
t
g(a−0)
g(a+0)
a
Figura 1.12: Problema 7
8. Fazer os gráficos das funções seguintes e, empregando (1.16), determinar suas Transformadas de Laplace.
(a) g(t) = 1 quando 1 < t < 2, g(t) = 0 nos demais casos.
(b) g(t) = t quando 0 < t < 1, g(t) = 0 nos demais casos.
(c) g(t) = t quando 0 < t < 1, g(t) = 1 quando 1 < t < 2, g(t) = 0 nos demais casos
(d) g(t) = t −1 quando 1 < t < 2, g(t) = 0 nos demais casos
9. Empregando o Teorema 8, determinar g(t) se L {g(t)} valer:

(a)
1
s(s−2)
(b)
1
s(s2 +9)
(c)
1
s(s2 −1)
(d)
1
s2(s+1)
(e)
1
s2
s−1
s+1
(f)
1
s2
s−2
s2 +4
(g)
54
s2(s−3)
(h)
2s−π
s2(s−π)
10. Resolver os seguintes problemas de valor inicial por meio da Transformada de Laplace.
(a) y +9y = 0, y(0) = 0, y (0) = 2
(b) y +y−2y = 0, y(0) = 0, y (0) = 3
(c) y −2y −3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 7
(d) 4y +y = 0, y(0) = 1, y (0) = −2
(e) y +2y −8y = 0, y(0) = 1, y (0) = 8
11. (Equação subsidiária) Mostrar que a equação subsidiária da equação diferencial
y +ω2
y = r(t) (ω constante)
tem a solução:
Y(s) =
sy(0)+y (0)
s2 +ω2
+
R(s)
s2 +ω2
onde R(s) é a Transformada de Laplace de r(t). Notar que o primeiro termo à direita é completamente determinado pelas
condições iniciais dadas, ou seja, y(0) = k1, y (0) = k2, e o segundo termo é independente destas condições.
12. Determine a Transforma de Laplace das funções periódicas para t > 0 dadas por seus gráﬁcos na Figura 1.13 na página 23.
t
h(t)
1
T
t
T
T
2
y(t)
x(t)
t
T
T
2
T
4
1
g(t) = |senωt|u(t)
t
T = π
ω
z(t)
t
T
-1
1
Figura 1.13: Funções periódicas para t > 0

1.2.14 Tábua de Algumas Transformadas de Laplace
A tabela a seguir foi criada no intuito de facilitar o cálculo da Transformada Inversa de Laplace. Para uma tabela mais completa,
com 168 formulas, ver a referência [3].
# G(s) = L {g(t)} g(t) = L −1{G(s)}
1 1 δ(t)
2
1
s
u(t)
3
1
s2
t u(t)
4
1
sn
, (n = 1,2...)
tn−1
(n−1)!
u(t)
5
1
√
s
1
√
πt
u(t)
6
1
s3/2
2
t
π
u(t)
7
1
sa
(a > 0)
ta−1
Γ(a)
u(t)
8
1
s−a
eat
u(t)
9
1
(s−a)2
teat
u(t)
10
1
(s−a)n
(n = 1,2...)
1
(n−1)!
tn−1
eat
u(t)
11
1
(s−a)k
(k > 0)
1
Γ(k)
tk−1
eat
u(t)
12
1
(s−a)(s−b)
(a = b)
1
(a−b)
(eat
−ebt
) u(t)
13
s
(s−a)(s−b)
(a = b)
1
(a−b)
(aeat
−bebt
) u(t)
14
1
s2 +ω2
1
ω
senωt u(t)
15
s
s2 +ω2
cosωt u(t)
16
1
s2 −a2
1
a
senhat u(t)
17
s
s2 −a2
coshat u(t)
18
1
(s−a)2 +ω2
1
ω
eat
senωt u(t)

# G(s) = L {g(t)} g(t) = L −1{G(s)}
19
s−a
(s−a)2 +ω2
eat
cosωt u(t)
20
1
s(s2 +ω2)
1
ω2
(1−cosωt) u(t)
21
1
s2(s2 +ω2)
1
ω2
(ωt −senωt) u(t)
22
1
(s2 +ω2)2
1
2ω3
(senωt −ωt cosωt) u(t)
23
s
(s2 +ω2)2
t
2ω
senωt u(t)
24
s2
(s2 +ω2)2
1
2ω
(senωt +ωt cosωt) u(t)
25
s
(s2 +a2)(s2 +b2)
(a2
= b2
)
1
b2 −a2
(cosat −cosbt) u(t)
26
1
s4 +4a4
1
4a3
(senat coshat −cosat senhat) u(t)
27
s
s4 +4a4
1
2a2
senat senhat u(t)
28
1
s4 −a4
1
2a3
(senhat −senat) u(t)
29
s
s4 −a4
1
2a2
(coshat −cosat) u(t)
30
√
s−a−
√
s−b
1
2
√
πt3
(ebt
−eat
) u(t)
31
1
√
s+a
√
s+b
e−(a+b)t/2
Y0
a−b
2
t u(t)
32
1
√
s2 +a2
J0(at) u(t)
33
s
(s−a)3/2
1
√
πt
eat
(1+2at) u(t)
34
1
(s2 −a2)k
(k > 0)
√
π
Γ(k)
t
2a
k−1/2
Ik−1/2(at) u(t)
35
1
s
e−k/s
J0(2
√
kt) u(t)
36
1
√
s
e−k/s 1
√
πt
cos2
√
kt u(t)
37
1
s3/2
ek/s 1
√
πk
senh2
√
kt u(t)
38 e−k
√
s
(k > 0)
k
2
√
πt3
e−k2/4t
u(t)

# G(s) = L {g(t)} g(t) = L −1{G(s)}
39
1
s
lns −lnt −γ (γ 0,577215665)
40 ln
s−a
s−b
1
t
(ebt
−eat
) u(t)
41 ln
s2
+ω2
s2
2
t
(1−cosωt) u(t)
42 ln
s2 −a2
s2
2
t
(1−coshat) u(t)
43
ln(a)−ln(a+s)
s
(a > 0) Ei(at)
44 arctan
ω
s
1
t
senωt u(t)
45
arccotgs
s
=
arctan 1
s
s
Si(t)
46
arctan a
s
s
Si(at)
47
e
s2
4a2 −e
s2
4a2 erf s
2a
s
erf(at)
48 eas
Γ(as) (a > 0)
1
t +a
u(t)
Onde:
γ é a constante de Euler-Mascheroni20 definida como:
γ = lim
n→∞
n
∑
i=1
1
i
−lnn 0,577215664901532860606512090082402431042159335939923598805767.
Si(x) é o seno integral definido como:
Si(x) =
Z x
0
sent
t
dt =
Z x
0
sinct dt.
Ei(x) é a exponencial integral definida como:
Ei(t) =
Z ∞
x
e−t
t
dt.
J0(x) é a função de Bessel21 de primeira espécie de ordem zero definida como:
J0(x) =
∞
∑
m=0
(−1)mx2m
22m(m!)2
.
Y0(x) é a função de Bessel de segunda espécie de ordem zero ou função Neumann de segunda espécie de ordem zero
definida como:
Y0(x) =
2
π
J0(x) ln
x
2
+γ +
∞
∑
m=1
(−1)m−1hm
22m(m!)2
,
20Lorenzo Mascheroni (1750-1800).
21Friedrich Bessel (1784-1846).

onde hm é definido por:
hm = 1+
1
2
+
1
3
+···+
1
m
=
m
∑
i=1
1
i
.
erf(x) é a função erro definida como:
erf(x) =
2
√
π
Z t
0
e−t2
dt
e erf(x → ∞) = 1.
Γ(x) é a função gama, as vezes chamada de função fatorial, definida como (ver Seção 1.1 na página 1):
Γ(x) =
Z ∞
0
e−t
tx−1
dt para x > 0.
Vale, ainda, lembrar que:
e 2,718281828459045235360287471352662497757247093699959574966968
π 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974945
1.3 Transformada Inversa de Laplace
A Transformada Inversa de Laplace, ou Antitransformada de Laplace, pode ser definida como:
y(t) = L −1
{Y(s)} =
1
2π
I
C
Y(s)est
ds
onde o símbolo
H
C representa uma integral de linha calculada sobre o percurso C que, por sua vez, deve ser fechado e não pode
conter singularidades. No entanto, o cálculo através desta fórmula é bastante complexo. Geralmente, o interesse recai em obter
a transformada inversa de uma função Y(s), que originalmente foi expressa no tempo e posteriormente transformada para s onde
foi modificada (um sinal do tempo modificado por um sistema gerando um novo sinal: o sinal de saída). Assim, na prática é usada
uma forma alternativa de definir a Transformada Inversa de Laplace simplesmente como a operação inversa da transformada:
y(t) = L −1
{Y(s)} .
Se for possível obter, em uma tabela de Transformadas de Laplace, uma função de t que, uma vez transformada para s, seja
igual a função a qual se deseja a transformada inversa, o trabalho é imediato. Evidentemente, a propriedade de linearidade 22 da
Transformada de Laplace ajuda muito; através de um pequeno trabalho algébrico é fácil de converter a função desejada para a
forma que ela se apresenta na tabela.
A maioria das funções do tempo t, quando transformadas para freqüência complexa s através da aplicação da Trans-
formada de Laplace, se apresenta na forma de uma fração de dois polinômios (uma função racional). Além disso, a maioria
dos sistemas são descritos por equações diferenciais que, quando Transformadas para s se tornam polinômios ou quocientes de
polinômios. Por isso, nos casos que mais há interesse prático, pode-se escrever uma função de s como:
Y(s) =
G(s)
H(s)
(1.17)
onde G(s) e H(s) são ambos polinômios de s.
Para calcular transformada inversa com o uso de tabelas é necessário dividir (ou particionar)Y(s) em uma representação de
tal forma que cada termo possua sua transformada inversa já tabelada. Uma técnica que se mostra muito útil é a “Decomposição
em Frações Parciais” que consiste em transformar Y(s) em uma soma de funções, estas facilmente transformáveis. Usando
as propriedades de linearidade e superposição fica fácil calcular a transformada inversa. Há apenas cinco casos de interesse,
classificados pelas raízes do polinômio H(s), chamadas de pólos de Y(s) e representadas pela letra p. Como são só cinco casos,
a trabalho de buscar na tabela pode ser feito a priori, assim não há a necessidade repetir a busca para cada cálculo: obtém-se uma
equação que já é função do tempo para cada um dos cinco casos. Desta forma, o trabalho de calcular a transformada inversa se
resume em identificar o caso e calcular alguns parâmetros constantes para, então, substituí-los nas equações respectivas de cada
caso.
1.3.1 Decomposição em Frações Parciais
A idéia básica consiste representar Y(s) como a soma de várias frações simples. Caso Y(s) seja uma função racional própria, isso
é, caso o grau do numerador G(s) seja menor que o grau do denominador H(s), é possível representar Y(s) como uma soma de
frações. Caso o grau do numerador G(s) seja maior ou igual ao grau do denominador H(s) será necessário dividir G(s) por H(s)
para o obter um polinômio (o resultado ou quociente da divisão) e uma fração de polinômios (o resto da divisão dividido pelo
denominador). Esta fração será uma função racional própria e, portanto, poderá ser representada como a soma de várias frações.
22Que é na verdade um teorema e está intimamente ligado com a propriedade da linearidade e superposição de sistemas.

Exemplo 19:
Y(s) =
s5 +6s4 −8s3 −65s2 +7s+56
s3 +2s2 −11s−12
= s2
+4s−5+
s2 −4
s3 +2s2 −11s−12
= s2
+4s−5+
s2
−4
(s+1)(s−3)(s+4)
= s2
+4s−5+
1
4(s+1)
+
5
28(s−3)
+
4
7(s+4)
Primeiro divide-se o numerador pelo denominador (divisão de polinômios); em seguida fatora-se o denominador; e depois
expande-se a função racional (o resto da divisão dividido pelo denominador) em frações parciais.
Nos casos práticos que interessam para Modelamento de Sistemas Dinâmicos, Processamento de Sinais e Controle Automático,
o grau do numerador H(s) é sempre menor ou máximo igual ao grau do denominador G(s). Isso decorre do fato que os sistemas
modelados são causais, isso é, obedecem a lei de causa e efeito que diz que o efeito nunca pode preceder a sua causa. Com efeito,
o sistema modelado não pode se antecipar o valor da saída sem o conhecimento prévio da entrada. Quando o do numerador de
Y(s) é maior que o denominador, não possível determinar diretamente o valor de y(t), mas é possível determinar o valor de sua
integral (pode ser a integral da integral de y(t)).
Exemplo 20:
Y(s) =
s5 +6s4 −8s3 −65s2 +7s+56
s3 +2s2 −11s−12
Y(s)
s2
=
s5 +6s4 −8s3 −65s2 +7s+56
s2 (s3 +2s2 −11s−12)
=
s5 +6s4 −8s3 −65s2 +7s+56
s5 +2s4 −11s3 −12s2
=
s5 +6s4 −8s3 −65s2 +7s+56
s2(s+1)(s−3)(s+4)
= 1+
133
36s
−
14
3s2
+
1
4(s+1)
+
5
252(s−3)
+
1
28(s+4)
É fácil encontrar a transformada inversa de cada um dos termos do lado direito da equação acima na Tabela 1.1 na página 6.
Já o lado direito que vale Y(s)/s2 não corresponde a transformada de y(t), mas pela aplicação do teorema 8 é fácil verificar
que corresponde a integral da integral de y(t) no intervalo de 0 a infinito. Assim, usando as formulas 1, 3, 4 e 8 bem como
a equação (1.14) obtém-se:
Z t
0
Z t
0
y(t)dt = δ(t)+
133
36
u(t)−
14
2
t +
1
4
et
+
5
252
e−3t
+
1
28
e4t
que se for derivada duas vezes fornece o valor de y(t) o que é complicado por que implica na derivação da função delta de
Dirac.
A seguir, o método apresentado é sistematizado. Note que é necessário normalizar o denominador G(s) de Y(s) antes de tentar
aplicar o método dado. Assim, para calcular a transformada inversa de
Y(s) =
2nπT
T2s2 +(2nπ)2
é necessário reescrever a equação de forma que o termo da mais alta ordem do denominador apareça com coeficiente unitário.
Para isso, divide-se cada termo do numerador e do denominador por coeficiente do termo de mais alta ordem do denominador,
no exemplo, T 2 obtendo:
Y(s) =
2nπ
T
s2 +(2nπ
T )2
.
Caso I: Fator (s− p) não repetido.
Neste caso um pólo particular p só aparece uma única vez em H(s); muito embora H(s) possa ter muitos pólos, desde que com
valores diferentes deste pólo p específico. Pode-se escrever Y(s) como:
Y(s) =
G(s)
H(s)
=
A
s− p
+W(s) (1.18)

onde W(s) é o que sobra de Y(s) depois de retirado o fator (s− p). Neste caso, a Transformada Inversa de Laplace é:
L −1
{Y(s)} = Aept
+L −1
{W(s)} (1.19)
onde A é dado por uma das duas expressões:
A = Qp(s)|s=p ou (1.20)
A =
G(s)
H (s) s=p
(1.21)
onde Qp(s) é a função que resta após a remoção do fator (s− p) de H(s) em Y(s), isso é:
Qp(s) =
(s− p)G(s)
H(s)
(1.22)
onde o índice inferior de Qp evidencia o fato dele depender de um valor específico de p e se modificar quando se muda de um
valor particular de p para outro (passando de um fator linear a outro). A equação ( 1.21) é conhecida como fórmula de Heaviside.
Exemplo 21: determine a transformada inversa de
Y(s) =
G(s)
H(s)
=
s+1
s3 +s2 −6s
=
s+1
s(s−2)(s+3)
.
O denominador possui três fatores lineares distintos (e portanto não repetidos), s, (s−2) e (s+3) correspondentes às raízes
do denominador p1 = 0, p2 = 2 e p3 = −3. Assim, pela equação (1.18):
Y(s) =
s+1
s(s−2)(s+3)
=
A1
s
+
A2
s−2
+
A3
s+3
e G(s) = s+1, H (s) = 3s2
+2s−6, empregando (1.21) para cada um dos pólos, obtém-se:
A1 =
G(0)
H (0)
= −
1
6
, A2 =
G(2)
H (2)
=
3
10
, A3 =
G(−3)
H (−3)
= −
2
15
.
Daí, de (1.19) decorre que a transformada inversa é:
L −1
{Y(s)} = −
1
6
+
3
10
e2t
−
2
15
e−3t
Caso II: Fator (s− p)m repetido m vezes.
Neste caso
Y(s) =
G(s)
H(s)
=
Am
(s− p)m
+
Am−1
(s− p)m−1
+
Am−2
(s− p)m−2
+···+
A1
(s− p)
+W(s) (1.23)
e a transformada inversa é
L −1
{Y(s)} = ept
Am
tm−1
(m−1)!
+Am−1
tm−2
(m−2)!
+···+A2
t
1!
+A1 +L −1
{W(s)} (1.24)
onde as constantes A1, A2, ..., Am são dadas por:
Am = Qp(s)|s=p , Ak =
1
(m−k)!
dm−kQp(s)
dsm−k
s=p
(k = m−1, ..., 2, 1) (1.25)
e, no caso,
Qp(s) =
(s− p)mG(s)
H(s)
. (1.26)
Note que é necessário derivar Qp(s) em relação à s um número a menos de vezes que o fator relativo ao pólo p é repetido, ou
seja, m−1 vezes.
Obs: os casos I e II incluem tanto números p reais quanto complexos; entretanto, quando p é complexo são preferíveis outras
fórmulas (casos III, IV e V) por razões práticas (fica mais simples). Além disso, como as funções do tempo devem ser
reais (sinais reais) então o uso dos casos I e II, tão somente, leva à funções complexas do tempo quando os pólos p são
complexos. Estas funções devem ser simplificas para se obter funções reais o que demanda um trabalho algébrico penoso.

Exemplo 22: calcule a Transformada Inversa de Laplace de:
Y(s) =
G(s)
H(s)
=
s
(s−1)3
que possui três pólos em 1. Portanto, há um único fator relativo ao pólo p = 1 repetido três vezes, assim, aplicando ( 1.23),
a transformada inversa ﬁca:
Y(s) =
A3
s3
+
A2
s2
+
A1
s
.
Para determinar as constantes A1 e , A2 e A3 nas frações parciais correspondentes ao pólo p = 1 calcula-se Q p=1(s) pela
equação (1.26):
Qp=1(s) =
(s−1)3
s
(s−1)3
= s .
Com m = 3 na equação (1.25) tem-se:
A3 = Qp=1(s)
s=p=1
= s
s=p=1
= 1.
A2 =
1
(1)!
dQp(s)
ds s=p=1
= 1
s=p=1
= 1.
A1 =
1
(2)!
d2Qp(s)
ds2
s=p=1
= 0
s=p=1
= 0.
Aplicando estes valores na equação (1.24) tem-se:
L −1
{Y(s)} = et
A3
t2
(2)!
+A2
t
1!
+A1 = et t2
2
+t .
Exemplo 23: calcule a Transformada Inversa de Laplace de:
Y(s) =
G(s)
H(s)
=
s4 −7s3 +13s2 +4s−12
s2(s−3)(s2 −3s+2)
que possui dois pólos em 0 devido à (s2), um pólo em 3 devido à (s − 3), um pólo em 2 e outro em 1 ambos devidos à
(s2
−3s+2). Portanto, há um único fator p = 0 repetido, assim, aplicando ( 1.23), a transformada inversa ﬁca:
Y(s) =
A2
s2
+
A1
s
+
B
s−3
+
C
s−2
+
D
s−1
.
Primeiro determinam-se as constantes A1 e A2 nas frações parciais correspondentes ao pólo p = 0. Para isso, Q0(s) é
calculado pela equação (1.26):
Q0(s) =
s4 −7s3 +13s2 +4s−12
(s−3)(s2 −3s+2)
=
N(s)
M(s)
.
A2 = Q0(s)|s=0 =
−12
(−3)2
=
−12
−6
= 2 .
Para determinar A1 faz-se k = 1 e m = 2 na equação (1.25) obtendo:
A1 =
1
(2−1)!
d(2−1)Q0(s)
d(2−1)s
s=0
= Q0(s) s=0 .

Calculando Q0(s):
N(s) = s4
−7s3
+13s2
+4s−12
N (s) = 4s3
−21s2
+26s+4
M(s) = (s−3)(s2
−3s+2)
M (s) = (s2
−3s+2)+(s−3)(2s−3)
Q0(s) =
N (s)M(s)−N(s)M (s)
M2(s)
N(s)|s=0 = −12
N (s) s=0
= 4
M(s)|s=0 = (−3)·2 = −6
M (s) s=0
= 2+(−3)·(−3) = 11
A1 = Q0(s) s=0
=
4·(−6)−(−12)·11
62
= 3
Para outros termos (Caso I) simplesmente aplicam-se as equações (1.20) e (1.22) obtendo:
B =
G(s)
s2(s2 −3s+2) s=3
=
1
2
C =
G(s)
s2(s−3)(s−1) s=2
= −2
D =
G(s)
s2(s−3)(s−2) s=1
= −
1
2
As equações (1.19) e (1.24) levam à transformada inversa:
L −1
{Y(s)} = 2
t
(2−1)!
+3
1
(2−2)!
+
1
2
e3t
−2e2t
−
1
2
et
= 2t +3+
1
2
e3t
−2e2t
−
1
2
et
.
Caso III: Fator complexo (s− p)(s− p) não repetido.
O complexo conjugado p de um número complexo p que possui parte real α e parte imaginária β é deﬁnido como:
p = α+ jβ
p = α− jβ.
Note que α e β são números reais. Assim, se p é uma raiz complexa de H(s) e H(s) só possui coeﬁcientes reais, p também é
uma raiz de H(s). Pode-se, então, escrever a fração parcial de p e p explicitamente. Para isso, é bom observar que:
(s− p)(s− p) = (s−α− jβ)(s−α+ jβ)
= s2
−sα+s jβ−αs+α2
−α jβ− jβs+ jβα+β2
= (s−α)2
+β2
.
Assim, tem-se que
Y(s) =
G(s)
H(s)
=
As+B
(s−α)2 +β2
+W(s)
onde A e B são reais. A transformada inversa é:
L −1
{Y(s)} =
1
β
eαt
(Tp cosβt +Sp senβt)+L −1
{W(s)} (1.27)
onde Sp e Tp são, respectivamente, as partes reais e imaginárias de Rp dado por:
Qp(s) =
(s−α)2 +β2 G(s)
H(s)
=
(s− p)(s− p)G(s)
H(s)
(1.28)
Sp = Re Qp(s)|s=p
Tp = Im Qp(s)|s=p
Exemplo 24: calcule a transformada inversa de
Y(s) =
G(s)
H(s)
=
2s
s2 +2s+5

que possui as raízes p = α+ jβ = −1+2j e p = α− jβ = −1−2j de modo que α = −1 e β = 2. Pode-se escrever Y(s)
como:
Y(s) =
2s
(s+1)2 +22
Além disso, de (1.28) tem-se:
Q−1+2 j(s) = 2s, Q−1+2 j(−1+2 j) = −2+4 j = S−1+2 j + jT−1+2 j
logo
S−1+2 j = −2
T−1+2 j = 4
aplicando α, β, S−1+2 j e T−1+2 j em (1.27)
L −1
{Y(s)} =
1
2
e−t
(4cos2t −2sen2t) = e−t
(2cos2t −sen2t)
Caso IV: Fator complexo (s− p)2(s− p)2 repetido (duplo).
Escrevendo as frações parciais que correspondem a (s− p)2 e (s− p)2 de maneira explícita, obtém-se:
Y(s) =
G(s)
H(s)
=
As+B
((s−α)2 +β2)2
+
Cs+D
(s−α)2 +β2
+W(s)
onde A, B, C e D são números reais. A transformada inversa é dada por:
L −1
{Y(s)} =
1
2β3
eαt
Tp −βSp −βSp t cosβt + Sp +βTp +βTp t senβt +L −1
{W(s)} (1.29)
onde Sp, Tp, Sp e Tp são, respectivamente, as partes reais e imaginárias de Qp e de sua derivada dados por:
Qp(s) =
(s−α)2
+β2 2
G(s)
H(s)
=
((s− p)(s− p))2
G(s)
H(s)
(1.30)
Sp = Re Qp(s)|s=p
Tp = Im Qp(s)|s=p
Sp = Re
dQp(s)
ds s=p
Tp = Im
dQp(s)
ds s=p
Exemplo 25: resolva o problema do valor inicial:
y +ω2
y = K cosωt y(0) = 0, y (0) = 0.
Aplicando a Transformada de Laplace, vem
s2
Y(s)+ω2
Y(s) = K
s
s2 +ω2
cuja solução é:
Y(s) = K
s
(s2 +ω2)2
O denominador possui raízes duplas p = α+ jβ = jω e p = α− jβ = −jω, isso é α = 0 e β = ω, assim:
Qjω(s) = Ks, Qjω(jω) = jKω, Sjω = 0, Tjω = Kω,
dQjω(s)
ds
= K, Sjω = K, Tjω = 0
e (1.29) fornece a solução:
y(t) = L −1
{Y(s)} =
1
2ω3
e0t
((Kω−ωK −ω0t)cosωt +(0+ω0+ωKωt)senωt)
=
ω2Kt senωt
2ω3
=
Kt senωt
2ω

Caso V: Fator complexo (s− p)m(s− p)m repetido m vezes.
Escrevendo de maneira explícita as frações parciais que correspondem a (s− p) m e (s− p)m, obtém-se:
Y(s) =
G(s)
H(s)
=
m
∑
k=1
Ak
(s− p)k
+
Bk
(s− p)k
+W(s) .
A transformada inversa é:
L −1
{Y(s)} = 2eαt
m
∑
k=1
tk−1
(k −1)!(m−k)!
Q(m−k)
Re cosβt −Q(m−k)
Im senβt +L −1
{W(s)} (1.31)
onde Q(m−k)
Re e Q(m−k)
Im são, respectivamente, as partes real e imaginária de
Qp(s)(m−k)
s=p
=
dm−kQp(s)
dsm−k
s=p
, Qp(p)(0)
= Qp(s)|s=p (1.32)
e
Qp(s) =
(s− p)mG(s)
H(s)
(1.33)
Note que a equação (1.33) só retira m pólos do denominador e não os complexos conjugados dos m pólos.
Y(s) =
1
(s2 +ω2)3
que possui raízes triplas em p = jω e p = −jω. Aplicando (1.33), tem-se:
Qjω(s) =
(s− jω)3
(s2 +ω2)3
=
(s− jω)3
((s− jω)(s+ jω))3
=
1
(s+ jω)3
Qjω(s) = −
3
(s+ jω)4
Qjω(s) =
12
(s+ jω)5
fazendo s = jω tem-se:
Qjω(s = jω) =
j
8ω3
Qjω(s = jω) = −
3
16ω4
Qjω(s = jω) = −
3 j
8ω5
aplicando em (1.31), fornece a solução:
L −1
{Y(s)} = 2e0·t t0
(1−1)!(3−1)!
0cosωt − −
3
8ω5
senωt +
t1
(2−1)!(3−2)!
−
3
16ω4
cosωt −0senωt +
t2
(3−1)!(3−3)!
0cosωt −
1
8ω3
senωt
=
1
8ω3
3
ω2
senωt −
3
ω
t cosωt −t2
senωt
1.3.2 Transformada Inversa Envolvendo Deslocamento no Tempo
Em muitos casos, aparecem termos em eas, onde a é uma constante, na função de s que se deseja determinar a transformada
inversa. Estes termos estão atrasados (ou adiantados) no tempo em relação a referência t = 0. O tratamento destes casos é trivial
e decorre do teorema 2 (ver página 10): basta calcular a transformada inversa da forma habitual desprezando o fator e as e em
seguida substituir t por t + a na expressão obtida (relativa aos termos multiplicados por e as apenas) multiplicada por u(t) (ou
u(t +a) após a substituição).

Y(s) =
3−2e−6s
s2 +s
que possui um pólo em zero e outro em −1. Pode-se reescrever Y(s) como:
Y(s) =
3
s2 +s
−e−6s 2
s2 +s
=
3
s(s+1)
−e−6s 2
s(s+1)
.
A transformada inversa do primeiro termo é simples de se calcular empregando
o Caso I duas vezes o que resulta em 3(1−e−t). A transformada inversa do
segundo termo é igual ao do primeiro se t for substituído por t −6 e a expressão
resultante for multiplicada por 2/3 u(t −6) para ajustar a amplitude e anular a
função para t < 6. Assim:
y(t) = 3 1−e−t
−2 1−e−t+6
u(t −6).
O resultado é ilustrado ao lado.
1
3
0 2 4 6 8 10 12
y(t)
t
1.3.3 Exercícios
1. Determine g(t) se L {g(t)} vale:
(a)
3s−2
s2 −s
(b)
1
(s−a)(s−b)
(c)
s2 +9s−9
s3 −9s
(d)
6
(s2 −1)(s2 −4)
(e)
11s−14
s3 −s2 −4s+4
(f)
s−2
s2 +1
(g)
4s+4
s2 +16
(h)
s
s2 +2s+2
(i)
4−2s
s3 +4s
(j)
3s2
−2s−1
(s−3)(s2 +1)
(k)
s
(s+1)2
(l)
s2 −4s
(s−2)3
(m)
s3 +6s2 +14s
(s+2)4
(n)
s2 +1
s(s+1)2
(o)
2s2 −3s
(s−2)(s−1)2
(p)
3(s3 −s+3)
(s−1)2(s+2)2
(q)
s2 +2s
(s2 +2s+2)2
(r)
1−s
(s2 −2s+2)2
(s)
s2 −6s+7
(s2 −4s+5)2
(t)
3s2 −6s+7
(s2 −2s+5)2
(u)
s3 −3s2 +6s−4
(s2 −2s+2)2
(v)
1−e−s
s2 +s
(w)
se−ϕs
s2 +ω2
(x)
ωeπs −se−ϕs
s2 +ω2
(y) 1−e−s
2. Empregando a Transformada de Laplace resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) y −y = 1, y(0) = 1, y (0) = 2
(b) y −3y +2y = e−t, y(0) = 3, y (0) = 3
(c) y +2y −3y = 10senh2t, y(0) = 0, y (0) = 4
(d) y +4y = 4(cos2t −sen2t), y(0) = 1, y (0) = 3
(e) y +2y −y +y+2 = −2sen4t, y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = −1
3. Mostre que
(a) L −1 s3
s4 +4a4
= coshat cost
(b) L −1 s
s4 +4a4
=
1
2a2
senhat sent
(c) L −1 s2
s4 +4a4
=
1
2a
(coshat senat +senhat cosat)

4. Analise as equações (1.19), (1.24), (1.27), (1.29) e (1.31) e explique qual a condição necessária para que um sistema
excitado por um sinal específico apresente oscilação na saída.
5. O fato de um sistema apresentar na saída um sinal oscilatório está ligado diretamente ao sinal de entrada ou alguma
característica do sistema pode gerar este sinal oscilatório mesmo que a entrada não seja oscilatória?
6. Um sistema é dito estável se, para uma entrada limitada (que não tende a infinito) ele apresentar uma saída limitada.
Analise as equações (1.19), (1.24), (1.27), (1.29) e (1.31) e explique qual a condição necessária e suficiente para que um
sistema excitado por um sinal limitado seja considerado estável.
7. Determine os sinais de saída dos sistemas abaixo. Considere que quando aparecem mais de um componente do mesmo
tipo no mesmo circuito todos tem valores iguais.
v0(t)
R
v0(t)
R
L
C
v0(t)
R
v0(t)
v0(t)
RL
v0(t)
R
L
R
vi(t) = VMAX senωt
vi(t) = VMAX cosωt
L
C Cvi(t) = VMAX senωt
vi(t) = VMAX senωt
t
1 2
1 A
ii(t)
v0(t)
R
t
1 2
vi(t)
vi(t)
1 V
t
1 2
1 A
ii(t)
v0(t)
R
L
t
1 2
vi(t)
vi(t)
1 V
C
L
ii(t)
ii(t)
C
C
1.3.4 Causalidade e Região de Convergência
Na Seção 1.2.3 é usado o “Teorema da Extensão Analítica” para diminuir a importância da região de convergência da integral na
existência da Transformada de Laplace. Contudo, a extensão da região de existência da Transformada de Laplace de uma função
para além dos limites da região de convergência da integral, tem implicações sobre a causalidade da função. Isso tem relação
direta com o uso da transformada unilateral porque os sistemas físicos sob análise são, via de regra, causais e a dinâmica do
sistema é desprezada quando t < 0 (análise transitória). Apenas a energia inicial é considerada (problema do valor de contorno e
valor inicial).
Para compreender melhor esta relação, considere as duas funções g(t) e h(t) dadas por:
g(t) =
⎧
⎨
⎩
eat
se t ≥ 0
0 se t < 0
h(t) =
⎧
⎨
⎩
0 se t ≥ 0
−eat se t < 0
,

que podem ser escritas como:
g(t) = eat
u(t)
h(t) = −eat
u(−t)
e que são representadas abaixo.
0000
0000
00000000
00000000
0000
1111
111111111111
11111111
1111
0000000
00000000000000
00000000000000
0000000
0000000
111111111111111111111
11111111111111
1111111
1111111
g(t) = eat u(t) h(t) = −eat u(−t)
t t
Im(s)
Re(s)
Região de Convegêcia de h(t) = −eat u(−t)
Região de Convegêcia de g(t) = eat u(t)
Plano s
a
A transformada bilateral destas funções valem:
G(s) =
Z +∞
−∞
g(t)e−st
dt =
Z +∞
−∞
eat
u(t)e−st
dt =
Z +∞
0
e−(s−a)t
dt =
−1
s−a
e−(s−a)t
+∞
0
=
1
s−a
se Re(s−a) > 0 o que equivale à Re(s) > Re(a). Para h(t), tem-se:
H(s) =
Z +∞
−∞
h(t)e−st
dt =
Z +∞
−∞
−eat
u(−t)e−st
dt =
Z 0
−∞
−e−(s−a)t
dt =
1
s−a
e−(s−a)t
0
−∞
=
1
s−a
se Re(s−a) < 0 o que equivale à Re(s) < Re(a).
As duas funções, notadamente diferentes, têm a mesma transformada bilateral, porém regiões de convergência diferentes.
Não é possível que duas funções diferentes tenham a mesma Transformada de Laplace e com região de convergência iguais. Nem
mesmo é possível que as regiões de convergência tenham algum ponto comum se as funções forem diferentes.
A união das duas regiões de convergência cobre quase todo o plano complexo (com exceção da reta s = Re(a) paralela
ao eixo imaginário). Empregar o “Teorema da Extensão Analítica” implica em desprezar uma segunda solução, ou ainda mais
soluções, para a transformada inversa de cada função.
Suponha, então, que seja necessário calcular a transformada inversa de 1
s−a . Há duas respostas diferentes para cobrir todo
o plano complexo (com exceção de uma região singular). Se 1
s−a é a resposta ao impulso unitário de um sistema físico, as duas
respostas aparecem antes e depois da aplicação do impulso, respectivamente. A primeira resposta, e at u(t), é nula para t < 0 e
após a aplicação do impulso (aplicado em t = 0) ela é não-nula. Esta resposta, respeita a lei de causa-efeito: o efeito surge após
a causa. A segunda resposta, −eat u(−t), não é nula para t < 0 e não respeita a lei de causa-efeito: o efeito (saída) precede sua
causa (o impulso aplicado em t = 0).
Se o sistema for sabidamente causal, e os sistemas físicos realmente são causais, pode-se desprezar a segunda resposta o
que equivale a estender a região de convergência de g(t) para todo o plano complexo. O uso da transformada unilateral também
justiﬁca esta simpliﬁcação porque a função transformada de volta para o tempo deve ser nula para t < 0 e uma função não-causal
(como h(t) do exemplo) não o é. Esta é a verdadeira gênese do “Teorema da Extensão Analítica”.

Referências Bibliográﬁcas
[1] KREYSZIG, Erwin. Matemática superior, v1, Rio de Janeiro : LTC, 1984.
[2] SPIEGEL, Murray R. Transformada de Laplace : resumo da teoria, 263 problemas resolvidos, 614 problemas propostos, São
Paulo : McGraw-Hill, 1976.
[3] SPIEGEL, Murray R. Manual de fórmulas e tabelas matemáticas, São Paulo : McGraw-Hill, 1973.
[4] BRIGHAM, E. Oran. The fast Fourie transform, Englewood Cliffs : Prentice-Hall, 1974.
[5] HAYKIN, Simon; VEEN, Barry Van. Sinais e sistemas, Porto Alegre : Bookman, 2001.
[6] SMITH, Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, disponível em
http://www.dspguide.com/, San Diego : California Technical Publishing, 1997.
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