Aplicaciones histogramas 00 solución

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Solución de problemas utilizando histogramas.
Aplicación de histogramas resuelto.

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Aplicaciones histogramas 00 solución

  1. 1. Mayo 2012 Histogramas G. Edgar Mata Ortiz Aplicaciones de histogramas y tablas de distribución de frecuencias. licmata@hotmail.com http://licmata-math.blogspot.comS http://www.slideshare.net/licmata/ C Twitter: @licemata http://www.facebook.com/licemata
  2. 2. Aplicaciones de los histogramas y tablas de distribución de frecuencias. Lic. G. Edgar Mata OrtizUn histograma es una excelente herramienta para la descripción de conjuntos de datosy, si se emplea adecuadamente, para la comparación de dichos conjuntos de datos.En el siguiente ejercicio, elabora las tablas de distribución de frecuencias, loshistogramas y gráficos de cajas para cada conjunto de datos y contesta las preguntasexplicando detalladamente los argumentos para tus respuestas.Importante: Utiliza las medias, medianas, modas y desviaciones estándar obtenidas en la tabla parajustificar tu elección, luego utiliza el histograma para confirmar o matizar tu decisión y finalmenteemplea la gráfica de cajas para argumentar tu posición. Elabora las conclusiones.Ejercicio 1.La fábrica de microscopios “Carolin” necesita elegir entre tres proveedores derodamientos de alta precisión. Se presentan 10 proveedores a la licitación, pero sólotres de ellos venden el material con las especificaciones indicadas (Las fábricas;“Carlos Gardel”, “El Vítor” y “Elodio”) y al mismo costo. Se solicita a los tresproveedores que envíen una muestra de 150 piezas con un diámetro de 7.5 ± 0.075mm. Las medidas de los rodamientos de las tres empresas se encuentran en lassiguientes tablas. ¿Cuál empresa seleccionarías? ¿Por qué?Tabla de mediciones correspondientes a la fábrica “Carlos Gardel S. A. de C. V.” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7.427 7.518 7.536 7.436 7.556 7.545 7.459 7.504 7.490 7.468 7.512 7.528 7.479 7.499 7.477 2 7.426 7.526 7.468 7.497 7.538 7.481 7.521 7.502 7.426 7.505 7.491 7.443 7.509 7.525 7.508 3 7.479 7.497 7.464 7.447 7.524 7.504 7.574 7.485 7.529 7.469 7.513 7.548 7.473 7.511 7.466 4 7.426 7.480 7.487 7.513 7.428 7.427 7.427 7.483 7.487 7.540 7.487 7.463 7.575 7.570 7.533 5 7.535 7.497 7.511 7.522 7.427 7.532 7.530 7.474 7.520 7.493 7.518 7.501 7.475 7.543 7.574 6 7.569 7.464 7.532 7.469 7.571 7.570 7.574 7.509 7.534 7.506 7.427 7.447 7.487 7.431 7.487 7 7.428 7.493 7.477 7.554 7.502 7.520 7.499 7.570 7.486 7.487 7.517 7.475 7.568 7.535 7.477 8 7.492 7.544 7.448 7.485 7.507 7.570 7.502 7.458 7.473 7.488 7.473 7.459 7.528 7.523 7.574 9 7.463 7.525 7.446 7.500 7.469 7.574 7.515 7.568 7.431 7.504 7.444 7.574 7.479 7.547 7.51610 7.559 7.544 7.467 7.428 7.456 7.560 7.525 7.498 7.475 7.426 7.528 7.506 7.481 7.478 7.520
  3. 3. Tabla de mediciones correspondientes a la fábrica “El Vítor Incorporated” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7.445 7.431 7.467 7.491 7.458 7.491 7.470 7.433 7.460 7.467 7.466 7.444 7.480 7.491 7.495 2 7.494 7.432 7.465 7.494 7.433 7.478 7.426 7.462 7.479 7.494 7.493 7.483 7.485 7.489 7.444 3 7.469 7.470 7.468 7.484 7.497 7.436 7.461 7.426 7.473 7.465 7.476 7.494 7.478 7.480 7.480 4 7.439 7.488 7.497 7.424 7.459 7.490 7.463 7.466 7.464 7.467 7.475 7.442 7.488 7.485 7.469 5 7.441 7.483 7.471 7.424 7.434 7.492 7.461 7.463 7.490 7.496 7.437 7.445 7.493 7.497 7.475 6 7.496 7.441 7.490 7.459 7.432 7.468 7.469 7.489 7.487 7.466 7.441 7.442 7.464 7.443 7.480 7 7.467 7.442 7.455 7.459 7.484 7.462 7.484 7.485 7.465 7.476 7.491 7.443 7.435 7.495 7.445 8 7.442 7.445 7.487 7.475 7.435 7.486 7.470 7.436 7.491 7.479 7.474 7.489 7.449 7.497 7.494 9 7.443 7.444 7.468 7.456 7.430 7.438 7.493 7.477 7.494 7.480 7.450 7.491 7.494 7.498 7.49710 7.460 7.479 7.469 7.457 7.483 7.498 7.469 7.494 7.476 7.467 7.487 7.477 7.475 7.446 7.485Tabla de mediciones correspondientes a la fábrica “Elodio S. de R. L.” 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7.497 7.503 7.512 7.487 7.491 7.529 7.495 7.480 7.503 7.516 7.541 7.504 7.477 7.542 7.498 2 7.505 7.508 7.522 7.480 7.517 7.492 7.514 7.513 7.522 7.502 7.500 7.528 7.501 7.511 7.505 3 7.510 7.518 7.523 7.526 7.496 7.531 7.493 7.517 7.501 7.484 7.497 7.520 7.516 7.518 7.485 4 7.495 7.520 7.532 7.483 7.516 7.505 7.538 7.496 7.503 7.518 7.518 7.485 7.499 7.494 7.537 5 7.512 7.549 7.503 7.488 7.526 7.524 7.508 7.515 7.487 7.495 7.496 7.512 7.517 7.496 7.514 6 7.491 7.483 7.512 7.518 7.517 7.506 7.508 7.508 7.500 7.522 7.504 7.503 7.509 7.498 7.488 7 7.524 7.501 7.518 7.509 7.516 7.506 7.521 7.522 7.523 7.533 7.509 7.546 7.519 7.531 7.505 8 7.529 7.520 7.528 7.494 7.488 7.513 7.509 7.497 7.509 7.517 7.513 7.499 7.534 7.507 7.510 9 7.505 7.514 7.506 7.517 7.496 7.516 7.529 7.504 7.513 7.511 7.505 7.516 7.494 7.517 7.52810 7.500 7.520 7.504 7.496 7.510 7.507 7.491 7.490 7.534 7.493 7.526 7.494 7.503 7.537 7.532
  4. 4. Para resolver el problema vamos a elaborar la tabla de distribución de frecuencias y elhistograma de cada uno de los proveedores.Proveedor 1. Carlos Gardel.Los datos proporcionados son: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7.427 7.518 7.536 7.436 7.556 7.545 7.459 7.504 7.490 7.468 7.512 7.528 7.479 7.499 7.477 2 7.426 7.526 7.468 7.497 7.538 7.481 7.521 7.502 7.426 7.505 7.491 7.443 7.509 7.525 7.508 3 7.479 7.497 7.464 7.447 7.524 7.504 7.574 7.485 7.529 7.469 7.513 7.548 7.473 7.511 7.466 4 7.426 7.480 7.487 7.513 7.428 7.427 7.427 7.483 7.487 7.540 7.487 7.463 7.575 7.570 7.533 5 7.535 7.497 7.511 7.522 7.427 7.532 7.530 7.474 7.520 7.493 7.518 7.501 7.475 7.543 7.574 6 7.569 7.464 7.532 7.469 7.571 7.570 7.574 7.509 7.534 7.506 7.427 7.447 7.487 7.431 7.487 7 7.428 7.493 7.477 7.554 7.502 7.520 7.499 7.570 7.486 7.487 7.517 7.475 7.568 7.535 7.477 8 7.492 7.544 7.448 7.485 7.507 7.570 7.502 7.458 7.473 7.488 7.473 7.459 7.528 7.523 7.574 9 7.463 7.525 7.446 7.500 7.469 7.574 7.515 7.568 7.431 7.504 7.444 7.574 7.479 7.547 7.51610 7.559 7.544 7.467 7.428 7.456 7.560 7.525 7.498 7.475 7.426 7.528 7.506 7.481 7.478 7.520Se agrupan en diez intervalos y se obtiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias. Clases o categorías Marcas Medidas de tendencia central Intervalos de y dispersión Lím. Inferior Lím. Superior 1 7.4255 7.4405 7.433 15 15 10.00% 10.00% 111.50 1.00500 0.06733 2 7.4405 7.4555 7.448 6 21 4.00% 14.00% 44.69 0.31200 0.01622 3 7.4555 7.4705 7.463 15 36 10.00% 24.00% 111.95 0.55500 0.02053 4 7.4705 7.4855 7.478 20 56 13.33% 37.33% 149.56 0.44000 0.00968 5 7.4855 7.5005 7.493 20 76 13.33% 50.67% 149.86 0.14000 0.00098 6 7.5005 7.5155 7.508 20 96 13.33% 64.00% 150.16 0.16000 0.00128 7 7.5155 7.5305 7.523 20 116 13.33% 77.33% 150.46 0.46000 0.01058 8 7.5305 7.5455 7.538 13 129 8.67% 86.00% 97.99 0.49400 0.01877 9 7.5455 7.5605 7.553 6 135 4.00% 90.00% 45.32 0.31800 0.0168510 7.5605 7.5755 7.568 15 150 10.00% 100.00% 113.52 1.02000 0.0693611 0 0.00% 100.00%12 #N/A #N/A13 #N/A #N/A #N/A #N/A14 #N/A #N/A #N/A #N/A15 #N/A #N/A #N/A #N/A16 #N/A #N/A #N/A #N/A Totales 1125 4.90 0.23 Media a = 7.50000 Desviación media = 0.03269 Varianza = 0.0015440 Desviación estándar= 0.0392938
  5. 5. En esta tabla se observan lo siguiente: 1. Con los datos sin organizar es difícil extraer alguna conclusión, es preferible ordenarlos en una tabla de distribución de frecuencias y calcular algunas medidas de tendencia central y dispersión. 2. Las frecuencias absolutas son más altas en los extremos, por lo que podemos considerar que no están distribuidos en forma normal. 3. La media aritmética del proceso es igual al valor deseado, lo cuál puede considerarse una buena indicación en cuanto a cumplir las especificaciones del cliente. 4. La desviación estándar es difícil de evaluar, indica la dispersión de los datos pero necesitamos compararla con algún otro número para evaluarla. 5. El valor mínimo (7.426) es mayor que el LSL = Lower Specification Limit (7.425) y el valor máximo (7.575) es igual al USL = Upper Specification Limit (7.575) por lo que ningún valor se sale de los límites de especificación.Es conveniente revisar el histograma para afinar nuestra interpretación. 1. Las observaciones que se hicieron a partir de la tabla de distribución de frecuencias se visualizan mejor en el histograma: se observa que los datos no se distribuyen en forma normal y que la media coincide con el TV = Target Value o valor deseado y que ningún valor está fuera de los límites de especificación. 2. La desviación estándar es grande, esto se nota porque sólo caben poco menos de dos desviaciones estándar hacia cada lado de la media dentro de los límites de
  6. 6. especificación, aunque ningún valor se encuentra fuera de estos límites, existen valores demasiado cerca de estos extremos con el consiguiente riesgo de que, cualquier variación del proceso pueda hacer que algunos valores queden fuera de especificación y sean inadecuados para nuestro proceso. 3. La forma en que se distribuyen los datos, con valores altos en los extremos (primer y último intervalo tiene frecuencias más grandes que el segundo y penúltimo), suele indicar que algunos productos no cumplían con las especificaciones y fueron re- trabajados para que cumplieran con los requerimientos.En las siguientes páginas vamos a realizar el mismo análisis con los datos de los otros dosproveedores.
  7. 7. Proveedor 2. El Vítor.Los datos proporcionados son: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7.445 7.431 7.467 7.491 7.458 7.491 7.470 7.433 7.460 7.467 7.466 7.444 7.480 7.491 7.495 2 7.494 7.432 7.465 7.494 7.433 7.478 7.426 7.462 7.479 7.494 7.493 7.483 7.485 7.489 7.444 3 7.469 7.470 7.468 7.484 7.497 7.436 7.461 7.426 7.473 7.465 7.476 7.494 7.478 7.480 7.480 4 7.439 7.488 7.497 7.424 7.459 7.490 7.463 7.466 7.464 7.467 7.475 7.442 7.488 7.485 7.469 5 7.441 7.483 7.471 7.424 7.434 7.492 7.461 7.463 7.490 7.496 7.437 7.445 7.493 7.497 7.475 6 7.496 7.441 7.490 7.459 7.432 7.468 7.469 7.489 7.487 7.466 7.441 7.442 7.464 7.443 7.480 7 7.467 7.442 7.455 7.459 7.484 7.462 7.484 7.485 7.465 7.476 7.491 7.443 7.435 7.495 7.445 8 7.442 7.445 7.487 7.475 7.435 7.486 7.470 7.436 7.491 7.479 7.474 7.489 7.449 7.497 7.494 9 7.443 7.444 7.468 7.456 7.430 7.438 7.493 7.477 7.494 7.480 7.450 7.491 7.494 7.498 7.49710 7.460 7.479 7.469 7.457 7.483 7.498 7.469 7.494 7.476 7.467 7.487 7.477 7.475 7.446 7.485Nuevamente, es conveniente elaborar la tabla de distribución de frecuencias y calcularmedidas de tendencia central y dispersión. Se tomarán los mismos intervalos para facilitar lacomparación entre los tres proveedores. Clases o categorías Marcas Medidas de tendencia central de clase Frecuencias Intervalos y dispersión Lím. Inferior Lím. Superior 1 7.4255 7.4405 7.433 18 18 12.00% 12.00% 133.79 0.64260 0.02294 2 7.4405 7.4555 7.448 21 39 14.00% 26.00% 156.41 0.43470 0.00900 3 7.4555 7.4705 7.463 38 77 25.33% 51.33% 283.59 0.21660 0.00123 4 7.4705 7.4855 7.478 32 109 21.33% 72.67% 239.30 0.29760 0.00277 5 7.4855 7.5005 7.493 41 150 27.33% 100.00% 307.21 0.99630 0.02421 6 7.5005 7.5155 7.508 0 150 0.00% 100.00% 0.00 0.00000 0.00000 7 7.5155 7.5305 7.523 0 150 0.00% 100.00% 0.00 0.00000 0.00000 8 7.5305 7.5455 7.538 0 150 0.00% 100.00% 0.00 0.00000 0.00000 9 7.5455 7.5605 7.553 0 150 0.00% 100.00% 0.00 0.00000 0.0000010 7.5605 7.5755 7.568 0 150 0.00% 100.00% 0.00 0.00000 0.0000011 0 0.00% 100.00%12 #N/A #N/A13 #N/A #N/A #N/A #N/A14 #N/A #N/A #N/A #N/A15 #N/A #N/A #N/A #N/A16 #N/A #N/A #N/A #N/A Totales 1120.305 2.59 0.06 Media a = 7.46870 Desviación media = 0.01725 Varianza = 0.0004010 Desviación estándar= 0.0200252
  8. 8. En esta tabla se observan lo siguiente: 1. Los últimos intervalos tienen frecuencia cero, esto indica que el proceso no está centrado, lo cuál se confirma con la media aritmética (7.4687) que es menor al TV = 7.5 2. La desviación estándar de este proveedor, El Vítor, (s = 0.02002) es menor que la del proveedor anterior, Carlos Gardel (s = 0.03929) lo cuál indica una menor variabilidad del proceso. 3. El valor mínimo (7.424) es menor que el LSL = Lower Specification Limit (7.425) y el valor máximo (7.498) es mucho menor al USL = Upper Specification Limit (7.575); un valor se sale del límite inferior de especificación, lo cuál no es adecuado para nuestras necesidades. 1. En el histograma se observa que las últimas barras no están, es porque los últimos intervalos tienen frecuencia cero, efectivamente el proceso no está centrado, lo cuál se confirma con la media aritmética (7.4687 en color azul) que es menor al TV = 7.5 2. En el histograma confirmamos que la desviación estándar de este proveedor, El Vítor, (s = 0.02002) es menor que la del proveedor anterior, Carlos Gardel (s = 0.03929) lo cuál indica una menor variabilidad del proceso y permite que puedan acomodarse más de 3 desviaciones estándar de cada lado de la media si estuviera centrado. 3. Es difícil apreciar, pero un valor se sale del límite inferior de especificación, lo cuál no es adecuado para nuestras necesidades. 4. Es notable como, a pesar de que este proveedor mantiene una menor dispersión (lo cuál es mejor en general), resulta menos adecuado porque, al no estar centrado, se presentan valores que no cumplen con las especificaciones del cliente (nosotros).
  9. 9. Proveedor 3. Elodio.Los datos proporcionados son: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 7.497 7.503 7.512 7.487 7.491 7.529 7.495 7.480 7.503 7.516 7.541 7.504 7.477 7.542 7.498 2 7.505 7.508 7.522 7.480 7.517 7.492 7.514 7.513 7.522 7.502 7.500 7.528 7.501 7.511 7.505 3 7.510 7.518 7.523 7.526 7.496 7.531 7.493 7.517 7.501 7.484 7.497 7.520 7.516 7.518 7.485 4 7.495 7.520 7.532 7.483 7.516 7.505 7.538 7.496 7.503 7.518 7.518 7.485 7.499 7.494 7.537 5 7.512 7.549 7.503 7.488 7.526 7.524 7.508 7.515 7.487 7.495 7.496 7.512 7.517 7.496 7.514 6 7.491 7.483 7.512 7.518 7.517 7.506 7.508 7.508 7.500 7.522 7.504 7.503 7.509 7.498 7.488 7 7.524 7.501 7.518 7.509 7.516 7.506 7.521 7.522 7.523 7.533 7.509 7.546 7.519 7.531 7.505 8 7.529 7.520 7.528 7.494 7.488 7.513 7.509 7.497 7.509 7.517 7.513 7.499 7.534 7.507 7.510 9 7.505 7.514 7.506 7.517 7.496 7.516 7.529 7.504 7.513 7.511 7.505 7.516 7.494 7.517 7.52810 7.500 7.520 7.504 7.496 7.510 7.507 7.491 7.490 7.534 7.493 7.526 7.494 7.503 7.537 7.532Construimos la tabla de distribución de frecuencias y calculamos medidas de tendenciacentral y dispersión tomando los mismos intervalos para facilitar la comparación entre los tresproveedores. Marcas Clases o categorías Medidas de tendencia central de Frecuencias Intervalos y dispersión clase Lím. Inferior Lím. Superior 1 7.4255 7.4405 7.433 0 0 0.00% 0.00% 0.00 0.00000 0.00000 2 7.4405 7.4555 7.448 0 0 0.00% 0.00% 0.00 0.00000 0.00000 3 7.4555 7.4705 7.463 0 0 0.00% 0.00% 0.00 0.00000 0.00000 4 7.4705 7.4855 7.478 8 8 5.33% 5.33% 59.82 0.25680 0.00824 5 7.4855 7.5005 7.493 35 43 23.33% 28.67% 262.26 0.59850 0.01023 6 7.5005 7.5155 7.508 51 94 34.00% 62.67% 382.91 0.10710 0.00022 7 7.5155 7.5305 7.523 42 136 28.00% 90.67% 315.97 0.54180 0.00699 8 7.5305 7.5455 7.538 12 148 8.00% 98.67% 90.46 0.33480 0.00934 9 7.5455 7.5605 7.553 2 150 1.33% 100.00% 15.11 0.08580 0.0036810 7.5605 7.5755 7.568 0 150 0.00% 100.00% 0.00 0.00000 0.0000011 0 0.00% 100.00%12 #N/A #N/A13 #N/A #N/A #N/A #N/A14 #N/A #N/A #N/A #N/A15 #N/A #N/A #N/A #N/A16 #N/A #N/A #N/A #N/A Totales 1126.515 1.92 0.04 Media a = 7.51010 Desviación media = 0.01283 Varianza = 0.0002581 Desviación estándar= 0.0160652
  10. 10. En esta tabla se observan lo siguiente: 1. Los primeros tres y el último intervalo tienen frecuencia cero, esto indica que el proceso no está centrado, lo cuál se confirma con la media aritmética (7.5101) que es mayor al TV = 7.5. Sin embargo, en este caso, ningún valor está fuera de los límites de especificación. 2. La desviación estándar de este proveedor; Elodio (s = 0.01606), es menor que la del proveedor uno; Carlos Gardel (s = 0.03929) y del proveedor dos; el Vítor (s = 0.02002), lo cuál indica que tiene el mejor control de proceso de los tres proveedores. 3. El valor mínimo (7.477) es notablemente mayor que el LSL = Lower Specification Limit (7.425) y el valor máximo (7.549) es menor al USL = Upper Specification Limit (7.575); todos los valores están dentro de los límite de especificación, lo cuál indica que cumplen, con holgura, con nuestros límites de especificación.El histograma simplemente confirma nuestras primeras observaciones; es un procesoaceptablemente centrado y que, sobre todo, presenta muy poca variabilidad, permitiendoque puedan acomodarse 4 desviaciones estándar de cada lado de la media dentro de nuestroslímites de especificación.Con esta información podemos recomendar que se elija al proveedor número 3. Elodio paraadquirir los rodamientos de alta precisión que necesitamos para nuestra fábrica.
  11. 11. Referencias bibliográficas. Statistical Process Control Leonard A. Doty. Industrial Press Inc. Business Statistics: For Contemporary Decision Making Ken Black Wiley & Sons Control estadístico de los procesos. José Francisco Vilar Barrio y Teresa Delgado Tejada FC Editorial Contenidos relacionados con la profesionalidad. María Aránzazu García Cortázar Ideaspropias Editorial.

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