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Derivative applications 05 cylinder

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Problem solving process, derivative applications
Máximos y mínimos

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Derivative applications 05 cylinder

  1. 1. Aplicaciones de la Derivada G. Edgar Mata Ortiz 5555
  2. 2. 5555
  3. 3. Introducción En el presente material se resuelve un problema de optimización mediante máximos y mínimos relativos, siguiendo un proceso sistemático; desde la modelación, estrategia de solución, y la interpretación contextual de la respuesta del modelo.
  4. 4. CONTENIDO 1 2 3 4 Problema Elaborar modelo matemático Resolver modelo matemático Interpretación del modelo
  5. 5. Problema Se requiere fabricar un recipiente cilíndrico, cerrado sólo en su base, con capacidad de un litro (1,000 cm3). ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que el material utilizado sea el mínimo posible?
  6. 6. Análisis y comprensión del problema Para determinar el volumen de un cilindro se utiliza la fórmula: Donde solamente intervienen dos variables: radio y altura del cilindro. Se dice que el cilindro queda definido mediante su altura y su radio. 𝑉 = 𝜋𝑟2 ℎ 𝑟 ℎ Información necesaria
  7. 7. Análisis y comprensión del problema La pregunta acerca de las dimensiones del cilindro se refiere a que; es posible construir un cilindro de volumen igual a un litro con un radio pequeño, en cuyo caso la altura deberá ser mayor, o con un radio grande y, por lo tanto, con una altura menor. ¿En cuál de estos casos se requiere una menor cantidad de material? 𝑉 = 𝜋𝑟2 ℎ Interpretación de la información 𝑟 ℎ 𝑟 ℎ
  8. 8. Modelo matemático La cantidad de material utilizado se interpreta, geométricamente, como el área lateral total (ALT), que está formada por una base circular (AB) y la pared del cilindro, llamada área lateral (AL). 𝐴 𝐿𝑇 = 𝐴 𝐵 + 𝐴 𝐿 Información necesaria
  9. 9. Modelo matemático Las fórmulas de estas dos áreas son: 𝐴 𝐿𝑇 = 𝐴 𝐵 + 𝐴 𝐿 Información necesaria 𝐴 𝐵 = 𝜋𝑟2 𝐴 𝐿 = 2𝜋𝑟ℎ Sustituyéndolas el área lateral total es: 𝐴 𝐿𝑇 = 𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ
  10. 10. Modelo matemático Sustituyendo en la fórmula del volumen: Porque sabemos que el cilindro deberá tener un volumen de 1 litro que equivale a 1000 cm3. 𝑉 = 𝜋𝑟2 ℎ 𝑟 ℎ Identificación de la incógnita 𝜋𝑟2 ℎ = 1000
  11. 11. Modelo matemático Tenemos dos cantidades desconocidas, el radio y la altura del cilindro. Podemos despejar cualquiera de ellas y sustituirla en la fórmula del área lateral total para que quede una función con una sola variable. 𝑟 ℎ Identificación de la incógnita 𝜋𝑟2 ℎ = 1000
  12. 12. Modelo matemático Vamos a despejar la altura, porque si despejamos el radio obtendremos una raíz cuadrada, que preferimos evitar. Identificación de la incógnita 𝜋𝑟2 ℎ = 1000 ℎ = 1000 𝜋𝑟2
  13. 13. Modelo matemático Sustituyendo la altura que despejamos Obtención de la función 𝐴 𝐿𝑇 = 𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟𝒉 𝒉 = 1000 𝜋𝑟2 𝐴 𝐿𝑇 = 𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟 1000 𝜋𝑟2
  14. 14. Modelo matemático Si representamos el radio como equis y el área lateral total como ye, y simplificamos obtendremos la función que modela el problema. Obtención de la función 𝐴 𝐿𝑇 = 𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟 1000 𝜋𝑟2 𝑦 = 𝜋𝑥2 + 2𝜋𝑥 1000 𝜋𝑥2 𝑦 = 𝜋𝑥2 + 1000(2𝜋𝑥) 𝜋𝑥2 𝑦 = 𝜋𝑥2 + 2000 𝑥
  15. 15. Modelo matemático La función que modela el problema es: Obtención de la función 𝑦 = 𝜋𝑥2 + 2000 𝑥
  16. 16. Resolver el modelo matemático Aplicar el procedimiento de máximos y mínimos relativos 𝑦 = 𝜋𝑥2 + 2000 𝑥 Derivar con respecto a equis: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝜋𝑥 − 2000 𝑥2
  17. 17. Resolver el modelo matemático Aplicar el procedimiento de máximos y mínimos relativos Igualar a cero la derivada: 2𝜋𝑥 − 2000 𝑥2 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0
  18. 18. Resolver el modelo matemático Aplicar el procedimiento de máximos y mínimos relativos Resolver la ecuación obtenida: 2𝜋𝑥 − 2000 𝑥2 = 0 2𝜋𝑥 = + 2000 𝑥2 2𝜋𝑥 ∙ 𝑥2 = 2000 2𝜋𝑥3 = 2000 𝑥3 = 2000 2𝜋
  19. 19. Resolver el modelo matemático Aplicar el procedimiento de máximos y mínimos relativos Resolver la ecuación obtenida: 2𝜋𝑥 ∙ 𝑥2 = 2000 2𝜋𝑥3 = 2000 𝑥3 = 2000 2𝜋 𝑥3 = 318.309886 𝑥 = 6.8278406 Este valor de equis es la solución del modelo, desde luego con muchos más decimales.
  20. 20. Interpretación del modelo Relacionar la respuesta del modelo, con el problema real. El valor de equis representa el radio del cilindro. 𝑥 = 6.8278406 Para que el material empleado en la fabricación de un recipiente cilíndrico de un litro, de modo que el material empleado sea el mínimo posible, debe tener un radio de 6.8278406 cm. 𝑟 = 6.8278406
  21. 21. Interpretación del modelo Relacionar la respuesta del modelo, con el problema real. Falta determinar la altura del cilindro. 𝑟 = 6.8278406 ℎ = 1000 𝜋𝑟2 ℎ = 1000 𝜋(6.8278406)2 ℎ = 6.8278406
  22. 22. Interpretación del modelo Relacionar la respuesta del modelo, con el problema real. El radio y la altura son iguales. 𝑟 = 6.8278406 Para que el material empleado en la fabricación de un recipiente cilíndrico de un litro, sea el mínimo posible, debe tener un radio de 6.8278406 cm y una altura de 6.8278406 cm. ℎ = 6.8278406
  23. 23. Interpretación del modelo Relacionar la respuesta del modelo, con el problema real. Sólo falta calcular el área lateral total. 𝐴 𝐿𝑇 = 𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ 𝐴 𝐿𝑇 = 𝜋(6.8278406)2 +2𝜋(6.8278406)(6.8278406) 𝐴 𝐿𝑇 = 439.3775663
  24. 24. Interpretación del modelo Relacionar la respuesta del modelo, con el problema real. El radio y la altura son iguales. 𝑟 = 6.8278406 Para que el material empleado en la fabricación de un recipiente cilíndrico de un litro, sea el mínimo posible, debe tener un radio de 6.8278406 cm y una altura de 6.8278406 cm, obteniéndose un área lateral total de 439.3775663 cm2 ℎ = 6.8278406 𝐴 𝐿𝑇 = 439.3775663
  25. 25. Gracias por su atención

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