SINUSOIDALES Y SERIES DE FOURIER Señales y Sistemas
Agenda <ul><li>Importancia de Funciones Senoidales </li></ul><ul><li>Señales Sinusoidales </li></ul><ul><li>Exponenciales ...
Importancia <ul><li>Muchos fenómenos físicos generan señales de tipo sinusoidal. </li></ul><ul><li>Muchas señales pueden s...
Ejemplo <ul><li>El sonido de un diapasón </li></ul>
EJEMPLO <ul><li>La voz humana no es una señal senoidal </li></ul><ul><ul><li>Se puede aproximar por segmentos a la suma de...
Señales Sinusoidales <ul><li>A Cos(  t+  ) </li></ul>A Sin (  t+  ) Amplitud Velocidad  Angular Fase  =2  f Frecuenc...
Gráfica de A Cos (2  ft)
Señales Sinusoidales <ul><li>x(t) = A cos(  0 t+  ) = A cos (2  f 0 t+  ) </li></ul><ul><li>El ángulo es una función d...
Periodo de la Señal <ul><li>Condición de periodicidad: </li></ul><ul><ul><li>x(t + T 0 ) = x(t) </li></ul></ul><ul><li>Par...
x(t) = 20 cos(2  (40)t – 0.4  ) <ul><li>A= 20,   0  = 2  40 rad/seg., f 0  = 40 Hz.,    = -0.4   rad. </li></ul>
Fase de la Señal Senoidal <ul><li>La fase (  ), tiene que ver con el desplazamiento de la señal </li></ul><ul><li>El desp...
Funciones Seno y Coseno <ul><li>sin    = y/r </li></ul><ul><li>cos    = x/r </li></ul><ul><li>Esto implica: </li></ul><u...
Comparación de coseno vs. seno sin    = cos (   –   /2) 
Propiedades de las señales senoidales Periodicidad cos (  + 2  k) = cos   , k es un entero Paridad de coseno cos(-  )...
Identidades Trigonométricas  sin 2   + cos 2   =1 cos 2   = cos 2   – sin 2  sin 2   = 2 sin    cos   sin(    ±  ...
Exponenciales Complejas y Fasores <ul><li>A veces ayudan en la manipulación de señales sinusoidales </li></ul><ul><li>A co...
Representación Cartesiana <ul><li>z = (x, y) </li></ul><ul><li>x = Re{z}  (parte real) </li></ul><ul><li>y = Im{z}  (parte...
Representación Polar <ul><li>r: Magnitud de z </li></ul><ul><li> : Argumento de z </li></ul><ul><li>r = |z|= √(x 2 +y 2 )...
Exponenciales Complejas <ul><li>|x(t)| = A </li></ul><ul><li>arg x(t) = w 0 t+  </li></ul><ul><li>x(t) = A cos(w 0 t+  )...
Fasores <ul><li>x(t) = </li></ul><ul><li>Entonces  x(t) = Ae  j  (t) </li></ul><ul><li>Donde   (t) = w 0 t+  </li></ul>...
Fasores <ul><li>Donde  C  es un número complejo:  AMPLITUD COMPLEJA </li></ul><ul><li>|C|= A ;  arg C =   </li></ul><ul><...
Sumando Fasores <ul><li>Es útil cuando queremos sumar sinusoidales. </li></ul><ul><li>Por ahora sumaremos sinusoidales con...
<ul><li>x(t) = 2cos (2  (10)t + 50  /180) + 3cos(2  (10)t+100  /180 ) </li></ul>Ejemplo
Expresar Seno y Coseno con Fasores
Espectro de una Señal <ul><li>En la realidad: </li></ul><ul><ul><li>No todos los componentes de una señal tienen la misma ...
Espectro de Línea de Señales Sinusoidales Espectro de Ambos Lados f 1 A/2 A/2 -f 1 f 1 Espectro un solo Lado f f A |C| |C|
Espectro de Línea de Señales Sinusoidales Espectro de Ambos Lados f 1  -  -f 1 f 1 Espectro un solo Lado f f  Fase Fase
Suma de Senoides <ul><li>La suma de 2 senoides es periódica cuando la relación de sus frecuencias es un número racional. E...
Función Ejemplo Sumas Parciales
Ejemplo 1 y 2 Términos
Ejemplo con 4 y 45 términos
Código para generar la función <ul><li>n_max=input(‘Ingrese el número la más alta harmónica deseada(impar)’); </li></ul><u...
Series de Fourier <ul><li>Vemos en las gráficas que esta sumatoria tiende a parecerse a una onda cuadrada con una frecuenc...
Series de Fourier <ul><li>Se puede normalizar la serie para tener la amplitud igual a la unidad cuando   o t =   /2, por...
Función Ejemplo 2 Sumas Parciales
Ejemplo con 1 y 2 harmónicas
Ejemplo con 20 harmónicas
<ul><li>¿ Dada una forma de onda periódica, podemos encontrar su representación en series trigonométricas? </li></ul>Si, m...
Series de Fourier Trigonométricas Lo cual puede ser escrito de una forma mas compacta, en donde   o  es  2  f o , siendo...
Coeficientes de Fourier a n  y b n <ul><li>Para encontrar los coeficientes a n ’s y b n ’s de cualquier señal periódica em...
<ul><li>Usando la forma de la serie original, se puede derivar una expresión valida para cualquier a n ’s. La derivación p...
Coeficientes de Fourier a m
<ul><li>Para obtener los valores de b n  se hace un procedimiento similar solo que esta vez se multiplica la señal origina...
Condiciones Requeridas para asegurar la convergencia <ul><li>Si x(t) tiene un período igual a T o  y tiene una primera y s...
<ul><li>Se debe notar que las fórmulas de los coeficientes usan solo los valores de x(t) en un intervalo de T 0  seg.  </l...
Series Exponenciales Complejas de Fourier <ul><li>Si partimos de la sumatoria de funciones trigonom é tricas de Fourier y ...
Series Exponenciales Complejas de Fourier Si hacemos el cambio de variable k=-n. C n C -k =C n *
Series Exponenciales Complejas de Fourier <ul><li>Usando la forma de la serie original, se puede derivar una expresión val...
Propiedades de Simetría de los Coeficientes de la Series de Fourier <ul><li>La expresión de los coeficientes de la serie e...
Propiedades de Simetría de los Coeficientes <ul><li>Si remplazamos n por –n, se puede observar que  </li></ul><ul><li>C n ...
Propiedades de Simetría <ul><li>Si consideramos una señal real par, sabemos que </li></ul><ul><li>x(t)= x(-t) </li></ul><u...
Propiedades de Simetría <ul><li>Si consideramos una señal real impar, sabemos que </li></ul><ul><li>x(t)= -x(-t) </li></ul...
Propiedades de Simetría <ul><li>Otro tipo de simetría es la mitad de onda impar definida como </li></ul><ul><li>Donde To e...
TEOREMA DE PARSEVAL <ul><li>La potencia promedio para una señal periódica es  </li></ul><ul><li>Se puede expresar x*(t) co...
Espectro de Línea de 2 lados <ul><li>La serie compleja de Fourier de una señal consiste de una sumatoria de fasores rotant...
Espectro de línea de 2 Lados f f 0 2f 0 3f 0 -f 0 -2f 0 -3f 0 Fase de los Coeficientes f f 0 2f 0 3f 0 -f 0 -2f 0 -3f 0 |C...
Espectro de Línea de un lado <ul><li>Tomando la serie de Fourier y representadola en su forma polar a los coeficientes C n...
Espectro de línea de un Lado f f 0 2f 0 3f 0 |C 0 | 2| C 1 | 2| C 2 | 2| C 3 | Amplitud de los Coeficientes f f 0 2f 0 3f ...
Convergencia del Espectro de Fourier <ul><li>Consideremos una señal periódica x(t) que tiene su k-ésima derivada, la cual ...
Convergencia del Espectro de Fourier <ul><li>Consideremos ahora el calculo de los coeficientes de la señal k+1-esima deriv...
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Series De Fourier

  1. 1. SINUSOIDALES Y SERIES DE FOURIER Señales y Sistemas
  2. 2. Agenda <ul><li>Importancia de Funciones Senoidales </li></ul><ul><li>Señales Sinusoidales </li></ul><ul><li>Exponenciales complejos y fasores </li></ul><ul><li>Suma de Fasores </li></ul><ul><li>Suma parcial de senoides </li></ul><ul><li>Series de Fourier </li></ul>
  3. 3. Importancia <ul><li>Muchos fenómenos físicos generan señales de tipo sinusoidal. </li></ul><ul><li>Muchas señales pueden ser expresadas u aproximadas como combinaciones de señales sinusoidales </li></ul>
  4. 4. Ejemplo <ul><li>El sonido de un diapasón </li></ul>
  5. 5. EJEMPLO <ul><li>La voz humana no es una señal senoidal </li></ul><ul><ul><li>Se puede aproximar por segmentos a la suma de sinusoidales </li></ul></ul>
  6. 6. Señales Sinusoidales <ul><li>A Cos(  t+  ) </li></ul>A Sin (  t+  ) Amplitud Velocidad Angular Fase  =2  f Frecuencia Hz.
  7. 7. Gráfica de A Cos (2  ft)
  8. 8. Señales Sinusoidales <ul><li>x(t) = A cos(  0 t+  ) = A cos (2  f 0 t+  ) </li></ul><ul><li>El ángulo es una función del tiempo </li></ul><ul><li>Notar que  0 = 2  f 0 </li></ul><ul><li>f 0 : Frecuencia expresada en Hz (1/s). </li></ul><ul><li>Recordar que </li></ul><ul><ul><li>x(t) = A sin(  0 t+  ) = A cos(  0 t+  -  /2) </li></ul></ul><ul><li>Si f 0 = 0 , entonces x(t)=A  valor DC </li></ul>
  9. 9. Periodo de la Señal <ul><li>Condición de periodicidad: </li></ul><ul><ul><li>x(t + T 0 ) = x(t) </li></ul></ul><ul><li>Para nuestro caso: </li></ul><ul><ul><li>A cos(2  0 (t+T 0 )+  ) = A cos(2  0 t+  ) </li></ul></ul><ul><li>Simplificando obtenemos: </li></ul><ul><li>El período se expresa en seg. </li></ul>
  10. 10. x(t) = 20 cos(2  (40)t – 0.4  ) <ul><li>A= 20,  0 = 2  40 rad/seg., f 0 = 40 Hz.,  = -0.4  rad. </li></ul>
  11. 11. Fase de la Señal Senoidal <ul><li>La fase (  ), tiene que ver con el desplazamiento de la señal </li></ul><ul><li>El desplazamiento t 1 se expresa como: x(t – t 1 ) </li></ul><ul><ul><li>Si t 1 es positivo , se desplaza a la derecha: ATRASO </li></ul></ul><ul><ul><li>Si t 1 es negativo , se desplaza a la izquierda: ADELANTO </li></ul></ul><ul><li> = - 2  f 0 t 1 </li></ul>
  12. 12. Funciones Seno y Coseno <ul><li>sin  = y/r </li></ul><ul><li>cos  = x/r </li></ul><ul><li>Esto implica: </li></ul><ul><li>y = r sin  </li></ul><ul><li>x = r cos  </li></ul><ul><li>Los cuadrantes influyen en el signo </li></ul> r x y
  13. 13. Comparación de coseno vs. seno sin  = cos (  –  /2) 
  14. 14. Propiedades de las señales senoidales Periodicidad cos (  + 2  k) = cos  , k es un entero Paridad de coseno cos(-  ) = cos  Imparidad de seno sin (-  ) = -sin  Ceros del seno sin (  k) = 0 , k es un entero Unos del coseno cos (2  k) =1 , k es un entero Menos unos del coseno cos[2  (k+1/2)] = -1 , k es un entero
  15. 15. Identidades Trigonométricas sin 2  + cos 2  =1 cos 2  = cos 2  – sin 2  sin 2  = 2 sin  cos  sin(  ±  ) = sin  cos  ± cos  sin  cos(  ±  ) = cos  cos  -/+ sin  sin 
  16. 16. Exponenciales Complejas y Fasores <ul><li>A veces ayudan en la manipulación de señales sinusoidales </li></ul><ul><li>A continuación repasaremos los números complejos y sus representaciones: </li></ul><ul><ul><li>Representación Cartesiana </li></ul></ul><ul><ul><li>Representación Polar </li></ul></ul>
  17. 17. Representación Cartesiana <ul><li>z = (x, y) </li></ul><ul><li>x = Re{z} (parte real) </li></ul><ul><li>y = Im{z} (parte imaginaria) </li></ul><ul><li>z = x + jy </li></ul><ul><li>Estas son “Formas Cartesianas” </li></ul>Forma Cartesiana z = (x,y) = x + jy x Re{z} y Im{z}
  18. 18. Representación Polar <ul><li>r: Magnitud de z </li></ul><ul><li> : Argumento de z </li></ul><ul><li>r = |z|= √(x 2 +y 2 ) </li></ul><ul><li> = arg z = arctan (y/x) </li></ul><ul><li>Recordar que: </li></ul><ul><ul><li>e j  = cos  + jsin  </li></ul></ul><ul><li>Por lo tanto: </li></ul><ul><ul><li>z = r e j  </li></ul></ul><ul><ul><li>x=rcos  y=rcos  </li></ul></ul>z = re j  Forma Polar  r x Re{z} y Im{z}
  19. 19. Exponenciales Complejas <ul><li>|x(t)| = A </li></ul><ul><li>arg x(t) = w 0 t+  </li></ul><ul><li>x(t) = A cos(w 0 t+  ) + jAsin(w 0 t+  ) </li></ul><ul><li>Re{x(t)} = A cos(w 0 t+  ) </li></ul><ul><li>Im{x(t)} = Asin(w 0 t+  </li></ul>
  20. 20. Fasores <ul><li>x(t) = </li></ul><ul><li>Entonces x(t) = Ae j  (t) </li></ul><ul><li>Donde  (t) = w 0 t+  </li></ul><ul><li>Es decir: |x(t)|= A ; arg x(t) =  (t) </li></ul><ul><li>Así, x(t) es un número complejo que rota en el tiempo. </li></ul><ul><li>w 0: la velocidad de rotación </li></ul>
  21. 21. Fasores <ul><li>Donde C es un número complejo: AMPLITUD COMPLEJA </li></ul><ul><li>|C|= A ; arg C =  </li></ul><ul><li>C es FASOR </li></ul><ul><li>Como C está multiplicado por e jw 0 t entonces C es un Fasor Rotacional </li></ul>
  22. 22. Sumando Fasores <ul><li>Es útil cuando queremos sumar sinusoidales. </li></ul><ul><li>Por ahora sumaremos sinusoidales con: </li></ul><ul><ul><li>Diferentes Amplitudes </li></ul></ul><ul><ul><li>Diferentes Fases </li></ul></ul><ul><ul><li>Frecuencias Idénticas </li></ul></ul>
  23. 23. <ul><li>x(t) = 2cos (2  (10)t + 50  /180) + 3cos(2  (10)t+100  /180 ) </li></ul>Ejemplo
  24. 24. Expresar Seno y Coseno con Fasores
  25. 25. Espectro de una Señal <ul><li>En la realidad: </li></ul><ul><ul><li>No todos los componentes de una señal tienen la misma frecuencia </li></ul></ul><ul><li>Espectro: representación gráfica de los componentes de frecuencia de una señal. </li></ul>
  26. 26. Espectro de Línea de Señales Sinusoidales Espectro de Ambos Lados f 1 A/2 A/2 -f 1 f 1 Espectro un solo Lado f f A |C| |C|
  27. 27. Espectro de Línea de Señales Sinusoidales Espectro de Ambos Lados f 1  -  -f 1 f 1 Espectro un solo Lado f f  Fase Fase
  28. 28. Suma de Senoides <ul><li>La suma de 2 senoides es periódica cuando la relación de sus frecuencias es un número racional. En otras palabras, la suma de 2 senoides es periódica y esta provista de frecuencias enteros múltiples de una frecuencia fundamental. </li></ul><ul><li>Para examinar la representación de señales periódicas por la suma de senoides cuyas frecuencias son harmónicas, o entero múltiple, de una frecuencia fundamental, consideraremos 2 series y dibujaremos sus sumas parciales </li></ul>
  29. 29. Función Ejemplo Sumas Parciales
  30. 30. Ejemplo 1 y 2 Términos
  31. 31. Ejemplo con 4 y 45 términos
  32. 32. Código para generar la función <ul><li>n_max=input(‘Ingrese el número la más alta harmónica deseada(impar)’); </li></ul><ul><li>N=length(n_max); </li></ul><ul><li>t=0:0.002:1; </li></ul><ul><li>omega_0=2*pi; </li></ul><ul><li>for k=1:N </li></ul><ul><li>n=[ ]; </li></ul><ul><li>n=[1:2:n_max(k)]; </li></ul><ul><li>b_n = 4./(pi*n); </li></ul><ul><li>x=b_n*sin(omega_0*n'*t); </li></ul><ul><li>subplot(N,1,k), plot(t,x),xlabel('t'),ylabel('suma parcial'), axis([0 1 -1.5 1.5]), text(0.05,-5,['max.har.=',num2str(nmax(k))]) </li></ul><ul><li>end </li></ul>
  33. 33. Series de Fourier <ul><li>Vemos en las gráficas que esta sumatoria tiende a parecerse a una onda cuadrada con una frecuencia fundamental igual a la frecuencia del primera suma parcial que corresponde al seno. </li></ul><ul><li>Cuando una nueva harmónica es añadida, el efecto de rizo se aproxima a una cresta plana de una onda cuadrada y posee una frecuencia igual a la más alta harmónica indicada en la serie. </li></ul><ul><li>La convergencia de las series en cualquier punto particular puede ser examinada por la sustitución apropiada del valor de  o t. </li></ul><ul><li>Ejemplo  o t =  /2. </li></ul>
  34. 34. Series de Fourier <ul><li>Se puede normalizar la serie para tener la amplitud igual a la unidad cuando  o t =  /2, por la multiplicación de 4/  . </li></ul>
  35. 35. Función Ejemplo 2 Sumas Parciales
  36. 36. Ejemplo con 1 y 2 harmónicas
  37. 37. Ejemplo con 20 harmónicas
  38. 38. <ul><li>¿ Dada una forma de onda periódica, podemos encontrar su representación en series trigonométricas? </li></ul>Si, mediante Series de Fourier trigonométricas. PREGUNTA
  39. 39. Series de Fourier Trigonométricas Lo cual puede ser escrito de una forma mas compacta, en donde  o es 2  f o , siendo f o la frecuencia fundamental de la señal x(t):
  40. 40. Coeficientes de Fourier a n y b n <ul><li>Para encontrar los coeficientes a n ’s y b n ’s de cualquier señal periódica empezaremos con a o . </li></ul><ul><li>Siendo T o , el periodo de la señal x(t), es decir, el inverso de la frecuencia fundamental f o . </li></ul>
  41. 41. <ul><li>Usando la forma de la serie original, se puede derivar una expresión valida para cualquier a n ’s. La derivación procede para cualquier a n excepto para a 0 . </li></ul>Coeficientes de Fourier a m
  42. 42. Coeficientes de Fourier a m
  43. 43. <ul><li>Para obtener los valores de b n se hace un procedimiento similar solo que esta vez se multiplica la señal original por Sen y se integra en un periodo, dando como resultado. </li></ul>Coeficientes de Fourier b m
  44. 44. Condiciones Requeridas para asegurar la convergencia <ul><li>Si x(t) tiene un período igual a T o y tiene una primera y segunda derivada continuas para todo t, excepto en un número finito de puntos donde puede tener saltos discontinuos, la Serie de Fourier converge a x(t) para cada punto de t excepto en los puntos de discontinuidad. </li></ul>
  45. 45. <ul><li>Se debe notar que las fórmulas de los coeficientes usan solo los valores de x(t) en un intervalo de T 0 seg. </li></ul><ul><li>Asi, si x(t) esta dada solo para algún intervalo de T 0 , las Series de Fourier puede ser formada y converge uniformemente a x(t) dentro del intervalo en todos los puntos de continuidad. </li></ul><ul><li>Fuera del intervalo, la serie de Fourier converge a la extensión periódica de la señal x(t). </li></ul>Condiciones Requeridas para asegurar la convergencia T o Extensión Periódica x(t)
  46. 46. Series Exponenciales Complejas de Fourier <ul><li>Si partimos de la sumatoria de funciones trigonom é tricas de Fourier y remplazando el seno y el coseno por la suma de fasores complejos conjugados, se tiene: </li></ul>
  47. 47. Series Exponenciales Complejas de Fourier Si hacemos el cambio de variable k=-n. C n C -k =C n *
  48. 48. Series Exponenciales Complejas de Fourier <ul><li>Usando la forma de la serie original, se puede derivar una expresión valida para cualquier C n ’s. La derivación procede para cualquier C n , al multiplicar x(t) por una exp(-jm  o t) e integrar en un periodo. </li></ul>
  49. 49. Propiedades de Simetría de los Coeficientes de la Series de Fourier <ul><li>La expresión de los coeficientes de la serie exponencial compleja de Fourier, a través del uso del teorema de Euler puede ser escrita como: </li></ul><ul><li>Si x(t) es real, el primer término de C n es la parte real y el segundo término es la parte imaginaria de C n . Comparando contra las ecuaciones anteriores de la Serie Trigonométrica de Fourier </li></ul>
  50. 50. Propiedades de Simetría de los Coeficientes <ul><li>Si remplazamos n por –n, se puede observar que </li></ul><ul><li>C n = C* -n </li></ul><ul><ul><li>para señales x(t) reales. </li></ul></ul><ul><li>Si escribimos C n en notación fasorial </li></ul><ul><li>donde </li></ul>
  51. 51. Propiedades de Simetría <ul><li>Si consideramos una señal real par, sabemos que </li></ul><ul><li>x(t)= x(-t) </li></ul><ul><li>Esto hace que la parte imaginaria sea cero, ya que x(t) sen  o t es una función impar y su integral nos da cero sobre el intervalo alrededor de t =0. Por lo tanto los coeficientes C n son reales y par con respecto a n. </li></ul>
  52. 52. Propiedades de Simetría <ul><li>Si consideramos una señal real impar, sabemos que </li></ul><ul><li>x(t)= -x(-t) </li></ul><ul><li>Esto hace que la parte real sea cero, ya que x(t) cos  o t es una función impar y su integral nos da cero sobre el intervalo alrededor de t =0. Por lo tanto los coeficientes C n son imaginarios. </li></ul>
  53. 53. Propiedades de Simetría <ul><li>Otro tipo de simetría es la mitad de onda impar definida como </li></ul><ul><li>Donde To es el período de la señal x(t). Para estas señales los </li></ul><ul><li>C n = 0, n= 0, ± 2, ± 4, ±6 </li></ul>
  54. 54. TEOREMA DE PARSEVAL <ul><li>La potencia promedio para una señal periódica es </li></ul><ul><li>Se puede expresar x*(t) como su Serie Exponencial de Fourier </li></ul>
  55. 55. Espectro de Línea de 2 lados <ul><li>La serie compleja de Fourier de una señal consiste de una sumatoria de fasores rotantes. </li></ul><ul><li>Vimos anteriormente como la suma de fasores rotantes pueden ser caracterizados en el dominio de la frecuencia mediante 2 gráficos: </li></ul><ul><ul><li>Amplitud </li></ul></ul><ul><ul><li>Fase </li></ul></ul><ul><li>De igual manera se puede obtener 2 gráficos para una señal periódica: </li></ul><ul><ul><li>Espectro de Amplitud </li></ul></ul><ul><ul><li>Espectro de Fase </li></ul></ul><ul><li>Cuando el espectro es analizado para frecuencias positivas y negativas se llama ESPECTRO DE DOS LADOS. </li></ul>
  56. 56. Espectro de línea de 2 Lados f f 0 2f 0 3f 0 -f 0 -2f 0 -3f 0 Fase de los Coeficientes f f 0 2f 0 3f 0 -f 0 -2f 0 -3f 0 |C 0 | | C 1 | | C 2 | | C 3 | | C -1 | | C -2 | | C -3 | Amplitud de los Coeficientes
  57. 57. Espectro de Línea de un lado <ul><li>Tomando la serie de Fourier y representadola en su forma polar a los coeficientes C n . </li></ul>
  58. 58. Espectro de línea de un Lado f f 0 2f 0 3f 0 |C 0 | 2| C 1 | 2| C 2 | 2| C 3 | Amplitud de los Coeficientes f f 0 2f 0 3f 0 Fase de los Coeficientes
  59. 59. Convergencia del Espectro de Fourier <ul><li>Consideremos una señal periódica x(t) que tiene su k-ésima derivada, la cual es continua en partes. Su derivada k+1-ésima contiene impulso donde la derivada k-ésima es discontinua. </li></ul><ul><li>Ahora si diferenciamos las Series Exponenciales de Fourier k+1 veces, obtenemos que: </li></ul><ul><li>Por lo tanto los coeficientes de Fourier de la derivada (k+1)-ésima son los coeficientes de Fourier multiplicados por (jn  o ) k+1 </li></ul>
  60. 60. Convergencia del Espectro de Fourier <ul><li>Consideremos ahora el calculo de los coeficientes de la señal k+1-esima derivada. </li></ul><ul><li>Cuando la derivada de esta expresión es un impulso se puede evaluar directamente por la propiedad de desplazamiento de la función impulso unitario. </li></ul><ul><li>Estos términos dan constantes para los coeficientes, lo que significa que tendremos términos proporcionales a (jn  o ) -(k+1) , puesto que dividimos la expresión para los coeficientes de Fourier para la (k+1)-ésima derivada de x(t), los cuales tienen componentes constantes, por (jn  o ) (k+1) para obtener C n . </li></ul><ul><li>Así concluimos que, la señal periódica x(t) con derivada k-ésima, la cual es continua en partes, tiene coeficientes de Fourier que decrementa con la frecuencia como (n  o ) -(k+1) </li></ul>

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