Estructuras de Hom-Lie Álgebras
sobre el Álgebra de Lie de
Heisenberg y sobre sl(2, C)
Lina Gabriela Jimenez
Facultad de C...
Álgebras de Lie
Álgebras de Lie
Denición
Sea K un campo y g un álgebra no necesariamente asociativa
con la operación corchete 
[ , ] : g ×...
Álgebras de Lie
Ejemplos
1 Ejemplo: Sea g = V espacio vectorial con
[x, y] = 0, ∀ x, y ∈ V
2 Ejemplo: Sea g = gl(n, K) con...
Álgebras de Lie
Álgebra de Lie de Heisenberg
Algebra de Lie de Heisenberg
h =



X ∈ gl(3, C) : X =


0 a b
0 0 c
0 0...
Álgebras de Lie
Álgebra de Lie de Heisenberg
Base de h
β = {X, Y, Z} es una base de g tal que:
X =


0 1 0
0 0 0
0 0 0
...
Álgebras de Lie
sl(2, C)
sl(2, C)
sl(2, C) =
a b
c −a
/a, b, c ∈ C
es subálgebra de gl(2, C)
Álgebras de Lie
sl(2, C)
Base de sl(2, C)
β = {h, e, f} es una base de sl(2, C) tal que:
h =
1 0
0 −1
, e =
0 1
0 0
, f =
...
Álgebras de Lie
Álgebra Derivada
Denición
Sea (g, [ , ]) álgebra de Lie, y sean a, b ⊆ g
[a, b] = span{[x, y] : x ∈ a, y ∈...
Álgebras Nilpotentes
Denición
Sea g un álgebra de Lie de dimensión nita, denimos
recursivamente:
g0 = g, g1 = [g, g], g2 =...
Álgebras Nilpotentes
Álgebras k-pasos nilpotentes
Álgebras k-pasos nilpotentes
Sea g álgebra de Lie nilpotente.
Si k = min...
Homomorsmos
Denición
Sean (g, [ , ]g) y (h, [ , ]h) álgebras de Lie.
Se dice que σ : g −→ h es un homomorsmo de álgebras d...
Homomorsmo
Si σ es un homomorsmo de inyectivo, diremos que σ es
un Monomorsmo.
Si σ es un homomorsmo sobre, diremos que es...
Homomorsmo
Ejemplos
1 Ejemplo: id : g −→ g tal que id(x) = x ∀ x ∈ g .
2 Ejemplo: 0 : g −→ g tal que 0(x) = 0 ∀ x ∈ g.
3 E...
Hom-Lie álgebras
Hom-Lie álgebras
Denición
Sea (g, , ) un álgebra no asociativa y σ : g −→ g un
homomorsmo de álgebras.
Decimos que (g, σ) ...
Hom-Lie álgebras
Ejemplos
1 Ejemplo: (g, σ) con g un álgebra no asociativa con ,
antisimétrico y σ = 0.
2 Ejemplo: (V, σ) ...
Hom-Lie álgebras
Ejemplo: Álgebras de Lie
Ejemplo: Si (g, [ , ]) álgebra de Lie entonces (g, id) es
una Hom-Lie álgebra.
O...
Hom-Lie álgebras
Álgebras 2-pasos nilpotentes
Proposición
Sea g un álgebra de Lie 2-pasos nilpotente y σ cualquier
homomor...
Hom-Lie álgebras
Homomorsmos
Denición
Sean (g, σ) y (h, τ) dos Hom-Lie álgebras. Diremos que
ϕ : (g, σ) −→ (h, τ) es un ho...
Hom-Lie álgebras isomorfas
Denición
Sean (g, σ) y (g,τ) dos estructuras de Hom-Lie Álgebra sobre
el álgebra de Lie g. Deci...
Objetivo
Objetivo
Encontrar todas las estructuras de Hom-Lie algebras sobre un
álgebra de Lie (g, [ , ]) y clasicarlas.
Problema
Sea (g, [ , ]) un álgebra de Lie, y sea
H = {σ : g −→ g homomorsmo y cumplen hl2} ⊂ EndLie(g).
AutLie(g) = {ϕ ∈ E...
Problema
Sea (g, [ , ]) un álgebra de Lie, y sea
H = {σ : g −→ g homomorsmo y cumplen hl2} ⊂ EndLie(g).
AutLie(g) = {ϕ ∈ E...
Hom-Lie álgebra sobre el
álgebra de Heisenberg
Hom-Lie álgebras
Álgebra de Lie de Heisenberg
homomorsmos de h
h álgebra de Lie de Heisenberg y σ : h −→ h homomorsmo
ento...
Hom- Lie Álgebras
Álgebra de Lie de Heisenberg
Observación
Como h es un álgebra de Lie 2-pasos nilpotentes por la
proposic...
Hom-Lie álgebra sobre el álgebra de
Heisenberg
Teorema
Sea h el álgebra de Lie de Heisenberg de dimensión 3.
Todo σ : h −→...
j1 =





λ 0
0 µ
0
0 0 λµ

 : λ, µ ∈ C



j2 =





1 0
0 µ
0
0 1 µ

 : µ ∈ C, µ = 0



j3 =




...
j4 =





λ 0
1 λ
0
0 0 λ2

 : λ ∈ C



j5 =





0 0
1 0
0
0 1 0





j6 =





1 0
1 1
0
0 1 1
...
Demostración β = {X, Y, Z} la base canónica de h, los
homomorsmos en β
σ =
A 0
W det(A)
con w ∈ C1×2
y A ∈ C2×2
:
A =
a d
...
Demostración β = {X, Y, Z} la base canónica de h, los
homomorsmos en β
σ =
A 0
W det(A)
con w ∈ C1×2
y A ∈ C2×2
:
A =
a d
...
Existe P inversible tal que PAP−1
= jA o bien PA = jAP.
Tomando
φ =
P 0
w1 w2 det(P)
∀ w1, w2 ∈ C y det(P) = 0.
Y entonces...
Por lo tanto:
σ =
A 0
W det(A)
Es conjugado a:
Por lo tanto:
σ =
A 0
W det(A)
Es conjugado a:
Caso 1)


λ 0
0 µ
0
v1 v2 λµ


∀ λ, µ, v1, v2 ∈ C
Caso 2)


λ 0
1 λ
0...
Caso 1)
Estudiemos ahora, los casos en que λ o µ toman los valores 0
o 1 y v1 y v2 no simultáneamente nulos. Tenemos enton...
Si λ = 0, µ = 1
1 Si v1 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe
φ =


α 0
0 β
0
0 v2 αβ


∀ α, β ∈ C tal ...
Si λ = 0 y µ = 0, 1
1 Si v1 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe
φ =


α 0
0 β
0
0 βv2
µ
αβ


∀ α, β ∈...
Si λ = 1, µ = 0
1 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe
φ =


α 0
0 β
0
αv1 0 αβ


∀ α, β ∈ C tal...
Si λ = 1, µ = 0, 1
1 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe
φ =


α 0
0 β
0
αv1
1−µ
0 αβ


∀ α, β ...
Si µ = 0, λ = 0, 1
1 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe
φ =


α 0
0 β
0
αv1
λ
0 αβ


∀ α, β ∈ ...
Si µ = 1, λ = 0, 1
1 Si v1 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe
φ =


α 0
0 β
0
0 βv2
1−λ
αβ


∀ α, β ...
Si λ y µ no toman los valores 0 ni 1, y v1, v2 ∈ C no
simultáneamente nulos. En este caso:
φ =


α 0
0 β
0
αv1
λ(µ−1)
βv...
Caso 2)
Estudiemos ahora, los casos en que λ toma los valores 0 o 1 y
v1, v2 no simultáneamente nulos. Tenemos entonces:
O...
Si λ = 0
1 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j4 ya que existe
φ =


α 0
0 β
0
0 αv1 αβ


∀ α, β ∈ C tal que αβ...
Si λ = 1
1 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j4 ya que existe
φ =


α 0
0 β
0
0 αv1 αβ


∀ α, β ∈ C tal que αβ...
Concluyendo este caso, si λ toma valores distintos de 0 y de
1,para cualquier v1, v2 ∈ C no simultáneamente nulos, σ es
se...
Hom-Lie álgebra sobre
sl(2, C)
Hom-Lie álgebras
sl(2, C)
homomorsmos de sl(2, C)
σ : sl(2, C) −→ sl(2, C) homomorsmo en la base
β = {H, E, F} :
1 σ = 0
2...
Hom-Lie álgebras
Hom-Lie álgebra sl(2, C)
Los homomorsmos distintos del nulo que cumplen la
identidad de Jacobi σ-twisted ...
Hom-Lie álgebras
Hom-Lie álgebra sl(2, C)
Observación
Además hemos probado que la familia uniparamétrica σ1 es
una única ó...
Hom-Lie álgebras
Hom-Lie álgebra sl(2, C)
Hemos encontrado 4 clases distintas de automorsmos del
sl(2, C) que cumplen la i...
Hom-Lie álgebras
Hom-Lie álgebra sl(2, C)
Los automorsmos 3.) y 4.) son conjugados en C3
por
φ =


0 1 0
1 0 1
1 0 −1

...
Hom-Lie álgebras
Hom-Lie álgebra sl(2, C)
Teorema
Sea g = sl(2, C).
Las únicas estructuras de Hom-Lie álgebras sobre g, sa...
Conclusiones y comentarios
2006 J. Hartwig, D. Larsson, S. Silverstrov, denen el
concepto de Hom-Lie Álgebrasen el paper D...
Conclusiones y comentarios
Conclusiones y comentarios
si σ ∈ AutLie(sl(2, C)) entonces σ ∼ ead(kH)
con H ∈ H
subálgebra de Cartan y k ∈ C.
Conclusiones y comentarios
si σ ∈ AutLie(sl(2, C)) entonces σ ∼ ead(kH)
con H ∈ H
subálgebra de Cartan y k ∈ C.
ead(x)
= A...
Conclusiones y comentarios
si σ ∈ AutLie(sl(2, C)) entonces σ ∼ ead(kH)
con H ∈ H
subálgebra de Cartan y k ∈ C.
ead(x)
= A...
Luego la identidad de Jacobi σ- twisted:
[σ(H), [E, F]] + [σ(E), [F, H] + [σ(F), [H, E]] = 0,
Luego la identidad de Jacobi σ- twisted:
[σ(H), [E, F]] + [σ(E), [F, H] + [σ(F), [H, E]] = 0,
se cumple sii:
0 + 2e2k
H − ...
Luego la identidad de Jacobi σ- twisted:
[σ(H), [E, F]] + [σ(E), [F, H] + [σ(F), [H, E]] = 0,
se cumple sii:
0 + 2e2k
H − ...
Luego la identidad de Jacobi σ- twisted:
[σ(H), [E, F]] + [σ(E), [F, H] + [σ(F), [H, E]] = 0,
se cumple sii:
0 + 2e2k
H − ...
k = 0, ⇒ σ = id
k = 0, ⇒ σ = id
k = π
2
i ⇒ σ =


1 0 0
0 −1 0
0 0 −1


k = 0, ⇒ σ = id
k = π
2
i ⇒ σ =


1 0 0
0 −1 0
0 0 −1


k = πi ⇒ σ = id
k = 0, ⇒ σ = id
k = π
2
i ⇒ σ =


1 0 0
0 −1 0
0 0 −1


k = πi ⇒ σ = id
k = 3π
2
i ⇒ σ =


1 0 0
0 −1 0
0 0 −1


½½½Gracias por su
atención!!!
 seminario "Estructuras de Hom-Lie Algebras"
 seminario "Estructuras de Hom-Lie Algebras"
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

seminario "Estructuras de Hom-Lie Algebras"

220 views

Published on

Seminario presentado en la Facultad de ciencias Exactas y Tecnología. de la Universidad Nacional de Tucumán.

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
220
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

seminario "Estructuras de Hom-Lie Algebras"

  1. 1. Estructuras de Hom-Lie Álgebras sobre el Álgebra de Lie de Heisenberg y sobre sl(2, C) Lina Gabriela Jimenez Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología Universidad Nacional de Tucumán 31 de agosto de 2012
  2. 2. Álgebras de Lie
  3. 3. Álgebras de Lie Denición Sea K un campo y g un álgebra no necesariamente asociativa con la operación corchete [ , ] : g × g −→ g (x, y) −→ [x, y] Diremos que (g, [ , ]) es un álgebra de Lie si: al1) [ , ] es antisimétrico, es decir, [x, y] = −[y, x] ∀ x, y ∈ g, al2) [ , ] cumple con Identidad de Jacobi, [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 ∀ x, y, z ∈ g.
  4. 4. Álgebras de Lie Ejemplos 1 Ejemplo: Sea g = V espacio vectorial con [x, y] = 0, ∀ x, y ∈ V 2 Ejemplo: Sea g = gl(n, K) con [A, B] = AB − BA, ∀ A, B ∈ gl(n, K) 3 Ejemplo: Sea V espacio vectorial de dimensión n g = End(V) = {T : V −→ V : T es operador lineal sobre V} [T, U] = T ◦ U − U ◦ T ∀ T, U ∈ End(V ) Observación Un álgebra de Lie se dice abeliana si ∀ x, y ∈ g, [x, y] = 0
  5. 5. Álgebras de Lie Álgebra de Lie de Heisenberg Algebra de Lie de Heisenberg h =    X ∈ gl(3, C) : X =   0 a b 0 0 c 0 0 0     
  6. 6. Álgebras de Lie Álgebra de Lie de Heisenberg Base de h β = {X, Y, Z} es una base de g tal que: X =   0 1 0 0 0 0 0 0 0   , Y =   0 0 0 0 0 1 0 0 0   , Z =   0 0 1 0 0 0 0 0 0   β tiene la siguiente propiedad [X, Y ] = Z [Z, X] = 0, [Z, Y ] = 0
  7. 7. Álgebras de Lie sl(2, C) sl(2, C) sl(2, C) = a b c −a /a, b, c ∈ C es subálgebra de gl(2, C)
  8. 8. Álgebras de Lie sl(2, C) Base de sl(2, C) β = {h, e, f} es una base de sl(2, C) tal que: h = 1 0 0 −1 , e = 0 1 0 0 , f = 0 0 1 0 , en esta base el corchete cumple con: [h, e] = 2e; [h, f] = −2f; [e, f] = h
  9. 9. Álgebras de Lie Álgebra Derivada Denición Sea (g, [ , ]) álgebra de Lie, y sean a, b ⊆ g [a, b] = span{[x, y] : x ∈ a, y ∈ b} se llama álgebra derivada a [g, g]. Ejemplo: [gl(n, K), gl(n, K)] = sl(n, K) .
  10. 10. Álgebras Nilpotentes Denición Sea g un álgebra de Lie de dimensión nita, denimos recursivamente: g0 = g, g1 = [g, g], g2 = [g1, g], ..., gj+1 = [gj, g] la serie decreciente: g = g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ... ⊇ gj ⊇ ... se llama serie central descedente para g. Diremos que g es nilpotente si existe un j tal que gj = 0.
  11. 11. Álgebras Nilpotentes Álgebras k-pasos nilpotentes Álgebras k-pasos nilpotentes Sea g álgebra de Lie nilpotente. Si k = min{j : gj = 0} diremos entonces que g es k-pasos nilpotente. Ejemplo: h el álgebra de Heisenberg es 2- pasos nilpotente.
  12. 12. Homomorsmos Denición Sean (g, [ , ]g) y (h, [ , ]h) álgebras de Lie. Se dice que σ : g −→ h es un homomorsmo de álgebras de Lie si preserva las operaciones usuales (+, ·) y el corchete, es decir ∀ x, y ∈ g, σ([x, y]g) = [σ(x), σ(y)]h. Denotamos Hom(g, h) = {σ : g −→ h : σ es un homomorsmo}
  13. 13. Homomorsmo Si σ es un homomorsmo de inyectivo, diremos que σ es un Monomorsmo. Si σ es un homomorsmo sobre, diremos que es un Epimorsmo. Si σ : g −→ g, diremos que σ es un Endomorsmo. Si σ es homomorsmo inyectivo y sobre, diremos que es un Isomorsmo. Si σ : g −→ g es isomorsmo entonces σ es un Automorsmo.
  14. 14. Homomorsmo Ejemplos 1 Ejemplo: id : g −→ g tal que id(x) = x ∀ x ∈ g . 2 Ejemplo: 0 : g −→ g tal que 0(x) = 0 ∀ x ∈ g. 3 Ejemplo: Sea P ∈ gl(n, K) inversible. σ : gl(n, K) −→ gl(n, K) A −→ PAP−1 se llama conjugación, y es un automorsmo de gl(n, K).
  15. 15. Hom-Lie álgebras
  16. 16. Hom-Lie álgebras Denición Sea (g, , ) un álgebra no asociativa y σ : g −→ g un homomorsmo de álgebras. Decimos que (g, σ) es una Hom-Lie álgebra si cumple: hl1) , es antisimétrico x, y = − y, x ∀ x, y ∈ g hl2) , cumple la identidad de Jacobi σ-twisted, σ(x), y, z + σ(y), z, x + σ(z), x, y = 0, ∀ x, y, z ∈ g
  17. 17. Hom-Lie álgebras Ejemplos 1 Ejemplo: (g, σ) con g un álgebra no asociativa con , antisimétrico y σ = 0. 2 Ejemplo: (V, σ) donde V espacio vectorial, X, Y = 0 y σ cualquier operador lineal. En este caso (V, σ) se dice: Hom- Lie álgebra abeliana
  18. 18. Hom-Lie álgebras Ejemplo: Álgebras de Lie Ejemplo: Si (g, [ , ]) álgebra de Lie entonces (g, id) es una Hom-Lie álgebra. Observación Por este ejemplo podemos considerar las Hom-Lie álgebras como una deformación de las álgebras de Lie por un homomorsmo σ. Por lo tanto, las Hom-Lie álgebras contienen a las álgebras de Lie como una subclase.
  19. 19. Hom-Lie álgebras Álgebras 2-pasos nilpotentes Proposición Sea g un álgebra de Lie 2-pasos nilpotente y σ cualquier homomorsmo de g. Entonces (g, σ) es una Hom-Lie álgebra.
  20. 20. Hom-Lie álgebras Homomorsmos Denición Sean (g, σ) y (h, τ) dos Hom-Lie álgebras. Diremos que ϕ : (g, σ) −→ (h, τ) es un homomorsmo de Hom-Lie álgebras si es un homomorsmo de álgebras tal que cumple con ϕ ◦ σ = τ ◦ ϕ, es decir el siguiente diagrama conmuta ϕ g −→ h σ ↓ ↓τ g −→ h ϕ
  21. 21. Hom-Lie álgebras isomorfas Denición Sean (g, σ) y (g,τ) dos estructuras de Hom-Lie Álgebra sobre el álgebra de Lie g. Decimos que (g,σ) y (g,τ) son Hom- Lie álgebras isomorfas sii ∃ ϕ : g −→ g automorsmo de álgebras tal que el siguiente diagrama conmute: ϕ g −→ g σ ↓ ↓τ g −→ g ϕ Es decir ϕ ◦ σ=τ ◦ ϕ por lo tanto σ = ϕ−1 ◦ τ ◦ ϕ. Diremos entonces que σ y τ son homomorsmos conjugados.
  22. 22. Objetivo Objetivo Encontrar todas las estructuras de Hom-Lie algebras sobre un álgebra de Lie (g, [ , ]) y clasicarlas.
  23. 23. Problema Sea (g, [ , ]) un álgebra de Lie, y sea H = {σ : g −→ g homomorsmo y cumplen hl2} ⊂ EndLie(g). AutLie(g) = {ϕ ∈ EndLie(g) : ϕ es inversible}. Consideremos la acción conjugación de AutLie(g) sobre H: ϕ · σ = ϕσϕ−1 con ϕ ∈ AutLie(g) y σ ∈ H.
  24. 24. Problema Sea (g, [ , ]) un álgebra de Lie, y sea H = {σ : g −→ g homomorsmo y cumplen hl2} ⊂ EndLie(g). AutLie(g) = {ϕ ∈ EndLie(g) : ϕ es inversible}. Consideremos la acción conjugación de AutLie(g) sobre H: ϕ · σ = ϕσϕ−1 con ϕ ∈ AutLie(g) y σ ∈ H. Problema: Encontrar las hom-Lie algebras distintas sobre una álgebra de Lie g se reduce a hallar las órbitas de la conjugación de AutLie(g) sobre H.
  25. 25. Hom-Lie álgebra sobre el álgebra de Heisenberg
  26. 26. Hom-Lie álgebras Álgebra de Lie de Heisenberg homomorsmos de h h álgebra de Lie de Heisenberg y σ : h −→ h homomorsmo entonces en la base β = {X, Y, Z}: σ =   a d b e 0 0 c f ae − db   con a, b, c, d, e, f ∈ C o vistos en bloques, σ = A 0 W det(A) con A ∈ C2×2 y w ∈ C1×2
  27. 27. Hom- Lie Álgebras Álgebra de Lie de Heisenberg Observación Como h es un álgebra de Lie 2-pasos nilpotentes por la proposición anterior,con cualquier homomorsmo σ : h −→ h determina una Hom-Lie álgebra (h, σ).
  28. 28. Hom-Lie álgebra sobre el álgebra de Heisenberg Teorema Sea h el álgebra de Lie de Heisenberg de dimensión 3. Todo σ : h −→ h homomorsmo de Hom-Lie álgebra es conjugado a alguno de los homomorsmos del conjunto J, donde J = 6 i=1 ji tal que:
  29. 29. j1 =      λ 0 0 µ 0 0 0 λµ   : λ, µ ∈ C    j2 =      1 0 0 µ 0 0 1 µ   : µ ∈ C, µ = 0    j3 =      λ 0 0 0 0 0 1 0   : λ ∈ C   
  30. 30. j4 =      λ 0 1 λ 0 0 0 λ2   : λ ∈ C    j5 =      0 0 1 0 0 0 1 0      j6 =      1 0 1 1 0 0 1 1     
  31. 31. Demostración β = {X, Y, Z} la base canónica de h, los homomorsmos en β σ = A 0 W det(A) con w ∈ C1×2 y A ∈ C2×2 : A = a d b e Consideramos las formas de Jordan de A:
  32. 32. Demostración β = {X, Y, Z} la base canónica de h, los homomorsmos en β σ = A 0 W det(A) con w ∈ C1×2 y A ∈ C2×2 : A = a d b e Consideramos las formas de Jordan de A: 1 jA = λ 0 0 µ 2 jA = λ 0 1 λ
  33. 33. Existe P inversible tal que PAP−1 = jA o bien PA = jAP. Tomando φ = P 0 w1 w2 det(P) ∀ w1, w2 ∈ C y det(P) = 0. Y entonces σ es semejante a X = jA 0 v det(A) pues se cumple que φσ = Xφ tomando v = 1 det(P) {(a, b)P + det(A)(w1, w2) − (w1, w2)jA}
  34. 34. Por lo tanto: σ = A 0 W det(A) Es conjugado a:
  35. 35. Por lo tanto: σ = A 0 W det(A) Es conjugado a: Caso 1)   λ 0 0 µ 0 v1 v2 λµ   ∀ λ, µ, v1, v2 ∈ C Caso 2)   λ 0 1 λ 0 v1 v2 λ2   ∀ λ, v1, v2 ∈ C
  36. 36. Caso 1) Estudiemos ahora, los casos en que λ o µ toman los valores 0 o 1 y v1 y v2 no simultáneamente nulos. Tenemos entonces: Observación si v1 y v2 son simultáneamente el valor 0, σ ya tiene la forma de las matrices de j1.Corresponden a matrices diagonales, con la diagonal principal (λ, µ, λµ). En esta misma clase se encuentran σ = 0, σ = Id.
  37. 37. Si λ = 0, µ = 1 1 Si v1 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe φ =   α 0 0 β 0 0 v2 αβ   ∀ α, β ∈ C tal que αβ = 0 2 Si v1 = 0, σ es semejante a una matriz de j3, ya que existe φ =   0 α −v1 0 0 v1v2 µ 0 αv1   ∀ α ∈ C tal que αv1 = 0
  38. 38. Si λ = 0 y µ = 0, 1 1 Si v1 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe φ =   α 0 0 β 0 0 βv2 µ αβ   ∀ α, β ∈ C tal que αβ = 0 2 Si v1 = 0, σ es semejante a una matriz de j3, ya que existe φ =   0 α −v1 0 0 v1v2 µ 0 αv1   ∀ α ∈ C tal que αv1 = 0
  39. 39. Si λ = 1, µ = 0 1 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe φ =   α 0 0 β 0 αv1 0 αβ   ∀ α, β ∈ C tal que αβ = 0 2 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j3, ya que existe φ =   v2 0 0 β 0 v1v2 0 βv2   ∀ β ∈ C tal que βv2 = 0
  40. 40. Si λ = 1, µ = 0, 1 1 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe φ =   α 0 0 β 0 αv1 1−µ 0 αβ   ∀ α, β ∈ C tal que αβ = 0 2 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j2, ya que existe φ =   v2 0 0 β 0 αv1 1−µ 0 βv2   ∀ β ∈ C tal que βv2 = 0
  41. 41. Si µ = 0, λ = 0, 1 1 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe φ =   α 0 0 β 0 αv1 λ 0 αβ   ∀ α, β ∈ C tal que αβ = 0 2 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j3, ya que existe φ =   v2 0 0 β 0 v1v2 λ 0 βv2   ∀ β ∈ C tal que βv2 = 0
  42. 42. Si µ = 1, λ = 0, 1 1 Si v1 = 0, σ es semejante a una matriz de j1 ya que existe φ =   α 0 0 β 0 0 βv2 1−λ αβ   ∀ α, β ∈ C tal que αβ = 0 2 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j2, ya que existe φ =   0 α −v1 0 0 −v1v2 1−λ 0 v1α   ∀ α ∈ C tal que αv1 = 0
  43. 43. Si λ y µ no toman los valores 0 ni 1, y v1, v2 ∈ C no simultáneamente nulos. En este caso: φ =   α 0 0 β 0 αv1 λ(µ−1) βv2 µ(λ−1) αβ   ∀ α, β ∈ C tal que αβ = 0
  44. 44. Caso 2) Estudiemos ahora, los casos en que λ toma los valores 0 o 1 y v1, v2 no simultáneamente nulos. Tenemos entonces: Observación Si (v1, v2) = (0, 0), σ ya tiene la forma de las matrices de j4.
  45. 45. Si λ = 0 1 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j4 ya que existe φ =   α 0 0 β 0 0 αv1 αβ   ∀ α, β ∈ C tal que αβ = 0 2 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j5, ya que existe φ =   v2 0 0 v2 0 0 αv1 v2 2   ∀ β ∈ C tal que βv2 = 0
  46. 46. Si λ = 1 1 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j4 ya que existe φ =   α 0 0 β 0 0 αv1 αβ   ∀ α, β ∈ C tal que αβ = 0 2 Si v2 = 0, σ es semejante a una matriz de j6, ya que existe φ =   v2 0 0 v2 0 0 αv1 v2 2   ∀ β ∈ C tal que βv2 = 0
  47. 47. Concluyendo este caso, si λ toma valores distintos de 0 y de 1,para cualquier v1, v2 ∈ C no simultáneamente nulos, σ es semejante a una matriz de j4 ya que existe φ =   α 0 0 β 0 αv1 λ−λ2 − βv2 (λ−λ2)2 v2β λ−λ2 αβ   ∀ α, β ∈ C tal que αβ = 0
  48. 48. Hom-Lie álgebra sobre sl(2, C)
  49. 49. Hom-Lie álgebras sl(2, C) homomorsmos de sl(2, C) σ : sl(2, C) −→ sl(2, C) homomorsmo en la base β = {H, E, F} : 1 σ = 0 2 σ =    −1 s 0 2sw −s2 w w 0 1 w 0    con w = 0 3 σ =      z 2t √ −zy z yt ± √ −zy z t −2t(z t √ −zy) z2 z 2t √ −zy − yt2 z2 −t2 z 2 √ −zy y z      con z = 0
  50. 50. Hom-Lie álgebras Hom-Lie álgebra sl(2, C) Los homomorsmos distintos del nulo que cumplen la identidad de Jacobi σ-twisted son: 1 σ1 =    −1 0 0 0 0 w 0 1 w 0    con w = 0 2 σ2 =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   3 σ3 =   1 0 0 0 −1 0 0 0 −1  
  51. 51. Hom-Lie álgebras Hom-Lie álgebra sl(2, C) Observación Además hemos probado que la familia uniparamétrica σ1 es una única órbita, la del σ1 =   −1 0 0 0 0 1 0 1 0   mediante una φ =    −1 0 0 0 0 1 w 0 w 0    ∈ Aut(g)
  52. 52. Hom-Lie álgebras Hom-Lie álgebra sl(2, C) Hemos encontrado 4 clases distintas de automorsmos del sl(2, C) que cumplen la identidad de Jacobi σ-twisted: 1 σ = 0 2 σ = id 3 σ =   1 0 0 0 −1 0 0 0 −1   4 σ =   −1 0 0 0 0 1 0 1 0  
  53. 53. Hom-Lie álgebras Hom-Lie álgebra sl(2, C) Los automorsmos 3.) y 4.) son conjugados en C3 por φ =   0 1 0 1 0 1 1 0 −1   /∈ Aut(g) pero no existe φ ∈ Aut(g) que los conjugue.
  54. 54. Hom-Lie álgebras Hom-Lie álgebra sl(2, C) Teorema Sea g = sl(2, C). Las únicas estructuras de Hom-Lie álgebras sobre g, salvo isomorsmos, son las correspondientes a los siguientes homomorsmos 1 σ = 0 2 σ = id 3 σ =   1 0 0 0 −1 0 0 0 −1   4 σ =   −1 0 0 0 0 1 0 1 0  
  55. 55. Conclusiones y comentarios 2006 J. Hartwig, D. Larsson, S. Silverstrov, denen el concepto de Hom-Lie Álgebrasen el paper Deformations of Lie algebras using σ-derivations, publicado en Journal of algebra. 2008 Quanqin Jin, Xiaochao Li, trabajan con Hom-Lie álgebras sobre algebras de Lie simples en la publicación Hom-Lie algebra structures on semi simple Lie algebra.en Journal of algebra .
  56. 56. Conclusiones y comentarios
  57. 57. Conclusiones y comentarios si σ ∈ AutLie(sl(2, C)) entonces σ ∼ ead(kH) con H ∈ H subálgebra de Cartan y k ∈ C.
  58. 58. Conclusiones y comentarios si σ ∈ AutLie(sl(2, C)) entonces σ ∼ ead(kH) con H ∈ H subálgebra de Cartan y k ∈ C. ead(x) = Ad(ex ) ⇒ ead(kH) = Ad(ekH )
  59. 59. Conclusiones y comentarios si σ ∈ AutLie(sl(2, C)) entonces σ ∼ ead(kH) con H ∈ H subálgebra de Cartan y k ∈ C. ead(x) = Ad(ex ) ⇒ ead(kH) = Ad(ekH ) En la base β = {H, E, F}, σ(H) = Ad(ekH)(H) = H σ(E) = Ad(ekH)(E) = e2kE σ(F) = Ad(ekH)(F) = e−2kF
  60. 60. Luego la identidad de Jacobi σ- twisted: [σ(H), [E, F]] + [σ(E), [F, H] + [σ(F), [H, E]] = 0,
  61. 61. Luego la identidad de Jacobi σ- twisted: [σ(H), [E, F]] + [σ(E), [F, H] + [σ(F), [H, E]] = 0, se cumple sii: 0 + 2e2k H − 2e−2k H = 0
  62. 62. Luego la identidad de Jacobi σ- twisted: [σ(H), [E, F]] + [σ(E), [F, H] + [σ(F), [H, E]] = 0, se cumple sii: 0 + 2e2k H − 2e−2k H = 0 es decir : e2k − e−2k = 0
  63. 63. Luego la identidad de Jacobi σ- twisted: [σ(H), [E, F]] + [σ(E), [F, H] + [σ(F), [H, E]] = 0, se cumple sii: 0 + 2e2k H − 2e−2k H = 0 es decir : e2k − e−2k = 0 por lo tanto: k = 0, k = π 2 i, k = πi, k = 3π 2 i
  64. 64. k = 0, ⇒ σ = id
  65. 65. k = 0, ⇒ σ = id k = π 2 i ⇒ σ =   1 0 0 0 −1 0 0 0 −1  
  66. 66. k = 0, ⇒ σ = id k = π 2 i ⇒ σ =   1 0 0 0 −1 0 0 0 −1   k = πi ⇒ σ = id
  67. 67. k = 0, ⇒ σ = id k = π 2 i ⇒ σ =   1 0 0 0 −1 0 0 0 −1   k = πi ⇒ σ = id k = 3π 2 i ⇒ σ =   1 0 0 0 −1 0 0 0 −1  
  68. 68. ½½½Gracias por su atención!!!

×