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G. Edgar Mata Ortiz
Mathematics
“In mathematics, the
art of proposing a
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than solving it ”
George Cantor ...
Contenido
Problemas de
razonamiento01 Sistemas de dos
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Punto de equilibrio03 Ejemplo (3 partes)04
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Problemas de razonamiento
Estos problemas muestran algunas de las aplicaciones
de la matemática a diferentes situaciones d...
Problemas de razonamiento
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la vida profesional; el uso de la ma...
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razonamiento requiere de un
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Problemas de razonamiento
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Punto de equilibrio
Al resolver un problema de razonamiento es necesario
emplear conocimientos de la disciplina o ciencia ...
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Los costos e ingresos dependen de la cantidad de
productos fabricados y vendidos, cada una de estas
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Ejemplo
Una buena forma de aprender es mediante ejemplos.
En las siguientes diapositivas se resuelve un problema de
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Ejemplo
Primera Parte
En la fábrica de computadoras HAL
se incurre en costos fijos de
$750,000 mensuales para fabricar el
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Ejemplo
Segunda Parte
Debido a problemas de operación, el
costo unitario de producción de la
Netbook-9000 se ha elevado a
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Ejemplo
Tercera Parte
Si el costo fijo se mantiene
constante a pesar del aumento en el
costo unitario de producción, y el
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Ejemplo
Cuarta Parte
Uno de los componentes de la
Netbook-9000 se compra a un
proveedor internacional. El jefe de
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Ejemplo
Cuarta Parte
Si la demanda pronosticada se
mantiene en 1,600 piezas
mensuales, ¿es conveniente llevar a
cabo el ca...
Problemas de razonamiento
Problemas de razonamiento
En realidad se deben resolver cuatro problemas
independientes.
Cuatro problemas independientes
01 02 03 04
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Las cantidades desconocidas son:
1. Cantidad de computadoras que se van a fabricar ...
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Los datos disponibles son:
1. Costo fijo = $750,000
2. Costo unitario de fabricació...
Resolver la primera parte del problema
Las relaciones que pueden establecerse son:
1. Costo total = Costo fijo + costo var...
Resolver la primera parte del problema
Solamente nos preguntan una cosa:
¿Cuál es el punto de equilibrio?
Preguntas
Resumen del primer paso
Identificar las cantidades desconocidas
Datos disponibles
Relaciones entre cantidades desconocidas...
Resumen del primer paso
Este primer paso resulta muy largo de explicar debido a que estamos tratando de poner
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Resolver la primera parte del problema
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Resumen del segundo paso
Este segundo paso fue,
sencillamente, una
traducción del lenguaje
natural al algebraico.
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con dos incógnitas. Primera ecuación:
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El tercer paso consiste en obtener las dos ecuaciones
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Ingreso = Precio de venta x Nú...
Resumen del tercer paso
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Trazo de la
gráfica.
Plano
cartesiano
Trazo de la
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Puntos de la
función de
costo.
Trazo de la
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función de
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cartesiano.
Trazo de la
gráfica.
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intersección.
Trazo de la
gráfica.
Las
coordenadas
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son la
solución del
problema.
Comprobación
2,800 750,000
2,800( ) 750,000
2'996,000 750,000
3'74
3'800,000 1,070
3'800,000
3'800,000
3'800,000 1,070
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Resumen del cuarto paso
Se resolvió el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
por el método gráfico.
Se acepta un er...
Resumen del cuarto paso
El punto de equilibrio es:
x = 1,070 y = 3’800,000
Lo cuál significa que deben fabricarse y vender...
Cuatro problemas independientes
01 02 03 04
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punto de
equilibrio
inicial
Determinar
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Cuatro problemas independientes
Solamente se ha resuelto la primera parte del problema, en
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Gracias
Por su atención
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Break even point two linear equations system

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Punto de equilibrio costo vs ingreso
Break Even Point

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Break even point two linear equations system

  1. 1. Break Even Point G. Edgar Mata Ortiz
  2. 2. Mathematics “In mathematics, the art of proposing a question must be held of higher value than solving it ” George Cantor (1845 – 1918)
  3. 3. Contenido Problemas de razonamiento01 Sistemas de dos ecuaciones lineales02 Punto de equilibrio03 Ejemplo (3 partes)04 Math Model
  4. 4. Problemas de razonamiento Estos problemas muestran algunas de las aplicaciones de la matemática a diferentes situaciones de la vida real.
  5. 5. Problemas de razonamiento En el presente documento se plantea un tema relacionado con la vida profesional; el uso de la matemática para la elección de un curso de acción o toma de decisiones.
  6. 6. Problemas de razonamiento La solución de un problema de razonamiento requiere de un proceso de “modelado” o representación de la situación real en términos de variables y relaciones matemáticas
  7. 7. Problemas de razonamiento
  8. 8. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.Linear equations Los sistemas de ecuaciones lineales son un resultado matemático y no tienen un significado específico en el mundo real. Para que los objetos matemáticos sean aplicados a la realidad es necesario expresar la información en términos de esta ciencia.
  9. 9. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.Linear equations Con la finalidad de que el problema planteado pueda resolverse mediante un sistema de dos ecuaciones lineales es necesario establecer algunos postulados: 1. Las variables que describen el problema se reducirán a dos para poder emplear sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas 2. Se asume que las relaciones entre variables son lineales
  10. 10. Punto de equilibrio Al resolver un problema de razonamiento es necesario emplear conocimientos de la disciplina o ciencia a la que pertenece el problema que se resolverá: Física, economía, finanzas, química, termodinámica, entre muchas otras.
  11. 11. Punto de equilibrio El conocimiento necesario para resolver este problema es el punto de equilibrio entre los costos en que se incurre para producir un artículo, y los ingresos por su venta. Se le llama punto de equilibrio a la cantidad de artículos que deben producirse y venderse para que no haya pérdidas ni ganancias.
  12. 12. Punto de equilibrio Los costos e ingresos dependen de la cantidad de productos fabricados y vendidos, cada una de estas variables se representará mediante una función lineal.
  13. 13. Ejemplo Una buena forma de aprender es mediante ejemplos. En las siguientes diapositivas se resuelve un problema de razonamiento mostrando detalladamente cada paso del proceso. Modelo Matemático
  14. 14. Ejemplo Primera Parte En la fábrica de computadoras HAL se incurre en costos fijos de $750,000 mensuales para fabricar el modelo Netbook-9000, la cual tiene un costo unitario de manufactura de $2,800. Determina el punto de equilibrio cuando el precio de venta de la Netbook-9000 es de $3,500
  15. 15. Ejemplo Segunda Parte Debido a problemas de operación, el costo unitario de producción de la Netbook-9000 se ha elevado a $3,020, mientras el costo unitario permanece constante. Determina el nuevo punto de equilibrio si no se desea alterar el precio de venta.
  16. 16. Ejemplo Tercera Parte Si el costo fijo se mantiene constante a pesar del aumento en el costo unitario de producción, y el pronóstico de ventas indica que se venderán 1,600 piezas por mes, ¿es conveniente, económicamente, mantener el precio de venta? Justifica tu respuesta.
  17. 17. Ejemplo Cuarta Parte Uno de los componentes de la Netbook-9000 se compra a un proveedor internacional. El jefe de ingeniería propone que, si se deja de comprar dicho componente para fabricarlo dentro de la empresa, se aumenta el costo fijo de la Netbook, de $750,000 a $850,000 pero se reduce el costo unitario de producción, de $3,020 a $2,700.
  18. 18. Ejemplo Cuarta Parte Si la demanda pronosticada se mantiene en 1,600 piezas mensuales, ¿es conveniente llevar a cabo el cambio propuesto? justifica tu respuesta
  19. 19. Problemas de razonamiento
  20. 20. Problemas de razonamiento En realidad se deben resolver cuatro problemas independientes.
  21. 21. Cuatro problemas independientes 01 02 03 04 Determinar punto de equilibrio inicial Determinar un segundo punto de equilibrio Análisis del precio de venta ¿Es mejor comprar o fabricar?
  22. 22. Resolver la primera parte del problema 01 Determinar punto de equilibrio inicial En la fábrica de computadoras HAL se incurre en costos fijos de $750,000 mensuales para fabricar el modelo Netbook-9000, la cual tiene un costo unitario de manufactura de $2,800. Determina el punto de equilibrio cuando el precio de venta de la Netbook-9000 es de $3,500
  23. 23. Resolver la primera parte del problema El primer paso consiste en comprender el problema Comprender el problema Identificar cantidades desconocidas Datos Relaciones entre datos y cantidades desconocidas Preguntas
  24. 24. Resolver la primera parte del problema Las cantidades desconocidas son: 1. Cantidad de computadoras que se van a fabricar y vender 2. Costo de fabricación de ese número de computadoras 3. Ingresos por las computadoras que se vana vender Identificar cantidades desconocidas
  25. 25. Resolver la primera parte del problema Los datos disponibles son: 1. Costo fijo = $750,000 2. Costo unitario de fabricación = $2,800 3. Precio de venta por pieza = $3,500 Datos
  26. 26. Resolver la primera parte del problema Las relaciones que pueden establecerse son: 1. Costo total = Costo fijo + costo variable 2. Ingresos = precio de venta por número de piezas vendidas 3. Punto de equilibrio: Costo total = Ingresos Relaciones entre datos y cantidades desconocidas
  27. 27. Resolver la primera parte del problema Solamente nos preguntan una cosa: ¿Cuál es el punto de equilibrio? Preguntas
  28. 28. Resumen del primer paso Identificar las cantidades desconocidas Datos disponibles Relaciones entre cantidades desconocidas y datos ¿Qué es lo que nos preguntan? Número de computadores que se van a fabricar y vender, costo de fabricación e ingreso. Costo fijo = $750,000 /mes , costo unitario = $2,800, precio de venta = $3,500 Costo total = Costo fijo + Costo variable, Ingresos = Precio de venta por número de piezas, Punto de equilibrio: Costo total = Ingreso Punto de equilibrio: Cantidad de piezas a fabricar y vender para que no haya pérdidas ni ganancias.
  29. 29. Resumen del primer paso Este primer paso resulta muy largo de explicar debido a que estamos tratando de poner por escrito lo que sucede en la mente de la persona que está analizando el problema. Más adelante ordenaremos la información de tal forma que sea posible, para cualquier persona, seguir la línea de razonamientos que condujo al planteamiento y resolución del problema.
  30. 30. Resolver la primera parte del problema El segundo paso consiste en expresar algebraicamente las cantidades desconocidas, datos, y sus relaciones. Expresar en el lenguaje del álgebra Incógnita “x” Relaciones x,y Incógnita “y” Otras relacionesx,y
  31. 31. Resolver la primera parte del problema Naturalmente este segundo paso toma como base la información generada en el primer paso: cantidades desconocidas, datos y relaciones que serán expresadas como ecuaciones lineales.
  32. 32. Resolver la primera parte del problema Vamos a anotar esta segunda parte en una tabla con la finalidad de que podamos comunicar mejor el proceso de solución a otras personas.
  33. 33. Resolver la primera parte del problema La tabla contendrá las cantidades desconocidas, sus interrelaciones, y su expresión algebraica. Cantidades desconocidas Información disponible y/o interrelaciones Expresión algebraica
  34. 34. Lenguaje algebraico Cantidades desconocidas Información disponible y/o interrelaciones Expresión algebraica Número de piezas que se van a fabricar Incógnita x Cualquiera de las cantidades desconocidas puede tomarse como incógnita, en este caso se ha decidido tomar la cantidad de computadoras que van a fabricarse como incógnita e identificarla con la letra equis.
  35. 35. Lenguaje algebraico Cantidades desconocidas Información disponible y/o interrelaciones Expresión algebraica Número de piezas que se van a fabricar Incógnita x Número de piezas que se van a vender Se considera que se venden todas las piezas fabricadas x Este postulado de piezas vendidas igual a piezas fabricadas tiene la finalidad de simplificar el modelo
  36. 36. Lenguaje algebraico Cantidades desconocidas Información disponible y/o interrelaciones Expresión algebraica Número de piezas que se van a fabricar Incógnita x Número de piezas que se van a vender Se considera que se venden todas las piezas fabricadas x Costo total de producción Se considerará como una segunda incógnita y Cuando se plantea un problema con dos incógnitas se busca establecer las ecuaciones después de este paso.
  37. 37. Lenguaje algebraico Cantidades desconocidas Información disponible y/o interrelaciones Expresión algebraica Número de piezas que se van a fabricar Incógnita x Número de piezas que se van a vender Se considera que se venden todas las piezas fabricadas x Costo total de producción Se considerará como una segunda incógnita y Ingresos por ventas En el punto de equilibrio, los costos son iguales a los ingresos y
  38. 38. Resumen del segundo paso Este segundo paso fue, sencillamente, una traducción del lenguaje natural al algebraico. TRADUCCIÓN Lenguaje natural Lenguaje algebraico
  39. 39. Resolver la primera parte del problema El tercer paso consiste en obtener las ecuaciones que relacionan las incógnitas y los datos. 𝒚 = 𝒇(𝒙)
  40. 40. Resolver la primera parte del problema El tercer paso consiste en obtener las ecuaciones que relacionan las incógnitas y los datos. Para efectuar el tercer paso debemos recurrir a información o conocimientos adicionales a los que el problema presenta, en este caso, la forma de calcular los costos totales y los ingresos.
  41. 41. El tercer paso consiste en obtener las dos ecuaciones con dos incógnitas. Primera ecuación: Costo total = Costo fijo + Costo variable CT = CF + Costo unitario x Número de piezas CT = CF + CU x NP y = 750,000 + 2,800(x) y = 2,800x + 750,000 Esta última expresión algebraica se identificará como ecuación 1. Resolver la primera parte del problema
  42. 42. El tercer paso consiste en obtener las dos ecuaciones con dos incógnitas. Segunda ecuación: Ingreso = Precio de venta x Núm. de piezas I = PV x NP y = 3,500(x) y = 3,500x Esta última expresión algebraica se identificará como ecuación 2. Resolver la primera parte del problema
  43. 43. Resumen del tercer paso La obtención de las ecuaciones se basa en conocimientos previos, algún dato del problema o una combinación de las dos cosas. En este caso se utilizaron conocimientos acerca de costo total e ingreso y algunos datos. El resultado es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Ecuación 1: y = 2,800x + 750,000 Ecuación 2: y = 3,500x 𝒚 = 𝒇(𝒙)
  44. 44. Resolver la primera parte del problema El cuarto paso consiste en resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por cualquier método, como: 1. Método gráfico 2. Métodos algebraicos 3. Métodos lineales
  45. 45. Resolver la primera parte del problema El cuarto paso consiste en resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por cualquier método, como: 1. Método gráfico 2. Métodos algebraicos 3. Métodos lineales En este ejemplo emplearemos el método gráfico.
  46. 46. Resolver la primera parte del problema El método gráfico requiere que se tabulen las dos rectas y se grafiquen sobre el mismo plano para localizar el punto de intersección, que es la solución.
  47. 47. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de costo (ecuación 1). x = piezas fabricadas 2800x + 750000 y = costo total
  48. 48. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de costo (ecuación 1). x = piezas fabricadas 2800x + 750000 y = costo total 0 300 600 900 1200 1500 1800
  49. 49. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de costo (ecuación 1). x = piezas fabricadas 2800x + 750000 y = costo total 0 2800(0)+750000 750000 300 2800(300)+750000 600 900 1200 1500 1800
  50. 50. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de costo (ecuación 1). x = piezas fabricadas 2800x + 750000 y = costo total 0 2800(0)+750000 750000 300 2800(300)+750000 1590000 600 900 1200 1500 1800
  51. 51. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de costo (ecuación 1). x = piezas fabricadas 2800x + 750000 y = costo total 0 2800(0)+750000 750000 300 2800(300)+750000 600 2800(600)+750000 900 2800(900)+750000 1200 2800(1200)+750000 1500 2800(1500)+750000 1800 2800(1800)+750000
  52. 52. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de costo (ecuación 1). x = piezas fabricadas 2800x + 750000 y = costo total 0 2800(0)+750000 750000 300 2800(300)+750000 1590000 600 2800(600)+750000 2430000 900 2800(900)+750000 1200 2800(1200)+750000 1500 2800(1500)+750000 1800 2800(1800)+750000
  53. 53. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de costo (ecuación 1). x = piezas fabricadas 2800x + 750000 y = costo total 0 2800(0)+750000 750000 300 2800(300)+750000 1590000 600 2800(600)+750000 2430000 900 2800(900)+750000 3270000 1200 2800(1200)+750000 4110000 1500 2800(1500)+750000 1800 2800(1800)+750000
  54. 54. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de costo (ecuación 1). x = piezas fabricadas 2800x + 750000 y = costo total 0 2800(0)+750000 750000 300 2800(300)+750000 1590000 600 2800(600)+750000 2430000 900 2800(900)+750000 3270000 1200 2800(1200)+750000 4110000 1500 2800(1500)+750000 4950000 1800 2800(1800)+750000 5790000
  55. 55. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de ingreso (ecuación 2). x = piezas fabricadas 3500x y = ingreso
  56. 56. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de ingreso (ecuación 2). x = piezas fabricadas 3500x y = ingreso 0 300 600 900 1200 1500 1800
  57. 57. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de ingreso (ecuación 2). x = piezas fabricadas 3500x y = ingreso 0 3500(0) 0 300 3500(300) 600 900 1200 1500 1800
  58. 58. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de ingreso (ecuación 2). x = piezas fabricadas 3500x y = ingreso 0 3500(0) 0 300 3500(300) 1050000 600 900 1200 1500 1800
  59. 59. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de ingreso (ecuación 2). x = piezas fabricadas 3500x y = ingreso 0 3500(0) 0 300 3500(300) 1050000 600 3500(600) 900 3500(900) 1200 3500(1200) 1500 3500(1500) 1800 3500(1800)
  60. 60. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de ingreso (ecuación 2). x = piezas fabricadas 3500x y = ingreso 0 3500(0) 0 300 3500(300) 1050000 600 3500(600) 2100000 900 3500(900) 3150000 1200 3500(1200) 1500 3500(1500) 1800 3500(1800)
  61. 61. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de ingreso (ecuación 2). x = piezas fabricadas 3500x y = ingreso 0 3500(0) 0 300 3500(300) 1050000 600 3500(600) 2100000 900 3500(900) 3150000 1200 3500(1200) 4200000 1500 3500(1500) 5250000 1800 3500(1800)
  62. 62. Resolver la primera parte del problema Tabulación de la función de ingreso (ecuación 2). x = piezas fabricadas 3500x y = ingreso 0 3500(0) 0 300 3500(300) 1050000 600 3500(600) 2100000 900 3500(900) 3150000 1200 3500(1200) 4200000 1500 3500(1500) 5250000 1800 3500(1800) 6300000
  63. 63. Trazo de la gráfica. Plano cartesiano
  64. 64. Trazo de la gráfica. Puntos de la función de costo.
  65. 65. Trazo de la gráfica. Puntos de la función de costo.
  66. 66. Trazo de la gráfica. Las dos gráficas sobre el mismo plano cartesiano.
  67. 67. Trazo de la gráfica. Localización, a simple vista, de las coordenadas del punto de intersección.
  68. 68. Trazo de la gráfica. Las coordenadas del punto de intersección son la solución del problema.
  69. 69. Comprobación 2,800 750,000 2,800( ) 750,000 2'996,000 750,000 3'74 3'800,000 1,070 3'800,000 3'800,000 3'800,000 1,070 3'800,000 6 3,500 3,500( ) 3'745,000 ,000 y Error aceptable Error aceptab y x x le = + = + = + = = = = Esta es una de las limitaciones del método gráfico; no siempre es posible obtener el resultado exacto, pero se considera aceptable si el error es menor a un 2% ó 3%.
  70. 70. Resumen del cuarto paso Se resolvió el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método gráfico. Se acepta un error entre el 2% y el 3% en la comprobación. Los valores de “x, y” son la solución del problema.
  71. 71. Resumen del cuarto paso El punto de equilibrio es: x = 1,070 y = 3’800,000 Lo cuál significa que deben fabricarse y venderse 1,070 piezas para que tanto el costo como el ingreso sean de 3’800,000 con lo cuál no habrá pérdidas ni ganancias.
  72. 72. Cuatro problemas independientes 01 02 03 04 Determinar punto de equilibrio inicial Determinar un segundo punto de equilibrio Análisis del precio de venta ¿Es mejor comprar o fabricar?
  73. 73. Cuatro problemas independientes Solamente se ha resuelto la primera parte del problema, en próximas presentaciones se resolverán las otras tres partes.
  74. 74. Gracias Por su atención licmata@hotmail.com http://licmata-math.blogspot.com/ http://www.slideshare.net/licmata/ http://www.facebook.com/licemata Twitter: @licemata

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