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Activity 2 2 the conics

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Introducción a las cónicas y sus aplicaciones.
Conics introduction and its applications

Published in: Engineering
  • Creo que es un tema importante a conocer puesto que los cortes de un tríangulo no son muy conocidos en la actualidad, además de que esto de alguna forma tiene relación con parabolas entre otros elementos de la geometría
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  1. 1. Actividad 2.2 Las cónicas G. Edgar Mata Ortiz
  2. 2. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano http://licmata-math.blogspot.mx/ 1 Las cónicas son un conjunto de curvas que pueden ser obtenidas cuando un plano corta a un cono circular recto de dos ramas, como se muestra en la figura de la izquierda. Las secciones cónicas son: La circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola. Su importancia radica en el uso que se les da para la resolución de problemas prácticos. A continuación, se estudiarán sus aplicaciones y propiedades más importantes. Contenido Introducción .............................................................................................................................................................2 Propiedades las cónicas........................................................................................................................................2 Aplicaciones de las cónicas.......................................................................................................................................3 Problemas de razonamiento. ...............................................................................................................................3 Bibliografía............................................................................................................................................................5 Es importante dejar claro que, al inventarse las cónicas, no se disponía de la relación que estas curvas tienen con sus ecuaciones; esto sólo fue posible muchos siglos después de su descubrimiento a través de la invención del plano cartesiano y la geometría analítica por Descartes.
  3. 3. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano http://licmata-math.blogspot.mx/ 2 Introducción La figura que aparece en la portada de este documento representa la forma en la que se obtienen las figuras que reciben el nombre de cónicas. Elabora un cono con cualquier material adecuado y realiza los cortes necesarios para obtener las cónicas. Elabora un reporte del proceso y resultado incluyendo fotografías y/o vídeos de esta actividad. Propiedades las cónicas. Las propiedades geométricas de las cónicas las vuelven muy útiles en la resolución de problemas prácticos. Realiza una consulta y elabora una síntesis que contenga la información de las cuatro cónicas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola: 1. Definición geométrica de cada una de las cónicas y la representación gráfica de estas definiciones (Lugar geométrico). 2. Ecuación en forma canónica cuando la curva está en el origen, es decir, no se encuentra desplazada en ninguno de los ejes de coordenadas: Con eje de simetría vertical y horizontal, dos ejemplos de cada una de las cónicas con sus gráficas. 3. Ecuación en forma canónica cuando la curva está fuera del origen, es decir, cuando la curva se encuentra desplazada tanto en el eje equis como en el eje ye: Con eje de simetría vertical y horizontal, dos ejemplos de cada una de las cónicas con sus gráficas. 4. Ecuación en forma general de cada una de las cónicas y realización del proceso algebraico para expresarla en forma canónica; dos ejemplos de cada una con sus gráficas. 5. Propiedades geométricas en cada ejemplo según corresponda: Vértices, excentricidad, directriz, lado recto, distancia focal, asíntotas y focos. 6. Valores y significados de las distancias generalmente identificadas como a, b, c. 7. Identificación de las distancias a, b, c, en las gráficas de todos los ejemplos que se incluyen en el trabajo. 8. Citar la bibliografía cuidando que se haya verificado la información en, al menos, tres libros. Indicar las páginas de los libros donde se encuentra la información. La Geometría Las Cónicas Estas figuras reciben dicho nombre debido a que pueden obtenerse al intersectar un doble cono, con un plano. Dependiendo de la inclinación del plano con respecto al cono, se puede obtener una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola. Eran conocidas por los geómetras griegos desde alrededor de 400 años a. C. según se desprende de los trabajos de Menecmo y el propio Euclides, sin embargo, estos documentos se han perdido y sólo se conocen por referencias. El documento más importante de que se dispone sobre el estudio de estas figuras geométricas es “Las Cónicas” escrito por Apolonio de Perga (actualmente Turquía) alrededor del 200 a. C. Las cónicas en el plano cartesiano
  4. 4. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano http://licmata-math.blogspot.mx/ 3 Aplicaciones de las cónicas. Al igual que las demás herramientas matemáticas, el estudio de las cónicas tiene un importante valor teórico, sin embargo, es necesario que estos conocimientos teóricos se apliquen la resolución de problemas que se presentan en la realidad, ya sea en la vida cotidiana o profesional. Resuelve los siguientes problemas aplicando los conceptos acerca de las cónicas que se estudiaron para realizar el trabajo de síntesis que se elaboró anteriormente. Problemas de razonamiento. 1. Es necesario realizar una perforación para colocar la polea que transmitirá el movimiento mediante una banda como se muestra en la figura. Para simplificar los cálculos se han expresado las dimensiones en coordenadas rectangulares. Utiliza los puntos A, B y C para determinar la ecuación de la circunferencia que nos indicará las coordenadas del centro, donde se realizará la perforación, y el radio de la polea que se deberá utilizar. 2. Un puente colgante es sostenido por dos torres de 25 + 𝑁𝐿 10 metros que se encuentran a una distancia de 40 + 𝑁𝐿 8 metros entre sí. Es necesario determinar las alturas de los 6 soportes intermedios (señalados con color azul) que se encuentran a distancias iguales entre sí sabiendo que el soporte central mide 1 + 𝑁𝐿 9 metros de altura. Utiliza como referencia los ejes del plano cartesiano que se muestran en la figura. 3. Las órbitas de los planetas tienen la forma de una elipse con el planeta en uno de los focos. En el caso de Plutón, el sol se encuentra aproximadamente a 1467.74 millones de kilómetros del centro de la elipse. En el punto más cercano, Plutón se encuentra a 4445.78 millones de kilómetros del sol. La distancia mínima de dicho planeta, hasta el centro de la elipse es aproximadamente de 5728.48 millones de kilómetros. Encuentra la ecuación de la elipse que modela la órbita de Plutón y señala todas sus características geométricas.
  5. 5. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano http://licmata-math.blogspot.mx/ 4 4. La parte visible de una antena parabólica es, en realidad, un reflector que concentra la señal en el foco del paraboloide para maximizar la señal; en dicho foco se coloca la antena y, a veces, el amplificador de señal. Si una de estas antenas mide 1.75 + 𝑁𝐿 20 m de diámetro y tiene una profundidad de 75 + 𝑁𝐸 2 cm, ¿A qué distancia del vértice del paraboloide debe colocarse la antena receptora para que se reciba la máxima intensidad de ondas de radio? 5. El Statuary Hall in the Capitol Building in Washington, D.C. está construido de modo que se forma una cámara de los susurros. Mide 46 ft de ancho por 96 ft de longitud. Determina la ecuación de la elipse que forma considerando que se trata de una elipse con centro en el origen y eje mayor sobre el eje equis. Determina las coordenadas de los focos en los que se percibe el efecto de esta cámara de susurros. 6. Determina la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo formado por las rectas: 𝑦 = 𝑁𝐸 12 𝑥 + 𝑁𝐿 5 , 𝑦 = − 𝑁𝐸 15 𝑥 − 𝑁𝐿 4 , 𝑦 = 10𝑥 − 𝑁𝐿
  6. 6. Geometría y Trigonometría La línea recta en el Plano Cartesiano http://licmata-math.blogspot.mx/ 5 Bibliografía.

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