Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Oblique triangles (Part 1)

160 views

Published on

Ley de los senos
Law of Sines

Published in: Engineering
  • Be the first to comment

Oblique triangles (Part 1)

  1. 1. El triángulo rectángulo La resolución de problemas en los que se presentan triángulos rectángulos es sencilla; se aplica el teorema de Pitágoras o cualquiera de las funciones trigonométricas básicas para determinar los lados y ángulos que sea necesario.
  2. 2. El triángulo rectángulo Las funciones trigonométricas que se aplican directamente en un triángulo rectángulo son:
  3. 3. Problemas diferentes ¿Cómo resolvemos problemas en los que los triángulos que se presentan, no tienen ningún ángulo recto?
  4. 4. Problemas diferentes Los triángulos que no tienen ninguno de sus ángulos de 90° se llaman: Triángulos Oblicuángulos
  5. 5. Triángulos Oblicuángulos En estos triángulos, solamente uno de sus ángulos puede medir más de 90° ¿Cómo determinamos las medidas faltantes de un triángulo oblicuángulo?
  6. 6. Este problema aparece resuelto en el libro II de Los Elementos de Euclides; las proposiciones 12 y 13 tratan por separado los casos de un triángulo obtusángulo y un triángulo acutángulo. Problemas diferentes
  7. 7. Problemas diferentes Hubo que esperar hasta la edad media, cuando el matemático árabe Ghiyath al- Kashi escribió el Teorema de los senos en una forma que pudiera ser utilizable, durante el siglo XV.
  8. 8. La generalización del Teorema de Pitágoras a triángulos oblicuángulos recibe el nombre de Teorema de los Cosenos y es también atribuido al matemático árabe Ghiyath al-Kashi. Problemas diferentes
  9. 9. Estos Teoremas reciben el nombre de: Teoremas de senos y cosenos Ley de los cosenos Ley de los senos
  10. 10. Ley de los senos y ley de los cosenos. En un triángulo cualquiera, existen seis magnitudes básicas: tres lados y tres ángulos.
  11. 11. Ley de los senos y ley de los cosenos. Si se conocen tres de las magnitudes de un triángulo, es posible determinar las otras tres. Es importante determinar cuáles son los datos disponibles para elegir la herramienta adecuada.
  12. 12. Ley de los senos y ley de los cosenos. Son en total seis magnitudes las que caracterizan a un triángulo: tres lados y tres ángulos. Si se conocen tres de estas seis magnitudes, se pueden determinar las tres restantes. Dependiendo de las magnitudes que se conozcan, se aplica la ley de los senos o la ley de los cosenos.
  13. 13. 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒃 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪
  14. 14. Resolución de problemas Como ya vimos, es necesario conocer, al menos, tres datos para poder aplicar la fórmula de la ley de los senos. 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒃 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪
  15. 15. Resolución de problemas Se emplea la parte de la fórmula que contiene los tres datos conocidos. Si se conocen a, c, y el ángulo C, entonces se omite la sección que contiene al ángulo B y se toman las otras dos secciones: 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒃 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪
  16. 16. Resolución de problemas Se toma esta parte de la fórmula porque contiene los lados a, c, y el ángulo C, de donde se podrá despejar la magnitud cuyo valor es desconocido: 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪
  17. 17. Resolución de problemas En este caso será necesario despejar el seno del ángulo A: 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪
  18. 18. Resolución de problemas En resumen: Se toma la parte de la fórmula que contiene los tres datos conocidos; a, c, y el ángulo C: Y se despeja la cantidad desconocida, en este caso: seno de A
  19. 19. Resolución de problemas Como ya vimos, es necesario conocer, al menos, tres datos para poder aplicar la fórmula de la ley de los senos. 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒃 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪 Pero no pueden ser 3 datos cualesquiera.
  20. 20. Resolución de problemas Por ejemplo, si se conocen a, b, y el ángulo C, no es posible tomar una parte de la fórmula para despejar 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒃 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪
  21. 21. Resolución de problemas Si se conocen a, b, y el ángulo C, no es posible tomar una parte de la fórmula para despejar Cuando esto sucede, simplemente no es posible aplicar la ley de los senos, deberá buscarse otra estrategia de solución.
  22. 22. En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el ángulo C, 56°. Ejemplo 1
  23. 23. En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el ángulo C, 56°. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 1
  24. 24. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 1 No es posible despejar ninguna de las magnitudes desconocidas.
  25. 25. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 1 No es posible despejar ninguna de las magnitudes desconocidas. Este problema no puede ser resuelto mediante la ley de los senos, debemos buscar una estrategia diferente.
  26. 26. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 1 No es posible despejar ninguna de las magnitudes desconocidas. En la segunda parte de este material se explica cómo resolver este problema.
  27. 27. En el triángulo de la figura el lado a mide 15 cm; el ángulo A, 36°, y el ángulo B, 59°. Ejemplo 2
  28. 28. En el triángulo de la figura el lado a mide 15 cm; el ángulo A, 36°, y el ángulo B, 59°. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 2
  29. 29. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 2 Ahora sí disponemos de los datos necesarios para resolver el problema.
  30. 30. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 2 Se omite la tercera fracción porque no se conoce el lado c, ni el ángulo C. Tomamos solamente la parte de la fórmula que contiene los datos.
  31. 31. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 2 Una vez que sustituimos los datos conocidos, despejamos la magnitud desconocida, en este caso, el lado b.
  32. 32. Al sustituir en la fórmula y despejar obtenemos: Ejemplo 2
  33. 33. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 2 Ahora sólo es necesario efectuar operaciones
  34. 34. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 2
  35. 35. Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo Ejemplo 2
  36. 36. Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo, pero para el resto del problema, parece que no hay datos suficientes. Ejemplo 2
  37. 37. Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo, pero para el resto del problema, parece que no hay datos suficientes. Ejemplo 2
  38. 38. Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo, pero para el resto del problema, parece que no hay datos suficientes. Ejemplo 2 Sin embargo, existe una forma sencilla de resolverlo, ¿puedes ver cuál es?
  39. 39. Con referencia a la figura adjunta, resuelve los siguientes problemas: 1. Terminar el ejemplo 2 2. B = 56°, C = 75°, a = 21 + NL 3. A = 36°, b = 15 + NL, c = 32 – NL 4. C = 45°, a = 21 + NL, c = 16 + NE 5. A = (NL + 18)°, a = NE ×13, b = NE ×13 6. B = 36°, a = NE ×15, b = NE ×18
  40. 40. GraciasPor su atención Fuentes de información en línea http://licmata-math.blogspot.mx/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning https://www.facebook.com/licemata https://www.linkedin.com/in/licmata http://www.slideshare.net/licmata Twitter @licemata

×