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Activity 1 3-trigonometic functions

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Semejanza de triangulos y funciones trigonometricas

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Activity 1 3-trigonometic functions

  1. 1. Geometría y Trigonometría Actividad 1.3 Funciones Trigonométricas G. Edgar Mata Ortiz
  2. 2. Geometría y Trigonometría Funciones Trigonométricas http://licmata-math.blogspot.mx/ 1 La resolución de triángulos consiste en; a partir del conocimiento de las magnitudes de algunos lados y ángulos, determinar los restantes. Para ello, se cuenta, además del teorema de Pitágoras, con las funciones trigonométricas. Es necesario identificar claramente los elementos del triángulo para decidir cuál de las funciones es la adecuada en cada situación. Contenido Introducción .............................................................................................................................................................2 Semejanza de triángulos.......................................................................................................................................2 Semejanza de triángulos rectángulos...................................................................................................................2 El triángulo rectángulo .........................................................................................................................................3 Las funciones trigonométricas..................................................................................................................................4 Ejercicios...............................................................................................................................................................5 Bibliografía................................................................................................................................................................6 Reproducción del papiro Rhind en la que se observa el proceso de solución de triángulos.
  3. 3. Geometría y Trigonometría Funciones Trigonométricas http://licmata-math.blogspot.mx/ 2 Introducción La palabra trigonometría proviene de dos raíces griegas: “trígono”, que significa triángulo, y “metron”, medida; entonces la trigonometría es, simplemente, la medida de triángulos. En este material vamos a estudiar las medidas de los triángulos, comenzando por los triángulos rectángulos, complementando así el Teorema de Pitágoras. Semejanza de triángulos. En dos triángulos cualesquiera, si sus ángulos son iguales, sus lados serán proporcionales, es decir, al dividir sus lados se obtendrán los mismos resultados. Veamos un ejemplo: Utilizando solamente regla y compás, traza dos triángulos: uno cuyas medidas sean 5 cm, 6 cm y 8 cm; y el otro de 7.5 cm, 9 cm y 12 cm. Ahora mide sus ángulos y notarás que son iguales. Verifica esta igualdad trazando los mismos triángulos en AutoCAD. Ahora que sabemos que sus ángulos son iguales, divide el lado mayor entre el menor del triángulo más pequeño y luego realiza la misma operación con el triángulo más grande: 𝟖 𝟓 = 𝟏𝟐 𝟕. 𝟓 = Ahora efectúa las siguientes divisiones: 𝟖 𝟔 = 𝟏𝟐 𝟗 = 𝟔 𝟓 = 𝟗 𝟕. 𝟓 = Cuando ocurre algo como lo anterior, se dice que los lados de los triángulos son proporcionales. Semejanza de triángulos rectángulos. En los triángulos rectángulos sucede exactamente lo mismo; si los ángulos son iguales, los lados son proporcionales. Utilizando solamente regla y compás, traza dos triángulos: uno cuyas medidas sean 10 cm, 10.5 cm y 14.5 cm; y el otro de 20 cm, 21 cm y 29 cm. Mide sus ángulos y realiza las divisiones señaladas en el ejemplo anterior y anota tus conclusiones al reverso de esta hoja. Verifica tus conclusiones trazando los mismos triángulos en AutoCAD. La Geometría Breve introducción a la Historia de la Trigonometría Se dispone de evidencias, como el papiro Rhind, en las que se demuestra que el estudio de los triángulos data de más de 2000 años antes de Cristo. Sin embargo, el estudio sistemático de las relaciones entre los lados y ángulos del triángulo comenzó con los matemáticos griegos, creando lo que ahora entendemos por Trigonometría. Se cree que Hiparco (190-120 b. C), fue el primero en construir una tabla de valores de las funciones trigonométricas, ya que escribió un libro de astrología en el que se observa el uso de dichas funciones, aunque no se dispone de dichas tablas de valores. Después de Hiparco, el siguiente matemático griego que realizó aportaciones a la trigonometría fue Menelao, quien escribió un tratado, en 6 libros, acerca de las cuerdas en una circunferencia. Este tratado se ha perdido y solamente se conoce por las referencias que otros matemáticos hacen acerca de él. En cualquier caso, el “Almagesto” de Ptolomeo, es nuestra mejor fuente de información acerca de Hiparco y la trigonometría de Alejandría. Este enciclopédico trabajo contiene una tabla de cuerdas comparable con nuestras modernas tablas de funciones trigonométricas. Las funciones Trigonométricas
  4. 4. Geometría y Trigonometría Funciones Trigonométricas http://licmata-math.blogspot.mx/ 3 El triángulo rectángulo Los nombres que emplearemos en trigonometría difieren de los empleados en el Teorema de Pitágoras. Como muestra la figura, los nombres de los catetos; opuesto y adyacente, hacen referencia a la posición del ángulo  (theta), el cateto opuesto a dicho ángulo es el que se encuentra “frente” a , y el adyacente es uno de los lados del ángulo . Si el ángulo de interés cambia, también los nombres de los catetos cambiarán. Completa la información: Cuando en dos triángulos rectángulos, el ángulo  es igual, los triángulos son semejantes, explica por qué: ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
  5. 5. Geometría y Trigonometría Funciones Trigonométricas http://licmata-math.blogspot.mx/ 4 Las funciones trigonométricas. Las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo reciben nombres especiales, consulta y completa la información faltante: Seno () = Coseno () = Tangente () = Además de estas funciones, existen muchas más, entre ellas, las funciones inversas. Anótalas en seguida con sus fórmulas: ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Anota otras 4 funciones, poco conocidas, con sus fórmulas: ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Estas fórmulas se emplean para determinar medidas faltantes en triángulos rectángulos, la estrategia es muy sencilla; debe identificarse cuáles medidas se conocen y cuáles se están buscando, posteriormente, sólo es necesario identificar la función o trigonométrica que relaciona unas cantidades con otras. Si se dispone de la hipotenusa y uno de los ángulos agudos, puede determinarse cualquiera de los catetos, mediante la función seno o coseno, aunque también es posible determinar primero el ángulo agudo faltante y elegir una función trigonométrica diferente.
  6. 6. Geometría y Trigonometría Funciones Trigonométricas http://licmata-math.blogspot.mx/ 5 Ejercicios. Resuelve los siguientes problemas empleando tu número de lista (NL) y/o número de equipo (NE) según se indica. Construye el triángulo rectángulo que representa el problema, primero al reverso de estas hojas, y posteriormente, en AutoCAD. 1. Determina la longitud de una escalera cuya parte superior se encuentra apoyada sobre una pared a una altura de 5.NL metros y forma un ángulo de 65.NE° con el piso. ¿Cuál es la longitud de la escalera? 2. Un cable sujeta un poste mediante una abrazadera que se encuentra, en el poste, a una altura de 7.NE metros y tiene una longitud de 12.NL metros. ¿Qué ángulo forma el poste con el cable que lo sujeta? 3. Utiliza, exclusivamente, las funciones trigonométricas estudiadas en este material para calcular la altura de un triángulo cuyos lados miden; 6.16×NL, 6.63×NL y 9.05×NL cm. Después, calcula el área mediante la fórmula usual y la fórmula de Herón de Alejandría. Verifica que ambos resultados coinciden. 4. Utiliza, exclusivamente, las funciones trigonométricas estudiadas en este material para calcular la altura de un triángulo cuyos lados miden; 5.4×NE, 6.29×NE y 8.29×NE cm. Después, calcula el área mediante la fórmula usual y la fórmula de Herón de Alejandría. Verifica que ambos resultados coinciden. 5. Utiliza, exclusivamente, las funciones trigonométricas estudiadas en este material para calcular la altura de un triángulo cuyos lados miden; 11.13×NL, 11.84×NL y 16.25×NL cm. Después, calcula el área mediante la fórmula usual y la fórmula de Herón de Alejandría. Verifica que ambos resultados coinciden.
  7. 7. Geometría y Trigonometría Funciones Trigonométricas http://licmata-math.blogspot.mx/ 6 Bibliografía.

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