3. 1. viikko
Kurssin perustiedot
Opettaja: DI Vesa Linja-aho, etunimi.sukunimi@metropolia.fi
Tunnit ma klo 11.00-13.45 (luentopainotteinen) ja to 10.00–11.45
(harjoituspainotteinen), luokka P506
Suorittaminen: Loppukoe, johon saa hyvitystä harjoitustehtävistä. Koe
on ti 18.10.2011 klo 10.00–13.00.
Kurssilla ei ole ”pakollista” oppikirjaa, mutta halukkaat voivat ostaa
(tai lainata) itseopiskelua varten kirjan: Kimmo Silvonen:
Sähkötekniikka ja piiriteoria.
◮ Kirjan hinta (tarkistettu 6.9.2011) 29,20 €1 – 44,20 €2
◮ Kirjasta opiskellaan tällä kurssilla luku 1.
◮ Kirjaa on saatavilla myös Metropolian, kaupungin ja TKK:n kirjastosta.
◮ Kirja kelpaa oppikirjaksi myös kurssille Vaihtosähköpiirien perusteet
(syksy 2011).
Kaikista muutoksista tiedotetaan Tuubi-portaalissa!
1
http://www.adlibris.com
2
http://www.suomalainen.com
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 3 / 123
4. 1. viikko
Harjoitustehtävät
Joka viikolla annetaan viisi harjoitustehtävää.
Torstain tunnit on varattu tehtävien ohjattua laskemista varten.
Tehtävien laskemisesta saa bonusta kokeeseen: jos lasket yli 50 %
tehtävistä, saat jättää yhden tehtävän kokeessa tekemättä. Jos lasket
yli 80 % tehtävistä, saat jättää kaksi tehtävää tekemättä.
Aikaa tehtäväsarjojen laskemiseen on kaksi viikkoa. Esimerkiksi
ensimmäisen viikon tehtävät on oltava laskettuna toisen viikon
torstaina (sen jälkeen niistä ei saa enää bonuspisteitä).
Lasketut tehtävät näytetään opettajalle, joka kirjaa suoritukset
listaan.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 4 / 123
5. 1. viikko
Kurssin oppimistavoitteet
Opinto-oppaasta:
Tavoitteet
Kyky yksinkertaisten lineaaristen tasasähköpiirien laskemiseen peruslakeja
hyödyntäen ja kyky riippumattomia lähteitä sisältävien verkkojen analysointiin.
Tasavirtapiirien analysoinnin ja laskemisen perusteet ja eri sähkösuureiden
laskeminen. Opittu on jatkossa tärkeänä pohjana käsiteltäessä vaihtosähköpiirejä.
Kyky ymmärtää ja laskea myös laskukoneella perustasasähköpiirejä. Kyky lukea ja
analysoida piirikaavioita sekä kyky ymmärtää virtojen että jännitteiden suunnat ja
näiden merkitys.
Sisältö
Perussuureet, yksiköt ja virtapiirin osat. Ohmin laki, sähköteho, Kirchoffin jännite-
ja virtalait, sarja- ja rinnakkaispiirit, Theveninin ja Nortonin teoreemat.
Laskuesimerkit ja laskuharjoitukset myös kerrostamismenetelmän avulla.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 5 / 123
6. 1. viikko
Alustava viikkoaikataulu
1 Sähkötekniikan perussuureet ja yksiköt. Jännitelähde, virtalähde ja
vastus. Kirchhoffin lait ja Ohmin laki. Sarjaan- ja rinnankytkentä.
2 Sähköteho. (Maa)solmu. Solmujännitemenetelmä.
3 Konduktanssi. Solmujännitemenetelmän harjoittelua.
4 Lähdemuunnos. Théveninin ja Nortonin teoreemat.
5 Kerrostamismenetelmä.
6 Jännitteenjako- ja virranjakosäännöt. Ohjatut lähteet. Kela ja
kondensaattori tasasähköpiirissä.
7 Kertaus.
8 Koe.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 6 / 123
7. 1. viikko
Kurssi muodostaa pohjan sähkötekniikan opiskelulle
Kurssin tietoja tarvitaan kursseilla Vaihtosähköpiirien perusteet,
Mittaustekniikka ja sähköturvallisuus, Autosähkötekniikka,
Autosähkölaboraatiot, Elektroniikan perusteet 1 & 2 . . .
Tärkeää!
Opiskelemalla tämän kurssin asiat kunnolla helpotat omaa työtäsi
jatkossa!
Tasasähkötekniikan perusteiden osaaminen on autosähköinsinöörille yhtä
tärkeää kuin kirjanpidon perusteiden osaaminen tilintarkastajalle,
lujuusopin perusteiden osaaminen sillanrakennusinsinöörille jne.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 7 / 123
8. 1. viikko
Mitä kurssilla ei käsitellä
Tällä kurssilla ei käsitellä sähkön fysikaalista olemusta. Kysymykseen "mitä
sähkö on?"perehdytään kursseilla Pyörimisliike ja sähkömagnetismi sekä
Sähkömagneettinen induktio ja värähtelyt.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 8 / 123
9. 1. viikko
Opiskelusta
Oppitunneilla tarjotaan mahdollisuus oppia - oppiminen on kuitenkin
sinusta itsestäsi kiinni.
Enemmän vastuuta itsellä kuin ammattikoulussa ja lukiossa.
1 op ≈ 26,7 tuntia työtä. 3 op = 80 tuntia työtä. Tästä lähiopetusta
on 39 tuntia.
Eli opiskelua oletetaan tapahtuvan myös omalla ajalla!
Tämä kalvosarja sopii hyvin asioiden kertaamiseen. Jos joudut
olemaan paljon pois tunneilta, itseopiskelua varten kannattaa ostaa
Silvosen kirja.
Jos tunneilla edetään liian nopeasti tai liian hitaasti, sanokaa siitä
(joko tunnilla tai kahden kesken [esim. sähköpostitse])!
Kyselkää paljon, myös tyhmiä kysymyksiä.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 9 / 123
10. 1. viikko
Mikä on vaikeaa ja mikä helppoa?
Eri asiat ovat helppoja eri ihmisille. Oma kokemukseni on kuitenkin, että
Tasavirtapiirianalyysi on helppoa, koska siinä pärjää
perusmatematiikalla.
Tasavirtapiirianalyysi on vaikeaa, koska virtapiirit eivät ole samalla
tavalla intuitiivisia kuin mekaaniset järjestelmät.
Matematiikan opiskelu on tärkeää jatkon kannalta — vaihtosähköpiirien
analysoinnissa on tärkeää, että osaat laskea kompleksiluvuilla.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 10 / 123
11. 1. viikko
Sähkövirta
Sähkövirta on varauksenkuljettajien liikettä.
Yksikkö on ampeeri (A).
Suureen lyhenne on I.
Sähkövirtaa voidaan verrata letkussa kulkevaan veteen.
Virta kiertää aina jossain silmukassa (se ei puristu kasaan eikä häviä
olemattomiin).
Virtapiirissä virta merkitään nuolella johtimeen:
-
I = 2 mA
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 11 / 123
12. 1. viikko
Kirchhoffin virtalaki
Kuten edellä todettiin, sähkövirta ei häviä mihinkään.
Kirchhoffin virtalaki (myös: Kirchhoffin ensimmäinen laki)
Virtapiirin jollekin alueelle tulevien virtojen summa on yhtä suuri kuin
sieltä lähtevien virtojen summa.
I3 = 1 mA
6
- -
I1 = 3 mA I2 = 2 mA
Piirsitpä ympyrän mihin tahansa kohtaan piiriä, ympyrän sisään menee
yhtä paljon virtaa kuin mitä tulee sieltä ulos!
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 12 / 123
13. 1. viikko
Ole tarkka etumerkkien kanssa!
Voidaan sanoa: "pankkitilin saldo on -50 euroa"tai "olen 50 euroa
velkaa pankille".
Voidaan sanoa: "Yrityksen tilikauden tulos oli -500000 euroa"tai
"firma teki tappiota 500000 euroa".
Jos mittaat johtimen virtaa virtamittarilla ja se näyttää −15 mA, niin
kääntämällä mittarin toisin päin se näyttää 15 mA.
Aivan samalla tavalla voidaan virran suunta ilmoittaa etumerkillä. Alla
on kaksi täysin samanlaista piiriä.
I3 = 1 mA I3 = 1 mA
6 6
- -
I1 = 3 mA I2 = 2 mA Ia = −3 mA Ib = −2 mA
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 13 / 123
14. 1. viikko
Jännite
Jännite on kahden pisteen välinen potentiaaliero.
Suureen lyhenne on U.
Virtapiirianalyysissä ei oteta kantaa siihen, miten potentiaaliero on
luotu.
Jännitteen yksikkö on voltti (V).
Jännitettä voi verrata paine-eroon putkessa tai korkeuseroon.
Jännitettä merkitään pisteiden välille piirretyllä nuolella.
+
12 V U = 12 V
− c
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 14 / 123
15. 1. viikko
Kirchhoffin jännitelaki
Kahden pisteen välillä vaikuttaa sama jännite tarkastelureitistä
riippumatta.
Tämä on helpoin hahmottaa rinnastamalla jännite korkeuseroihin.
Kirchhoffin jännitelaki (myös: Kirchhoffin toinen laki)
Silmukan jännitteiden summa on etumerkit huomioon ottaen nolla.
r'
4,5 V r
− − −
+ + +
1,5 V 1,5 V 1,5 V
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 15 / 123
16. 1. viikko
Ohmin laki
Mitä suurempi virta, sitä suurempi jännite – ja päinvastoin.
Resistanssilla tarkoitetaan kappaleen kykyä vastustaa sähkövirran
kulkua. Resistanssi on jännitteen ja virran suhde.
Resistanssin tunnus on R ja yksikkö ohmi ( Ω).
U = RI
U E
-
I R
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 16 / 123
17. 1. viikko
Käsitteitä
Virtapiiri Elektronisista komponenteista koostuva järjestelmä, jossa
sähkövirta kulkee.
Tasasähkö Sähköiset suureet (jännite, virta) eivät muutu - tai
muuttuvat vain vähän - ajan kuluessa.
Tasasähköpiiri Virtapiiri, jossa jännitteet ja virrat ovat ajan suhteen
vakioita.
Esimerkki
Taskulampussa on tasasähköpiiri (paristo, kytkin ja polttimo). Polkupyörän
dynamo ja lamppu puolestaan muodostavat vaihtosähköpiirin.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 17 / 123
18. 1. viikko
Vaihtoehtoinen tasasähkön määritelmä
Tasajännitteellä ja -virralla voidaan tarkoittaa myös jännitettä ja virtaa,
jonka suunta (etumerkki) pysyy samana, mutta suuruus voi vaihdella.
Esimerkiksi tavallinen lyijyakkujen laturi tuottaa yleensä nk. sykkivää
tasajännitettä, jonka suuruus vaihtelee välillä 0 V ... ≈ 18 V. Tätäkin
kutsutaan yleensä tasajännitteeksi.
Sopimus
Tällä kurssilla tasajännitteellä (virralla) tarkoitetaan vakiojännitettä
(virtaa). Sekä suunta että suuruus pysyvät ajan suhteen vakiona.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 18 / 123
19. 1. viikko
Yksinkertainen virtapiiri
Akkuun kiinnitetty hehkulamppu. Hehkulangan resistanssi on 10 Ω.
-
I =?
+
12 V d
d
−
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 19 / 123
20. 1. viikko
Yksinkertainen virtapiiri
Akkuun kiinnitetty hehkulamppu. Hehkulangan resistanssi on 10 Ω.
-
+ I =?
12 V 10 Ω
−
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 19 / 123
21. 1. viikko
Yksinkertainen virtapiiri
Akkuun kiinnitetty hehkulamppu. Hehkulangan resistanssi on 10 Ω.
-
+ I =?
12 V 10 Ω 12 V
− c
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 19 / 123
22. 1. viikko
Yksinkertainen virtapiiri
Akkuun kiinnitetty hehkulamppu. Hehkulangan resistanssi on 10 Ω.
-
+ I = 1,2 A
12 V 10 Ω 12 V
− c
U = RI
12 V
I=U =
R 10 Ω = 1,2 A
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 19 / 123
23. 1. viikko
Sarjaankytkentä ja rinnankytkentä
Määritelmä: sarjaankytkentä
Piirielementit ovat sarjassa, jos niiden läpi kulkee sama virta.
Määritelmä: rinnankytkentä
Piirielementit ovat rinnan, jos niiden yli on sama jännite.
Sama tarkoittaa samaa, ei samansuuruista.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 20 / 123
24. 1. viikko
Sarjaankytkentä ja rinnankytkentä
Sarjaankytkentä
- -
I I
Rinnankytkentä
U E
U E
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 21 / 123
25. 1. viikko
Vastusten sarjaankytkentä ja rinnankytkentä
Sarjaankytkentä
⇐⇒
R1 R2 R = R1 + R2
Rinnankytkentä
R2
⇐⇒
1
R= 1
+R1
R1 2
R1
Tai sama kätevämmin konduktansseilla G = G1 + G2 .
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 22 / 123
26. 1. viikko
Vastusten sarjaankytkentä ja rinnankytkentä
Edellisen kalvon kaavat soveltuvat myös mielivaltaisen monelle
vastukselle. Esimerkiksi viiden resistanssin sarjaankytkennän
resistanssi on R = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 .
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 23 / 123
27. 1. viikko
Jännitelähteiden sarjaankytkentä
Jännitelähteiden sarjaankytkennässä jännitteet voidaan laskea yhteen
(mutta etumerkeissä pitää olla tarkkana).
Jännitelähteiden rinnankytkentä on piiriteoriassa kielletty (kahden
pisteen välillä ei voi olla yhtäaikaa kaksi eri jännitettä).
r r
− + −
+ − +
E1 E2 E3
⇐⇒
r r
−
+
E = E1 − E2 + E3
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 24 / 123
28. 1. viikko
Mitä sarjaan- ja rinnankytkentä eivät ole
Pelkkä se, että komponentit näyttävät olevan vierekkäinei tarkoita,
että kyseessä on rinnankytkentä.
Pelkkä se, että komponentit näyttävät olevan peräkkäinei tarkoita,
että kyseessä on sarjaankytkentä.
Mitkä kuvan vastuksista ovat keskenään sarjassa ja mitkä rinnan?
+ R1 R2 +
E1 R3 E2
− −
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 25 / 123
29. 1. viikko
Mitä sarjaan- ja rinnankytkentä eivät ole
Pelkkä se, että komponentit näyttävät olevan vierekkäinei tarkoita,
että kyseessä on rinnankytkentä.
Pelkkä se, että komponentit näyttävät olevan peräkkäinei tarkoita,
että kyseessä on sarjaankytkentä.
Mitkä kuvan vastuksista ovat keskenään sarjassa ja mitkä rinnan?
+ R1 R2 +
E1 R3 E2
− −
Vastaus
Eivät mitkään! E1 ja R1 ovat sarjassa keskenään, samoin E2 ja R2 . Nämä sarjaankytkennät ovat
puolestaan molemmat rinnan R3 :n kanssa. Sen sijaan mitkään vastukset eivät ole keskenään
rinnan eivätkä sarjassa.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 25 / 123
30. 1. viikko
Virtalähde
Puhekielessä sanaa virtalähde käytetään varsin monimerkityksellisesti.
Esimerkiksi tietokoneen virtalähde hajosi.
Virtalähteellä tarkoitetaan piiriteoriassa elementtiä, jonka läpi kulkee
jokin tietty virta (se voi olla vakio tai muuttua jonkin säännön
mukaan). Aivan kuten jännitelähteenkin napojen välillä on aina sama
jännite.
6
J R
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 26 / 123
31. 1. viikko
Virtalähde
Kun jossain johtimen haarassa on virtalähde, tiedät johtimen virran.
-
I=1
A
6
J = 1A R1 R2
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 27 / 123
32. 1. viikko
Esimerkki
Ratkaise jännite E .
+
1,5 V
−
R = 20 Ω
+
E ? = 50 mA
I
−
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 28 / 123
33. 1. viikko
Ratkaisu
Ratkaise jännite E .
+
1,5 V
−
R = 20 Ω
+
E ? = 50 mA
I
−
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 29 / 123
34. 1. viikko
Ratkaisu
Ratkaise jännite E .
+
1,5 V U
− c
UR R = 20 Ω
c
+
E E ? = 50 mA
I
− c
E + U − UR = 0 ⇔ UR = E + U UR = RI = 20 Ω · 50 mA = 1 V
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 29 / 123
35. 1. viikko
Ratkaisu
Ratkaise jännite E .
+
1,5 V U
− c
UR R = 20 Ω
c
+
E E ? = 50 mA
I
− c
E + U − UR = 0 ⇔ UR = E + U UR = RI = 20 Ω · 50 mA = 1 V
⇒ UR = E + U ⇒ 1 V = E + 1,5 V ⇒ E = −0,5 V
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 29 / 123
36. 2. viikko
Konduktanssi
Resistanssilla tarkoitetaan kappaleen kykyä vastustaa sähkövirran
kulkua.
Resistanssin käänteislukua kutsutaan konduktanssiksi. Konduktanssin
tunnus on G ja yksikkö Siemens (S).
Konduktanssi kertoo kappaleen kyvystä johtaa sähköä.
Esimerkiksi jos R = 10 Ω niin G = 0,1 S.
1
G= R U = RI ⇔ GU = I
U E
-
IG= 1
R
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 30 / 123
37. 2. viikko
Sähköteho
Teho tarkoittaa tehtyä työtä aikayksikköä kohti.
Tehon tunnus on P ja yksikkö watti (W). U E
-
Elementin kuluttama teho on P = UI
I
Jos kaava antaa positiivisen tehon, elementti kuluttaa tehoa. Jos
kaava antaa negatiivisen tehon, elementti luovuttaa tehoa.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 31 / 123
38. 2. viikko
Sähköteho
Energia ei häviä piirissä
Piirielementtien kuluttama teho = piirielementtien luovuttama teho.
U
?
I=
I I R
+6
U2
E R PR = UI = U U =
R R
−
2
PE = U · (−I) = U −U = − U
R R
Kuvassa vastus kuluttaa yhtä paljon tehoa kuin jännitelähde luovuttaa.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 32 / 123
39. 2. viikko
Napa ja portti
Piirissä olevaa johdon liitäntäkohtaa nimitetään navaksi tai nastaksi.
Kaksi napaa muodostavat portin eli napaparin.
Helpoin esimerkki: auton akku, jolla sisäistä resistanssia.
˜
+ RS
E
−
˜
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 33 / 123
40. 2. viikko
Solmu
Solmulla tarkoitetaan virtapiirin aluetta, jonka sisällä on sama
potentiaali.
Palikkamenetelmä: laske kynä johonkin kohtaan johdinta. Ala värittää
johdinta, ja aina kun tulee vastaan komponentti, käänny takaisin.
Väritetty alue on yksi solmu.
Montako solmua on kuvan piirissä?
-
+ I R1
R3 R5
E R2 R4 R6
−
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 34 / 123
41. 2. viikko
Maa
Yksi solmuista voidaan nimetä maasolmuksi.
Maasolmu-merkinnän käyttö säästää piirtämisvaivaa.
Auton akun miinusnapa on kytketty auton runkoon; näin muodostuu
suuri maasolmu.
Sanonta tämän solmun jännite on (esim.) 12 volttiatarkoittaa, että
sen solmun ja maan välinen jännite on (esim.) 12 volttia.
-
+ I R1
R3 R5
E R2 R4 R6
−
r
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 35 / 123
42. 2. viikko
Maa
Maasolmu voidaan kytkeä laitteen runkoon tai olla kytkemättä
(symboli ei siis tarkoita, että laite on maadoitettu).
Edellisen kalvon piiri voidaan piirtää myös näin:
-
+ I R1
R3 R5
E R2 R4 R6
−
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 36 / 123
43. 2. viikko
Esimerkki
Ratkaise virta I.
-
+ I R1
R3 R5
E R2 R4 R6
−
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 1 Ω E = 9V
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 37 / 123
44. 2. viikko
Ratkaisu
Ratkaise virta I.
-
+ I R1
R3 R5
E R2 R4 R6
−
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 1 Ω E = 9V
R5 ja R6 ovat sarjassa. Tämän sarjaankytkennän resistanssi on
R5 + R6 = 2 Ω.
Tämä sarjaankytkentä puolestaan on rinnan R4 :n kanssa. Tämän
1
rinnankytkennän resistanssi on 1 + 1 Ω = 2 Ω.
3
1 2
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 38 / 123
45. 2. viikko
Ratkaisu jatkuu
R3 taas on sarjassa edellisen kanssa. Sarjaankytkennän resistanssi on
2
R3 + 3 Ω = 5 Ω.
3
Ja tämä sarjaankytkentä on rinnan R2 :n kanssa. Tämän
1 5
rinnankytkennän resistanssi on ( 5 )−1 + 1 = 8 Ω.
3 1
Ja tämän kanssa on sarjassa vielä R1 . Jännitelähteen E näkemä
kokonaisresistanssi on siis 5 Ω + R1 = 13 Ω.
8 8
E 72
Virta I on Ohmin lain mukaan I = 13
Ω
= 13 A ≈ 5,5 A.
8
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 39 / 123
46. 2. viikko
Kirchhoffin lakien systemaattinen soveltaminen
Virtapiiriyhtälöt kannattaa kirjoittaa systemaattisesti, ettei sekoa omaan
näppäryyteensä. Yksi tapa on solmujännitemenetelmä:
1 Valitse joku solmuista maasolmuksi
2 Nimeä jännitteet maasolmua vasten eli piirrä jännitenuoli jokaisesta
solmusta maasolmuun.
3 Lausu vastusten jännitteet nimettyjen jännitteiden avulla (piirrä
jokaisen vastuksen yli jännitenuoli).
4 Kirjoita virtayhtälö jokaiselle solmulle, jossa on tuntematon jännite.
5 Ratkaise jännitteet virtayhtälöistä.
6 Ilmoita kysytty jännite/jännitteet ja/tai virta/virrat.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 40 / 123
47. 2. viikko
Esimerkki
Ratkaise virta I.
R1 R2
+
+
E1 R3 E2
− −
?I
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 41 / 123
48. 2. viikko
Esimerkki
Ratkaise virta I.
R1 R2
+
+
E1 R3 E2
− −
?I
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 41 / 123
49. 2. viikko
Esimerkki
Ratkaise virta I.
R1 R2
+
+
E1 R3 U3 E2
?c
− −
I
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 41 / 123
50. 2. viikko
Esimerkki
Ratkaise virta I.
E1 − U3 '2 − U3
E
E
R1 R2
+
+
E1 R3 U3 E2
?c
− −
I
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 41 / 123
51. 2. viikko
Esimerkki
Ratkaise virta I.
E1 − U3 '2 − U3
E
E
R1 R2
+
+
E1 R3 U3 E2
?c
− −
I
U3 E1 − U3 E2 − U3
= +
R3 R1 R2
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 41 / 123
52. 2. viikko
Esimerkki
Ratkaise virta I.
E1 − U3 '2 − U3
E
E
R1 R2
+
+
E1 R3 U3 E2
?c
− −
I
U3 E1 − U3 E2 − U3 R2 E1 + R1 E2
= + =⇒ U3 = R3
R3 R1 R2 R1 R2 + R2 R3 + R1 R3
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 41 / 123
54. 2. viikko
Huomautuksia
Yhtälöt voi kirjoittaa monella eri logiikalla, ei ole yhtä oikeaa
menetelmää.
Vaatimuksena ainoastaan a) Kirchhoffin lakien noudattaminen b)
Ohmin lain3 noudattaminen sekä se, että yhtälöitä on yhtä monta
kuin tuntemattomia.
Jos piirissä on virtalähde, se säästää (yleensä) laskentatyötä, koska
silloin tuntemattomia virtoja on yksi vähemmän.
Käyttämällä konduktansseja yhtälöt näyttävät siistimmiltä.
3
Ohmin lakia voi käyttää vain vastuksille. Jos piirissä on muita
komponentteja, tulee tietää niiden virta-jänniteyhtälö eli tietää, miten
komponentin virta riippuu jännitteestä.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 42 / 123
55. 2. viikko
Toinen esimerkki
R1 R2 R5
+
+
E1 R3 U3 R4 U4 E2
− c c −
E1 − U3 U3 − U4 U3 U3 − U4 U4 U4 − E2
= + ja = +
R1 R2 R3 R2 R4 R5
G1 (E1 − U3 ) = G2 (U3 − U4 ) + G3 U3 ja G2 (U3 − U4 ) = G4 U4 + G5 (U4 − E2 )
Kaksi yhtälöä, kaksi tuntematonta, voidaan ratkaista. Lopputulos on
sama, käytitpä konduktansseja tai resistansseja!
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 43 / 123
56. 2. viikko
Huomattavaa
Virtapiirin ratkaisemiseksi on useita muitakin menetelmiä kuin
solmujännitemenetelmä: haaravirtamenetelmä, silmukkamenetelmä,
solmumenetelmä, modifioitu solmupistemenetelmä. . .
Mikäli piirissä on ideaalisia jännitelähteitä (=jännitelähteitä, jotka
liittyvät suoraan solmuun ilman että välissä on vastus), yhtälöihin
tulee yksi tuntematon arvo lisää (=jännitelähteen virta) sekä yksi
yhtälö lisää (jännitelähde määrää solmujen jännite-eron).
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 44 / 123
57. 2. viikko
Esimerkki a)
Ratkaise virta I4 .
Esimerkki 3b)
Tarkista tuloksesi siten, että merkitset kuvaan kaikki jännitteet ja virrat ja
toteat, että tuloksesi ei ole ristiriidassa Kirchhoffin lakien kanssa.
− +
6 R1 R4
R2 ER R5
J 3
?4
I
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1 Ω E = 9V J = 1A
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 45 / 123
58. 2. viikko
Ratkaisu a)
Ratkaise virta I4 .
Ratkaisu b)
Tarkista tuloksesi siten, että merkitset kuvaan kaikki jännitteet ja virrat ja
toteat, että tuloksesi ei ole ristiriidassa Kirchhoffin lakien kanssa.
− +
6 R1 R4
R2 ER R5
J 3
?4
I
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1 Ω E = 9V J = 1A
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 46 / 123
59. 2. viikko
Ratkaisu
-
−
+I
6 R1 R4
J R2 U2ER3 U3 R5
c ?4c
I
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 1 Ω E = 9V J = 1A
Kirjoitetaan kaksi virtayhtälöä ja yksi jänniteyhtälö. Merkitään vastusten
R4 ja R5 sarjaankytkennän konduktanssia symbolilla G45 .
J = U2 G2 + I
I = U3 G3 + U3 G45
U2 + E = U3
Sijoittamalla toisesta yhtälöstä I:n ensimmäiseen yhtälöön ja sijoittamalla
tähän kolmannesta yhtälöstä saatavan U2 :n, saadaan
J = (U3 − E )G2 + U3 (G3 + G45 )
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 47 / 123
60. 2. viikko
Sijoitetaan yhtälöön lukuarvot ja ratkaistaan:
U3 = 4 V
Joten kysytty virta on 4 V · 1 S = 4 A.
Jänniteyhtälöstä U2 + E = U3 ratkeaa U2 = −5 V, siispä vastuksen
R2 virta on 5 A alhaalta ylöspäin.
Virraksi I saadaan 1 A + 5 A = 6 A, josta 4 A kulkee R3 :n läpi ja
loput 2 A vastusten R4 ja R5 läpi.
Jännitteet ja virrat täsmäävät Kirchhoffin lakien kanssa, joten piiri on
laskettu oikein.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 48 / 123
61. 3. viikko
Esimerkki 1
Ratkaise I ja U.
− +
E3
?
+ I R1 +
6
E1 E2 R2 U J
− − c
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 49 / 123
62. 3. viikko
Esimerkki 1
Ratkaise I ja U.
I3 − +
E3
?
+ I R1 +
6
E1 E2 R2 U J
− − c
J = UG2 + I3
I3 = I + (E1 − E2 )G1
U = E1 + E3
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 49 / 123
63. 3. viikko
Esimerkki 2
Ratkaise U2 ja I1 .
R
' U2
-
+
+ +
J1 J2
E1 E2 E3
− − −
I1
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 50 / 123
64. 3. viikko
Esimerkki 2
Ratkaise U2 ja I1 .
R
' U2
-
+
+ +
J1 J2
E1 E2 E3
− − −
I1
I1 = (E1 − E3 )G + J1
E2 + U2 = E3
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 50 / 123
65. 3. viikko
Mistä lisäharjoitusta?
Silvosen kirjaan on lisämateriaalia osoitteessa
http://users.tkk.fi/~ksilvone/Lisamateriaali/lisamateriaal
Sieltä löytyy tasavirtapiiritehtäviä 175 kappaletta
http://users.tkk.fi/~ksilvone/Lisamateriaali/teht100.pdf
Tehtäviin on pdf:n lopussa myös ratkaisut, joten saat välittömän
palautteen osaamisestasi!
Jos intoa riittää, voi opetella käyttämään piirisimulaattoria. Sillä on
helppo mm. tarkistaa kotitehtävät:
http://www.linear.com/designtools/software/ltspice.jsp
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 51 / 123
66. 3. viikko
Esimerkki 3
Ratkaise U4 .
+ R1 R3
E R2 R4 U4
− c
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 52 / 123
67. 3. viikko
Esimerkki 3
Ratkaise U4 .
+ R1 R3
E R2 U2 R4 U4
− c c
(E − U2 )G1 = U2 G2 + (U2 − U4 )G3
(U2 − U4 )G3 = G4 U4
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 52 / 123
68. 3. viikko
Esimerkki
Ratkaise jännite U1 . Kaikki vastukset ovat 10 Ω vastuksia, E = 10 V ja
J = 1 A.
6 R2
+
J R1 U1 R3 E
c −
R4
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 53 / 123
70. 3. viikko
Ratkaisu jatkuu
J = U1 G1 + (U1 − U2 )G2
(U1 − U2 )G2 = EG3 + I
G3 E + I = U3 G4
U2 − U3 = E
Ratkaistaan kolmannesta yhtälöstä I ja sijoitetaan se toiseen yhtälöön.
Ratkaistaan viimeisestä yhtälöstä U3 ja sijoitetaan se paikalleen.
J = U1 G1 + (U1 − U2 )G2
(U1 − U2 )G2 = EG3 + (U2 − E )G4 − G3 E
1 = 0,2U1 − 0,1U2
0,1U1 − 0,1U2 = 0,1U2 − 1
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 55 / 123
71. 3. viikko
Ratkaisu jatkuu
1 = 0,2U1 − 0,1U2
0,1U1 − 0,1U2 = 0,1U2 − 1
Jonka ratkaisu on
U1 = 10
U2 = 10
Eli kysytty jännite U1 on 10 volttia. Tämän voi vielä tarkistaa
simulaattorilla.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 56 / 123
72. 4. viikko
Piirimuunnokset
1 Piirimuunnoksella tarkoitetaan toimenpidettä, jonka avulla piiri tai
piirin osa muunnetaan esitystavaltaan erilaiseksi mutta ulospäin
samalla tavalla käyttäytyväksi piiriksi.
2 Jo kurssilla käsitellyt jännitelähteiden sarjaankytkentä, vastusten
rinnankytkentä sekä vastusten sarjaankytkentä ovat piirimuunnoksia.
3 Tällä tunnilla käsitellään virtalähteiden rinnankytkentä sekä
jännitelähde-virtalähdemuunnos.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 57 / 123
73. 4. viikko
Esimerkki piirimuunnoksesta
Kaksi (tai useampi) vastusta muunnetaan yhdeksi, samalla tavalla
käyttäytyväksi vastukseksi.
Sarjaankytkentä
⇐⇒
R1 R2 R = R1 + R2
Rinnankytkentä
R2
⇐⇒
1
R= 1
+R1
R1 2
R1
Tai sama kätevämmin konduktansseilla G = G1 + G2 .
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 58 / 123
74. 4. viikko
Virtalähteiden rinnankytkentä
Kaksi (tai useampi) virtalähdettä muunnetaan yhdeksi, samalla tavalla
käyttäytyväksi virtalähteeksi.
Virtalähteet rinnan
˜ ˜
6 6
6
J1 J2 J3 ⇐⇒ J = J1 + J2 − J3
?
˜ ˜
Kuten jännitelähteiden rinnankytkentä, myös virtalähteiden
sarjaankytkentä on määrittelemätön (arkikielellä: kielletty) asia
piiriteoriassa, aivan kuten nollalla jakaminen matematiikassa. Johtimessa ei
voi samaan aikaan olla kahta erisuuruista virtaa!
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 59 / 123
75. 4. viikko
Jännitelähde-virtalähdemuunnos
Jännitelähteen ja vastuksen sarjaankytkentä käyttäytyy kuten
virtalähteen ja vastuksen rinnankytkentä.
Lähdemuunnos
˜ ˜
+ R
6
E ⇐⇒ J R E = RJ
−
˜ ˜
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 60 / 123
76. 4. viikko
Tärkeää muistettavaa
Huomaa, että ideaalista jännite- tai virtalähdettä ei voi muuntaa yllä
olevalla tavalla. Jännitelähteellä on oltava sarja- ja virtalähteellä
rinnakkaisresistanssa.
Vastuksen arvo pysyy samana, jännite- ja virtalähteen arvo saadaan
kaavasta E = RJ, joka perustuu Ohmin lakiin.
Lähdemuunnos ei ole vain piiriteoreettinen kuriositeetti.
Lähdemuunnos sopivassa paikassa säästää monen rivin
kaavanpyörittelyltä, esimerkiksi transistorivahvistimien analyysissä.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 61 / 123
77. 4. viikko
Muunnoksen perustelu
Lähdemuunnos
- -
+ I I
R 6
E
E U R U
R
− c c
Vasen kuva
E −U
I= U = E − RI
R
Oikea kuva:
E U E −U E
I= − = U=( − I)R = E − RI
R R R R
Molemmat piirit käyttäytyvät samalla tavalla.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 62 / 123
78. 4. viikko
Esimerkki
Ratkaise U.
+ R1 R2 +
E1 R3 U E
− c −
Muunnetaan piiri
6
6
J1 R1 R2 R3 J2
Ja ei muuta kuin vastaus pöytään:
J1 + J2
U=
G1 + G2 + G3
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 63 / 123
79. 4. viikko
Erittäin tärkeä huomio
Vaikka vastuksen arvo pysyy samana muunnoksessa, vastus ei ole
sama vastus! Esimerkiksi edellisessä esimerkissä muuntamattoman
vastuksen virta ei ole sama kuin muunnetun vastuksen virta!
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 64 / 123
80. 4. viikko
Esimerkki
Ratkaise virta I muuntamalla virtalähteet jännitelähteiksi. J1 = 10 A,
J2 = 1 A, R1 = 100 Ω, R2 = 200 Ω ja R3 = 300 Ω.
-
I R2
6 6
J1 R1 R3 J2
Tämä on helppo ja nopea lasku; jos huomaat kirjoittavasi toista sivullista
yhtälöitä, olet tehnyt jotain väärin.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 65 / 123
81. 4. viikko
Ratkaisu
Ratkaise virta I muuntamalla virtalähteet jännitelähteiksi. J1 = 10 A,
J2 = 1 A, R1 = 100 Ω, R2 = 200 Ω ja R3 = 300 Ω.
-
I R2
6 6
J1 R1 R3 J2
-
+ R1 I R2 R3 +
R 1 J1 R 3 J2
− −
R 1 J1 − R 3 J2 1000 V − 300 V 7
I= = = A ≈ 1,17 A.
R1 + R2 + R3 600 Ω 6
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 66 / 123
82. 4. viikko
Théveninin ja Nortonin teoreemat
Olemme käsitelleet seuraavat piirimuunnokset: jännitelähteiden
sarjaankytkentä, virtalähteiden rinnankytkentä, vastusten
rinnankytkentä sekä vastusten sarjaankytkentä sekä
jännitelähde-virtalähdemuunnos.
Théveninin ja Nortonin teoreemat liittyvät nekin piirimuunnoksiin.
Théveninin ja Nortonin teoreemojen nojalla mikä tahansa
jännitelähteistä, virtalähteistä ja vastuksista koostuva piiri voidaan
esittää jännitelähteen ja vastuksen sarjaankytkentänä tai virtalähteen
ja vastuksen rinnankytkentänä.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 67 / 123
83. 4. viikko
Esimerkki piirimuunnoksesta
Théveninin teoreema
Mikä tahansa lineaarinen piiri voidaan esittää yhdestä portista katsottuna
jännitelähteen ja vastuksen sarjaankytkentänä. Tätä sarjaankytkentää
kutsutaan Théveninin lähteeksi.
Portti
Portti = napapari = kaksi napaa eli sellaista solmua, johon voidaan kytkeä
joku toinen piiri (esimerkiksi auton akun navat ovat hyvä esimerkki
napaparista).
Nortonin teoreema
Mikä tahansa lineaarinen piiri voidaan esittää yhdestä portista katsottuna
virtalähteen ja vastuksen rinnankytkentänä. Tätä rinnankytkentää
kutsutaan Nortonin lähteeksi.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 68 / 123
84. 4. viikko
Théveninin lähteen muodostaminen
˜ ˜
+ R1
+ RT
E R2 ⇐⇒ ET
− −
˜ ˜
Théveninin lähteen ET selvitetään yksinkertaisesti laskemalla portin
jännite. RT voidaan selvittää kahdella tavalla:
Sammuttamalla kaikki piirin riippumattomat (ei-ohjatut) lähteet ja
laskemalla portista näkyvä resistanssi.
Selvittämällä portin oikosulkuvirta ja soveltamalla Ohmin lakia.
Ohjattu lähde on lähde, jonka arvo riippuu piirin jostain toisesta
jännitteestä tai virrasta. Nämä käydään kurssin loppupuolella.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 69 / 123
85. 4. viikko
Théveninin lähteen muodostaminen
˜ ˜
+ R1
+ RT
E R2 ⇐⇒ ET
− −
˜ ˜
Portin jännite saadaan (tässä tapauksesa) laskemalla vastusten läpi
kulkeva virta ja kertomalla se R2 :lla. Tämä portin jännite, niin sanottu
tyhjäkäyntijännite, on sama kuin ET
E
ET = R2
R1 + R2
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 70 / 123
86. 4. viikko
Théveninin lähteen muodostaminen
RT voidaan ratkaista kahdella tavalla. Tapa 1: sammutetaan piirin kaikki
lähteet, ja lasketaan napojen välinen resistanssi. Sammutettu jännitelähde
on jännitelähde, jonka jännite on nolla volttia, eli toisin sanoen pelkkä
johdin:
˜ ˜
R1 RT
R2 ⇐⇒
˜ ˜
Nyt napojen välinen resistanssi on helppo laskea: R1 ja R2 ovat rinnan,
joten resistanssiksi saadaan
1 R1 R2
RT = = .
G1 + G2 R1 + R2
Tämä tapa on yleensä helpompi kuin oikosulkuvirran käyttäminen!
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 71 / 123
87. 4. viikko
RT :n selvittäminen oikosulkuvirran avulla
RT voidaan ratkaista kahdella tavalla. Tapa 2: oikosuljetaan navat, ja
lasketaan oikosulun läpi kulkeva virta eli oikosulkuvirta:
˜ ˜
+ R1
+ RT
E R2 ?
IK ⇐⇒ ET ?K
I
− −
˜ ˜
Oikosulkuvirran suuruus on
E
IK =
R1
ja vastuksen RT arvoksi saadaan (soveltamalla Ohmin lakia
oikeanpuoleiseen kuvaan):
E
ET ET R1 +R2 R2 R1 R2
RT = = E = E
=
IK R R1
R1 + R2
1
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 72 / 123
88. 4. viikko
Nortonin lähde
Nortonin lähde on yksinkertaisesti Théveninin lähde johon on sovellettu
lähdemuunnosta (tai päinvastoin). Resistanssi on sama molemmissa
lähteissä. Nortonin lähteessä virtalähteen virta on sama kuin portin
oikosulkuvirta.
˜
6
JN RN
˜
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 73 / 123
89. 4. viikko
Esimerkki 1
Muodosta Théveninin lähde. Kaikki
komponenttiarvot = 1.
˜
− +
6
J1 R1 ER
2
˜
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 74 / 123
90. 4. viikko
Esimerkki 2
Muodosta Théveninin lähde. Kaikki komponenttiarvot = 1.
˜
+ R1 R3
6
E R2 J
−
˜
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 75 / 123
91. 4. viikko
Esimerkki
Muodosta kuvan piiristä Théveninin lähde. Kaikki komponenttiarvot ovat
1. (Vastukset ovat jokainen 1 Ω ja virtalähde J1 = 1 A.)
˜
6 R2
J1 R1 R3
˜
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 76 / 123
92. 4. viikko
Ratkaisu
Muodosta kuvan piiristä Théveninin lähde. Kaikki komponenttiarvot ovat
1. (Vastukset ovat jokainen 1 Ω ja virtalähde J1 = 1 A.)
˜
6 R2
J1 R1 R3
˜
Ratkaistaan ensin Théveninin jännite ET . Tämän voi tehdä esimerkiksi
lähdemuunnoksen avulla:
˜
+ R1 R2
J1 R1 1
J1 R 1 R3 ET = R1 +R2 +R3 R3 = V
3
− c ˜
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 77 / 123
93. 4. viikko
Ratkaisu jatkuu
Ratkaistaan seuraavaksi Théveninin lähteen resistanssi RT . Helpoiten tämä
onnistuu sammuttamalla lähteet ja laskemalla portista näkyvä resistanssi
(toinen tapa olisi oikosulkuvirran selvittäminen). Resistanssin voi laskea
joko alkuperäisestä tai muunnetusta piiristä, lopputulos on sama.
Lasketaan muunnetusta piiristä, eli sammutetaan jännitelähde:
˜
R1 R2 1 2
R3 RT = 1
+R1 = 3 Ω
R1 +R2 3
˜
Vastukset R1 ja R2 ovat sarjassa, ja tämä sarjaankytkentä on rinnan R3 :n
kanssa. Nyt ET ja RT tiedetään, joten voimme muodostaa Théveninin
lähteen (ks. seuraava kalvo).
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 78 / 123
94. 4. viikko
Lopullinen ratkaisu
˜
+ RT = 2
3 Ω
1
ET = V
3
−
˜
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 79 / 123
95. 5. viikko
Kerrostamismenetelmä
Vastuksista ja vakioarvoisista virta- ja jännitelähteistä koostuva piiri
on lineaarinen.
Jos piiri on lineaarinen, voidaan vastusten jännitteet ja virrat selvittää
laskemalla kunkin lähteen vaikutus erikseen.
Tätä ratkaisumenetelmää kutsutaan kerrostamismenetelmäksi.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 80 / 123
96. 5. viikko
Kerrostamismenetelmä
Kerrostamismenetelmää sovelletaan seuraavasti
Lasketaan kunkin lähteen aiheuttama(t) virta/virrat ja/tai
jännite/jännitteet erikseen siten, että muut lähteet ovat
sammutettuina.
Sammutettu jännitelähde = oikosulku (suora johdin), sammutettu
virtalähde = avoin piiri (katkaistu johdin).
Lopuksi lasketaan osatulokset yhteen.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 81 / 123
99. 5. viikko
Milloin kerrostamismenetelmä on kätevä?
Kun laskija pitää enemmän piirin sormeilemisesta kuin yhtälöryhmien
pyörittelemisestä.
Jos piirissä on paljon lähteitä ja vähän vastuksia,
kerrostamismenetelmä on usein nopea.
Jos piirissä on useita eritaajuisia lähteitä (näihin tutustutaan kurssilla
Vaihtosähköpiirit), piirin analysointi perustuu
kerrostamismenetelmään.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 84 / 123
100. 5. viikko
Lineaarisuus ja kerrostamismenetelmän teoriatausta
Kerrostamismenetelmä perustuu piirin lineaarisuuteen, eli siihen, että
jokainen lähde vaikuttaa jokaiseen jännitteeseen vakiokertoimella.
Sama kaavana: jos piirissä on lähteet E1 , E2 , E3 , J1 , J2 , niin jokainen
piirin jännite ja virta on muotoa k1 E1 + k2 E2 + k3 E3 + k4 J1 + k5 J2 ,
missä vakiot kn ovat reaalilukuja.
Jos kaikkien lähteiden arvo on nolla, ovat piirin vastusten virrat ja
jännitteet nolla; eli nollaamalla kaikki lähteet paitsi yksi, voidaan
laskea kyseisen lähteen vaikutuskerroin.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 85 / 123
101. 5. viikko
Esimerkki
Ratkaise virta I2 kerrostamismenetelmällä.
J = 1A R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 30 Ω E = 5V
-
I2 R
+
6 2
J R1 R3 E
−
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 86 / 123
102. 5. viikko
Ratkaisu
Ratkaise virta I2 kerrostamismenetelmällä.
J = 1A R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 30 Ω E = 5V
-
I2 R
+
6 2
J R1 R3 E
−
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 87 / 123
103. 5. viikko
Ratkaisu
Lasketaan ensin virtalähteen vaikutus:
-
I21 R
6 2
J R1 R3
Vastusten R1 ja R2 yli on sama jännite (ne ovat rinnan) ja vastus R2
kaksinkertainen verrattuna vastukseen R1 joten R2 :n läpi kulkee puolet
pienempi virta kuin R1 :n. Koska vastusten läpi kulkee yhteensä J = 1 A:n
suuruinen virta, kulkee R1 :n läpi 2/3 A ja R2 :n läpi I21 = 1/3 A.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 88 / 123
104. 5. viikko
Ratkaisu
Lasketaan seuraavaksi jännitelähteen vaikutus:
-
I22 R
+
2
R1 R3 E
−
Vastukset R1 ja R2 ovat nyt sarjassa ja niiden yli on yhteensä E = 5 V
jännite, joten
E 5V 1
I22 = − =− = − A.
R1 + R2 10 Ω + 20 Ω 6
Negatiivinen etumerkki johtuu siitä, että virran I22 suunta on alhaalta ylös
ja vastusten jännitteen suunta ylhäältä alas.
Lopuksi yhdistetään tulokset:
1 1 1
I2 = I21 + I22 = A − A = A.
3 6 6
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 89 / 123
105. 6. viikko
Jännitteenjakosääntö
U1 E
R1
U R2 U2
c c
U1 = U R1R1 2 ja U2 = U R1R2 2
+R +R
Elektroniikkapiirissä tarvitaan usein vertailujännite, joka
muodostetaan jostain suuremmasta jännitteestä.
Kaava toimii myös useamman vastuksen sarjaankytkennälle.
Nimittäjään tulee kaikkien vastusten summa ja osoittajaan se vastus,
jonka yli olevaa jännitettä kysytään.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 90 / 123
106. 6. viikko
Virranjakosääntö
-
I ?1
I ?2
I
R1 R2
I1 = I G1G1 2 ja I2 = I G1G2 2
+G +G
Kaava pätee myös monen vastuksen rinnankytkennälle.
Tätä ei tarvita yhtä tavallisesti kuin jännitteenjakosääntöä, mutta on
luontevaa ottaa se esille jännitteenjakosäännön yhteydessä.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 91 / 123
107. 6. viikko
Esimerkki 1
?1
I ?2
I ?3
I
6 R4
J R1 R2 R3
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 92 / 123
108. 6. viikko
Esimerkki 1
?1
I ?2
I ?3
I
6 R4
J R1 R2 R3
G
I1 = J G1 +G1 +G3
2
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 92 / 123
109. 6. viikko
Esimerkki 1
?1
I ?2
I ?3
I
6 R4
J R1 R2 R3
G G2
I1 = J G1 +G1 +G3
2
I2 = J G1 +G2 +G3
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 92 / 123
110. 6. viikko
Esimerkki 1
?1
I ?2
I ?3
I
6 R4
J R1 R2 R3
G G2 G
I1 = J G1 +G1 +G3
2
I2 = J G1 +G2 +G3 I3 = J G1 +G3 +G3
2
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 92 / 123
111. 6. viikko
Esimerkki 2
U1 U2 U3
‡ ‡ ‡
+ R1 R2 R3
E R4 U4
− W
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 93 / 123
112. 6. viikko
Esimerkki 2
U1 U2 U3
‡ ‡ ‡
+ R1 R2 R3
E R4 U4
− W
U1 = E R1 +R2R1 3 +R4
+R
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 93 / 123
113. 6. viikko
Esimerkki 2
U1 U2 U3
‡ ‡ ‡
+ R1 R2 R3
E R4 U4
− W
U1 = E R1 +R2R1 3 +R4
+R U2 = E R1 +R2R2 3 +R4
+R
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 93 / 123
114. 6. viikko
Esimerkki 2
U1 U2 U3
‡ ‡ ‡
+ R1 R2 R3
E R4 U4
− W
U1 = E R1 +R2R1 3 +R4
+R U2 = E R1 +R2R2 3 +R4
+R U3 = E R1 +R2R3 3 +R4
+R
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 93 / 123
115. 6. viikko
Esimerkki 2
U1 U2 U3
‡ ‡ ‡
+ R1 R2 R3
E R4 U4
− W
U1 = E R1 +R2R1 3 +R4
+R U2 = E R1 +R2R2 3 +R4
+R U3 = E R1 +R2R3 3 +R4
+R
U4 = E R1 +R2R4 3 +R4
+R
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 93 / 123
116. 6. viikko
Esimerkki
Ratkaise jännite U jännitteenjakosääntöä hyväksikäyttämällä.
E1 = 10 V R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 30 Ω
R4 = 40 Ω R5 = 50 Ω E2 = 15 V
U E
+ R1 R4 R5 +
E1 R2 R3 E2
− −
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 94 / 123
117. 6. viikko
Ratkaisu
Ratkaise jännite U jännitteenjakosääntöä hyväksikäyttämällä.
E1 = 10 V R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 30 Ω
R4 = 40 Ω R5 = 50 Ω E2 = 15 V
U E
+ R1 R4 R5 +
E1 R2 U2 R3 U3 E2
− c c −
20 Ω 2
U2 = E1 R1R2 2 = 10 V 10 Ω+20 Ω = 6 3 V
+R
U3 = E2 R3 +R3 +R5 = 15 V 30 Ω+40 Ω
R
4
30
Ω+50 Ω = 3,75 V
11
U = U2 − U3 = 2 12 V ≈ 2,92 V.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 95 / 123
118. 6. viikko
Ohjattu lähde
Tähän mennessä (jännite- ja virta)lähteet ovat olleet vakioarvoisia.
Jos lähteen arvo ei riipu piirin muista jännitteistä, lähdettä kutsutaan
riippumattomaksi. Vakioarvoiset tai ajan funktiona muuttuvat
lähteet ovat riippumattomia lähteitä.
Jos lähteen arvo riippuu jonkin toisen piirin osan virrasta tai
jännitteestä, lähde on ohjattu lähde.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 96 / 123
119. 6. viikko
Jänniteohjattu jännitelähde (VCVS)
r
+
u e = Au
c −
r
VCVS:n jännite e riippuu jostain toisesta jännitteestä u.
Kerrointa A kutsutaan jännitevahvistukseksi.
Käytännön esimerkki: audiovahvistin.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 97 / 123
120. 6. viikko
Virtaohjattu jännitelähde (CCVS)
r
+
?i e = ri
−
r
CCVS:n jännite e riippuu jostain virrasta i.
Kerrointa r kutsutaan siirto- tai transresistanssiksi.
Käytännössä harvinainen (voidaan rakentaa operaatiovahvistimen
avulla).
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 98 / 123
121. 6. viikko
Jänniteohjattu virtalähde (VCCS)
r
6
u j = gu
c
r
VCCS:n virta j riippuu jostain toisesta jännitteestä u.
Kerrointa g kutsutaan siirto- tai transkonduktanssiksi.
Käytännön esimerkki: kanavatransistori.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 99 / 123
122. 6. viikko
Virtaohjattu virtalähde (CCCS)
r
6
?i j = βi
r
CCCS:n virta j riippuu jostain virrasta i.
Kerrointa β kutsutaan virtavahvistukseksi.
Käytännön esimerkki: bipolaaritransistori.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 100 / 123
123. 6. viikko
Esimerkki
Ratkaise jännite U oheisesta tasasähköpiiristä.
E1 = 10 V R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 30 Ω
R4 = 40 Ω r = 2Ω
-
+ R1 i R2 R4 +
E1 R3 U e2 = ri
− W −
Huomaa, että oikeanpuoleinen lähde on ohjattu lähde.
Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 24. tammikuuta 2012 101 / 123