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Mi 01 change of variable 01

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Integración por cambio de variable.
Integration by Change of variable.

Published in: Engineering

Mi 01 change of variable 01

  1. 1. Métodos y Técnicas de integración G. Edgar Mata Ortiz
  2. 2. El trabajo colaborativo es fundamental para aprender, requiere una actitud de compromiso de todos los integrantes del equipo.
  3. 3. Resolución individual de problemas En forma complementaria al aprendizaje colaborativo, es indispensable que el alumno haga frente, en forma individual, a los problemas de matemáticas para desarrollar sus competencias.
  4. 4. Las técnicas de integración Son un conjunto de artificios matemáticos que se aplican cuando no es posible realizar una integración directamente, ya sea porque al diferencial le faltan variables o le sobran.
  5. 5. Las técnicas de integración En esta presentación se explica y resuelve, paso a paso, un ejemplo por el método de: Cambio de Variable
  6. 6. En primer lugar, podemos observar que no existe ninguna fórmula que pueda aplicarse, directamente, a esta integración. Ejemplo: න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
  7. 7. Vamos a utilizar la técnica de cambio de variable, estableciendo que: Ejemplo: න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑥 − 4
  8. 8. Después de elegir el cambio de variable, se despeja equis y se calcula el diferencial de equis derivando respecto a la nueva variable (se deriva x respecto a u). Ejemplo: න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑥 − 4 ∴ 𝑥 = 𝑢 + 4 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 1 ∴ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
  9. 9. Sustituimos, en la integral original, los valores obtenidos. Ejemplo: න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑥 − 4 ∴ 𝑥 = 𝑢 + 4 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 1 ∴ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 න(𝑢 + 4) 𝑢 + 4 − 4 𝑑𝑢 =
  10. 10. Sustituimos, en la integral original, los valores obtenidos. Ejemplo: න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 = න(𝑢 + 4) 𝑢 + 4 − 4 𝑑𝑢 = න(𝑢 + 4) 𝑢 𝑑𝑢 =
  11. 11. Efectuando operaciones Solución: න(𝑢 + 4) 𝑢 𝑑𝑢 = න(𝑢 + 4)𝑢 1 2 𝑑𝑢 = න 𝑢 3 2 + 4𝑢 1 2 𝑑𝑢 = න 𝑢 3 2 𝑑𝑢 + න 4𝑢 1 2 𝑑𝑢
  12. 12. Solución: = න 𝑢 3 2 𝑑𝑢 + න 4𝑢 1 2 𝑑𝑢 = 𝑢 5 2 5 2 + 4 𝑢 3 2 3 2 + 𝐶 න(𝑢 + 4)𝑢 1 2 𝑑𝑢 = න 𝑢 3 2 + 4𝑢 1 2 𝑑𝑢
  13. 13. Solución: = න 𝑢 3 2 𝑑𝑢 + න 4𝑢 1 2 𝑑𝑢 = 2 5 𝑢 5 2 + 8 3 𝑢 3 2 + 𝐶 න(𝑢 + 4)𝑢 1 2 𝑑𝑢 = න 𝑢 3 2 + 4𝑢 1 2 𝑑𝑢
  14. 14. Variable original: න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 = 2 5 𝑥 − 4 5 2 + 8 3 𝑥 − 4 3 2 + 𝐶 = 2 5 𝑥 − 4 4 2 𝑥 − 4 1 2 + 8 3 𝑥 − 4 2 2 𝑥 − 4 1 2 + 𝐶 = 2 5 𝑥 − 4 2 𝑥 − 4 + 8 3 𝑥 − 4 1 𝑥 − 4 + 𝐶 = 2 5 𝑥 − 4 2 𝑥 − 4 + 8 3 𝑥 − 4 𝑥 − 4 + 𝐶
  15. 15. Solución del problema: න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 = 2 5 𝑥 − 4 2 𝑥 − 4 + 8 3 𝑥 − 4 𝑥 − 4 + 𝐶 La solución debe expresarse en términos de la variable original (x), para que tenga sentido; no olvidemos que el cambio de variable que se realiza es arbitrario, un artificio matemático para poder resolver el problema.

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