SlideShare a Scribd company logo
1 of 42
Download to read offline
Oblique triangles (Part 1)
El triángulo rectángulo
La resolución de problemas en los
que se presentan triángulos
rectángulos es sencilla; se aplica el
teorema de Pitágoras o cualquiera
de las funciones trigonométricas
básicas para determinar los lados y
ángulos que sea necesario.
El triángulo rectángulo
Las funciones trigonométricas que se aplican
directamente en un triángulo rectángulo son:
Problemas diferentes
¿Cómo resolvemos problemas en los que los triángulos
que se presentan, no tienen ningún ángulo recto?
Problemas diferentes
Los triángulos que no tienen ninguno de sus ángulos de
90° se llaman:
Triángulos
Oblicuángulos
Triángulos Oblicuángulos
En estos triángulos, solamente uno de sus ángulos
puede medir más de 90°
¿Cómo determinamos las
medidas faltantes de un
triángulo oblicuángulo?
Este problema aparece resuelto
en el libro II de Los Elementos de
Euclides; las proposiciones 12 y
13 tratan por separado los casos
de un triángulo obtusángulo y un
triángulo acutángulo.
Problemas diferentes
Problemas diferentes
Hubo que esperar hasta la
edad media, cuando el
matemático árabe Ghiyath al-
Kashi escribió el Teorema de
los senos en una forma que
pudiera ser utilizable,
durante el siglo XV.
La generalización del Teorema
de Pitágoras a triángulos
oblicuángulos recibe el nombre
de Teorema de los Cosenos y es
también atribuido al matemático
árabe Ghiyath al-Kashi.
Problemas diferentes
Estos Teoremas reciben el
nombre de:
Teoremas de senos y cosenos
Ley de los cosenos
Ley de los senos
Ley de los senos y ley de los
cosenos.
En un triángulo cualquiera, existen seis
magnitudes básicas: tres lados y tres
ángulos.
Ley de los senos y ley de los cosenos.
Si se conocen tres de las magnitudes de un triángulo,
es posible determinar las otras tres.
Es importante determinar
cuáles son los datos
disponibles para elegir la
herramienta adecuada.
Ley de los senos y ley de los cosenos.
Son en total seis magnitudes las que caracterizan a un
triángulo: tres lados y tres ángulos.
Si se conocen tres de estas seis magnitudes,
se pueden determinar las tres restantes.
Dependiendo de las magnitudes que se conozcan, se
aplica la ley de los senos o la ley de los cosenos.
Oblique triangles (Part 1)
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪
Resolución de problemas
Como ya vimos, es necesario conocer, al
menos, tres datos para poder aplicar la
fórmula de la ley de los senos.
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪
Resolución de problemas
Se emplea la parte de la fórmula que
contiene los tres datos conocidos. Si se
conocen a, c, y el ángulo C, entonces se
omite la sección que contiene al ángulo
B y se toman las otras dos secciones:
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪
Resolución de problemas
Se toma esta parte de la fórmula
porque contiene los lados a, c, y el
ángulo C, de donde se podrá despejar
la magnitud cuyo valor es desconocido:
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪
Resolución de problemas
En este caso será necesario despejar el
seno del ángulo A:
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪
Resolución de problemas
En resumen: Se toma la parte de la fórmula que
contiene los tres datos conocidos; a, c, y el ángulo C:
Y se despeja la cantidad desconocida, en este
caso: seno de A
Resolución de problemas
Como ya vimos, es necesario conocer, al
menos, tres datos para poder aplicar la
fórmula de la ley de los senos.
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪
Pero no pueden ser 3 datos cualesquiera.
Resolución de problemas
Por ejemplo, si se conocen a, b, y el
ángulo C, no es posible tomar una parte
de la fórmula para despejar
𝒂
𝑺𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏𝑪
Resolución de problemas
Si se conocen a, b, y el ángulo C, no es posible
tomar una parte de la fórmula para despejar
Cuando esto sucede, simplemente no es
posible aplicar la ley de los senos, deberá
buscarse otra estrategia de solución.
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.
Ejemplo 1
En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b,
6 cm, y el ángulo C, 56°.
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 1
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 1
No es posible despejar
ninguna de las magnitudes
desconocidas.
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 1
No es posible despejar
ninguna de las magnitudes
desconocidas.
Este problema no puede
ser resuelto mediante la
ley de los senos, debemos
buscar una estrategia
diferente.
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 1
No es posible despejar
ninguna de las magnitudes
desconocidas.
En la segunda parte de
este material se explica
cómo resolver este
problema.
En el triángulo de la figura el lado a mide 15 cm; el
ángulo A, 36°, y el ángulo B, 59°.
Ejemplo 2
En el triángulo de la figura el lado a mide 15 cm; el
ángulo A, 36°, y el ángulo B, 59°.
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 2
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 2
Ahora sí disponemos de
los datos necesarios para
resolver el problema.
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 2
Se omite la tercera
fracción porque no se
conoce el lado c, ni el
ángulo C.
Tomamos solamente la
parte de la fórmula que
contiene los datos.
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 2
Una vez que sustituimos
los datos conocidos,
despejamos la magnitud
desconocida, en este caso,
el lado b.
Al sustituir en la fórmula y despejar obtenemos:
Ejemplo 2
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 2
Ahora sólo es
necesario efectuar
operaciones
Al sustituir en la fórmula obtenemos:
Ejemplo 2
Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del
triángulo
Ejemplo 2
Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo,
pero para el resto del problema, parece que no hay datos
suficientes.
Ejemplo 2
Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo,
pero para el resto del problema, parece que no hay datos
suficientes.
Ejemplo 2
Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo,
pero para el resto del problema, parece que no hay datos
suficientes.
Ejemplo 2
Sin embargo, existe una
forma sencilla de resolverlo,
¿puedes ver cuál es?
Con referencia a la figura adjunta, resuelve
los siguientes problemas:
1. Terminar el ejemplo 2
2. B = 56°, C = 75°, a = 21 + NL
3. A = 36°, b = 15 + NL, c = 32 – NL
4. C = 45°, a = 21 + NL, c = 16 + NE
5. A = (NL + 18)°, a = NE ×13, b = NE ×13
6. B = 36°, a = NE ×15, b = NE ×18
GraciasPor su atención
Fuentes de información en línea
http://licmata-math.blogspot.mx/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning
https://www.facebook.com/licemata
https://www.linkedin.com/in/licmata
http://www.slideshare.net/licmata
Twitter @licemata

More Related Content

What's hot (20)

TRIANGULO OBLICUANGULO
TRIANGULO OBLICUANGULOTRIANGULO OBLICUANGULO
TRIANGULO OBLICUANGULO
 
Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.
Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.
Unidad 6 solucion de triangulos oblicuangulos.
 
Teorema del seno y del coseno
Teorema del seno y del cosenoTeorema del seno y del coseno
Teorema del seno y del coseno
 
Triangulos oblicuangulos
Triangulos oblicuangulosTriangulos oblicuangulos
Triangulos oblicuangulos
 
TriáNgulos OblicuáNgulos
TriáNgulos OblicuáNgulosTriáNgulos OblicuáNgulos
TriáNgulos OblicuáNgulos
 
Solucion de triangulos oblicuangulos
Solucion de triangulos oblicuangulosSolucion de triangulos oblicuangulos
Solucion de triangulos oblicuangulos
 
Tema 4 geometría ejercicios
Tema 4 geometría ejerciciosTema 4 geometría ejercicios
Tema 4 geometría ejercicios
 
Taller 4
Taller 4Taller 4
Taller 4
 
1.congruencia y triángulos congruentes.mar.2020
1.congruencia y triángulos congruentes.mar.20201.congruencia y triángulos congruentes.mar.2020
1.congruencia y triángulos congruentes.mar.2020
 
8 trigonimetria teoria
8 trigonimetria teoria8 trigonimetria teoria
8 trigonimetria teoria
 
Tema 4 geometría teoría
Tema 4 geometría teoríaTema 4 geometría teoría
Tema 4 geometría teoría
 
Presentacion curso
Presentacion cursoPresentacion curso
Presentacion curso
 
unidad 11.2
unidad 11.2unidad 11.2
unidad 11.2
 
Resolucion de triangulos_rectangulos
Resolucion de triangulos_rectangulosResolucion de triangulos_rectangulos
Resolucion de triangulos_rectangulos
 
Triangulos oblicuangulos
Triangulos oblicuangulosTriangulos oblicuangulos
Triangulos oblicuangulos
 
Teorema de tales
Teorema de talesTeorema de tales
Teorema de tales
 
Trigonometría
TrigonometríaTrigonometría
Trigonometría
 
Semejanza Triángulos
Semejanza TriángulosSemejanza Triángulos
Semejanza Triángulos
 
Teorema del seno y coseno 5to 2da economia
Teorema del seno y coseno 5to 2da economiaTeorema del seno y coseno 5to 2da economia
Teorema del seno y coseno 5to 2da economia
 
Geometria
GeometriaGeometria
Geometria
 

Similar to Oblique triangles (Part 1)

Oblique triangles 02 law of cosines
Oblique triangles 02 law of cosinesOblique triangles 02 law of cosines
Oblique triangles 02 law of cosinesEdgar Mata
 
Oblique triangles 02
Oblique triangles 02Oblique triangles 02
Oblique triangles 02Edgar Mata
 
Presentacion trigonometria Unidad 2.pptx RAUL SANABRIA
Presentacion trigonometria Unidad 2.pptx RAUL SANABRIAPresentacion trigonometria Unidad 2.pptx RAUL SANABRIA
Presentacion trigonometria Unidad 2.pptx RAUL SANABRIAraulfernandosanabria
 
Teorema del coseno o de los cosenos convertido
Teorema del coseno o de los cosenos convertidoTeorema del coseno o de los cosenos convertido
Teorema del coseno o de los cosenos convertidoElmerCardoza1
 
198857 ley-del-seno-y-ley-del-coseno
198857 ley-del-seno-y-ley-del-coseno198857 ley-del-seno-y-ley-del-coseno
198857 ley-del-seno-y-ley-del-cosenoMichelle Chaires
 
Lección 2.2 Resolver Triángulos usando las Leyes De Seno Y Coseno CeL
Lección 2.2 Resolver Triángulos usando las Leyes De Seno Y Coseno CeLLección 2.2 Resolver Triángulos usando las Leyes De Seno Y Coseno CeL
Lección 2.2 Resolver Triángulos usando las Leyes De Seno Y Coseno CeLPomales CeL
 
Ejercicios detallados del obj 10 mat i (175)
Ejercicios detallados del obj 10 mat i (175)Ejercicios detallados del obj 10 mat i (175)
Ejercicios detallados del obj 10 mat i (175)Jonathan Mejías
 
Ley de los senos y cosenos matematicas
Ley de los senos y cosenos matematicasLey de los senos y cosenos matematicas
Ley de los senos y cosenos matematicasAlextzab
 
Ernesto presentacion unidad-vi
Ernesto presentacion unidad-viErnesto presentacion unidad-vi
Ernesto presentacion unidad-viErnesto Silva
 
PRESENTACION GRUPAL. grupo 32 (1).pptx
PRESENTACION GRUPAL. grupo 32 (1).pptxPRESENTACION GRUPAL. grupo 32 (1).pptx
PRESENTACION GRUPAL. grupo 32 (1).pptxsoniatrianasanchez
 

Similar to Oblique triangles (Part 1) (20)

Oblique triangles 02 law of cosines
Oblique triangles 02 law of cosinesOblique triangles 02 law of cosines
Oblique triangles 02 law of cosines
 
Oblique triangles 02
Oblique triangles 02Oblique triangles 02
Oblique triangles 02
 
Pitágoras
PitágorasPitágoras
Pitágoras
 
Presentacion trigonometria Unidad 2.pptx RAUL SANABRIA
Presentacion trigonometria Unidad 2.pptx RAUL SANABRIAPresentacion trigonometria Unidad 2.pptx RAUL SANABRIA
Presentacion trigonometria Unidad 2.pptx RAUL SANABRIA
 
Teorema del coseno o de los cosenos convertido
Teorema del coseno o de los cosenos convertidoTeorema del coseno o de los cosenos convertido
Teorema del coseno o de los cosenos convertido
 
198857 ley-del-seno-y-ley-del-coseno
198857 ley-del-seno-y-ley-del-coseno198857 ley-del-seno-y-ley-del-coseno
198857 ley-del-seno-y-ley-del-coseno
 
Lección 2.2 Resolver Triángulos usando las Leyes De Seno Y Coseno CeL
Lección 2.2 Resolver Triángulos usando las Leyes De Seno Y Coseno CeLLección 2.2 Resolver Triángulos usando las Leyes De Seno Y Coseno CeL
Lección 2.2 Resolver Triángulos usando las Leyes De Seno Y Coseno CeL
 
Ejercicios detallados del obj 10 mat i (175)
Ejercicios detallados del obj 10 mat i (175)Ejercicios detallados del obj 10 mat i (175)
Ejercicios detallados del obj 10 mat i (175)
 
Pawer de elia
Pawer de eliaPawer de elia
Pawer de elia
 
4.pdf
4.pdf4.pdf
4.pdf
 
Aplicaciones1
Aplicaciones1Aplicaciones1
Aplicaciones1
 
Ley de los senos
Ley de los senosLey de los senos
Ley de los senos
 
Unidad 6
Unidad 6Unidad 6
Unidad 6
 
Ley de los senos y cosenos matematicas
Ley de los senos y cosenos matematicasLey de los senos y cosenos matematicas
Ley de los senos y cosenos matematicas
 
Ernesto presentacion unidad-vi
Ernesto presentacion unidad-viErnesto presentacion unidad-vi
Ernesto presentacion unidad-vi
 
Trabajo
TrabajoTrabajo
Trabajo
 
Modulo 19 de_a_y_t
Modulo 19 de_a_y_tModulo 19 de_a_y_t
Modulo 19 de_a_y_t
 
teorema de seno y coseno
teorema de seno y cosenoteorema de seno y coseno
teorema de seno y coseno
 
Razones tri.
Razones tri.Razones tri.
Razones tri.
 
PRESENTACION GRUPAL. grupo 32 (1).pptx
PRESENTACION GRUPAL. grupo 32 (1).pptxPRESENTACION GRUPAL. grupo 32 (1).pptx
PRESENTACION GRUPAL. grupo 32 (1).pptx
 

More from Edgar Mata

Activity 12 c numb
Activity 12 c numbActivity 12 c numb
Activity 12 c numbEdgar Mata
 
Pw roo complex numbers 2021
Pw roo complex numbers 2021Pw roo complex numbers 2021
Pw roo complex numbers 2021Edgar Mata
 
Ar complex num 2021
Ar complex num 2021Ar complex num 2021
Ar complex num 2021Edgar Mata
 
Formato 1 1-limits - solved example 01
Formato 1 1-limits - solved example 01Formato 1 1-limits - solved example 01
Formato 1 1-limits - solved example 01Edgar Mata
 
Activity 1 1 part 2 exer ea2021
Activity 1 1 part 2 exer ea2021Activity 1 1 part 2 exer ea2021
Activity 1 1 part 2 exer ea2021Edgar Mata
 
Problem identification 2021
Problem identification 2021Problem identification 2021
Problem identification 2021Edgar Mata
 
Formato 1 1-limits ea2021
Formato 1 1-limits ea2021Formato 1 1-limits ea2021
Formato 1 1-limits ea2021Edgar Mata
 
Activity 1 1 real numbers
Activity 1 1 real numbersActivity 1 1 real numbers
Activity 1 1 real numbersEdgar Mata
 
Activity 1 1 limits and continuity ea2021
Activity 1 1 limits and continuity ea2021Activity 1 1 limits and continuity ea2021
Activity 1 1 limits and continuity ea2021Edgar Mata
 
Course presentation differential calculus ea2021
Course presentation differential calculus ea2021Course presentation differential calculus ea2021
Course presentation differential calculus ea2021Edgar Mata
 
Course presentation linear algebra ea2021
Course presentation linear algebra ea2021Course presentation linear algebra ea2021
Course presentation linear algebra ea2021Edgar Mata
 
Formato cramer 3x3
Formato cramer 3x3Formato cramer 3x3
Formato cramer 3x3Edgar Mata
 
Exercise 2 2 - area under the curve 2020
Exercise 2 2 - area under the curve 2020Exercise 2 2 - area under the curve 2020
Exercise 2 2 - area under the curve 2020Edgar Mata
 
Exercise 4 1 - vector algebra
Exercise 4 1 - vector algebraExercise 4 1 - vector algebra
Exercise 4 1 - vector algebraEdgar Mata
 
Exercise 3 2 - cubic function
Exercise 3 2 - cubic functionExercise 3 2 - cubic function
Exercise 3 2 - cubic functionEdgar Mata
 
Problemas cramer 3x3 nl
Problemas cramer 3x3 nlProblemas cramer 3x3 nl
Problemas cramer 3x3 nlEdgar Mata
 
Cramer method in excel
Cramer method in excelCramer method in excel
Cramer method in excelEdgar Mata
 
Cramer method sd2020
Cramer method sd2020Cramer method sd2020
Cramer method sd2020Edgar Mata
 
Exercise 2 1 - area under the curve 2020
Exercise 2 1 - area under the curve 2020Exercise 2 1 - area under the curve 2020
Exercise 2 1 - area under the curve 2020Edgar Mata
 
Template 4 1 word problems 2 unk 2020
Template 4 1 word problems 2 unk 2020Template 4 1 word problems 2 unk 2020
Template 4 1 word problems 2 unk 2020Edgar Mata
 

More from Edgar Mata (20)

Activity 12 c numb
Activity 12 c numbActivity 12 c numb
Activity 12 c numb
 
Pw roo complex numbers 2021
Pw roo complex numbers 2021Pw roo complex numbers 2021
Pw roo complex numbers 2021
 
Ar complex num 2021
Ar complex num 2021Ar complex num 2021
Ar complex num 2021
 
Formato 1 1-limits - solved example 01
Formato 1 1-limits - solved example 01Formato 1 1-limits - solved example 01
Formato 1 1-limits - solved example 01
 
Activity 1 1 part 2 exer ea2021
Activity 1 1 part 2 exer ea2021Activity 1 1 part 2 exer ea2021
Activity 1 1 part 2 exer ea2021
 
Problem identification 2021
Problem identification 2021Problem identification 2021
Problem identification 2021
 
Formato 1 1-limits ea2021
Formato 1 1-limits ea2021Formato 1 1-limits ea2021
Formato 1 1-limits ea2021
 
Activity 1 1 real numbers
Activity 1 1 real numbersActivity 1 1 real numbers
Activity 1 1 real numbers
 
Activity 1 1 limits and continuity ea2021
Activity 1 1 limits and continuity ea2021Activity 1 1 limits and continuity ea2021
Activity 1 1 limits and continuity ea2021
 
Course presentation differential calculus ea2021
Course presentation differential calculus ea2021Course presentation differential calculus ea2021
Course presentation differential calculus ea2021
 
Course presentation linear algebra ea2021
Course presentation linear algebra ea2021Course presentation linear algebra ea2021
Course presentation linear algebra ea2021
 
Formato cramer 3x3
Formato cramer 3x3Formato cramer 3x3
Formato cramer 3x3
 
Exercise 2 2 - area under the curve 2020
Exercise 2 2 - area under the curve 2020Exercise 2 2 - area under the curve 2020
Exercise 2 2 - area under the curve 2020
 
Exercise 4 1 - vector algebra
Exercise 4 1 - vector algebraExercise 4 1 - vector algebra
Exercise 4 1 - vector algebra
 
Exercise 3 2 - cubic function
Exercise 3 2 - cubic functionExercise 3 2 - cubic function
Exercise 3 2 - cubic function
 
Problemas cramer 3x3 nl
Problemas cramer 3x3 nlProblemas cramer 3x3 nl
Problemas cramer 3x3 nl
 
Cramer method in excel
Cramer method in excelCramer method in excel
Cramer method in excel
 
Cramer method sd2020
Cramer method sd2020Cramer method sd2020
Cramer method sd2020
 
Exercise 2 1 - area under the curve 2020
Exercise 2 1 - area under the curve 2020Exercise 2 1 - area under the curve 2020
Exercise 2 1 - area under the curve 2020
 
Template 4 1 word problems 2 unk 2020
Template 4 1 word problems 2 unk 2020Template 4 1 word problems 2 unk 2020
Template 4 1 word problems 2 unk 2020
 

Recently uploaded

Iniciaciòn y Aprendizaje del idioma cobol
Iniciaciòn y Aprendizaje del  idioma cobolIniciaciòn y Aprendizaje del  idioma cobol
Iniciaciòn y Aprendizaje del idioma cobolRoberto Bellido
 
2.8 Comandos generales de alta y baja del SGBD
2.8 Comandos generales de alta y baja del SGBD2.8 Comandos generales de alta y baja del SGBD
2.8 Comandos generales de alta y baja del SGBDEmanuelMuoz11
 
solucionario chopra 4ta edicion solucionario
solucionario chopra 4ta edicion solucionariosolucionario chopra 4ta edicion solucionario
solucionario chopra 4ta edicion solucionarioMarvin Flores
 
COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 INTRODUCCION A LA COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 1
COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 INTRODUCCION A LA COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 1COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 INTRODUCCION A LA COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 1
COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 INTRODUCCION A LA COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 1NatashaSolano5
 
CONCEPTOS BASICOS DE ARDUINO EN ELECTRICIDAD
CONCEPTOS BASICOS DE ARDUINO EN ELECTRICIDADCONCEPTOS BASICOS DE ARDUINO EN ELECTRICIDAD
CONCEPTOS BASICOS DE ARDUINO EN ELECTRICIDADMaestroMatematicas
 
Este método de ensayo cubre la estimación de la capacidad portante del suelo ...
Este método de ensayo cubre la estimación de la capacidad portante del suelo ...Este método de ensayo cubre la estimación de la capacidad portante del suelo ...
Este método de ensayo cubre la estimación de la capacidad portante del suelo ...josetuanama2
 
1.3 Captura básica de cadenas en ensamblador.pptx
1.3 Captura básica de cadenas en ensamblador.pptx1.3 Captura básica de cadenas en ensamblador.pptx
1.3 Captura básica de cadenas en ensamblador.pptxEmanuelMuoz11
 
EQUIPOS E IMPLEMENTOS PARA LABRANZA PRIMARIA
EQUIPOS E IMPLEMENTOS PARA LABRANZA PRIMARIAEQUIPOS E IMPLEMENTOS PARA LABRANZA PRIMARIA
EQUIPOS E IMPLEMENTOS PARA LABRANZA PRIMARIASELENEGUZMAN4
 
Introducción a la Informática Forensemelissa - copia.pptx
Introducción a la Informática Forensemelissa - copia.pptxIntroducción a la Informática Forensemelissa - copia.pptx
Introducción a la Informática Forensemelissa - copia.pptxKarinaRamirez16146
 
Trabajo para el 2do1111111111. examen.pdf
Trabajo para el 2do1111111111. examen.pdfTrabajo para el 2do1111111111. examen.pdf
Trabajo para el 2do1111111111. examen.pdffredyflores58
 
Reglamento de Relevamientos estructurales 2023.pdf
Reglamento de Relevamientos estructurales 2023.pdfReglamento de Relevamientos estructurales 2023.pdf
Reglamento de Relevamientos estructurales 2023.pdfAndyMarcaFuentes
 
l12_sistemas_de_tiempos_predeterminados.pdf
l12_sistemas_de_tiempos_predeterminados.pdfl12_sistemas_de_tiempos_predeterminados.pdf
l12_sistemas_de_tiempos_predeterminados.pdfdulcemartinezalmenda
 
SDH: Synchronous Digital Hierarchy (Jerarquía Digital Sincrónica)
SDH: Synchronous Digital Hierarchy (Jerarquía Digital Sincrónica)SDH: Synchronous Digital Hierarchy (Jerarquía Digital Sincrónica)
SDH: Synchronous Digital Hierarchy (Jerarquía Digital Sincrónica)aluque
 
GUIA DEL PROGRAMA AUTODESK INVENTOR 2020.pptx
GUIA DEL PROGRAMA AUTODESK INVENTOR 2020.pptxGUIA DEL PROGRAMA AUTODESK INVENTOR 2020.pptx
GUIA DEL PROGRAMA AUTODESK INVENTOR 2020.pptxDilmer Eddy Laime Ramos
 
2.5y 2.6.pptx maquinaria pesada para pavimentación y maquinaria pesada para c...
2.5y 2.6.pptx maquinaria pesada para pavimentación y maquinaria pesada para c...2.5y 2.6.pptx maquinaria pesada para pavimentación y maquinaria pesada para c...
2.5y 2.6.pptx maquinaria pesada para pavimentación y maquinaria pesada para c...PedroSantos958708
 
Prueba-modelo-de-CTA (2).pdfkmkldklcmdaslñmcdñlamcñldmcñ
Prueba-modelo-de-CTA (2).pdfkmkldklcmdaslñmcdñlamcñldmcñPrueba-modelo-de-CTA (2).pdfkmkldklcmdaslñmcdñlamcñldmcñ
Prueba-modelo-de-CTA (2).pdfkmkldklcmdaslñmcdñlamcñldmcñElvisEnrique7
 
Turismo-Comunitario. casckkjaskkakaskkaskkas
Turismo-Comunitario. casckkjaskkakaskkaskkasTurismo-Comunitario. casckkjaskkakaskkaskkas
Turismo-Comunitario. casckkjaskkakaskkaskkasingestoracultural1
 
PENDOLADOS ADIF.pdf NORMAS DE CATENARIA FLEXIBLE
PENDOLADOS ADIF.pdf NORMAS DE CATENARIA FLEXIBLEPENDOLADOS ADIF.pdf NORMAS DE CATENARIA FLEXIBLE
PENDOLADOS ADIF.pdf NORMAS DE CATENARIA FLEXIBLErene2105
 
BLOQUEO Y ETIQUETADO DE ENERGIAS PELIGROSAS
BLOQUEO Y ETIQUETADO DE ENERGIAS PELIGROSASBLOQUEO Y ETIQUETADO DE ENERGIAS PELIGROSAS
BLOQUEO Y ETIQUETADO DE ENERGIAS PELIGROSASseguridadindustrial51
 

Recently uploaded (20)

Iniciaciòn y Aprendizaje del idioma cobol
Iniciaciòn y Aprendizaje del  idioma cobolIniciaciòn y Aprendizaje del  idioma cobol
Iniciaciòn y Aprendizaje del idioma cobol
 
2.8 Comandos generales de alta y baja del SGBD
2.8 Comandos generales de alta y baja del SGBD2.8 Comandos generales de alta y baja del SGBD
2.8 Comandos generales de alta y baja del SGBD
 
solucionario chopra 4ta edicion solucionario
solucionario chopra 4ta edicion solucionariosolucionario chopra 4ta edicion solucionario
solucionario chopra 4ta edicion solucionario
 
COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 INTRODUCCION A LA COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 1
COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 INTRODUCCION A LA COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 1COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 INTRODUCCION A LA COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 1
COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 INTRODUCCION A LA COMUNICACION ARQUITECTONICA 1 1
 
CONCEPTOS BASICOS DE ARDUINO EN ELECTRICIDAD
CONCEPTOS BASICOS DE ARDUINO EN ELECTRICIDADCONCEPTOS BASICOS DE ARDUINO EN ELECTRICIDAD
CONCEPTOS BASICOS DE ARDUINO EN ELECTRICIDAD
 
Este método de ensayo cubre la estimación de la capacidad portante del suelo ...
Este método de ensayo cubre la estimación de la capacidad portante del suelo ...Este método de ensayo cubre la estimación de la capacidad portante del suelo ...
Este método de ensayo cubre la estimación de la capacidad portante del suelo ...
 
1.3 Captura básica de cadenas en ensamblador.pptx
1.3 Captura básica de cadenas en ensamblador.pptx1.3 Captura básica de cadenas en ensamblador.pptx
1.3 Captura básica de cadenas en ensamblador.pptx
 
EQUIPOS E IMPLEMENTOS PARA LABRANZA PRIMARIA
EQUIPOS E IMPLEMENTOS PARA LABRANZA PRIMARIAEQUIPOS E IMPLEMENTOS PARA LABRANZA PRIMARIA
EQUIPOS E IMPLEMENTOS PARA LABRANZA PRIMARIA
 
Introducción a la Informática Forensemelissa - copia.pptx
Introducción a la Informática Forensemelissa - copia.pptxIntroducción a la Informática Forensemelissa - copia.pptx
Introducción a la Informática Forensemelissa - copia.pptx
 
REGULARIZACIONES CASABLANCA +56941055309
REGULARIZACIONES CASABLANCA +56941055309REGULARIZACIONES CASABLANCA +56941055309
REGULARIZACIONES CASABLANCA +56941055309
 
Trabajo para el 2do1111111111. examen.pdf
Trabajo para el 2do1111111111. examen.pdfTrabajo para el 2do1111111111. examen.pdf
Trabajo para el 2do1111111111. examen.pdf
 
Reglamento de Relevamientos estructurales 2023.pdf
Reglamento de Relevamientos estructurales 2023.pdfReglamento de Relevamientos estructurales 2023.pdf
Reglamento de Relevamientos estructurales 2023.pdf
 
l12_sistemas_de_tiempos_predeterminados.pdf
l12_sistemas_de_tiempos_predeterminados.pdfl12_sistemas_de_tiempos_predeterminados.pdf
l12_sistemas_de_tiempos_predeterminados.pdf
 
SDH: Synchronous Digital Hierarchy (Jerarquía Digital Sincrónica)
SDH: Synchronous Digital Hierarchy (Jerarquía Digital Sincrónica)SDH: Synchronous Digital Hierarchy (Jerarquía Digital Sincrónica)
SDH: Synchronous Digital Hierarchy (Jerarquía Digital Sincrónica)
 
GUIA DEL PROGRAMA AUTODESK INVENTOR 2020.pptx
GUIA DEL PROGRAMA AUTODESK INVENTOR 2020.pptxGUIA DEL PROGRAMA AUTODESK INVENTOR 2020.pptx
GUIA DEL PROGRAMA AUTODESK INVENTOR 2020.pptx
 
2.5y 2.6.pptx maquinaria pesada para pavimentación y maquinaria pesada para c...
2.5y 2.6.pptx maquinaria pesada para pavimentación y maquinaria pesada para c...2.5y 2.6.pptx maquinaria pesada para pavimentación y maquinaria pesada para c...
2.5y 2.6.pptx maquinaria pesada para pavimentación y maquinaria pesada para c...
 
Prueba-modelo-de-CTA (2).pdfkmkldklcmdaslñmcdñlamcñldmcñ
Prueba-modelo-de-CTA (2).pdfkmkldklcmdaslñmcdñlamcñldmcñPrueba-modelo-de-CTA (2).pdfkmkldklcmdaslñmcdñlamcñldmcñ
Prueba-modelo-de-CTA (2).pdfkmkldklcmdaslñmcdñlamcñldmcñ
 
Turismo-Comunitario. casckkjaskkakaskkaskkas
Turismo-Comunitario. casckkjaskkakaskkaskkasTurismo-Comunitario. casckkjaskkakaskkaskkas
Turismo-Comunitario. casckkjaskkakaskkaskkas
 
PENDOLADOS ADIF.pdf NORMAS DE CATENARIA FLEXIBLE
PENDOLADOS ADIF.pdf NORMAS DE CATENARIA FLEXIBLEPENDOLADOS ADIF.pdf NORMAS DE CATENARIA FLEXIBLE
PENDOLADOS ADIF.pdf NORMAS DE CATENARIA FLEXIBLE
 
BLOQUEO Y ETIQUETADO DE ENERGIAS PELIGROSAS
BLOQUEO Y ETIQUETADO DE ENERGIAS PELIGROSASBLOQUEO Y ETIQUETADO DE ENERGIAS PELIGROSAS
BLOQUEO Y ETIQUETADO DE ENERGIAS PELIGROSAS
 

Oblique triangles (Part 1)

  • 2. El triángulo rectángulo La resolución de problemas en los que se presentan triángulos rectángulos es sencilla; se aplica el teorema de Pitágoras o cualquiera de las funciones trigonométricas básicas para determinar los lados y ángulos que sea necesario.
  • 3. El triángulo rectángulo Las funciones trigonométricas que se aplican directamente en un triángulo rectángulo son:
  • 4. Problemas diferentes ¿Cómo resolvemos problemas en los que los triángulos que se presentan, no tienen ningún ángulo recto?
  • 5. Problemas diferentes Los triángulos que no tienen ninguno de sus ángulos de 90° se llaman: Triángulos Oblicuángulos
  • 6. Triángulos Oblicuángulos En estos triángulos, solamente uno de sus ángulos puede medir más de 90° ¿Cómo determinamos las medidas faltantes de un triángulo oblicuángulo?
  • 7. Este problema aparece resuelto en el libro II de Los Elementos de Euclides; las proposiciones 12 y 13 tratan por separado los casos de un triángulo obtusángulo y un triángulo acutángulo. Problemas diferentes
  • 8. Problemas diferentes Hubo que esperar hasta la edad media, cuando el matemático árabe Ghiyath al- Kashi escribió el Teorema de los senos en una forma que pudiera ser utilizable, durante el siglo XV.
  • 9. La generalización del Teorema de Pitágoras a triángulos oblicuángulos recibe el nombre de Teorema de los Cosenos y es también atribuido al matemático árabe Ghiyath al-Kashi. Problemas diferentes
  • 10. Estos Teoremas reciben el nombre de: Teoremas de senos y cosenos Ley de los cosenos Ley de los senos
  • 11. Ley de los senos y ley de los cosenos. En un triángulo cualquiera, existen seis magnitudes básicas: tres lados y tres ángulos.
  • 12. Ley de los senos y ley de los cosenos. Si se conocen tres de las magnitudes de un triángulo, es posible determinar las otras tres. Es importante determinar cuáles son los datos disponibles para elegir la herramienta adecuada.
  • 13. Ley de los senos y ley de los cosenos. Son en total seis magnitudes las que caracterizan a un triángulo: tres lados y tres ángulos. Si se conocen tres de estas seis magnitudes, se pueden determinar las tres restantes. Dependiendo de las magnitudes que se conozcan, se aplica la ley de los senos o la ley de los cosenos.
  • 16. Resolución de problemas Como ya vimos, es necesario conocer, al menos, tres datos para poder aplicar la fórmula de la ley de los senos. 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒃 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪
  • 17. Resolución de problemas Se emplea la parte de la fórmula que contiene los tres datos conocidos. Si se conocen a, c, y el ángulo C, entonces se omite la sección que contiene al ángulo B y se toman las otras dos secciones: 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒃 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪
  • 18. Resolución de problemas Se toma esta parte de la fórmula porque contiene los lados a, c, y el ángulo C, de donde se podrá despejar la magnitud cuyo valor es desconocido: 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪
  • 19. Resolución de problemas En este caso será necesario despejar el seno del ángulo A: 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪
  • 20. Resolución de problemas En resumen: Se toma la parte de la fórmula que contiene los tres datos conocidos; a, c, y el ángulo C: Y se despeja la cantidad desconocida, en este caso: seno de A
  • 21. Resolución de problemas Como ya vimos, es necesario conocer, al menos, tres datos para poder aplicar la fórmula de la ley de los senos. 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒃 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪 Pero no pueden ser 3 datos cualesquiera.
  • 22. Resolución de problemas Por ejemplo, si se conocen a, b, y el ángulo C, no es posible tomar una parte de la fórmula para despejar 𝒂 𝑺𝒆𝒏𝑨 = 𝒃 𝑺𝒆𝒏𝑩 = 𝒄 𝑺𝒆𝒏𝑪
  • 23. Resolución de problemas Si se conocen a, b, y el ángulo C, no es posible tomar una parte de la fórmula para despejar Cuando esto sucede, simplemente no es posible aplicar la ley de los senos, deberá buscarse otra estrategia de solución.
  • 24. En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el ángulo C, 56°. Ejemplo 1
  • 25. En el triángulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el ángulo C, 56°. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 1
  • 26. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 1 No es posible despejar ninguna de las magnitudes desconocidas.
  • 27. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 1 No es posible despejar ninguna de las magnitudes desconocidas. Este problema no puede ser resuelto mediante la ley de los senos, debemos buscar una estrategia diferente.
  • 28. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 1 No es posible despejar ninguna de las magnitudes desconocidas. En la segunda parte de este material se explica cómo resolver este problema.
  • 29. En el triángulo de la figura el lado a mide 15 cm; el ángulo A, 36°, y el ángulo B, 59°. Ejemplo 2
  • 30. En el triángulo de la figura el lado a mide 15 cm; el ángulo A, 36°, y el ángulo B, 59°. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 2
  • 31. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 2 Ahora sí disponemos de los datos necesarios para resolver el problema.
  • 32. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 2 Se omite la tercera fracción porque no se conoce el lado c, ni el ángulo C. Tomamos solamente la parte de la fórmula que contiene los datos.
  • 33. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 2 Una vez que sustituimos los datos conocidos, despejamos la magnitud desconocida, en este caso, el lado b.
  • 34. Al sustituir en la fórmula y despejar obtenemos: Ejemplo 2
  • 35. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 2 Ahora sólo es necesario efectuar operaciones
  • 36. Al sustituir en la fórmula obtenemos: Ejemplo 2
  • 37. Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo Ejemplo 2
  • 38. Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo, pero para el resto del problema, parece que no hay datos suficientes. Ejemplo 2
  • 39. Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo, pero para el resto del problema, parece que no hay datos suficientes. Ejemplo 2
  • 40. Hasta ahora conocemos 4 de las 6 magnitudes del triángulo, pero para el resto del problema, parece que no hay datos suficientes. Ejemplo 2 Sin embargo, existe una forma sencilla de resolverlo, ¿puedes ver cuál es?
  • 41. Con referencia a la figura adjunta, resuelve los siguientes problemas: 1. Terminar el ejemplo 2 2. B = 56°, C = 75°, a = 21 + NL 3. A = 36°, b = 15 + NL, c = 32 – NL 4. C = 45°, a = 21 + NL, c = 16 + NE 5. A = (NL + 18)°, a = NE ×13, b = NE ×13 6. B = 36°, a = NE ×15, b = NE ×18
  • 42. GraciasPor su atención Fuentes de información en línea http://licmata-math.blogspot.mx/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning https://www.facebook.com/licemata https://www.linkedin.com/in/licmata http://www.slideshare.net/licmata Twitter @licemata