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Activity 1 1 introduction to differential calculus

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Resolución de un problema mediante diferentes herramientas matemáticas

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Activity 1 1 introduction to differential calculus

  1. 1. http://licmata-math.blogspot.mx/ Introducción al Cálculo Diferencial Actividad 1.1 Introducción al Cálculo Diferencial G. Edgar Mata Ortiz
  2. 2. http://licmata-math.blogspot.mx/ Introducción al Cálculo Diferencial El cálculo diferencial e integral fueron desarrollados para resolver problemas. En algún momento se encontraron situaciones para las que la aritmética, geometría, trigonometría y geometría analítica, no eran suficientes. De modo que, Newton, por un lado, y Leibnitz por otro, inventaron esta nueva herramienta, que se emplea cuando se deben resolver situaciones en las que las cantidades desconocidas, varían, generalmente con respecto al tiempo. En el presente material se presenta una breve introducción a las aplicaciones del cálculo y la importancia de sus fundamentos: la teoría de límites y la continuidad de las funciones. Contenido Introducción. ............................................................................................................................................................1 Aplicaciones del cálculo........................................................................................................................................1 Resolviendo el problema de la caja de cartón mediante aritmética y geometría. ..........................................2 Resolviendo el problema de la caja de cartón mediante funciones matemáticas...........................................5 Revisión del proceso de solución. ....................................................................................................................6 Fundamentos del cálculo......................................................................................................................................7 La teoría de límites. ..........................................................................................................................................7 Continuidad de una función. ............................................................................................................................7 Bibliografía................................................................................................................................................................8 First, it is necessary to study the facts, to multiply the number of observations, and then later to search for formulas that connect them so as thus to discern the particular laws governing a certain class of phenomena. In general, it is not until after these particular laws have been established that one can expect to discover and articulate the more general laws that complete theories by bringing a multitude of apparently very diverse phenomena together under a single governing principle. Augustine – Louise Cauchy
  3. 3. Introducción al Cálculo Diferencial http://licmata-math.blogspot.mx/ 1 Introducción. Una buena forma de iniciar el estudio de cualquier disciplina científica consiste en conocer su historia, en el caso específico del cálculo, siempre ha existido una discusión acerca de quién debe ser reconocido como el inventor de dicha disciplina. Realiza una investigación y elabora un ensayo de 1200 palabras en el que establezcas quién debe ser considerado el inventor del cálculo. En las siguientes líneas solamente explica, brevemente, tu posición respecto a este tema. ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ Aplicaciones del cálculo. La razón principal para el estudio del cálculo es la resolución de problemas que se presentan bajo diferentes circunstancias. Veamos un ejemplo. Antes de resolver el problema, vamos a fabricar, con una hoja de cuaderno, una caja conforme a las instrucciones que se presentan; recortar cuatro cuadrados. Pero aquí se presenta un detalle, no sabemos de qué dimensiones serán dichos cuadrados que se van a recortar. ¿Qué propones? El origen del cálculo. Como en la mayor parte de las invenciones humanas, es difícil señalar quién inventó el cálculo diferencial e integral. Desde la época de oro de la civilización grecolatina se hicieron fructíferos esfuerzos por resolver problemas que requerían de los métodos de esta rama de la matemática. Podemos citar a Platón y Aristóteles como los primeros antecesores del cálculo por sus ideas filosóficas, en seguida debemos mencionar a Arquímedes y Eudoxio, para pasar luego a una gran cantidad de matemáticos que trataban de resolver problemas acerca de áreas, longitudes de curvas, tangentes, puntos máximos y mínimos y que, en sus búsquedas, realizaron importantes aportaciones al cálculo. Sin embargo, fueron Newton, con un enfoque físico, y Leibnitz, a partir de una perspectiva geométrica, quienes le dieron forma a esta nueva herramienta para la solución de problemas: El cálculo diferencial e integral.
  4. 4. Introducción al Cálculo Diferencial http://licmata-math.blogspot.mx/ 2 Resolviendo el problema de la caja de cartón mediante aritmética y geometría. De acuerdo con la redacción del problema, debemos suponer que, dependiendo del tamaño de la pieza recortada, el volumen de la caja será distinto. Sin embargo, esto no resulta del todo claro, ¿qué opinas?, ¿el volumen será el mismo sin importar el tamaño del cuadrado que se recorte o el volumen cambiará dependiendo de la medida del cuadrado? Explica tu respuesta: ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Esta explicación es solamente una conjetura, es decir, no tenemos suficiente evidencia para comprobar si tenemos razón o no. Antes de intentar resolver el problema debemos tratar de determinar si nuestra conjetura es correcta. Para ello, vamos a realizar algunos cálculos preliminares conforme a la figura construida. En la resolución de la mayoría de los problemas de matemáticas, es necesario emplear conocimientos previamente adquiridos. En este ejemplo en particular se trata de una fórmula de geometría. Volumen de un paralelepípedo rectángulo: V = _________________________________________________ Según el procedimiento señalado en el problema, la medida de los cuadrados que se recortarán debe ser determinada de tal forma que el volumen de la caja sea el máximo posible. El primer acercamiento que haremos al problema será geométrico aritmético; tomaremos valores arbitrarios para la medida de los cuadrados que se recortarán y veremos cómo se comporta el volumen. El primer valor sugerido para que sea la medida de los cuadrados que se recortarán es 2 cm. Anota las dimensiones que tendrá la caja cuando se recortan, en las esquinas, cuadrados que miden 2 cm por lado, y calcula su volumen. Dimensiones de la caja: Longitud = ____________________ Ancho = ____________________ Altura = ____________________ Volumen = ____________________
  5. 5. Introducción al Cálculo Diferencial http://licmata-math.blogspot.mx/ 3 Para determinar si el volumen depende de las dimensiones de los cuadrados que se recorten, vamos a determinar si el volumen es diferente cuando los cuadrados que se recortan miden 3 cm por lado. Qué observas, ¿el volumen es mayor? ¿o menor? ________________________________________ ________________________________________ Hemos podido determinar que, efectivamente, al cambiar el tamaño de las piezas recortadas el volumen varía, es decir, el volumen depende de la medida de los cuadrados que se recortan en las esquinas. Como podemos observar, al recortar un cuadrado mayor, el volumen aumentó. Si seguimos aumentando el tamaño del cuadrado, ¿el volumen seguirá aumentando? Para responder a esta pregunta, vamos a ir aumentando, unidad por unidad, las dimensiones del cuadrado que se recorta; para facilitar el proceso, vamos a elaborar una tabla en la que podamos observar el comportamiento del volumen de la caja al ir cambiando el tamaño de los cuadrados recortados en las esquinas de la pieza de cartón.
  6. 6. Introducción al Cálculo Diferencial http://licmata-math.blogspot.mx/ 4 De acuerdo con la tabla, ¿de qué medida deben ser los cuadrados que se recortarán para obtener el máximo volumen posible? _______________________________ Al parecer hemos resuelto el problema, pero, ¿cómo podemos estar seguros de que este es, realmente, el máximo volumen posible? Hemos trabajado solamente con números enteros, pero ¿No podría ser un número fraccionario el que nos da el volumen máximo? Vamos a investigar qué sucede con el volumen de la caja cuando las dimensiones de los cuadrados que se recortan, son números no enteros. ¿Qué valores debemos elegir?, ¿entre que valores crees que puede estar la medida que nos dará el volumen máximo? Anota las dimensiones de la caja cuando se recortan cuadrados que miden 6.5 cm por lado. Ahora prueba con 5.5 cm.
  7. 7. Introducción al Cálculo Diferencial http://licmata-math.blogspot.mx/ 5 Resolviendo el problema de la caja de cartón mediante funciones matemáticas. Esta es una limitación de la aritmética; para trabajar con valores variables es necesario llevar a cabo demasiadas operaciones. ¿Qué valor se te ocurre que pueda dar como resultado un volumen todavía mayor?, prueba con al menos otros tres valores: ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ Podríamos seguir intentando obtener un volumen mayor, cambiando el tamaño del cuadrado que se recorta, pero, en cualquier caso, no podríamos estar seguros de que no exista una medida que nos permita obtener un volumen mayor. Otra posible solución consiste en representar gráficamente los puntos en un plano de coordenadas ubicando el tamaño del cuadrado que se recorta en el eje equis y el volumen en el eje ye. Calcula los valores faltantes y en el siguiente plano de coordenadas, representa los puntos indicados: Medida del cuadrado Volumen Gráfica -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
  8. 8. Introducción al Cálculo Diferencial http://licmata-math.blogspot.mx/ 6 La gráfica puede darnos la impresión de que se trata de una parábola, y que podríamos obtener el volumen máximo, en el vértice de dicha parábola, pero trazándola con cuidado puede observarse que no es simétrica, de modo que el análisis resulta un poco más complejo. La aritmética no parece ser el mejor método para resolver este problema, probemos ahora con otra herramienta. En álgebra, cuando una cantidad se desconoce podemos identificarla con cualquier letra, comúnmente la equis. Si representamos la longitud del lado del cuadrado que se va recortar con equis, ¿cómo quedan las demás magnitudes? Planteamiento algebraico del problema. Recorte = x Largo = _______________ Ancho = _______________ Alto = _______________ Volumen = _______________ Cuando una variable depende de otra, se le llama variable dependiente, de modo que tenemos una función en la que se expresa que el volumen depende de las dimensiones de los cuadrados que se recortan: V(x) = ________________________________ En este punto podemos confirmar que, como lo habíamos supuesto, no se trata de una parábola, ya que no se obtuvo una función cuadrática, sino de tercer grado. Hemos intentado resolver el problema por diversos medios y solamente hemos conseguido obtener resultados aproximados, esto se debe a que las herramientas utilizadas no son las adecuadas. Revisión del proceso de solución. Para resolver esta clase de problemas se requiere del cálculo diferencial, por ello, no ha sido posible obtener la solución exacta. En esta etapa del proceso de solución, es notable como hemos ido modelando matemáticamente un problema concreto con la finalidad de obtener la solución. Para trazar la gráfica tomamos un valor negativo de x a pesar de que, en el problema real, no es posible recortar cantidades negativas (menos 1 cm). Este es, generalmente, el proceso mediante el cual se desarrolla la matemática. A partir de un problema real se plantea una estrategia de solución la cuál, poco a poco, nos va alejando de la situación práctica, conduciéndonos a cuestiones puramente teóricas que posteriormente se constituyen en ciencia. En este ejemplo, hemos tratado de mostrar lo que sucede cuando las herramientas matemáticas son insuficientes y se presenta la necesidad de desarrollar otros recursos intelectuales. Efectuando operaciones algebraicas obtenemos una expresión algebraica que relaciona la longitud que se recorta, con el volumen, simplifícala y anótala en la siguiente línea: ___________________________________________
  9. 9. Introducción al Cálculo Diferencial http://licmata-math.blogspot.mx/ 7 Fundamentos del cálculo. El estudio del cálculo es relativamente sencillo, aunque la necesidad de utilizar conocimientos de álgebra y otras ramas de la matemática ocasiona que, quienes no han desarrollado las competencias matemáticas básicas, enfrenten dificultades para abordar esta materia. Además, para comprender adecuadamente el cálculo, es necesario revisar algunos temas que son los que le sirven de base, como la teoría de límites, números reales y continuidad de funciones. La teoría de límites. Los antiguos griegos pudieron resolver muchos problemas, sobre todo de áreas limitadas por curvas, mediante aproximaciones que, mediante un razonamiento parecido al de límite, les permitían obtener la solución exacta o muy cercana la que se buscaba. Sin embargo, nunca llegaron a enunciar una teoría bien fundamentada sobre el tema. No es sino hasta después del desarrollo del cálculo, logrado por Newton y Leibnitz, que se logró elaborar una fundamentación mediante los trabajos de Cauchy y Weierstrass. Como en muchos otros casos, estos trabajos fueron desarrollados en colaboración con otros matemáticos como Riemann y Bolzano. En posteriores actividades y ejercicios abordaremos el tema de los límites, sus aplicaciones y la importancia que tienen en el desarrollo del cálculo diferencial e integral. Continuidad de una función. La continuidad de una función es una propiedad que nos permite obtener su derivada; si una función no es continua, entonces su derivada no existe, de ahí su importancia. Y la continuidad depende de la existencia de los límites, así como del valor de la función en un punto dado. Generalmente se trabaja con funciones continuas, sin embargo, puede presentarse algún caso en el que la función que se desea derivar no sea continua.
  10. 10. Introducción al Cálculo Diferencial http://licmata-math.blogspot.mx/ 8 Bibliografía.

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