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Pythagorean theorem

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Pythagorean theorem

  1. 1. El Teorema de Pitágoras G. Edgar Mata Ortiz
  2. 2. Pitágoras de Samos Aproximadamente 570 a. C. – 500 a. C. Filósofo y matemático griego que destacó, especialmente, por el desarrollo de la geometría. La gran mayoría de las personas ha escuchado acerca del Teorema de Pitágoras, sin embargo, se dispone de poca información confiable acerca de su vida y, la mayoría de ella, escrita muchos años después de su muerte. 2 of 38 Pitágoras de Samos Imagen tomada de: https://theempireoffilms.wordpress.com/2012/0 8/15/pythagoras/
  3. 3. Pitágoras de Samos Algunos datos Fundó una hermandad llamada Los Pitagóricos que conservaban muchos de sus conocimientos y actividades en secreto, por lo que se convirtió en una figura muy misteriosa. Sabemos que nació en Jonia, en la isla de Samos alrededor del 570 a. C. y, al parecer, fue educado en las ideas de los filósofos jonios como Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Es reconocido por el teorema que lleva su nombre, aunque no se conservan manuscritos de sus trabajos y sólo se conocen por referencias y trabajos de sus discípulos. Existen discrepancias acerca de su vida personal, algunas fuentes afirman que nunca se casó y otras declaran que se casó y tuvo hijos. 3 of 38 Pitágoras de Samos
  4. 4. El origen del Teorema de Pitágoras 4 of Contiene ternas de números que cumplen el Teorema de Pitágoras, por lo que se les considera evidencia de que los Babilonios conocían, hasta cierto punto, dicho Teorema. Tablilla Plimpton 322: 1800 a. C. Es el documento más completo de la matemática China y contiene una de los registros más antiguos del teorema de Pitágoras en este país 9 Capítulos de Arte Matemático Entre 100 a. C. y 100 d. C Se tiene conocimiento que Los Vedas, en la India, empleaban el teorema de Pitágoras 800 años a. C. para la construcción de sus altares. Página del texto “Lilavati” 1100 d. C. 38
  5. 5. El libro científico más editado de todos los tiempos: “Los Elementos” de Euclides, contiene, en el libro 1, proposición 47, la demostración de este famoso Teorema: “En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre el lado opuesto al ángulo recto, es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los lados del ángulo recto.” 5 of Demostración del Teorema de Pitágoras en el libro de Los Elementos de Euclides tal como aparece en la copia que se encuentra en el Vaticano. 38 El Teorema de Pitágoras
  6. 6. El libro científico más editado de todos los tiempos: “Los Elementos” de Euclides, contiene, en el libro 1, proposición 48, el Teorema “inverso” al de Pitágoras: “Si el cuadrado construido en un lado de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados construidos en los otros dos lados, entonces, el ángulo formado por esos dos lados, es un ángulo recto .” 6 of 38 El Teorema de Pitágoras Demostración del Teorema de Pitágoras en el libro de Los Elementos de Euclides tal como aparece en la copia que se encuentra en el Vaticano.
  7. 7. 7 of 38 Significado del Teorema de Pitágoras
  8. 8. 8 of 38 Ternas Pitagóricas Cuando tres números enteros son las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, se les llama: Ternas Pitagóricas.
  9. 9. 9 of 1. Los lados de un triángulo rectángulo miden: 3, 4 y 5 cm respectivamente, vamos a verificar si cumplen con la expresión matemática del teorema: 32 + 42 = 52 9 + 16 = 25 38 Ejemplos de Ternas Pitagóricas
  10. 10. 10 of 1. Los lados de un triángulo rectángulo miden: 3, 4 y 5 cm respectivamente, vamos a verificar si cumplen con la expresión matemática del teorema: 38 Ejemplos de Ternas Pitagóricas Estos tres números: 3, 4 y 5 forman una Terna Pitagórica. 32 + 42 = 52 9 + 16 = 25 Sí cumplen, por lo tanto:
  11. 11. 11 of 2. Los lados de un triángulo rectángulo miden: 5, 12 y 13 cm respectivamente, vamos a verificar si cumplen con la expresión matemática del teorema: 52 + 122 = 132 25 + 144 = 169 38 Ejemplos de Ternas Pitagóricas
  12. 12. 12 of 2. Los lados de un triángulo rectángulo miden: 5, 12 y 13 cm respectivamente, vamos a verificar si cumplen con la expresión matemática del teorema: 52 + 122 = 132 25 + 144 = 169 38 Ejemplos de Ternas Pitagóricas Estos tres números: 5, 12 y 13 forman una Terna Pitagórica. Sí cumplen, por lo tanto:
  13. 13. 13 of Hemos mostrado dos ejemplos de Ternas Pitagóricas (TP): 3, 4, 5 y 5,12, 13 38 Ejemplos de Ternas Pitagóricas Verifica que estos números son Ternas Pitagóricas. Los múltiplos de una TP constituyen también una TP: 6, 8, 10 y 10,24, 169
  14. 14. 14 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo, sus lados reciben los nombres señalados en la figura. 38 Información del Teorema de Pitágoras
  15. 15. 15 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa. Ejemplo 138 Ejemplos del Teorema de Pitágoras
  16. 16. 16 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa. Ejemplo 138 Ejemplos del Teorema de Pitágoras
  17. 17. 17 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa. Ejemplo 138 Ejemplos del Teorema de Pitágoras
  18. 18. 18 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa. Ejemplo 138 Ejemplos del Teorema de Pitágoras
  19. 19. 19 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa. Ejemplo 238 Ejemplos del Teorema de Pitágoras
  20. 20. 20 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa. Ejemplo 238 Ejemplos del Teorema de Pitágoras
  21. 21. 21 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa. Ejemplo 238 Ejemplos del Teorema de Pitágoras
  22. 22. 22 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen las medidas indicadas. Determina la medida de la hipotenusa. Ejemplo 238 Ejemplos del Teorema de Pitágoras
  23. 23. 23 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyo cateto menor e hipotenusa, tienen las medidas indicadas. Determina la medida del cateto mayor. Ejemplo 338 Ejemplos del Teorema de Pitágoras
  24. 24. 24 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyo cateto menor e hipotenusa, tienen las medidas indicadas. Determina la medida del cateto mayor. Ejemplo 338 Ejemplos del Teorema de Pitágoras
  25. 25. 25 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyo cateto menor e hipotenusa, tienen las medidas indicadas. Determina la medida del cateto mayor. Ejemplo 338 Ejemplos del Teorema de Pitágoras
  26. 26. 26 of La siguiente figura es un triángulo rectángulo cuyo cateto menor e hipotenusa, tienen las medidas indicadas. Determina la medida del cateto mayor. Ejemplo 338 Ejemplos del Teorema de Pitágoras
  27. 27. 27 of Los Elementos38 El Teorema de Pitágoras El libro “Los elementos” contiene dos proposiciones relacionadas con el Teorema de Pitágoras: Proposición 47: “En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre el lado opuesto al ángulo recto, es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los lados del ángulo recto.” Proposición 48: “Si el cuadrado construido en un lado de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados construidos en los otros dos lados, entonces, el ángulo formado por esos dos lados, es un ángulo recto .”
  28. 28. 28 of Los Elementos38 El Teorema de Pitágoras El libro “Los elementos” contiene dos proposiciones relacionadas con el Teorema de Pitágoras: Proposición 47: “En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre el lado opuesto al ángulo recto, es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los lados del ángulo recto.” Proposición 48: “Si el cuadrado construido en un lado de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados construidos en los otros dos lados, entonces, el ángulo formado por esos dos lados, es un ángulo recto .”
  29. 29. 29 of Los Elementos38 El Teorema de Pitágoras El libro “Los elementos” contiene dos proposiciones relacionadas con el Teorema de Pitágoras: La proposición 47: “En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre el lado opuesto al ángulo recto, es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los lados del ángulo recto.” Es la que se emplea para determinar la medida de uno de los lados del triángulo cuando se conocen los otros dos, como en los ejemplos 1, 2 y 3, resueltos hasta ahora.
  30. 30. 30 of Los Elementos38 El Teorema de Pitágoras El libro “Los elementos” contiene dos proposiciones relacionadas con el Teorema de Pitágoras: La proposición 48: “Si el cuadrado construido en un lado de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados construidos en los otros dos lados, entonces, el ángulo formado por esos dos lados, es un ángulo recto .” Es la que se emplea para determinar si, dados tres números, estos pueden ser las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. Como en los siguientes ejemplos; 4 y 5.
  31. 31. 31 of La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo. Ejemplo 438 Ejemplos del Teorema de Pitágoras Para que sea un triángulo rectángulo, debe cumplir con la fórmula del Teorema de Pitágoras: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Sustituyendo debe obtenerse una afirmación verdadera: 𝟕𝟒𝟒 𝟐 = 𝟐𝟏𝟔 𝟐 + 𝟕𝟏𝟑 𝟐
  32. 32. 32 of La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo. Ejemplo 438 Ejemplos del Teorema de Pitágoras Efectuando operaciones: 𝟕𝟒𝟒 𝟐 = 𝟐𝟏𝟔 𝟐 + 𝟕𝟏𝟑 𝟐 𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟒𝟔𝟔𝟓𝟔 + 𝟓𝟎𝟖𝟑𝟔𝟗 𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟓𝟓𝟓𝟎𝟐𝟓
  33. 33. 33 of La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo. Ejemplo 438 Ejemplos del Teorema de Pitágoras 𝟕𝟒𝟒 𝟐 = 𝟐𝟏𝟔 𝟐 + 𝟕𝟏𝟑 𝟐 𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟒𝟔𝟔𝟓𝟔 + 𝟓𝟎𝟖𝟑𝟔𝟗 𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟓𝟓𝟓𝟎𝟐𝟓 NONO
  34. 34. 34 of La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo. Ejemplo 438 Ejemplos del Teorema de Pitágoras 𝟓𝟓𝟑𝟓𝟑𝟔 = 𝟓𝟓𝟓𝟎𝟐𝟓 NONO No cumple con la fórmula del Teorema de Pitágoras, por lo tanto, no es un triángulo rectángulo.
  35. 35. 35 of La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo. Ejemplo 538 Ejemplos del Teorema de Pitágoras Para que sea un triángulo rectángulo, debe cumplir con la fórmula del Teorema de Pitágoras: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Sustituyendo debe obtenerse una afirmación verdadera: 𝟖𝟐𝟏 𝟐 = 𝟒𝟐𝟗 𝟐 + 𝟕𝟎𝟎 𝟐
  36. 36. 36 of La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo. Ejemplo 538 Ejemplos del Teorema de Pitágoras Efectuando operaciones: 𝟖𝟐𝟏 𝟐 = 𝟒𝟐𝟗 𝟐 + 𝟕𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟏𝟖𝟒𝟎𝟒𝟏 + 𝟒𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏
  37. 37. 37 of La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo. Ejemplo 538 Ejemplos del Teorema de Pitágoras 𝟖𝟐𝟏 𝟐 = 𝟒𝟐𝟗 𝟐 + 𝟕𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟏𝟖𝟒𝟎𝟒𝟏 + 𝟒𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 SISI
  38. 38. 38 of La siguiente figura es un triángulo cuyos lados tienen las medidas indicadas. Determina si forman un triángulo rectángulo. Ejemplo 538 Ejemplos del Teorema de Pitágoras 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 = 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟒𝟏 SISI Sí cumple con la fórmula del Teorema de Pitágoras, por lo tanto, sí es un triángulo rectángulo.
  39. 39. 39 of 38 Bibliografía
  40. 40. GRACIAS POR SU ATENCIÓN Fuentes de información en línea: http://licmata-math.blogspot.mx/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning https://www.facebook.com/licemata https://www.linkedin.com/in/licmata http://www.slideshare.net/licmata Twitter @licemata

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