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Punto de equlibrio 2 ecuaciones 2 incógnitas

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Punto de equilibrio, problema resuelto.
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

  • Genial!...
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  • Buena presentación, me gusta este tipo de contenido ya que siempre nos es de gran ayuda en la clase. Cuando a veces no encontramos la solución a los problemas o ejercicios utilizamos esto para apoyarnos y siempre nos resulta util
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  • Un modelo matemático es una descripción usando las matemáticas, para describir un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos. El objetivo del modelo matemático es entender el fenómeno y su comportamiento en el futuro.
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  • Es un buen tema, nos servirá mucho ya que te dice los pasos o etapas para poder llegar a la solución.
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  • Gracias profesor esto sera de gran ayuda ya que reforzaremos lo aprendido en costos de produccion
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Punto de equlibrio 2 ecuaciones 2 incógnitas

  1. 1. Problemas de razonamiento Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Punto de Equilibrio. G. Edgar Mata Ortiz licmata@hotmail.com http://licmata-math.blogspot.com/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning http://www.slideshare.net/licmata/ http://www.facebook.com/licemata Twitter: @licemata
  2. 2. “In mathematics, the art of proposing a question must be held of higher value than solving it ” George Cantor (1845 – 1918)
  3. 3. Problemas de razonamiento Estos problemas muestran algunas de las aplicaciones de la matemática a diferentes situaciones de la vida real.
  4. 4. Problemas de razonamiento En el presente documento se plantea un tema relacionado con la vida profesional; el uso de la matemática para la elección de un curso de acción o toma de decisiones.
  5. 5. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Algunos aspectos a tener en cuenta El problema real está simplificado para que pueda ser solucionado empleando solamente las herramientas matemáticas que se están estudiando: Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
  6. 6. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Algunos aspectos a tener en cuenta Debe prestarse atención a dos aspectos del problema: El planteamiento y la resolución.
  7. 7. Punto de equilibrio La base teórica de este problema es el punto de equilibrio entre los costos en que se incurre para producir un artículo, y los ingresos por su venta. Se le llama punto de equilibrio a la cantidad de artículos que deben producirse y venderse para que no haya pérdidas ni ganancias. Se asume que todos los artículos que se producen, son vendidos.
  8. 8. Ejemplo (Parte 1) En la fábrica de computadoras HAL se incurre en costos fijos de $750,000 mensuales para fabricar el modelo Netbook-9000, la cuál tiene un costo unitario de manufactura de $2,800.
  9. 9. Ejemplo (Parte 1) Si cada unidad se vende al distribuidor en $3,500 ¿Cuál es el punto de equilibrio?
  10. 10. Ejemplo (parte 2) Debido a problemas de operación, el costo unitario de producción de la Netbook-9000 aumentó a $3,020.
  11. 11. Ejemplo (parte 2) Debido a problemas de operación, el costo unitario de producción de la Netbook-9000 aumentó a $3,020. Si no se desea alterar el precio de venta, ¿cuál es el nuevo punto de equilibrio?
  12. 12. Ejemplo (parte 3) Si el costo fijo se mantiene constante a pesar del aumento en el costo unitario de producción, y el pronóstico de ventas indica que se venderán 1,500 piezas por mes, ¿es conveniente, económicamente, mantener el precio de venta? Justifica tu respuesta.
  13. 13. Ejemplo (Parte 4) Uno de los componentes de la Netbook-9000 se compra a un proveedor internacional.
  14. 14. Ejemplo (Parte 4) El jefe de ingeniería propone que, si se deja de comprar dicho componente para fabricarlo dentro de la empresa, se aumenta el costo fijo de la Netbook a $850,000 pero se reduce el costo unitario de producción a $2,700.
  15. 15. Ejemplo (Parte 4) Si la demanda pronosticada sigue siendo de 1,500 piezas mensuales, ¿Es conveniente llevar a cabo el cambio propuesto? Justifica tu respuesta
  16. 16. Desde el punto de vista del planteamiento y solución del problema, en realidad se trata de cuatro problemas que se resolverán consecutivamente.
  17. 17. Resolución de la primera parte Comprensión del problema En la fábrica de computadoras HAL se incurre en costos fijos de $750,000 mensuales para fabricar el modelo Netbook- 2015, la cuál tiene un costo unitario de manufactura de $2,800.
  18. 18. Resolución de la primera parte Comprensión del problema Si cada unidad se vende al distribuidor en $3,500, ¿cuál es el punto de equilibrio?
  19. 19. Resolución de la primera parte El primer paso es comprender el problema, esto significa que debemos: 1. Identificar claramente las cantidades desconocidas involucradas en el problema 2. Reconocer los datos con los que contamos 3. Determinar las relaciones entre las cantidades desconocidas y los datos 4. Clarificar: Qué nos preguntan
  20. 20. Resolución de la primera parte Número de computadoras que se van a fabricar y vender. Costo de fabricación de ese número de computadoras. Ingresos por las computadores vendidas.
  21. 21. Resolución de la primera parte Datos: Costo fijo = $750,000 mensuales Costo unitario = $2,800 Precio de venta = $3,500
  22. 22. Resolución de la primera parte Costo total = costo fijo + costo variable Ingresos = precio de venta por número de piezas fabricadas Punto de equilibrio: Costo total = Ingresos
  23. 23. Resolución de la primera parte ¿Cuál es el punto de equilibrio?
  24. 24. Resumen del primer paso Comprender el problema Identificar las cantidades desconocidas: Número de computadores que se van a fabricar y vender, costo de fabricación e ingreso. Datos disponibles: Costo fijo = $750,000 /mes , costo unitario = $2,800, precio de venta = $3,500 Relaciones entre cantidades desconocidas y datos: Costo total = Costo fijo + Costo variable, Ingresos=Precio de venta por número de piezas Punto de equilibrio: Costo total = Ingreso ¿Qué es lo que nos preguntan? Punto de equilibrio: Cantidad de piezas a fabricar y vender para que no haya pérdidas ni ganancias.
  25. 25. Este primer paso resulta muy largo de explicar debido a que estamos tratando de poner por escrito lo que sucede en la mente de la persona que está analizando el problema. Más adelante ordenaremos la información de tal forma que sea posible, para cualquier persona, seguir la línea de razonamientos que condujo al planteamiento y resolución del problema. Resumen del primer paso.
  26. 26. Resolución de la primera parte El segundo paso es expresar algebraicamente las cantidades desconocidas y sus relaciones: 1. Identificar una de las cantidades desconocidas como la incógnita x. 2. Si es posible, expresar alguna(s) de las otras cantidades desconocidas en términos de x. 3. Identificar otra cantidad desconocida como la incógnita y. 4. Si es posible, expresar alguna(s) de las otras cantidades desconocidas en términos de y.
  27. 27. Resolución de la primera parte Naturalmente, este segundo paso se basa en el resultado final del paso anterior. Cantidad desconocida Información o relación con otras cantidades Expresión algebraica Número de piezas que se van a fabricar La primera cantidad desconocida se toma como incógnita x Número de piezas que se van a vender Se considera que se vende todo lo que se fabrica x Costo total de producción Se tomará como segunda incógnita porque no se relaciona, directamente, con equis. y Ingresos por ventas En el punto de equilibrio, los costos y los ingresos son iguales y
  28. 28. Si el primer paso se realizó correctamente, el segundo paso es una simple traducción. Debe traducirse entre el lenguaje natural, que es la forma en que está escrito el problema, y el lenguaje algebraico, done aparecen relaciones algebraicas entre unas incógnitas y otras o entre incógnitas y datos. Resumen del segundo paso. TRADUCCIÓN
  29. 29. Resolución de la primera parte El tercer paso consiste en obtener las dos ecuaciones con dos incógnitas 1. Mediante conocimientos propios o información contenida dentro del problema, debemos relacionar una incógnita con otra y con los datos del problema. 2. Este proceso se lleva a cabo en dos ocasiones para obtener el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
  30. 30. Resolución de la primera parte El tercer paso consiste en obtener las dos ecuaciones con dos incógnitas Obtener primera ecuación: Costo total = Costo fijo + Costo variable CT = CF + Costo unitario x Número de piezas CT = CF + CU x NP y = 750,000 + 2,800(x) y = 2,800x + 750,000 Esta última expresión algebraica es la ecuación 1.
  31. 31. Resolución de la primera parte El tercer paso consiste en obtener las dos ecuaciones con dos incógnitas Obtener segunda ecuación: Ingreso = Precio de venta x Núm. de piezas I = PV x NP y = 3,500(x) y = 3,500x Esta última expresión algebraica es la ecuación 2.
  32. 32. La obtención de las ecuaciones se basa en conocimientos previos, algún dato del problema o una combinación de las dos cosas. En este caso se utilizaron conocimientos acerca de costo total e ingreso y algunos datos. El resultado es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Ecuación 1: y = 2,800x + 750,000 Ecuación 2: y = 3,500x Resumen del tercer paso.
  33. 33. Resolución de la primera parte El cuarto paso consiste en resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por cualquier método, como: 1. Método gráfico 2. Método de sustitución 3. Método de reducción 4. Método de igualación 5. Método de Gauss o Gauss Jordan 6. Regla de Cramer * En este ejemplo se resolverá mediante el método gráfico.
  34. 34. Resolución de la primera parte El método gráfico requiere que se tabulen las dos rectas. Primero la ecuación de costo total. No. De piezas y = 2,800x + 750,000 Costo total 0 2,800(0) + 750,000 = $750,000 300 2,800(300) + 750,000 = $1,590,000 600 2,800(600) + 750,000 = $2,430,000 900 2,800(900) + 750,000 = $3,270,000 1200 2,800(1200) + 750,000 = $4,110,000 1500 2,800(1500) + 750,000 = $4,950,000 1800 2,800(1800) + 750,000 = $5,790,000
  35. 35. Resolución de la primera parte El método gráfico requiere que se tabulen las dos rectas. Ahora la ecuación de ingreso. No. De piezas y = 3,500x Ingreso 0 3,500(0) = $0 300 3,500(300) = $1,050,000 600 3,500(600) = $2,100,000 900 3,500(900) = $3,150,000 1200 3,500(1200) = $4,200,000 1500 3,500(1500) = $5,250,000 1800 3,500(1800) = $6,300,000
  36. 36. Resolución de la primera parte Con estos valores tabulados se trazan las dos rectas.
  37. 37. Resolución de la primera parte Determinar, a simple vista, el punto de intersección.
  38. 38. Resolución de la primera parte Determinar, a simple vista, el punto de intersección.
  39. 39. Resolución de la primera parte Efectuar la comprobación sustituyendo la solución en ambas ecuaciones.  Esta es una de las limitaciones del método gráfico; no siempre es posible obtener el resultado exacto, pero se considera aceptable si el error es menor a un 2% ó 3%. 2,800 750,000 2,800( ) 750,000 2'996,000 750,000 3'74 3'800,000 1,070 3'800,000 3'800,000 3'800,000 1,070 3'800,000 6 3,500 3,500( ) 3'745,000 ,000 y Error aceptable Error aceptab y x x le          
  40. 40. Se resolvió el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método gráfico. Se acepta un error entre el 2% y el 3% en la comprobación. Los valores de “x, y” son la solución del problema Resumen del cuarto paso. El punto de equilibrio es: x = 1,070 y = 3’800,000 Lo cuál significa que deben fabricarse y venderse 1,070 piezas para que tanto el costo como el ingreso sean de 3’800,000 con lo cuál no habrá pérdidas ni ganancias.
  41. 41. “EXCEPTO PARA LOS NIÑOS (que no saben lo suficiente como para dejar de hacer las preguntas importantes), pocos de nosotros dedicamos mucho tiempo a preguntarnos por qué la naturaleza es como es; de dónde viene el cosmos, o si siempre ha estado allí; si un día el tiempo irá hacia atrás y los efectos precederán a las causas; o si hay límites definitivos a lo que deben saber los humanos.” Carl Sagan (1934 – 1996) Fragmento del libro: El mundo y sus demonios Gracias por su atención

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