Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Activity 2 2 special productos and factoring

1,150 views

Published on

Special Products Introduction, Introduccion a los Productos Notables

Published in: Engineering
  • en esta actividad vimos las reglas empiricas es cierto que las operaciones algebraicas, pueden resultar laboreosas y por tal motivo puede haber errores para eso realizamos reglas empiricas para analizar el problema con mas facilidad , resolvimos binomios conjugados, trinomio al cuadrado al cubo, ala cuarta potencia y quinta, esto fue con finalidad de resolverlas mas facil y sin tanto problema
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • En esta actividad 2.2 productos notables trabajamos con reglas empíricas y también estuvimos tratando de encontrar y crear nuevas reglas que nos ayudaran a llegar al mismo resultado, trabajamos con operaciones que teníamos que factorizar y también en algunas ocaciones usar el cuadro de pascal vimos el desarrollo de un problema de binomio al cuadrado, resolvimos problemas y tratábamos de encontrar nuestros propias reglas para resolver problemas de bimonios conjugados, trinomio al cuadrado binomio al cubo, a la cuarta potencia y a la quinta, esta actividad fue muy util ya que todos aprendimos a analizar bien el problema y tratar de encontrar algunas reglas para poder resolverlo de manera mas facil
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • En esta actividad estuvimos viendo productos notables realizamos operaciones basándose en reglas empíricas este tema me prasio muy interesante y entretenido porque resolvimos operaciones como binomios con termino común tomando nuestras propias reglas empíricas en esta actividad utilizamos mucho nuestra mente porque en todos los ejercicios proponíamos nuestras propias regalas empíricas resolviendo una gran cantidad de problemas esto nos ayudó acoplarnos a la actividad y en el transcurso de la actividad lo fuimos practicando utilizando diferentes regalas y llevándolas acabo al principio se me hacía algo complicado pero al final logre entender el tema y a resolver lo que se me indicaba.
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • En la actividad 2.2 trato acerca de los productos notables trabajamos con reglas empiricascreando nuevas reglas que por ultimo nos diera el mismo resultado me fue un poco dificil ya que las reglas empiricas me es un poco dificil resolviendolas en esta actividad pudimos desarrollar nuestras habilidades al pensar en como realizar los problemas y nos pudimos apoyar con un formato para que noz fuera mas facil para emplear nuestras ideas y acomodar los problemas
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • En la actividad lo algo que me gusto fue el hecho de la motivación al estudiante a cómo usar la cabeza, esto lo digo por la forma en la que se hizo trabajar a los estudiantes con sus reglas empíricas que ellos pensaran por sí mismos y luego que lograron ser capases de notar algunos detalles que a veces eran respetivos en la resolución de los problemas o de las operaciones cosas que nos ayudó a lograr un poco más nuestra competencias para poder desarrollar la habilidad del razonamientos y ver cómo podemos lograr resolver los problemas de la forma más sencilla.
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Be the first to like this

Activity 2 2 special productos and factoring

  1. 1. Actividad 2.2 Productos notables G. Edgar Mata Ortiz
  2. 2. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 2 La matemática se construye como una herramienta para resolver problemas que se presentan en la realidad, sin embargo, conforme se desarrolla, el conocimiento matemático se va refinando, convirtiéndose en un objeto de estudio. Es así como, al realizar operaciones algebraicas se encuentran regularidades las cuales, al generalizarse, se convierten en reglas empíricas o leyes de la matemática. En el presente material se aborda el tema de los productos notables, los cuales surgen como una consecuencia de la aplicación de algoritmos algebraicos y la observación de regularidades que podemos convertir en reglas para facilitar el procedimiento de la multiplicación. Los procedimientos para efectuar los algoritmos puedes estudiarlos siguiendo la guía didáctica que se encuentra en: http://licmata-math.blogspot.mx/2017/10/activity-21-algebraic-expressions.html Contenido Introducción. ............................................................................................................................................................3 El triángulo de Pascal............................................................................................................................................3 Obtención de los productos notables. .....................................................................................................................4 Binomios con término común. .............................................................................................................................4 Generalización de las observaciones................................................................................................................5 Resultado: Regla para obtener el producto de dos binomios con término común.........................................7 Binomio al cuadrado.............................................................................................................................................8 Generalización de las observaciones................................................................................................................9 Resultado: Regla para obtener el cuadrado de un binomio.......................................................................... 11 Procedimiento para obtener los resultados de productos algebraicos. ............................................................... 11 Obtención de otros productos notables. .............................................................................................................. 12 1. Binomios conjugados: 𝒂 + 𝒃𝒂 − 𝒃 ........................................................................................................... 12 2. Trinomio al cuadrado: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄𝟐............................................................................................................ 12 3. Binomio al cubo: 𝒂 + 𝒃𝟑........................................................................................................................... 12 4. Binomio a la cuarta potencia: 𝒂 + 𝒃𝟒....................................................................................................... 12 5. Binomio a la quinta potencia: 𝒂 + 𝒃𝟓....................................................................................................... 12 Factorización.......................................................................................................................................................... 12 Factor común..................................................................................................................................................... 13 Trinomios que se factorizan como binomios con término común.................................................................... 14 Trinomio cuadrado perfecto.............................................................................................................................. 14 Diferencia de cuadrados.................................................................................................................................... 16 Otras estrategias de factorización..................................................................................................................... 17
  3. 3. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 3 Introducción. Las operaciones algebraicas pueden resultar laboriosas y, por ello mismo, provocar errores. En la resolución de diversos problemas se ha encontrado que ciertas multiplicaciones se presentan frecuentemente, se les llama “productos notables”. El resultado de estos productos se vuelve predecible, de modo que pueden resolverse “directamente”, es decir, sin efectuar todo el procedimiento. Es conveniente memorizarlos ya que se ahorra mucho tiempo al omitir los pasos del procedimiento y obtener el resultado aplicando las reglas adecuadas según el producto que se esté tratando de obtener. En el siguiente enlace se encuentra un formulario de matemáticas que contiene algunas de estas reglas: http://www.slideshare.net/licmata/for-mulario Descarga el documento y escribe un comentario de 30 palabras, acerca de los productos notables, en la página slideshare donde se encuentra dicho formulario. El triángulo de Pascal. Un importante recurso que vamos a emplear en el tema de los productos notables es el Triángulo de Pascal. Explica, brevemente, cómo se construye este triángulo y complétalo hasta llegar a 10 filas. Las reglas empíricas. “Siempre que se multiplican dos binomios, el resultado es…”; “si está sumando, pasa restando, y si está restando…”; “cuando este número es negativo, siempre se puede resolver la ecuación de segundo grado” Las frases anteriores, no son leyes matemáticas o científicas, pero, después de resolver varios problemas, se van encontrando regularidades que pueden utilizarse para simplificar el procedimiento de solución de algún ejercicio, o para verificar que el resultado es correcto. Estas generalizaciones reciben el nombre de “Reglas Empíricas”, porque se obtienen de la práctica. Es una forma de conocimiento que debe revisarse y corregirse cuando sea necesario. Es importante asegurarnos de que estas reglas se pueden aplicar en todos los casos y no solamente en algunos, para evitar cometer errores al generalizar situaciones que solamente son aplicables en casos particulares.
  4. 4. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 4 Obtención de los productos notables. En lugar de simplemente consultar cómo se resuelven los productos notables, vamos a realizar las operaciones paso a paso y a observar las regularidades de las que hemos estado hablando para obtener las reglas correspondientes a los productos notables conocidos y otros menos usuales. Binomios con término común. Reciben este nombre los binomios que se caracterizan por tener uno de sus términos, iguales entre sí, por ejemplo: ( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 3) =__________________________ Como primer paso efectúa la multiplicación en las siguientes líneas, y anota solamente el resultado en la línea que está arriba de este texto, a la derecha de la multiplicación que resolvimos. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Para elaborar una regla empírica, es necesario resolver una cantidad de problemas más o menos grande, que nos permita observar las regularidades en las respuestas. Efectúa las siguientes multiplicaciones debajo de estas, y luego anota solamente las respuestas en las líneas junto a cada ejercicio. Una vez que tengas todas las respuestas, escribe las regularidades que se observan en las respuestas, en el recuadro de la derecha que dice “observaciones”. 1. (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) =__________________________ 2. (𝑥 + 1)(𝑥 + 4) =__________________________ 3. (𝑥 + 5)(𝑥 + 1) =__________________________ 4. (𝑥 + 6)(𝑥 + 2) =__________________________ 5. (𝑥 + 7)(𝑥 + 3) =__________________________ Efectúa las operaciones de las multiplicaciones 1 a la 5 en las líneas siguientes, anotando todos los pasos del procedimiento. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
  5. 5. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 5 ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Generalización de las observaciones. En este momento tenemos una regla provisional que nos permite obtener el resultado sin necesidad de efectuar todas las operaciones, explica esta regla en las líneas siguientes. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ La afirmación acerca de que esta regla es provisional se debe a que sólo la hemos probado con términos muy sencillos y con signo positivo, pero ¿qué sucede si el término no común, es negativo en uno de los binomios? ¿y en los dos? Efectúa las siguientes multiplicaciones en las líneas que están debajo de dichos ejercicios anotando todos los pasos del procedimiento, después, anota sólo las respuestas junto a cada ejercicio. Cuando tengas todas las respuestas, explica en el recuadro de observaciones si la regla empírica que teníamos puede seguirse aplicando o debe modificarse 6. (𝑥 + 2)(𝑥 − 3) =__________________________ 7. (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) =__________________________ 8. (𝑥 + 5)(𝑥 − 1) =__________________________ 9. (𝑥 − 3)(𝑥 − 4) =__________________________ 10. (𝑥 − 5)(𝑥 − 1) =__________________________ Efectúa las operaciones de las multiplicaciones 6 a la 10 en las líneas siguientes y anota solamente los resultados junto a cada producto. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
  6. 6. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 6 ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ De acuerdo con las observaciones, escribe nuevamente la regla para obtener el resultado directamente, sin efectuar la multiplicación: ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Esta es la primera etapa del proceso: obtener una regla a partir de observaciones empíricas y generalizarla a binomios con términos negativos. Como segunda etapa, debemos probar nuestra regla bajo condiciones más complejas: cuando el término común está elevado a alguna potencia, y/o tiene coeficiente diferente de uno, también debemos considerar el caso en el que el término no común, también contiene a la variable. Los siguientes casos servirán para probar que la regla que desarrollamos, realmente funciona en todos los casos. Aplica la regla empírica que desarrollamos y obtén el resultado de las siguientes operaciones, directamente, sin efectuar todo el procedimiento. 11. (2𝑥3 + 5)(2𝑥3 − 1) = _____________________________________________________ 12. (5𝑥2 − 𝑥)(5𝑥2 − 2𝑥) = _____________________________________________________ 13. (4𝑥3 − 5𝑥)(4𝑥3 − 2𝑥) = _____________________________________________________ 14. (−2𝑥4 + 2𝑥2)(−2𝑥4 − 3𝑥) = _____________________________________________________ 15. (−6𝑥5 + 𝑥3)(−6𝑥5 − 4𝑥3) = _____________________________________________________ 16. (5𝑥6 + 4𝑥2)(5𝑥6 − 𝑥2) = _____________________________________________________ 17. (3𝑥6 − 3𝑥)(3𝑥6 − 4𝑥) = _____________________________________________________ 18. (2𝑥7 − 5𝑥4)(2𝑥7 − 2𝑥4) = _____________________________________________________
  7. 7. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 7 Ahora efectúa las operaciones de las multiplicaciones 11 a la 18 en las líneas siguientes. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Si la regla empírica que elaboramos es correcta, los resultados obtenidos serán iguales al aplicarla que cuando se efectúa la operación paso a paso. Resultado: Regla para obtener el producto de dos binomios con término común. Anota en las siguientes líneas la regla corregida para determinar, sin efectuar la operación, el producto de dos binomios con término común. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
  8. 8. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 8 Binomio al cuadrado. El procedimiento para desarrollar la regla que nos permite obtener el cuadrado de un binomio, directamente, sin efectuar la multiplicación, es el mismo que seguimos para el caso de los binomios con término común. Un primer paso consistente en efectuar las multiplicaciones, poniendo atención en las regularidades que se observan en los resultados, primero tomando casos con términos positivos, luego agregamos negativos y obtenemos una regla para obtener el resultado sin efectuar operaciones. Luego, un segundo paso consistente en la verificación de la regla que se redactó, resolviendo casos con términos de diferentes signos, con coeficientes y potencias diferentes de uno. Si la regla estaba bien desde un principio, se deja tal como estaba, en caso contrario, se corrige. Es necesario realizar pruebas con binomios de mayor complejidad para validar completamente la regla que obtenemos, incluyendo términos con dos o más variables, coeficientes mayores y con diversas combinaciones de signos, exponentes diferentes de uno en cada variable. Vamos a realizar este procedimiento. Primer paso: Efectúa las operaciones de los binomios al cuadrado numerados del 1 al 5 en las líneas siguientes y anota solamente los resultados junto a cada ejercicio. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ 1. (𝑥 + 2)2 =_______________________________ 2. (𝑥 + 1)2 =_______________________________ 3. (𝑥 + 5)2 =_______________________________ 4. (𝑥 + 6)2 =_______________________________ 5. (𝑥 + 3)2 =_______________________________
  9. 9. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 9 Generalización de las observaciones. Las observaciones que realizamos nos permiten realizar afirmaciones acerca del resultado de elevar un binomio al cuadrado, siempre y cuando ambos términos tengan signos positivos, pero ¿qué sucede si algún término es negativo? ¿y los dos? Efectúa las operaciones de los binomios al cuadrado 6 a la 10 en las líneas siguientes y anota solamente los resultados junto a cada producto. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ 6. (𝑥 − 2)2 =_______________________________ 7. (−𝑥 + 1)2 = _____________________________ 8. (𝑥 − 5)2 =_______________________________ 9. (−𝑥 + 6)2 = _____________________________ 10. (−𝑥 − 3)2 = _____________________________ Regla para obtener el resultado directamente, sin efectuar la multiplicación: ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
  10. 10. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 10 Las reglas empíricas están siempre en revisión, constantemente debemos someterlas a prueba para asegurarnos que funcionan. Recuerda que es necesario verificar la validez de esta regla, sometiéndola a prueba, al elevar binomios más complejos, al cuadrado. Digamos que esta regla es, por ahora, una hipótesis, y para comprobar si es válida debemos realizar algunos “experimentos” tomando binomios con características especiales que podrían hacer fallar la regla que desarrollamos. Este redescubrimiento del conocimiento matemático es muy similar al método de investigación que se emplea en la investigación científica. Incluso cuando obtenemos una ley científica, no se considera definitiva, siempre se buscan experimentos destinados a verificar si las predicciones que hacemos acerca del comportamiento de un fenómeno ocurren como está previsto. Si el fenómeno se comporta como está previsto, la ley se sigue considerando válida. En caso contrario, se corrige o se enuncian nuevas leyes. Efectúa las operaciones de las multiplicaciones 11 a la 15, que se encuentran en la página siguiente, escribiendo los procedimientos completos en las estas líneas. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
  11. 11. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 11 Ahora obtén el resultado directamente, sin efectuar todo el procedimiento, aplicando la regla que obtuviste anteriormente. 11. (3𝑥 − 2)2 = ___________________________________________________________ 12. (−4𝑥 + 1)2 = ___________________________________________________________ 13. (3𝑥4 − 5𝑥3)2 = ___________________________________________________________ 14. (−2𝑥5 + 6𝑥2)2 = ___________________________________________________________ 15. (−4𝑥5 − 3𝑥2)2 = ___________________________________________________________ Resultado: Regla para obtener el cuadrado de un binomio. Con base en los 15 problemas resueltos, disponemos de una regla empírica para determinar, sin efectuar la operación, el cuadrado de un binomio. Anota en las siguientes líneas dicha regla. Observa si existe alguna diferencia con las reglas que habíamos elaborado anteriormente. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Procedimiento para obtener los resultados de productos algebraicos. Además de las reglas empíricas para multiplicar binomios con término común y para elevar un binomio al cuadrado, hemos desarrollado un procedimiento ordenado y sistemático para elaborar reglas empíricas, y lo podemos emplear para cualquier otra operación. El procedimiento del que hablamos consta de los pasos siguientes. 1. Efectuar la operación paso a paso tomando solamente términos positivos del grado más pequeño posible, al menos 5 ejercicios para visualizar claramente las regularidades 2. Obtener una regla a partir de los ejercicios resueltos en el paso 1 3. Efectuar la operación paso a paso tomando términos positivos y negativos del grado más pequeño posible, al menos 5 ejercicios para visualizar claramente las regularidades 4. Mejorar la regla a partir de los ejercicios resueltos en el paso 3 5. Probar si la regla funciona tomando 10 ejercicios con grados mayores a uno mezclando diversos casos en cuanto a los signos. 6. Elaborar la regla general
  12. 12. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 12 Obtención de otros productos notables. Siguiendo el procedimiento, de 6 pasos, para obtener los resultados de productos notables, y utilizando el formato F-2.2, obtén las reglas para los siguientes productos notables: 1. Binomios conjugados: ( 𝒂 + 𝒃)( 𝒂 − 𝒃) 2. Trinomio al cuadrado: ( 𝒂 + 𝒃 + 𝒄) 𝟐 3. Binomio al cubo: ( 𝒂 + 𝒃) 𝟑 4. Binomio a la cuarta potencia: ( 𝒂 + 𝒃) 𝟒 5. Binomio a la quinta potencia: ( 𝒂 + 𝒃) 𝟓 Explica, en las siguientes líneas, cómo puede utilizarse el Triángulo de Pascal, para obtener las reglas que nos permiten elevar un binomio al cubo, a la cuarta y a la quinta potencia. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Explica, en las siguientes líneas, cómo puede utilizarse el Triángulo de Pascal para obtener las reglas que nos permiten elevar un binomio a la sexta y séptima potencia. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Factorización. Esta operación consiste en que, conocido el resultado de una multiplicación, debemos determinar cuáles fueron los factores que dieron como respuesta el producto que tenemos. Se utiliza, entre otras operaciones, para efectuar algunas divisiones más fácilmente. Veamos un ejemplo: Cuando multiplicamos un monomio por un polinomio obtenemos: (𝑥2 + 2𝑥 − 4)(5𝑥2) = 𝟓𝒙 𝟒 + 𝟏𝟎𝒙 𝟑 − 𝟐𝟎𝒙 𝟐 La factorización consiste en que conocemos el resultado: 5𝑥4 + 10𝑥3 − 20𝑥2 Y deseamos identificar los factores: (? ? )(? ? ) = 𝟓𝒙 𝟒 + 𝟏𝟎𝒙 𝟑 − 𝟐𝟎𝒙 𝟐 Existen diferentes casos de factorización, en este problema se aplica:
  13. 13. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 13 Factor común. Esta factorización consiste en que se desea obtener un monomio que, multiplicado por un polinomio, produzca el polinomio que tenemos como dato. No debemos confundir factor común, con término común. Puede tomarse el factor positivo o negativo, según convenga. En este caso tomaremos el signo positivo por ser más sencillo. El coeficiente del factor común se determina calculando el máximo común divisor de los coeficientes de los términos del polinomio, en este caso es 5. En cuanto a las variables, se toman las que forman parte de todos los términos con el menor grado que se encuentre, en este ejercicio la única variable es equis, y el grado menor es segundo. Entonces, el factor común es: +𝟓𝒙 𝟐 Ahora debemos obtener el polinomio que se multiplica por el factor común y permite obtener el polinomio que tenemos como ejercicio. 𝟓𝒙 𝟒 + 𝟏𝟎𝒙 𝟑 − 𝟐𝟎𝒙 𝟐 = +𝟓𝒙 𝟐(? ? ? ? ) Para determinar el polinomio que va entre paréntesis se plantea la pregunta, ¿Por cuánto debemos multiplicar el factor común, +𝟓𝒙 𝟐 , para obtener el primer término del polinomio que estamos factorizando, 𝟓𝒙 𝟒 . La respuesta es, evidentemente, 𝒙 𝟐 . 𝟓𝒙 𝟒 + 𝟏𝟎𝒙 𝟑 − 𝟐𝟎𝒙 𝟐 = +𝟓𝒙 𝟐 (𝒙 𝟐 +? ? ? ) Los términos faltantes se obtienen utilizando la misma estrategia: ¿Por cuánto debemos multiplicar +𝟓𝒙 𝟐 para obtener el segundo término del polinomio que estamos factorizando +𝟏𝟎𝒙 𝟑 ? Y la respuesta es: +𝟐𝒙 𝟓𝒙 𝟒 + 𝟏𝟎𝒙 𝟑 − 𝟐𝟎𝒙 𝟐 = +𝟓𝒙 𝟐 (𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙+? ? ? ) Finalmente: ¿Por cuánto debemos multiplicar +𝟓𝒙 𝟐 para obtener el tercer término del polinomio que estamos factorizando −𝟐𝟎𝒙 𝟐 ? Y la respuesta es: −𝟒 𝟓𝒙 𝟒 + 𝟏𝟎𝒙 𝟑 − 𝟐𝟎𝒙 𝟐 = +𝟓𝒙 𝟐 (𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒) El resultado es el que se muestra, si se desea comprobar, se efectúa la multiplicación indicada. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas. 1. 16𝑥3 + 32𝑥2 − 8𝑥 = 2. −5𝑦4 + 10𝑦3 − 15𝑦2 = 3. −12𝑥2 𝑦4 − 6𝑥3 𝑦3 + 18𝑥4 𝑦2 = 4. 9𝑎4 𝑏3 − 6𝑎3 𝑏4 − 3𝑎3 𝑏3 = 5. 12𝑚4 𝑛3 𝑝2 − 4𝑚3 𝑛2 𝑝4 − 8𝑚2 𝑛4 𝑝3 =
  14. 14. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 14 Trinomios que se factorizan como binomios con término común. Este caso de factorización está basado en la multiplicación de binomios con término común, por ejemplo: 𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = Este trinomio no tiene factor común; los coeficientes no tienen divisor común (excepto el uno), y tampoco tienen ninguna variable en común. Vamos a tratar de factorizarlo como dos binomios con término común. 𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = (𝒙 )(𝒙 ) El término común es la raíz cuadrada del término de mayor grado: 𝒙 𝟐 , es decir, 𝒙. Para determinar los términos que completan los dos binomios observamos que el término de menor grado es solamente un número, el +𝟔, por lo tanto, los términos faltantes deben ser también números sin variables. Estos números que estamos buscando deben cumplir dos condiciones: Dos números que al multiplicarse den como resultado +𝟔, y al sumarse den como resultado +𝟓. Dos números que al multiplicarse dan como resultado +𝟔 son: (+𝟑) × (+𝟐), (−𝟑) × (−𝟐), (+𝟔) × (+𝟏) y (−𝟔) × (−𝟏), pero de estas parejas de números, solamente una, al sumarse, da como resultado +𝟓, son los números: (+𝟑) y (+𝟐). (+𝟑) × (+𝟐) = +𝟔 (+𝟑) + (+𝟐) = +𝟓 Entonces, la factorización es: 𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐) Podemos verificar el resultado efectuando la multiplicación indicada. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas 1. 𝑥2 + 6𝑥 + 8 = 2. 𝑦2 − 3𝑦 − 4 = 3. 𝑧4 + 4𝑧2 − 12 = 4. 𝑎4 − 9𝑎2 + 18 = 5. 4𝑏4 − 4𝑏2 − 15 = Trinomio cuadrado perfecto. Este trinomio es el resultado de elevar un binomio al cuadrado, por lo tanto, al factorizarlo, debe obtenerse dicho binomio al cuadrado. El procedimiento para factorizar estos binomios consiste en extraer la raíz cuadrada del término de mayor grado, después extraer la raíz cuadrada del término de menor grado y verificar que el doble producto de estas dos raíces de como resultado el término intermedio. Por ejemplo: 𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 = La raíz cuadrada del término de mayor grado: √𝒙 𝟐 = 𝒙
  15. 15. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 15 La raíz cuadrada del término de menor grado: √𝟗 = 𝟑 El doble producto de estas raíces cuadradas es: 𝟐(𝒙)(𝟑) = 𝟔𝒙, es igual al término intermedio. Por lo tanto, la factorización es un binomio al cuadrado: 𝒙 𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 = (𝒙 + 𝟑) 𝟐 Podemos verificar el resultado efectuando la potencia indicada. Cuando no es un trinomio cuadrado perfecto y, por lo tanto, no se cumplen las condiciones mencionadas, puede tratar de factorizar como dos binomios con término común. Por ejemplo: 𝒚 𝟐 + 𝟓𝒚 + 𝟒 = La raíz cuadrada del término de mayor grado: √𝒚 𝟐 = 𝒚 La raíz cuadrada del término de menor grado: √𝟒 = 𝟐 El doble producto de estas raíces cuadradas es: 𝟐(𝒚)(𝟐) = 𝟒𝒚, NO es igual al término intermedio: 𝟓𝒚 Por lo tanto, la factorización no es un binomio al cuadrado. Vamos a tratar de factorizarlo como dos binomios con término común. 𝒚 𝟐 + 𝟓𝒚 + 𝟒 = El término común es la raíz cuadrada del término de mayor grado: 𝒚 𝟐 , es decir, 𝒚. Para determinar los términos que completan los dos binomios observamos que el término de menor grado es solamente un número, el +𝟒, por lo tanto, los términos faltantes deben ser también números sin variables. Estos números que estamos buscando deben cumplir dos condiciones: Dos números que al multiplicarse den como resultado +𝟒, y al sumarse den como resultado +𝟓. Dos números que al multiplicarse dan como resultado +𝟒 son: (+𝟐) × (+𝟐), (−𝟐) × (−𝟐), (+𝟒) × (+𝟏) y (−𝟒) × (−𝟏), pero de estas parejas de números, solamente una, al sumarse, da como resultado +𝟓, son los números: (+𝟒) y (+𝟏). (+𝟒) × (+𝟏) = +𝟒 (+𝟒) + (+𝟏) = +𝟓 Entonces, la factorización es: 𝒚 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟒 = (𝒚 + 𝟒)(𝒚 + 𝟏) Podemos verificar el resultado efectuando la multiplicación indicada. Utiliza el espacio siguiente para comprobar que, efectivamente, al multiplicar los dos binomios, se obtiene el trinomio original.
  16. 16. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 16 Factoriza las siguientes expresiones algebraicas; primero prueba como trinomio cuadrado perfecto, si no es posible, factoriza como binomios con término común. 1. 𝑧4 − 10𝑧2 + 16 = 2. 𝑎4 − 12𝑎2 + 36 = 3. 4𝑏4 − 12𝑏2 + 9 = 4. 9𝑎4 − 15𝑎2 + 4 = 5. 25𝑦4 − 30𝑦2 + 8 = Diferencia de cuadrados. Esta expresión algebraica es un binomio que proviene de la multiplicación de dos binomios conjugados, por lo tanto, esa será la forma de factorizarlo. Veamos un ejemplo: Factoriza el binomio: 𝒙 𝟐 − 𝟗 = Identificamos la expresión como una diferencia de cuadrados: Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: 𝒙 𝟐 , es decir, √𝒙 𝟐 = 𝒙. Obtenemos la raíz cuadrada del segundo término, sin tomar en cuenta el signo: 𝟗, es decir, √𝟗 = 𝟑. La factorización está formada por dos binomios que contienen estas raíces cuadradas, separadas por signos diferentes, uno positivo y otro negativo: 𝒙 𝟐 − 𝟗 = (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟑) Podemos verificar el resultado efectuando la multiplicación indicada. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas aplicando la regla que corresponda a cada ejercicio. 1. 𝑦2 − 16 = 2. 𝑧3 − 10𝑧2 + 16𝑧 = 3. 2𝑎5 + 24𝑎3 + 72𝑎 = 4. 18𝑎3 𝑏 − 8𝑎𝑏3 = 5. 27𝑎3 𝑏3 + 36𝑎3 𝑏2 + 12𝑎3 𝑏 = 6. 2𝑎3 − 2𝑎𝑏2 + 𝑎2 𝑏 − 𝑏3 = 7. 4𝑥3 − 8𝑥2 𝑦 − 𝑥𝑦2 + 2𝑦3 = 8. 18𝑥3 − 9𝑥2 𝑦 − 8𝑥 + 4𝑦 =
  17. 17. Productos notables y factorización. http://licmata-math.blogspot.mx/ 17 Otras estrategias de factorización. Realiza una investigación y selecciona otras tres estrategias de factorización que consideres necesario incluir en este trabajo. Anota en las siguientes líneas los 3 casos que seleccionaste: ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Incluye 5 ejemplos de cada uno de estos casos. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Lecturas recomendadas.

×