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Activity 1 2-áreas y volúmenes

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Ejercicios y conceptos fundamentales de geometría: perímetros, áreas y volúmenes.

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  1. 1. Geometría y Trigonometría Actividad 1.2 Áreas y volúmenes G. Edgar Mata Ortiz
  2. 2. Geometría y Trigonometría Áreas y Volúmenes http://licmata-math.blogspot.mx/ 1 La geometría ha acompañado al ser humano desde hace miles de años, se cuenta con evidencia histórica, como el papiro Rhind que se muestra a la izquierda, y contiene el procedimiento para calcular el área de un triángulo isósceles. Este papiro, conocido también como papiro Ahmes, mide 6 metros de longitud por 32 cm de ancho. Está bien conservado a pesar de que se estima que fue escrito a mediados del siglo XVI a. C. Contenido El cuadrado...........................................................................................................................................................2 El cubo. .................................................................................................................................................................2 El triángulo:...........................................................................................................................................................2 El cilindro:.............................................................................................................................................................2 La esfera: ..............................................................................................................................................................2 El cono: .................................................................................................................................................................2 Problemas de razonamiento. ...................................................................................................................................3 Fundamentos de geometría. ....................................................................................................................................5 Propiedades de las figuras geométricas planas. ..................................................................................................5 Medidas de ángulos, y ángulos entre paralelas. ..................................................................................................5 Puntos notables en el triángulo............................................................................................................................6 Ejercicios sobre volúmenes. .....................................................................................................................................6 “Yuan rong jiao yi (Tratado sobre geometría) es una edición de 1847 de una obra que dictó en 1608 el jesuita italiano Matteo Ricci (1552– 1610) al erudito y funcionario Li Zhizao (1565–1630). Ricci, cuyo nombre chino era Li Madou, era una de las figuras fundadoras de la misión jesuita de China. Bautizó a Li Zhizao en 1610, quien tomó el nombre de Leo. Zhizao estudió con Ricci y escribió los prefacios de muchos de sus libros. Ricci dictó varias obras a Li, quien las escribió en un chino aceptable. El tratado se imprimió por primera vez en Pekín en 1614.” Información tomada de la página: https://www.wdl.org/es/item/7107/
  3. 3. Geometría y Trigonometría Áreas y Volúmenes http://licmata-math.blogspot.mx/ 2 Introducción El cálculo de áreas y volúmenes es una importante herramienta para la resolución de problemas, con la ventaja de que contamos con las fórmulas de áreas y volúmenes de muchas figuras regulares. Por ejemplo: El cuadrado. Área: 𝑨 = 𝒍𝒂𝒅𝒐 × 𝒍𝒂𝒅𝒐 = 𝒍 × 𝒍 = 𝒍 𝟐 Perímetro: 𝑷 = 𝟒 × 𝒍𝒂𝒅𝒐 = 𝟒 × 𝒍 = 𝟒𝒍 El cubo. Volumen: 𝑽 = 𝒂𝒓𝒊𝒔𝒕𝒂 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒃𝒐 = 𝒂 𝟑 Área lateral: 𝑨 = 𝟔 × 𝒂 × 𝒂 = 𝟔𝒂 𝟐 Completa la información faltante: El triángulo: Área: _____________________________________ Perímetro: _________________________________ El cilindro: Volumen: ___________________________________ Área lateral: _________________________________ La esfera: Volumen: ___________________________________ Área lateral: _________________________________ El cono: Volumen: ___________________________________ Área lateral: _________________________________ La Geometría Sólidos Platónicos Sólo existen 5 sólidos que reciben este nombre: El tetraedro, formado por 4 triángulos equiláteros: El hexaedro o cubo, formado por seis cuadrados: El octaedro, formado por 8 triángulos equiláteros: El dodecaedro, formado por 12 pentágonos regulares: Y el icosaedro, formado por 20 triángulos equiláteros: Investiga el procedimiento requerido y construye los sólidos platónicos con las dimensiones indicadas en clase. Áreas y volúmenes 𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎 = 𝑎
  4. 4. Geometría y Trigonometría Áreas y Volúmenes http://licmata-math.blogspot.mx/ 3 Problemas de razonamiento. El modelado matemático es el proceso mediante el cual se plantean y resuelven problemas reales empleando herramientas de esta ciencia. Muchos de estos problemas solamente requieren la aplicación directa de alguna de las fórmulas ya conocidas, sin embargo, en otros casos, es necesario realizar un análisis de la información disponible para aplicar, además de las fórmulas, alguna estrategia que permita obtener la respuesta. Veamos un ejemplo: La figura adjunta es el plano de un área recreativa que se va a construir al oriente de la ciudad. Tiene la forma de un cuadrado de área igual a 7225 metros cuadrados. El semicírculo de la derecha está destinado a una alberca con área de regaderas y espacios para tomar el sol; las restantes áreas, a juegos infantiles, espacios con mesas y sillas para los visitantes, y un área verde. Los límites del área verde son: el espacio para la alberca, parte de una diagonal del cuadrado, y un cuarto de círculo con centro en el vértice B. Determina la cantidad de pasto en rollo que se debe comprar para colocar en dicha área verde. Resuelve el problema y escribe la solución en las siguientes líneas. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Además de obtener la solución del problema, es necesario ser capaz de comunicar el procedimiento que se aplicó para llegar a la solución, elabora un documento electrónico, puede ser en Word, Power Point, Publisher o algún otro software de tu preferencia, para elaborar un reporte en el que expliques detalladamente el procedimiento que seguiste para resolver el problema. Anota en las siguientes líneas, los conocimientos y fórmulas que utilizaste para resolver el problema. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________
  5. 5. Geometría y Trigonometría Áreas y Volúmenes http://licmata-math.blogspot.mx/ 4 Para la resolución de estos problemas, es necesario utilizar numerosas fórmulas que es difícil mantener en la memoria, descarga un formulario de áreas y volúmenes tan amplio como sea posible y consérvalo para futuras referencias (debe contener las fórmulas de sector circular y segmento circular). Ya que resolviste el problema del área recreativa utilizando ciertas fórmulas y conocimientos, con base en el formulario que descargaste, resuelve el problema aplicando algunas de las nuevas fórmulas que consultaste y anótalos en las siguientes líneas: ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Elabora un documento electrónico, puede ser en Word, Power Point, Publisher o algún otro software de tu preferencia, para elaborar un reporte en el que expliques detalladamente el nuevo procedimiento que seguiste para resolver el problema y compáralo con el proceso anterior, señalando las ventajas y desventajas de cada método. Resuelve los siguientes problemas explicando los pasos del procedimiento y señalando las fórmulas y conocimientos que empleaste en cada problema. Estas explicaciones deben elaborarse en formato electrónico y publicarse en el blog. 1. En la figura, las dos circunferencias tienen un radio de 20 cm cada una, y son tangentes entre sí, las rectas l1 y l2 son tangentes a las circunferencias como se observa en la figura. Determina el área sombreada. 2. El cuadrado menor está inscrito en el círculo, y el área de dicho cuadrado es de 81 in2 . El círculo es tangente al cuadrado mayor en sus cuatro lados. Determina el área del círculo y del cuadrado mayor. 3. En la figura de la derecha, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo e isósceles. Las tres semicircunferencias tienen como diámetro las dimensiones del lado AB y sus centros están en los puntos medios de los lados del triángulo. Determina el área sombreada.
  6. 6. Geometría y Trigonometría Áreas y Volúmenes http://licmata-math.blogspot.mx/ 5 Fundamentos de geometría. Al resolver los problemas anteriores se utilizaron algunas propiedades de las figuras geométricas además de las fórmulas de áreas y volúmenes, rectas perpendiculares, puntos medios, tangentes, entre muchos otros. Es necesario revisar estas propiedades con mayor detenimiento. Propiedades de las figuras geométricas planas. Existen muchas figuras geométricas cuyas propiedades pueden ser útiles en la resolución de un problema, investiga y elabora una síntesis de las propiedades de las 10 figuras geométricas que consideres más importantes, como el círculo, cuadrado, triángulo, entre otros. Medidas de ángulos, y ángulos entre paralelas. Como habrás notado, algunas de las propiedades de las figuras investigadas están relacionadas con las características de los ángulos y, en ocasiones, de los ángulos formados por dos o más rectas paralelas que son cortadas por una transversal. Completa la siguiente información: Un ángulo agudo mide: _____________________________________________________ Un ángulo recto mide: ______________________________________________________ Un ángulo obtuso mide: ____________________________________________________ Un ángulo que mide 180° se llama: ___________________________________________ Un ángulo mayor de 180° se llama: ___________________________________________ Un ángulo de 270° se llama: _________________________________________________ Un ángulo de 360° se llama: _________________________________________________ Otros nombres de ángulos: __________________________________________________ Investiga los nombres de los ángulos formados en la siguiente figura y sus relaciones. Anota la información encontrada en las siguientes líneas: ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ __________________________________________________________________________________________
  7. 7. Geometría y Trigonometría Áreas y Volúmenes http://licmata-math.blogspot.mx/ 6 Puntos notables en el triángulo. Investiga los siguientes puntos notables en el triángulo, sus propiedades y cómo se trazan. Una vez que dispongas de la información, construye en AutoCAD cada uno de los puntos notables en el triángulo empleando los trazos geométricos básicos: segmentos, arcos y circunferencias, es decir, empleando solamente una regla no graduada y un compás. Los puntos que debes investigar son: incentro, circuncentro, baricentro y ortocentro. Posteriormente construye, en AutoCAD y siguiendo las mismas instrucciones, una figura que contenga la recta de Euler. Ejercicios sobre volúmenes. Cuando se desea obtener el volumen de una figura regular, sencillamente se aplica la fórmula correspondiente teniendo cuidado de emplear las unidades indicadas y así se obtiene el resultado correcto. Sin embargo, frecuentemente es necesario determinar el volumen de una figura que está formada por varios de los sólidos geométricos. En tal caso, es necesario aplicar alguna estrategia o razonamiento que, mediante la suma y resta de diversos volúmenes, nos permita determinar el resultado deseado. Traza las figuras, primero a mano y luego en AutoCAD, y calcula los volúmenes siguientes. 1. Un tramo comercial de tubería de acero tiene una longitud de 6.4 metros. Se desea determinar el volumen de material con que está fabricado un tramo comercial de tubería de acero, cédula 80, de una pulgada de diámetro nominal si sabemos que el diámetro interno de esta tubería es de 24.31 mm y el espesor de la pared es de 4.55 mm. 2. Calcula el volumen de la pieza de la izquierda. 3. Si a la pieza de la izquierda se la realizan dos perforaciones con un diámetro de 8 unidades en la sección que tiene un espesor de 10 unidades, ¿cuál será su volumen después de ser realizadas estas perforaciones? 4. Si las perforaciones se realizan en la sección que tiene un espesor de 20 unidades, ¿cuál será el volumen de la pieza después de ser realizadas dichas perforaciones? 5. Una alberca tiene una longitud de 40 metros y un ancho de 12 metros. Determina su volumen total si la profundidad va aumentando linealmente de 1 a 2 metros. 6. Utiliza un vernier para medir un tornillo de cabeza hexagonal que mida, al menos, media pulgada de diámetro y 4 pulgadas de longitud y determina su volumen. Explica cómo calculaste el volumen de cada parte del tornillo: (1) cabeza (2) cuello y (3) rosca. Comprueba el resultado determinando su volumen mediante el principio de Arquímedes.
  8. 8. Geometría y Trigonometría Áreas y Volúmenes http://licmata-math.blogspot.mx/ 7 Bibliografía

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