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7 btoq histogram 2019

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Histogram construction and interpretation
Elaboración e interpretación del histograma

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7 btoq histogram 2019

  1. 1. Seven Basic Tools of Quality: The Histogram. G. Edgar Mata Ortiz
  2. 2. El histograma Es una de las siete herramientas básicas para la calidad, como se menciona en la introducción que se encuentra en la siguiente dirección: https://www.docsity.com/es/las-7-herramientas-basicas-para-la-calidad-7btoq/4645096/
  3. 3. El histograma El histograma es una herramienta gráfica para la organización y presentación visual de datos cuantitativos univariados. Nos muestra la distribución de frecuencias y nos permite advertir la distribución subyacente, los datos atípicos, curtosis, entre otras características de los datos.
  4. 4. El histograma El histograma está formado por cierto número de barras, sin espacio numérico entre ellas en el eje horizontal, y en el eje vertical se registran las frecuencias de cada clase o categoría, es decir, el número de datos cuyos valores se encuentran entre los límites de dicho intervalo. En la dirección que se encuentra en la parte inferior de esta diapositiva puede observarse una explicación, paso a paso, del proceso de elaboración de un histograma en 4 presentaciones de diapositivas. http://licmata-math.blogspot.com/2019/05/grouped-data-and-histograms-part-4.html
  5. 5. El histograma Para mejorar la visualización de los datos y facilitar el análisis de la información, es recomendable agregar al histograma al menos 7 líneas verticales localizadas en los valores de: La media aritmética, la media aritmética más menos una, dos y tres desviaciones estándar, como se muestra en la figura de la derecha. En el eje equis se colocan, generalmente, los valores de los límites de los intervalos reales
  6. 6. El histograma: ejemplo En las siguientes diapositivas se plantea un problema para que sea resuelto mediante el trazo de un histograma y su análisis. Se recomienda ir resolviendo el problema empleando solamente una calculadora para una mejor comprensión de la información. Es importante prestar especial atención al análisis de la gráfica, ya que la construcción del histograma puede efectuarse, posteriormente, mediante Excel o algún software estadístico.
  7. 7. Ejemplo Una característica importante en la fabricación de ciertos opresores, es el diámetro de la esfera metálica que actúa como seguro. El cliente está solicitando que las esferas tengan un diámetro de 1.5 mm con una tolerancia de 0.1 mm. TV = Target Value (Valor deseado) TV = 1.5 ± 0.1 mm.
  8. 8. Ejemplo Para determinar si es posible satisfacer estas especificaciones se realizará un estudio estadístico tomando una muestra de 300 piezas. El estudio consiste en la elaboración de un histograma y su interpretación. Como ya dijimos, el histograma nos permitirá observar: 1. Las medidas de tendencia central, especialmente la media aritmética 2. La dispersión de los datos, que corresponde a la variabilidad del proceso 3. La distribución de frecuencias, curtosis y simetría de los datos 4. La presencia de datos atípicos
  9. 9. Ejemplo A partir de los resultados obtenidos en la muestra, debemos responder tres preguntas: 1. ¿El lote cumple con las especificaciones del cliente? 2. ¿Cuál es la tasa de defectos de la muestra? 3. ¿Cuánto se estima que sea la tasa de defectos de la población (El lote de producción completo)?
  10. 10. Ejemplo En la siguiente tabla se encuentran las dimensiones de las 300 piezas de la muestra.
  11. 11. 1.507 1.470 1.524 1.502 1.502 1.514 1.490 1.501 1.489 1.590 1.470 1.514 1.536 1.539 1.541 1.518 1.527 1.522 1.524 1.562 1.579 1.533 1.551 1.501 1.514 1.500 1.527 1.505 1.496 1.526 1.548 1.490 1.514 1.512 1.544 1.482 1.511 1.534 1.534 1.549 1.530 1.498 1.468 1.519 1.460 1.534 1.572 1.486 1.533 1.579 1.472 1.566 1.515 1.561 1.537 1.541 1.566 1.492 1.577 1.482 1.441 1.462 1.481 1.567 1.544 1.508 1.503 1.581 1.514 1.502 1.518 1.549 1.473 1.457 1.538 1.599 1.460 1.439 1.523 1.529 1.537 1.515 1.482 1.519 1.494 1.485 1.473 1.604 1.565 1.476 1.479 1.500 1.486 1.539 1.592 1.547 1.522 1.519 1.470 1.466 1.587 1.529 1.491 1.542 1.549 1.535 1.529 1.424 1.610 1.507 1.466 1.524 1.552 1.500 1.525 1.527 1.502 1.543 1.559 1.485 1.506 1.504 1.503 1.579 1.562 1.525 1.487 1.540 1.569 1.521 1.490 1.511 1.482 1.533 1.520 1.549 1.529 1.556 1.535 1.597 1.520 1.508 1.537 1.529 1.503 1.555 1.494 1.484 1.527 1.509 1.567 1.601 1.521 1.605 1.541 1.463 1.503 1.509 1.479 1.520 1.487 1.469 1.608 1.507 1.486 1.502 1.534 1.544 1.524 1.503 1.501 1.549 1.556 1.536 1.510 1.508 1.530 1.540 1.622 1.504 1.481 1.470 1.494 1.483 1.519 1.511 1.566 1.547 1.518 1.470 1.495 1.536 1.594 1.542 1.530 1.526 1.520 1.581 1.578 1.467 1.538 1.545 1.512 1.516 1.559 1.553 1.534 1.464 1.608 1.547 1.539 1.524 1.510 1.538 1.562 1.553 1.558 1.550 1.480 1.556 1.485 1.566 1.538 1.525 1.543 1.545 1.523 1.535 1.486 1.517 1.489 1.498 1.480 1.572 1.494 1.509 1.520 1.513 1.498 1.526 1.522 1.528 1.527 1.587 1.487 1.462 1.512 1.470 1.553 1.484 1.464 1.489 1.534 1.519 1.441 1.562 1.425 1.528 1.535 1.503 1.537 1.477 1.528 1.515 1.518 1.505 1.566 1.478 1.490 1.570 1.500 1.494 1.511 1.551 1.556 1.586 1.468 1.552 1.579 1.493 1.495 1.582 1.550 1.472 1.507 1.500 1.472 1.513 1.530 1.473 1.526 1.446 1.535 1.532 1.638 1.522 1.558 1.508 1.486 1.558 Datos 1.507 1.470 1.524 1.502 1.502 1.514 1.490 1.501 1.489 1.590 1.470 1.514 1.536 1.539 1.541 1.518 1.527 1.522 1.524 1.562 1.579 1.533 1.551 1.501 1.514 1.500 1.527 1.505 1.496 1.526 1.548 1.490 1.514 1.512 1.544 1.482 1.511 1.534 1.534 1.549 1.530 1.498 1.468 1.519 1.460 1.534 1.572 1.486 1.533 1.579 1.472 1.566 1.515 1.561 1.537 1.541 1.566 1.492 1.577 1.482 1.441 1.462 1.481 1.567 1.544 1.508 1.503 1.581 1.514 1.502 1.518 1.549 1.473 1.457 1.538 1.599 1.460 1.439 1.523 1.529 1.537 1.515 1.482 1.519 1.494 1.485 1.473 1.604 1.565 1.476 1.479 1.500 1.486 1.539 1.592 1.547 1.522 1.519 1.470 1.466 1.587 1.529 1.491 1.542 1.549 1.535 1.529 1.424 1.610 1.507 1.466 1.524 1.552 1.500 1.525 1.527 1.502 1.543 1.559 1.485 1.506 1.504 1.503 1.579 1.562 1.525 1.487 1.540 1.569 1.521 1.490 1.511 1.482 1.533 1.520 1.549 1.529 1.556 1.535 1.597 1.520 1.508 1.537 1.529 1.503 1.555 1.494 1.484 1.527 1.509 1.567 1.601 1.521 1.605 1.541 1.463 1.503 1.509 1.479 1.520 1.487 1.469 1.608 1.507 1.486 1.502 1.534 1.544 1.524 1.503 1.501 1.549 1.556 1.536 1.510 1.508 1.530 1.540 1.622 1.504 1.481 1.470 1.494 1.483 1.519 1.511 1.566 1.547 1.518 1.470 1.495 1.536 1.594 1.542 1.530 1.526 1.520 1.581 1.578 1.467 1.538 1.545 1.512 1.516 1.559 1.553 1.534 1.464 1.608 1.547 1.539 1.524 1.510 1.538 1.562 1.553 1.558 1.550 1.480 1.556 1.485 1.566 1.538 1.525 1.543 1.545 1.523 1.535 1.486 1.517 1.489 1.498 1.480 1.572 1.494 1.509 1.520 1.513 1.498 1.526 1.522 1.528 1.527 1.587 1.487 1.462 1.512 1.470 1.553 1.484 1.464 1.489 1.534 1.519 1.441 1.562 1.425 1.528 1.535 1.503 1.537 1.477 1.528 1.515 1.518 1.505 1.566 1.478 1.490 1.570 1.500 1.494 1.511 1.551 1.556 1.586 1.468 1.552 1.579 1.493 1.495 1.582 1.550 1.472 1.507 1.500 1.472 1.513 1.530 1.473 1.526 1.446 1.535 1.532 1.638 1.522 1.558 1.508 1.486 1.558 Conjunto de 300 datos que constituyen la muestra que se estudiará para responder a las preguntas planteadas. En las siguientes dos diapositivas se dividen en dos secciones para una mejor visibilidad.
  12. 12. Datos (Parte 1) 1.507 1.470 1.524 1.502 1.502 1.514 1.490 1.501 1.489 1.590 1.470 1.514 1.579 1.533 1.551 1.501 1.514 1.500 1.527 1.505 1.496 1.526 1.548 1.490 1.530 1.498 1.468 1.519 1.460 1.534 1.572 1.486 1.533 1.579 1.472 1.566 1.441 1.462 1.481 1.567 1.544 1.508 1.503 1.581 1.514 1.502 1.518 1.549 1.537 1.515 1.482 1.519 1.494 1.485 1.473 1.604 1.565 1.476 1.479 1.500 1.587 1.529 1.491 1.542 1.549 1.535 1.529 1.424 1.610 1.507 1.466 1.524 1.506 1.504 1.503 1.579 1.562 1.525 1.487 1.540 1.569 1.521 1.490 1.511 1.520 1.508 1.537 1.529 1.503 1.555 1.494 1.484 1.527 1.509 1.567 1.601 1.487 1.469 1.608 1.507 1.486 1.502 1.534 1.544 1.524 1.503 1.501 1.549 1.481 1.470 1.494 1.483 1.519 1.511 1.566 1.547 1.518 1.470 1.495 1.536 1.538 1.545 1.512 1.516 1.559 1.553 1.534 1.464 1.608 1.547 1.539 1.524 1.485 1.566 1.538 1.525 1.543 1.545 1.523 1.535 1.486 1.517 1.489 1.498 1.522 1.528 1.527 1.587 1.487 1.462 1.512 1.470 1.553 1.484 1.464 1.489 1.537 1.477 1.528 1.515 1.518 1.505 1.566 1.478 1.490 1.570 1.500 1.494 1.495 1.582 1.550 1.472 1.507 1.500 1.472 1.513 1.530 1.473 1.526 1.446
  13. 13. Datos (Parte 2) 590 1.470 1.514 1.536 1.539 1.541 1.518 1.527 1.522 1.524 1.562 526 1.548 1.490 1.514 1.512 1.544 1.482 1.511 1.534 1.534 1.549 579 1.472 1.566 1.515 1.561 1.537 1.541 1.566 1.492 1.577 1.482 502 1.518 1.549 1.473 1.457 1.538 1.599 1.460 1.439 1.523 1.529 476 1.479 1.500 1.486 1.539 1.592 1.547 1.522 1.519 1.470 1.466 507 1.466 1.524 1.552 1.500 1.525 1.527 1.502 1.543 1.559 1.485 521 1.490 1.511 1.482 1.533 1.520 1.549 1.529 1.556 1.535 1.597 509 1.567 1.601 1.521 1.605 1.541 1.463 1.503 1.509 1.479 1.520 503 1.501 1.549 1.556 1.536 1.510 1.508 1.530 1.540 1.622 1.504 470 1.495 1.536 1.594 1.542 1.530 1.526 1.520 1.581 1.578 1.467 547 1.539 1.524 1.510 1.538 1.562 1.553 1.558 1.550 1.480 1.556 517 1.489 1.498 1.480 1.572 1.494 1.509 1.520 1.513 1.498 1.526 484 1.464 1.489 1.534 1.519 1.441 1.562 1.425 1.528 1.535 1.503 570 1.500 1.494 1.511 1.551 1.556 1.586 1.468 1.552 1.579 1.493 473 1.526 1.446 1.535 1.532 1.638 1.522 1.558 1.508 1.486 1.558
  14. 14. Elaboración del histograma El procedimiento detallado para construir el histograma se describe en 4 presentaciones que se encuentran en el siguiente enlace: http://licmata-math.blogspot.com/2019/05/grouped-data-and-histograms-part-4.html
  15. 15. Elaboración del histograma En primer lugar vamos a establecer, arbitrariamente, el número de clase (c) en 9, y con base en ello, calcularemos la amplitud de los intervalos. Se localizan el valor máximo y mínimo de los datos para obtener el rango. Valor máximo = 1.638 Valor mínimo = 1.424 Rango = 1.424 Número de intervalos = 9 Se divide el rango entre el número de intervalos para calcular la amplitud w. Tamaño del intervalo = 0.02377 Puede ser: 0.023 o 0.024 En este caso se toma w = 0.024
  16. 16. Elaboración del histograma Con esta amplitud de intervalo se obtienen los intervalos aparentes, posteriormente los intervalos reales, y las medidas de tendencia central y dispersión. Sintetizándose en la tabla que se muestra en seguida. Absoluta Acumulada Relativa Relativa acumulada Lím. Inferior Lím. Superior x i f i fa i fr i fra i fi por xi 1.4225 1.4465 1.4345 6 6 0.0200 0.0200 8.60700 0.51648 0.04446 1.4465 1.4705 1.4585 20 26 0.0667 0.0867 29.17000 1.24160 0.07708 1.4705 1.4945 1.4825 48 74 0.1600 0.2467 71.16000 1.82784 0.06960 1.4945 1.5185 1.5065 66 140 0.2200 0.4667 99.42900 0.92928 0.01308 1.5185 1.5425 1.5305 83 223 0.2767 0.7433 127.03150 0.82336 0.00817 1.5425 1.5665 1.5545 46 269 0.1533 0.8967 71.50700 1.56032 0.05293 1.5665 1.5905 1.5785 19 288 0.0633 0.9600 29.99150 1.10048 0.06374 1.5905 1.6145 1.6025 10 298 0.0333 0.9933 16.02500 0.81920 0.06711 1.6145 1.6385 1.6265 2 300 0.0067 1.0000 3.25300 0.21184 0.02244 Totales 456.17400 9.03040 0.41861 Media aritmética: 1.5206 Desviación media: 0.030101 Varianza: s2 = 0.0014000 Desviación estándar: s = 0.0374168 Coeficiente de variación: Cv = 0.024606956 Clases o categorías Marcas de clase Medidas de tendencia central y dispersiónIntervalos Frecuencias
  17. 17. Absoluta Acumulada Relativa Relativa acumulada Lím. Inferior Lím. Superior x i f i fa i fr i fra i fi por xi 1.4225 1.4465 1.4345 6 6 0.0200 0.0200 8.60700 0.51648 0.04446 1.4465 1.4705 1.4585 20 26 0.0667 0.0867 29.17000 1.24160 0.07708 1.4705 1.4945 1.4825 48 74 0.1600 0.2467 71.16000 1.82784 0.06960 1.4945 1.5185 1.5065 66 140 0.2200 0.4667 99.42900 0.92928 0.01308 1.5185 1.5425 1.5305 83 223 0.2767 0.7433 127.03150 0.82336 0.00817 1.5425 1.5665 1.5545 46 269 0.1533 0.8967 71.50700 1.56032 0.05293 1.5665 1.5905 1.5785 19 288 0.0633 0.9600 29.99150 1.10048 0.06374 1.5905 1.6145 1.6025 10 298 0.0333 0.9933 16.02500 0.81920 0.06711 1.6145 1.6385 1.6265 2 300 0.0067 1.0000 3.25300 0.21184 0.02244 Totales 456.17400 9.03040 0.41861 Media aritmética: 1.5206 Desviación media: 0.030101 Varianza: s2 = 0.0014000 Desviación estándar: s = 0.0374168 Coeficiente de variación: Cv = 0.024606956 Clases o categorías Marcas de clase Medidas de tendencia central y dispersiónIntervalos Frecuencias Tabla de análisis estadístico
  18. 18. Elaboración del histograma Mediante la información de la tabla se construye el histograma, que nos permitirá, visualmente, responder a las preguntas planteadas. Absoluta Acumulada Relativa Relativa acumulada Lím. Inferior Lím. Superior x i f i fa i fr i fra i fi por xi 1.4225 1.4465 1.4345 6 6 0.0200 0.0200 8.60700 0.51648 0.04446 1.4465 1.4705 1.4585 20 26 0.0667 0.0867 29.17000 1.24160 0.07708 1.4705 1.4945 1.4825 48 74 0.1600 0.2467 71.16000 1.82784 0.06960 1.4945 1.5185 1.5065 66 140 0.2200 0.4667 99.42900 0.92928 0.01308 1.5185 1.5425 1.5305 83 223 0.2767 0.7433 127.03150 0.82336 0.00817 1.5425 1.5665 1.5545 46 269 0.1533 0.8967 71.50700 1.56032 0.05293 1.5665 1.5905 1.5785 19 288 0.0633 0.9600 29.99150 1.10048 0.06374 1.5905 1.6145 1.6025 10 298 0.0333 0.9933 16.02500 0.81920 0.06711 1.6145 1.6385 1.6265 2 300 0.0067 1.0000 3.25300 0.21184 0.02244 Totales 456.17400 9.03040 0.41861 Media aritmética: 1.5206 Desviación media: 0.030101 Varianza: s2 = 0.0014000 Desviación estándar: s = 0.0374168 Coeficiente de variación: Cv = 0.024606956 Clases o categorías Marcas de clase Medidas de tendencia central y dispersiónIntervalos Frecuencias
  19. 19. Elaboración del histograma Los límites de los intervalos reales y las frecuencias absolutas nos permiten trazar las barras del histograma
  20. 20. Elaboración del histograma Para muchas situaciones, esta gráfica podría ser suficiente, sin embargo, para realizar un análisis más detallado de la información, es necesario agregar 7 líneas de referencia 1. Una línea en la posición de la media aritmética: ഥ𝒙 2. Tres líneas en las posiciones de la media aritmética más una, dos y tres desviaciones estándar: ഥ𝒙 + 𝟏𝒔, ഥ𝒙 + 𝟐𝒔 y ഥ𝒙 + 𝟑𝒔 3. Tres líneas en las posiciones de la media aritmética menos una, dos y tres desviaciones estándar: ഥ𝒙 𝟏𝒔, ഥ𝒙 𝟐𝒔 y ഥ𝒙 𝟑𝒔 El histograma, con las 7 líneas citadas se muestra en la diapositiva siguiente
  21. 21. Histograma
  22. 22. Histograma Estos son los resultados del proceso de fabricación, podemos realizar algunas observaciones generales acerca de la forma de la gráfica, las medidas de tendencia central y dispersión, entre otras características de interés. Pero lo más importante es comparar los resultados reales con las especificaciones. El histograma muestra las condiciones del proceso de fabricación en un instante dado; su centrado, variabilidad y distribución de frecuencias.
  23. 23. Histograma Según especificaciones: TV = 1.5 mm USL = TV + 0.1 = 1.6 mm LSL = TV – 0.1 = 1.4 mm Las especificaciones están indicadas en la diapositiva número 7. Vamos a colocar tres líneas más en el histograma: TV = Target Value (Valor deseado) USL = Upper Specification Limit (Límite superior de especificación) LSL = Lower Specification Limit (Límite inferior de especificación)
  24. 24. Histograma
  25. 25. Análisis del Histograma El primer paso es verificar si existen piezas que no cumplen con las especificaciones. Lo primero que llama la atención es que algunas piezas están fuera de especificación, la última parte de la penúltima barra del histograma: f8 = 10, f9 = 2 Entre 6 y 12 piezas no cumplen con las especificaciones, representan entre el 2% y el 4%
  26. 26. Análisis del Histograma Ahora vamos a revisar el comportamiento de la media aritmética con respecto al valor deseado (TV). Hay una diferencia de 0.021 entre el valor deseado y la media aritmética del proceso: 𝑇𝑉 1.5 1.521 0.021 Se dice que el proceso no está centrado, lo cuál podría ser la causa de las piezas fuera de especificación.
  27. 27. Análisis del Histograma Vamos a responder las preguntas planteadas en la redacción del problema (diapositiva 9) A partir de los resultados obtenidos en la muestra, debemos responder tres preguntas: 1. ¿El lote cumple con las especificaciones del cliente? 2. ¿Cuál es la tasa de defectos de la muestra? 3. ¿Cuánto se estima que sea la tasa de defectos de la población (El lote de producción completo)? Dado que la muestra presenta una tasa de defectos, el lote no cumple con las especificaciones del cliente Entre 6 y 12 piezas no cumplen con las especificaciones, representan entre el 2% y el 4% Será necesario realizar una estimación puntual o de intervalo para responder a esta pregunta Para generalizar los resultados de la muestra, a toda la población (el lote de producción), se requieren técnicas de estadística inferencial.
  28. 28. Análisis del Histograma Estadística inferencial Consulta las fórmulas necesarias para intervalos de confianza y contesta la pregunta 3. ¿Cuánto se estima que sea la tasa de defectos de la población (El lote de producción completo)? Para generalizar los resultados de la muestra, a toda la población (el lote de producción), se requieren técnicas de estadística inferencial.
  29. 29. Gracias por su atención Referencias: licmata@hotmail.com https://sites.google.com/site/mataspc/home http://licmata-math.blogspot.com/ http://www.scoop.it/t/mathematics-learning http://www.slideshare.net/licmata/ http://www.facebook.com/licemata Twitter: @licemata

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