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Derivative formulae 02

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Derivative formulae explanation
Explicación de fórmula de derivación

Published in: Engineering
  • Muchas de las personas, no le encuentran un sentido lógico a las derivadas, o por el contrario muchas de las personas no saben realmente para que sirven. "permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos" o "Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos"
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Derivative formulae 02

  1. 1. Derivative Formulae G. Edgar Mata Ortiz 2
  2. 2. Contenido 02 Derivada Introducción Fórmula 5 Ejemplos Fórmula 6 Ejemplos-2 Fórmulas Dos + Dos Fórmula 5 Ejemplos-2 Fórmula 6 Ejemplos Resumen Ejemplos
  3. 3. Existen fórmulas de derivación para expresiones sencillas como las que se estudiaron en la presentación 1, que se encuentra en el enlace: Cuando se encuentran expresiones un poco más complejas, es necesario recurrir al resto de las fórmulas de derivación. Introducción 3 http://licmata-math.blogspot.com/2019/06/first-five-derivative-formulae.html
  4. 4. Las fórmulas de derivación 5 y 6 04 En esta presentación se explican estás dos fórmulas y se desarrollan algunos ejemplos para clarificar la forma en que se aplican. La numeración es arbitraria y sólo corresponde a la ordenación empleada en el formulario que se encuentra en el enlace siguiente: https://licmata-formulae.blogspot.com/2019/06/basic-mathematics-formulae.html
  5. 5. Las fórmulas de derivación 5 y 6 05
  6. 6. Esta fórmula se introduce en la presentación 1, que se encuentra en el enlace: Ahora se trabajará esta fórmula bajo condiciones diferentes para que observemos su versatilidad. Fórmula de derivación número 5 6 http://licmata-math.blogspot.com/2019/06/first-five-derivative-formulae.html
  7. 7. Fórmula de derivación número 5 07 La fórmula número 5 se lee: La derivada de 𝒙 elevada a la potencia 𝒏 es igual a: 𝒏 por 𝒙 elevada a la potencia 𝒏 − 𝟏 Se emplean colores para identificar la variable y el exponente
  8. 8. Quinta fórmula de derivación 08 Ejemplos: 1. y = 𝑥4 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4𝑥3 2. s = 𝑡2 ∴ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 2𝑡 3. v = 𝑠3 ∴ 𝑑𝑣 𝑑𝑠 = 3𝑠2 4. y = 𝑏4 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑏 = 4𝑏3 5. 𝑎 = 𝑤3 ∴ 𝑑𝑎 𝑑𝑤 = 3𝑤2 6. 𝑔 = 𝑦5 ∴ 𝑑𝑔 𝑑𝑦 = 5𝑦4 Sólo con la finalidad de recordar esta fórmula se presentan los mismos ejemplos de la presentación 1 que puede encontrarse en el enlace señalado en la diapositiva número 3.
  9. 9. En las siguientes diapositivas se aplican directamente las cinco fórmulas citadas. En caso de dudas acerca del procedimiento para emplear estas cinco fórmulas, puede revisarse la presentación uno, que se encuentra en el enlace: 9 Fórmulas de derivación uno a la cinco. http://licmata-math.blogspot.com/2019/06/first-five-derivative-formulae.html
  10. 10. Fórmulas de derivación 1 a la 5 010 Ejemplos parte 1: Derivar 𝑦 = 7𝑥4 + 2𝑥2 − 8𝑥−2 − 9𝑥 − 10 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 28𝑥3 + 4𝑥 + 16𝑥−3 − 9 Observa qué sucede cuando un exponente es negativo
  11. 11. Fórmulas de derivación 1 a la 5 011 Ejemplos parte 1: Derivar 𝑦 = −5𝑥2 + 3𝑥1.5 + 5𝑥−1 + 2𝑥 − 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −10𝑥 + 4.5𝑥0.5 − 5𝑥−2 + 2 En este ejemplo se mezclan exponentes negativos y decimales
  12. 12. En las siguientes diapositivas se presentan ejemplos en los que es necesario, antes de aplicar las fórmulas de derivación, efectuar algún procesamiento algebraico para que la expresión se ajuste a las condiciones de las fórmulas estudiadas hasta ahora. 12 Fórmulas de derivación uno a la cinco.
  13. 13. Fórmulas de derivación 1 a la 5 013 Ejemplos parte 2: Derivar Como podemos observar, la expresión que se va a derivar no tiene la “forma” indicada por las cinco fórmulas que conocemos. 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 3
  14. 14. Fórmulas de derivación 1 a la 5 014 Ejemplos parte 2: Derivar Antes de derivar, debemos desarrollar el binomio al cubo 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 3
  15. 15. Fórmulas de derivación 1 a la 5 015 Ejemplos parte 2: Derivar 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 3 Desarrollar el binomio al cubo. 𝑦 = 8𝑥6 − 36𝑥5 + 54𝑥4 − 27𝑥3
  16. 16. Fórmulas de derivación 1 a la 5 016 Derivar 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 3 Desarrollar el binomio al cubo. 𝑦 = 8𝑥6 − 36𝑥5 + 54𝑥4 − 27𝑥3 Una vez desarrollado el binomio, aplicamos las fórmulas como en los ejemplos anteriores.
  17. 17. Fórmulas de derivación 1 a la 5 017 Derivar 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 48𝑥5 − 180𝑥4 + 216𝑥3 − 81𝑥2 Desarrollar el binomio al cubo. 𝑦 = 8𝑥6 − 36𝑥5 + 54𝑥4 − 27𝑥3 Derivar.
  18. 18. Fórmulas de derivación 1 a la 5 018 Derivar 𝑦 = 3𝑥 − 1 4 Desarrollar el binomio a la cuarta potencia. Se recomienda el uso del triángulo de Pascal o el binomio de Newton. 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
  19. 19. Fórmulas de derivación 1 a la 5 019 Derivar 𝑦 = 3𝑥 − 1 4 Desarrollar el binomio. 𝑦 = 81𝑥4 − 108𝑥3 + 54𝑥2 − 12𝑥 + 1 Derivar.
  20. 20. Fórmulas de derivación 1 a la 5 020 Derivar 𝑦 = 3𝑥 − 1 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 324𝑥3 − 324𝑥2 + 108𝑥 − 12 Desarrollar el binomio. 𝑦 = 81𝑥4 − 108𝑥3 + 54𝑥2 − 12𝑥 + 1 Derivar.
  21. 21. Los procedimientos algebraicos necesarios para derivar son muy variados, en las siguientes diapositivas mostraremos algunos ejemplos en los que se aplican propiedades de los exponentes y radicales. Después de derivar es necesario aplicar técnicas algebraicas para expresar el resultado en forma más comprensible. 21 Fórmulas de derivación uno a la cinco.
  22. 22. Fórmulas de derivación 1 a la 5 022 Derivar 𝑦 = 2 𝑥 − 3 𝑥
  23. 23. Fórmulas de derivación 1 a la 5 023 Derivar Expresar como exponentes fraccionarios. En caso de duda, consulta el formulario que se encuentra en el enlace siguiente: 𝑦 = 2 𝑥 − 3 𝑥 https://licmata-formulae.blogspot.com/2019/06/basic-mathematics-formulae.html
  24. 24. Fórmulas de derivación 1 a la 5 024 Derivar Expresar como exponentes fraccionarios 𝑦 = 𝑥 1 2 − 𝑥 1 3 𝑦 = 2 𝑥 − 3 𝑥 ( ) / m n m m nn a a a= =
  25. 25. Fórmulas de derivación 1 a la 5 025 Derivar 𝑦 = 2 𝑥 − 3 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 𝑥− 1 2 − 1 3 𝑥− 2 3 Expresar como exponentes fraccionarios 𝑦 = 𝑥 1 2 − 𝑥 1 3 Derivar.
  26. 26. Fórmulas de derivación 1 a la 5 026 Derivar 𝑦 = 2 𝑥 − 3 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 𝑥− 1 2 − 1 3 𝑥− 2 3 Expresar como exponentes fraccionarios 𝑦 = 𝑥 1 2 − 𝑥 1 3 Derivar. Simplificar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1𝑥− 1 2 2 − 1𝑥− 2 3 3
  27. 27. Fórmulas de derivación 1 a la 5 027 Derivar 𝑦 = 2 𝑥 − 3 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 𝑥− 1 2 − 1 3 𝑥− 2 3 𝑦 = 𝑥 1 2 − 𝑥 1 3 Simplificar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1𝑥− 1 2 2 − 1𝑥− 2 3 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2𝑥+ 1 2 − 1 3𝑥+ 2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 22 𝑥 − 1 3 3 𝑥2
  28. 28. Fórmulas de derivación 1 a la 5 028 Derivar 𝑦 = 3 𝑥2 + 5 𝑥3 Expresar como exponentes fraccionarios ( ) / m n m m nn a a a= =
  29. 29. Fórmulas de derivación 1 a la 5 029 Derivar 𝑦 = 𝑥 2 3 + 𝑥 3 5 𝑦 = 3 𝑥2 + 5 𝑥3 ( ) / m n m m nn a a a= =
  30. 30. Fórmulas de derivación 1 a la 5 030 Derivar 𝑦 = 𝑥 2 3 + 𝑥 3 5 𝑦 = 3 𝑥2 + 5 𝑥3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 3 𝑥− 1 3 + 3 5 𝑥− 2 5
  31. 31. Fórmulas de derivación 1 a la 5 031 Derivar 𝑦 = 3 𝑥2 + 5 𝑥3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 3 𝑥− 1 3 + 3 5 𝑥− 2 5 𝑦 = 𝑥 2 3 + 𝑥 3 5 Simplificar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥− 1 3 3 + 3𝑥− 2 5 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 3𝑥+ 1 3 + 3 5𝑥+ 2 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 33 𝑥 + 3 5 5 𝑥2
  32. 32. Aunque el álgebra puede ser útil para “ajustar” algunas expresiones algebraicas a las fórmulas que conocemos, no siempre es sencillo, y en algunos casos no es posible. En estos casos se utilizan otras fórmulas que estudiaremos a continuación. 32 Fórmulas de derivación uno a la cinco.
  33. 33. Fórmula de derivación número 6 033 La fórmula número 6 se lee: La derivada de 𝒗 elevada a la potencia 𝒏 es igual a: 𝒏 por 𝒗 elevada a la potencia 𝒏 − 𝟏 Por la derivada de 𝒗 Se emplean colores para identificar la variable y el exponente
  34. 34. Fórmula de derivación número 6 034 Derivar Este ejemplo fue resuelto realizando transformaciones algebraicas para que se ajustara a las fórmulas 1 a la 5. Ahora vamos a aplicar, directamente, la fórmula 6. 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 3
  35. 35. Fórmula de derivación número 6 035 Derivar 𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3 2𝑥2 − 3𝑥 2 4𝑥 − 3 En ocasiones se simplifica o reacomoda este resultado, sin embargo, es poco lo que puede hacerse, por lo tanto, se deja así.
  36. 36. Fórmula de derivación número 6 036 Derivar Este ejemplo también fue resuelto realizando transformaciones algebraicas para que se ajustara a las fórmulas 1 a la 5. Ahora vamos a aplicar, directamente, la fórmula 6. 𝑦 = 3𝑥 − 1 4
  37. 37. Fórmula de derivación número 6 037 Derivar 𝑦 = 3𝑥 − 1 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4 3𝑥 − 1 3 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 12 3𝑥 − 1 3 En este ejemplo sí se realizó una sencilla simplificación.
  38. 38. Fórmula de derivación número 6 038 Derivar Especialmente cuando se presentan exponentes grandes, es más sencillo aplicar la fórmula 6, en lugar de desarrollar el binomio. 𝑦 = 5𝑥2 − 4 10
  39. 39. Fórmula de derivación número 6 039 Derivar 𝑦 = 5𝑥2 − 4 10 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 10 5𝑥2 − 4 9 10𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 100𝑥 5𝑥2 − 4 9 En este ejemplo sí se realizó una sencilla simplificación.
  40. 40. Fórmula de derivación número 6 040 Derivar Especialmente cuando se presentan exponentes grandes, es más sencillo aplicar la fórmula 6, en lugar de desarrollar el polinomio. 𝑦 = 2𝑥4 + 3𝑥3 − 5𝑥 + 2 15
  41. 41. Fórmula de derivación número 6 041 Derivar 𝑦 = 2𝑥4 + 3𝑥3 − 5𝑥 + 2 15 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 15 2𝑥4 + 3𝑥3 − 5𝑥 + 2 14 8𝑥3 + 9𝑥2 − 5
  42. 42. Los procedimientos algebraicos necesarios para derivar son muy variados, en las siguientes diapositivas mostraremos algunos ejemplos en los que se aplican propiedades de los exponentes y radicales. Después de derivar es necesario aplicar técnicas algebraicas para expresar el resultado en forma más comprensible. 42 Fórmulas de derivación uno a la cinco.
  43. 43. Fórmula de derivación número 6 043 Derivar En este caso, es necesario aplicar propiedades de exponentes y radicales para expresar la raíz como exponente fraccionario. 𝑦 = 4𝑥3 − 5𝑥 + 3
  44. 44. Fórmula de derivación número 6 044 Derivar 𝑦 = 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 − 1 2 12𝑥2 − 5
  45. 45. Fórmula de derivación número 6 045 Derivar 𝑦 = 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 − 1 2 12𝑥2 − 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 − 1 2 12𝑥2 − 5 2
  46. 46. Fórmula de derivación número 6 046 Derivar 𝑦 = 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 − 1 2 12𝑥2 − 5 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 12𝑥2 − 5 2 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 + 1 2
  47. 47. Fórmula de derivación número 6 047 Derivar 𝑦 = 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 12𝑥2 − 5 2 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 + 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 12𝑥2 − 5 2 4𝑥3 − 5𝑥 + 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 12𝑥2 − 5 2 4𝑥3 − 5𝑥 + 3
  48. 48. Fórmula de derivación número 6 048 Derivar En este caso, es necesario aplicar propiedades de exponentes y radicales para expresar la raíz como exponente fraccionario. 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥
  49. 49. Fórmula de derivación número 6 049 Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 1 2 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥
  50. 50. Fórmula de derivación número 6 050 Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 1 2 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 − 1 2(−10𝑥4 + 12𝑥2 + 3)
  51. 51. Fórmula de derivación número 6 051 Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 − 1 2(−10𝑥4 + 12𝑥2 + 3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 − 1 2(−10𝑥4 + 12𝑥2 + 3) 2
  52. 52. Fórmula de derivación número 6 052 Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 − 1 2(−10𝑥4 + 12𝑥2 + 3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 − 1 2(−10𝑥4 + 12𝑥2 + 3) 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 (−10𝑥4 + 12𝑥2 + 3) 2 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 + 1 2
  53. 53. Fórmula de derivación número 6 053 Derivar 𝑦 = −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 − 1 2(−10𝑥4 + 12𝑥2 + 3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 − 1 2(−10𝑥4 + 12𝑥2 + 3) 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 (−10𝑥4 + 12𝑥2 + 3) 2 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥 + 1 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −10𝑥4 + 12𝑥2 + 3 2 −2𝑥5 + 4𝑥3 + 3𝑥
  54. 54. Gracias por su atención 54

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