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Oblique triangles 02

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Oblique triangles: Law of cosines
Triángulos oblicuángulos: Ley de los cosenos.

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Oblique triangles 02

  1. 1. El tri�ngulo rect�ngulo La resoluci�n de problemas en los que se presentan tri�ngulos rect�ngulos es sencilla; se aplica el Teorema de Pit�goras o cualquiera de las funciones trigonom�tricas b�sicas para determinar los lados y �ngulos que sea necesario.
  2. 2. El tri�ngulo rect�ngulo Las funciones trigonom�tricas que se usan son:.
  3. 3. Problemas diferentes �C�mo resolvemos problemas en los que los tri�ngulos que se presentan, no tienen ning�n �ngulo recto?
  4. 4. Problemas diferentes Cuando el tri�ngulo no es rect�ngulo, no es posible la aplicaci�n directa de las funciones trigonom�tricas b�sicas. �C�mo determinamos las medidas faltantes de un tri�ngulo si ninguno de sus �ngulos mide 90�?
  5. 5. �C�mo determinamos las medidas faltantes de un tri�ngulo si ninguno de sus �ngulos mide 90�? Problemas diferentes
  6. 6. Disponemos de dos herramientas: Problemas diferentes Ley de los cosenos Ley de los senos
  7. 7. Ley de los senos y ley de los cosenos. En un tri�ngulo cualquiera, existen seis magnitudes b�sicas: tres lados y tres �ngulos.
  8. 8. Ley de los senos y ley de los cosenos. En un tri�ngulo cualquiera, existen seis magnitudes b�sicas: tres lados y tres �ngulos. Si se conocen tres de estas magnitudes, se pueden determinar las tres restantes.
  9. 9. Ley de los senos y ley de los cosenos. En un tri�ngulo cualquiera, existen seis magnitudes b�sicas: tres lados y tres �ngulos. Si se conocen tres de estas magnitudes, se pueden determinar las tres restantes. Dependiendo de las magnitudes que se conozcan, se aplica la ley de los senos o la ley de los cosenos.
  10. 10. Resoluci�n de problemas Como ya vimos, es necesario conocer, al menos, tres datos para poder aplicar la f�rmula de la ley de los cosenos.
  11. 11. Resoluci�n de problemas Se toma la f�rmula que contiene los tres datos conocidos. Si se conocen a, b, y el �ngulo C, entonces se toma esa f�rmula:
  12. 12. Resoluci�n de problemas Se toma la f�rmula que contiene los tres datos conocidos. Si se conocen a, b, y el �ngulo C, entonces se toma esa f�rmula:
  13. 13. Resoluci�n de problemas Como ya vimos, es necesario conocer, al menos, tres datos para poder aplicar la f�rmula de la ley de los cosenos. �Pueden ser 3 datos cualesquiera?
  14. 14. Resoluci�n de problemas Como ya vimos, es necesario conocer, al menos, tres datos para poder aplicar la f�rmula de la ley de los cosenos. �Pueden ser 3 datos cualesquiera? Para aplicar la ley de los senos, no pueden ser tres datos cualesquiera, pero en este caso, �Qu� piensas?
  15. 15. Resoluci�n de problemas Por ejemplo: Si se conocen a, b, y el �ngulo A, resulta Se genera una ecuaci�n de segundo grado, pero no estamos seguros si tiene soluci�n. Resuelve el siguiente ejemplo y determina si pueden ser tres datos
  16. 16. Con referencia a la figura adjunta, resuelve el siguiente problema aplicando la ley de los cosenos: 1. A= 36�, a = NL �12, b = NL �17
  17. 17. Despu�s de resolver el problema, realiza una investigaci�n y determina si la ley de los cosenos puede aplicarse a cualquier grupo de tres datos. En caso de que sea as�, busca y publica un ejemplo de cada combinaci�n de datos y sus restricciones.
  18. 18. En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�. Ejemplo 1 (Tomado de la parte 1) La primera parte de este material se encuentra en el enlace: http://licmata-ebc.blogspot.mx/2018/02/law-of-sines.html
  19. 19. En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�. Ejemplo 1 (Tomado de la parte 1) En la parte 1 de esta presentaci�n, se ped�a resolver este problema aplicando la ley de los senos y no fue posible, tal como se muestra a continuaci�n.
  20. 20. En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�. Al sustituir en la f�rmula obtenemos: Ejemplo 1 (Aplicando ley de los senos)
  21. 21. Al sustituir en la f�rmula obtenemos: No es posible despejar ninguna de las magnitudes desconocidas. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los senos)
  22. 22. Al sustituir en la f�rmula obtenemos: No es posible despejar ninguna de las magnitudes desconocidas. Este problema no puede ser resuelto mediante la ley de los senos, debemos buscar una estrategia diferente. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los senos)
  23. 23. Al sustituir en la f�rmula obtenemos: No es posible despejar ninguna de las magnitudes desconocidas. Ahora veremos c�mo resolver este problema mediante la ley de los cosenos. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los senos)
  24. 24. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos) En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�.
  25. 25. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos) En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�.
  26. 26. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos) En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�. Esta f�rmula es la que podemos emplear porque contiene los datos disponibles.
  27. 27. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos) En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�. S�lo es necesario despejar y sustituir para determinar el valor de c.
  28. 28. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos) En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�.
  29. 29. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos) En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�.
  30. 30. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos) En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�.
  31. 31. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos) En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�.
  32. 32. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos) En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�. Se ha avanzado en la soluci�n del problema, ahora conocemos los tres lados del tri�ngulo y un �ngulo. Falta determinar los �ngulos A y B.
  33. 33. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos) En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�. Para calcular las medidas de los �ngulos A y B podemos aplicar la ley de los senos en dos ocasiones. Al final se podr� verificar que el resultado es correcto sumando los tres �ngulos; debe dar igual a 180�.
  34. 34. Ejemplo 1 (Aplicando ley de los cosenos) En el tri�ngulo de la figura el lado a mide 5 cm; el lado b, 6 cm, y el �ngulo C, 56�. Con la finalidad de practicar, vamos a calcular las medidas de los �ngulos A y B mediante la ley de los cosenos. Al final se podr� verificar que el resultado es correcto sumando los tres �ngulos; debe dar igual a 180�.
  35. 35. Para terminar el problema, despeja las otras dos f�rmulas para determinar los �ngulos faltantes y verifica que la suma de A, B y C, sea 180�.
  36. 36. En el tri�ngulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los �ngulos A, B y C. Ejemplo 2
  37. 37. En el tri�ngulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los �ngulos A, B y C. Ejemplo 2 Se conocen los tres lados, por lo tanto, deben despejarse los tres cosenos de los �ngulos.
  38. 38. En el tri�ngulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los �ngulos A, B y C. Ejemplo 2 Se conocen los tres lados, por lo tanto deben despejarse los tres cosenos de los �ngulos. Comenzaremos por determinar el valor del �ngulo A.
  39. 39. En el tri�ngulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los �ngulos A, B y C. Ejemplo 2
  40. 40. En el tri�ngulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los �ngulos A, B y C. Ejemplo 2
  41. 41. En el tri�ngulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los �ngulos A, B y C. Ejemplo 2
  42. 42. En el tri�ngulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los �ngulos A, B y C. Ejemplo 2
  43. 43. En el tri�ngulo de la figura, el lado a mide 15 cm; el lado b, 18 cm, y el lado c, 11 cm. Determina la medida de los �ngulos A, B y C. Ejemplo 2 Se ha avanzado en la soluci�n del problema, ahora conocemos los tres lados del tri�ngulo y un �ngulo. Falta determinar los �ngulos B y C.
  44. 44. Para terminar el problema, despeja las otras dos f�rmulas para determinar los �ngulos faltantes y verifica que la suma de A, B y C, sea 180�.
  45. 45. Se dice que la matem�tica no es un deporte de espectadores, es decir, no podemos afirmar que hemos aprendido matem�ticas en tanto no hayamos resuelto, en forma aut�noma, algunos problemas. La siguiente diapositiva contiene ejercicios que deber�s resolver para comprender el tema. La primera parte de este material se encuentra en el enlace: http://licmata-math.blogspot.mx/2016/01/learn-to-solve-easily-oblique-triangles.html
  46. 46. GraciasPor su atenci�n Fuentes de informaci�n en l�nea http://licmata-math.blogspot.mx/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning https://www.facebook.com/licemata https://www.linkedin.com/in/licmata http://www.slideshare.net/licmata Twitter @licemata

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