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Activity 3 1 linear equations

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Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una incognita para la resolucion de problemas de razonamiento.

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  • En la actividad 3.1 ecuaciones lineales realizamos varios problemas con una incógnita el cual creo yo que nos ayudo a ver mas allá de un simple problema. Utilizamos el método de polya para resolver problemas que no estamos muy acostumbrados hacer, en lo general nosotros sabemos resolver este tipo de razonamientos pero sin método, sin saber de cómo surgió la respuesta, talvez lo hacemos a el tanteo , pero sin embargo hay una forma más diferente de realizarlo como dije el método de polya. En el cual se basa en entender, planear ,efectuar y revisar. Y mediante unos formatos realizamos este tipo de problemas , el cual se me dificulto un poco ya que no se tenia que pasar ninguna incógnita, si no el planteamiento estaba mal. Pero en fin la actividad fue muy compleja.
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  • en esta actividad vimos el metodo de polya es algo interesante su metodo d ensenñansa es ms eficaz aporto mucho en la sociedad podemos resolver un problema con facilidad ya que el explica claramentelo que uno dbe realizar para resolver un problema y resolverlo con calma, el profesor mata nos explico unos problemas y parecian facil al principio asta que dijo deben sacarlo con lenguaje algebraico, ahi es cuando quedamos en trauma cuando pudimos emplear el lenguaje algebraico lo demas era facil.
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  • En esta actividad 3.1 a mi se me dificulto bastante ya que trata de leer bien el problema saber que nos están pidiendo encontrar e identificar cuales son los datos que ya tenemos se me difulto pero luego de leer varias veces en contrataba todos los datos y así ya podía resolverlos pero cada quien tenia su propio resolución de problema cada quien tenia que saber que datos eran y algunos tenían datos difrentes, al principio se me dificulto bastante hasta después que tuvimo que hacer varios problemas se me fue haciendo un poco mas fácil ya que estábamos practicando mucho esta actividad si fue de gran ayuda para saber razoinar y leer cuidadosamente
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  • En esta actividad vimos ecuaciones lineales con una incógnita aquí aprendimos a resolver problemas con nuestras propias ecuaciones con nuestras propias reglas y operaciones estos problemas en lo personal están Karatekas ya que al principio se me dificulto comencé asiendo operaciones en mi cuaderno hasta acabarme todas las hojas de la actividad aquí nosotros teníamos que tener nuestro propio desarrollo y para resolver el problema al final el profesor Mata dio una explicación más afondo de cómo resolverlo este tipo de problemas y logramos resolver 10 problemas al final de la actividad me pareció muy interesante y a la vez uno de los más difíciles pero entretenidos.
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  • en esta actividad 3.1 aprendimos a realizar los problemas de ecuaciones lineales con solo una incognita lo cual tenemos la ventaja de saber realizar y analizar las ecuaciones tambien aprendimos a obtener cantidades desconosidas me fue muy dificil al principio el tema por que no comprendia bien el como realizar las ecuaciones esta actividad fue una de las mas dificiles pero me ayudo a analizar bien lo que iva a hacer
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Activity 3 1 linear equations

  1. 1. Actividad 3.1 Ecuaciones Lineales G. Edgar Mata Ortiz
  2. 2. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 2 La matemática es una herramienta para resolver problemas. El proceso mediante el cual se abstrae la realidad para expresarla en el lenguaje de esta ciencia se llama modelado. Para la construcción del modelo matemático de un problema se establecen postulados acerca de las variables que se tomarán en cuenta, sus relaciones, y las expresiones algebraicas o trascendentes que se van a emplear para representarlas. En el presente material se aborda el tema de las ecuaciones de primer grado construidas a partir de problemas reales. Es muy importante practicar la habilidad para traducir entre el lenguaje natural y el lenguaje matemático para generar las ecuaciones que representarán el modelo. Contenido Introducción. ............................................................................................................................................................3 Los modelos matemáticos....................................................................................................................................4 El lenguaje de la ciencia........................................................................................................................................4 Los modelos lineales.............................................................................................................................................4 Ecuaciones lineales...................................................................................................................................................4 Solución de una ecuación lineal. ..........................................................................................................................4 Aplicaciones del álgebra.......................................................................................................................................5 El modelo de G. Polya para resolver problemas. .................................................................................................5 Ejemplo del procedimiento. .................................................................................................................................6 Orden en la resolución de problemas. .....................................................................................................................7 Llenado del formato. ............................................................................................................................................7 La práctica en la resolución de problemas...........................................................................................................9 Modelos matemáticos en los problemas resueltos. ............................................................................................. 11
  3. 3. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 3 Introducción. Los primeros conocimientos matemáticos que adquirimos en la educación básica son; la aritmética y geometría. Con estas dos herramientas resolvemos una gran cantidad de problemas de índole práctica, por ejemplo: Se va a pintar una barda y es necesario determinar la cantidad de pintura que deberá comprarse. Es obvio que no se desea comprar más de la necesaria, sólo la suficiente para que la barda quede protegida del ambiente y tenga mejor aspecto. Situaciones como la anterior son comunes en la vida cotidiana y se resuelven prácticamente sin esfuerzo, utilizando nuestros conocimientos básicos de matemáticas. Los datos del problema se encuentran en: https://sites.google.com/site/licmataalgebra/ Consulta los datos faltantes y explica, en las líneas siguientes, el proceso de solución del problema. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ Elabora una presentación, explicando cómo se desarrolla el modelo matemático para resolver el problema de pintar la barda, y la forma en que la solución obtenida debe ser interpretada para que tenga sentido en la realidad. Aplicaciones del álgebra. El álgebra suele ser considerada, sobre todo, como una herramienta para la resolución de problemas. Mediante el razonamiento matemático se puede entender y describir una situación real. El primer paso para implementar dicho razonamiento matemático, consiste en ampliar nuestro conocimiento cuantitativo y espacial de la realidad. Una vez que conocemos las características numéricas y geométricas de un problema, es posible elaborar una representación precisa de la situación. La representación rigurosa de la realidad recibe el nombre de modelo matemático, en seguida, aplicamos el conocimiento algebraico, geométrico y/o diferencial al prototipo obtenido y producimos una solución. Es importante subrayar que la respuesta proviene de un modelo, por lo tanto, será aplicable a la situación real, solamente en la medida que el contexto sea fielmente representado por la metáfora teórica que elaboramos. 𝑨 = 𝒃 × 𝒉 𝟐
  4. 4. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 4 Los modelos matemáticos. Existen diferentes tipos de modelos matemáticos; deterministas, estocásticos, lineales, no lineales, entre muchos otros. Consulta los tipos de modelos matemáticos, agrégalos a la presentación del problema “Pintar la barda”, e identifica a qué tipo de modelo pertenece dicho problema. El lenguaje de la ciencia. Tal como se ha comentado a lo largo de estas actividades, la matemática es un lenguaje, y para construir modelos precisos, es necesario traducir la información, de la realidad, al lenguaje de la ciencia. En este material, vamos a practicar el proceso de construcción de modelos matemáticos lineales para resolver problemas que, en algunos casos, podrían solucionarse por ensayo y error; pero no estamos interesados solamente en la respuesta, lo más importante es el proceso de abstracción que nos permita elaborar el prototipo del problema. Los modelos lineales. Uno de los aspectos fundamentales en el modelado matemático es la forma de relación que se establece entre las variables; cuadrática, exponencial, lineal, logarítmica, entre muchas otras. Los problemas que vamos a plantear en esta actividad serán resueltos mediante modelos de primer grado, es decir, las relaciones entre las variables serán siempre lineales. Ecuaciones lineales. Las ecuaciones son proposiciones que indican la igualdad entre dos expresiones algebraicas, cuando estas son de primer grado, entonces son ecuaciones lineales. Ejemplos: 2𝑥 − 3𝑦 = −5 3𝑥1 + 4𝑥2 − 5𝑥3 = 1 4𝑥 + 3 = 2𝑥−5 6 Cuando alguna de las incógnitas está elevada a un exponente diferente de uno, o contiene funciones trascendentes, como seno, coseno, logaritmo, entonces no es una ecuación lineal. Ejemplos: 5𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 0 2𝑥𝑦 − 3𝑥 + 5𝑦 = 4 𝑥 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 Solución de una ecuación lineal. A diferencia de un polinomio, donde las literales se consideran variables y pueden tomar cualquier valor; en una ecuación, las literales son incógnitas, y no pueden tomar cualquier valor. Resolver una ecuación significa determinar los valores que pueden tomar las incógnitas. Dichos valores se caracterizan porque, al sustituirse en la ecuación, se obtiene una afirmación verdadera. Cuando se sustituye cualquier otro valor, se obtiene una afirmación falsa. Ejemplo: La ecuación: 𝟐𝒙 + 𝟓 = 𝟕, solamente tiene una solución: 𝒙 = 𝟏. Al sustituir el valor 𝒙 = 𝟏, en la ecuación se obtiene una afirmación verdadera: 𝟐(𝟏) + 𝟓 = 𝟕 → 𝟐 + 𝟓 = 𝟕 Al sustituir cualquier otro valor en la ecuación obtendremos una afirmación falsa, probamos con: 𝒙 = 𝟐 𝟐(𝟐) + 𝟓 = 𝟕 → 𝟒 + 𝟓 = 𝟕
  5. 5. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 5 Aplicaciones del álgebra. Este tema suele resultar difícil para la mayoría de los alumnos, requiere habilidades que no se practican, o se practican poco cuando se han empleado modelos educativos centrados en el trabajo del profesor. Es necesario disponer de alguna estrategia general, que pueda aplicarse independientemente del tipo de problema que se esté resolviendo. En este material vamos a aplicar la metodología de George Polya con algunas modificaciones que se han considerado necesarias para una mejor implementación del modelo educativo por competencias. El modelo de G. Polya para resolver problemas. Este modelo consta de 4 pasos. 1. Entender el problema Mediante preguntas: ¿Qué nos están preguntando?, ¿Cuáles datos están disponibles? 2. Configurar un plan para resolver el problema Este paso es el más complicado; requiere de una serie de ensayos y búsquedas heurísticas para diseñar dicho plan. En nuestro caso vamos a emplear dos preguntas básicas: ¿Qué relación existe entre los datos y lo que nos están preguntando? ¿Cómo se relacionan los datos unos con otros? 3. Ejecutar el plan Para efectuar esta parte del proceso es necesario emplear nuestros conocimientos de álgebra; operaciones algebraicas básicas, propiedades de la igualdad, resolución de ecuaciones, entre otros. 4. Mirar hacia atrás Significa que debemos interpretar el resultado del proceso algebraico y ver su significado en términos del problema que se está resolviendo. ¿Se cumplen las condiciones establecidas por el problema? ¿Se ha determinado el valor de todas las cantidades que el problema indica?
  6. 6. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 6 Ejemplo del procedimiento. Para comprender mejor este proceso vamos a iniciar con un problema muy sencillo, recuerda que lo importante no es la solución, sino obtener el modelo matemático que describe el problema. Completa la información faltante en las líneas indicadas. Una fábrica de ropa puede producir 7000 pantalones. Según el estudio de mercado, deben fabricarse el doble de pantalones talla M que de talla G, y 452 piezas más de talla Ch que de talla G. ¿Cuántas piezas de cada talla deben fabricarse? De acuerdo con el procedimiento de Polya, el primer paso consiste en entender el problema, lo cual significa responder, al menos, a dos preguntas: ¿Qué nos están preguntando? ¿Cuáles datos están disponibles? ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ El segundo paso es el más complejo, consiste en configurar un plan para resolver el problema. Se basa en dos conceptos básicos: Encontrar las relaciones entre los datos y lo que nos están preguntando; las relaciones entre los propios datos; y expresar todas estas relaciones en lenguaje algebraico. El resultado final de este paso es un modelo matemático que se expresa con la forma de una ecuación de primer grado con una incógnita. Anota en las líneas siguientes el procedimiento que vas a seguir para obtener la ecuación, y la ecuación misma. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ El tercer paso es, probablemente, el más sencillo, solamente deben efectuarse procedimientos algebraicos, puramente mecánicos, para resolver la ecuación que se obtuvo en el segundo paso. _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
  7. 7. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 7 El último paso es de gran importancia. Cuando resolvemos la ecuación, solamente obtenemos el resultado del modelo matemático, y puesto que dicho modelo es una ecuación, obtenemos el valor de una incógnita. Pero este valor de la incógnita debe ser interpretado y contrastado con la realidad para verificar que tenga sentido y que cumpla con todas las condiciones establecidas en el problema real. En las siguientes líneas, responde las preguntas planteadas en el problema. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Orden en la resolución de problemas. Al resolver problemas de razonamiento, cada persona emplea sus propias estrategias, es necesario establecer una forma de presentar los procedimientos y resultados de modo que sea más sencillo comunicarnos. Con esta finalidad, se empleará el formato F3.1, que puede descargarse del siguiente enlace, para la entrega de los problemas resueltos en clase o de tarea. Enlace: http://proc-industriales.blogspot.mx/2017/11/word-problems-with-one-unknown-learning.html Llenado del formato. Veamos cómo llenar la información del problema de la fábrica de pantalones, en el formato F3.1. Completa la información faltante en las siguientes tablas. Paso 1. Entender el problema: Identificar las cantidades desconocidas, elegir la que se tomará como incógnita y establecer las relaciones necesarias para representarlas algebraicamente. Cantidad desconocida Información disponible Expresarla en lenguaje algebraico Número de pantalones talla Grande Incógnita x Número de pantalones talla Mediana El doble de piezas de talla Mediana que de talla Grande 2x Número de pantalones talla Chica 452 piezas más de talla Chica que de talla Grande Dado que se ha entendido el problema, debemos configurar el plan, es decir, obtener la ecuación que representa el problema. No olvides que se debe indicar cómo se obtiene la ecuación.
  8. 8. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 8 Paso 2. Configurar plan: Determinar el proceso para obtener la ecuación y anotarla. Explicar de dónde se obtendrá la ecuación Ecuación La suma de los pantalones talla Grande, Mediana y Chica debe ser igual al total de pantalones producidos (7000): P Talla G + P Talla M + P Talla Ch = 7000 x + 2x + _________ = 7000 El tercer paso consiste en resolver la ecuación: Y el cuarto paso: Anotar la respuesta y verificar. Paso 3. Ejecutar el plan: Resolver la ecuación Paso 4. Interpretar el valor de la incógnita y verificar que cumple con las condiciones del problema. 4𝑥 + 452 = 7000 𝑥 = Deben fabricarse: x  Número de piezas talla G = _______ 2x  Número de piezas talla M = _______ ________  Número de piezas talla Ch = _______ Total = 7000 El problema ha sido resuelto, pero lo más importante ha sido observar cómo se construye el modelo matemático que toma la forma de una ecuación y, posteriormente, se aplican conocimientos algebraicos básicos para obtener la solución de la ecuación. El valor de la incógnita, por sí mismo, no significa nada, es necesario interpretarlo, con base en la situación real, y verificar que cumple con todas las relaciones y condiciones establecidas en la redacción del problema original. Otro aspecto que debemos considerar es la existencia de otras formas de abordar el problema. Sencillamente eligiendo como incógnita alguna otra de las cantidades desconocidas. Ya vimos qué sucede al elegir como incógnita la cantidad de pantalones de talla grande que van a fabricarse, pero ¿y si se elige como incógnita la cantidad de pantalones talla mediana?, ¿y los de talla chica?, ¿afectará al resultado final del problema?, ¿y al valor de la incógnita? En el siguiente ejercicio se responderán estas preguntas.
  9. 9. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 9 Resuelve el problema de la fábrica de pantalones empleando una estrategia diferente. Utiliza el formato F3.1. 1. Elige como incógnita la cantidad de pantalones talla mediana y resuelve el problema 2. Elige como incógnita la cantidad de pantalones talla chica y resuelve el problema 3. Elabora un reporte comparando las tres estrategias de solución, señalando y explicando: a. ¿Afecta al nivel de dificultad, la cantidad desconocida que se toma como incógnita? b. ¿El resultado final del problema cambia según la elección que se haga? c. ¿El valor de la incógnita es diferente en cada caso? ¿por qué? d. ¿Cómo se debería elegir el valor de la incógnita para que el procedimiento sea más sencillo? 4. Publica este reporte en tu blog y escribe un comentario de 100 palabras, en el blog de tu compañero de equipo, comparando las respuestas que dieron a estas preguntas. La práctica en la resolución de problemas. El segundo paso en el método de Polya es, generalmente, el que mayores dificultades presenta, ya que no existe una forma única para analizar los problemas. La mejor forma de desarrollar la habilidad para llevar a cabo este segundo paso es a través de la práctica. Es necesario resolver problemas de diferentes tipos para que la búsqueda heurística de estrategias de solución se vuelva más eficiente. Resuelve los siguientes problemas utilizando el formato F3.1, si alguna parte del procedimiento no cabe, anótalo a la vuelta del mismo formato. 1. Maximiliano Tinajero aceptó trabajar un verano en el rancho de su tío, durante tres meses, por $15,650 y un automóvil usado. Al cabo de dos meses se requería su presencia en la casa de sus padres, por lo que su tío sólo le pagó $4550 y el automóvil. ¿Cuál es el valor del automóvil en pesos? 2. La señora Diana Saavedra planeaba gastar $3032 en telas para su tienda “El trailero”. Encontró la tela con un 10% de descuento, por lo que pudo comprar 10 metros más, aunque gastando $3411. ¿Qué cantidad de tela había planeado comprar, cuántos metros compró finalmente, y cuál era el precio de la tela, sin descuento, por metro? 3. En el concierto de Mayra Treviño los boletos costaron: $450 en el área general; $830 en numerado; y $1280 en VIP. El ingreso total fue de $9’961,610. Se vendieron 425 boletos más de general que de VIP y el doble de numerados que de general. ¿Cuántos boletos se vendieron de cada clase? ¿Cuántos boletos se vendieron en total? 4. La fábrica “Abdiel Soto” produce una barra de chocolate de 9.2 cm de largo, por 2.5 de ancho y 1 de espesor. Con la finalidad de reducir costos se ha decidido disminuir la cantidad de producto en un 10%; para ello, se dejará el mismo espesor de la barra, pero se reducirán, en la misma cantidad, la altura y el ancho de la barra. ¿Cuáles serán las nuevas dimensiones de la barra de chocolate?
  10. 10. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 10 5. En un viaje de 1200 kilómetros, Jonathan Rosales empleó 4.5 horas manejando bajo la lluvia y 8 horas 45 minutos en tiempo despejado. La velocidad en el tramo lluvioso fue 16 km/h menor que la velocidad en el tramo seco. Determina la velocidad con que viajó en el tramo lluvioso, la velocidad en el tramo seco, y las distancias recorridas en ambas circunstancias. 6. La fábrica de rodamientos “Alejandra Quirino” tiene una línea de producción de chumaceras que está elaborando cuatro tipos de piezas: Tipo puente, Tipo brida, Tensora y de cartucho. La línea puede producir 9,300 piezas por bimestre. Por datos históricos sabemos que la chumacera tipo puente se vende el doble que la de brida; la de brida se venden 630 piezas más que la tensora; y la tensora se vende el triple que la de cartucho. ¿Cuántas piezas de cada tipo deben fabricarse cada mes? 7. Las instalaciones de montaña “Adolfo Hernández”, que dan servicio a los esquiadores en invierno, estuvieron parcialmente atendidas por estudiantes durante el verano. En dicho verano hubo una cantidad de estudiantes trabajando que era el triple de la cantidad de empleados permanentes. Cuando terminaron las vacaciones de verano, 40 de loes estudiantes regresaron a la escuela y se contrató a 30 trabajadores permanentes (no estudiantes) para el invierno. Si en esta situación había el doble de no estudiantes que de estudiantes, ¿cuántas personas en total atendieron las instalaciones en invierno? 8. El químico Mauricio Antuna tiene dos soluciones, la primera contiene 20% de ácido, y la segunda, 35%. ¿Cuántos ml de cada solución deben mezclarse para obtener 50 ml de solución con 30% de ácido? 9. Verónica Espinoza dispone de $15,000 para invertir. Piensa depositar una parte en una cuenta de ahorros que produce el 5% de interés, y el resto en un fondo de inversiones que ofrece el 8.5% de interés. ¿Cuánto debe invertir en cada instrumento para obtener una ganancia de $1000? 10. Jazmín Pérez tiene un negocio de compra – venta de teléfonos celulares usados. Mediante un contacto pudo comprar 120 teléfonos Nokia nuevos, aunque descontinuados, a muy buen precio: la mitad de ellos del modelo A (más avanzado) con un costo $180 mayor que el modelo B (más sencillo), y la otra mitad del modelo B. Estos teléfonos, a pesar de estar descontinuados son muy populares, por lo que en una semana vendió la mitad de los teléfonos que compró del modelo A, con una ganancia de $600 en c/u; y tres cuartas partes de los teléfonos que compró del modelo B, con una ganancia de $280 en c/u; y calculó que solamente necesitaba tener ingresos por otros $7200 para recuperar la inversión. ¿Cuántos teléfonos de cada modelo compró?, ¿Cuántos teléfonos de cada modelo vendió en la primera semana?, ¿Cuánto invirtió en total?, si la tendencia de venta sigue igual, ¿En cuánto tiempo venderá todos los teléfonos?, ¿Cuánto será su ganancia cuando esto suceda?
  11. 11. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita. http://licmata-math.blogspot.mx/ 11 Modelos matemáticos en los problemas resueltos. En cada problema resuelto se llevó a cabo un proceso de abstracción; se simplificó la información del mundo real y se representó como un problema matemático. Después, se resuelve el problema matemático y nos da como resultado el valor de la incógnita. Este valor es la respuesta del modelo, no del problema original, por lo que debe ser interpretado en términos de la realidad que representa. Explica las etapas del modelado matemático empleadas en los problemas 1 al 10: 1. Abstracción: Nos permite transitar de la situación real al modelo matemático. _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ 2. Análisis: Planteamiento y resolución del modelo _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ 3. Interpretación: Del valor arrojado por el modelo, pasamos al resultado del problema _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Lecturas recomendadas.

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