Capítulo 03

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Capítulo 03

  1. 1. Capítulo 3 Descripción de datos, medidas de tendencia central <ul><li>Objetivos: Al terminar este capítulo podrá: </li></ul><ul><li>Calcular la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la media geométrica. </li></ul><ul><li>Explicar las características, uso, ventajas y desventajas de cada medida de tendencia central. </li></ul><ul><li>Identificar la posición de la media aritmética, la mediana y la moda, tanto en distribuciones simétricas como asimétricas. </li></ul>
  2. 2. Características de la media <ul><li>La media aritmética es, con mucho, la medida de localización más usada. </li></ul><ul><li>Es calculada sumando los valores y dividiendo entre el número de valores. </li></ul><ul><li>Las principales características de la media son: </li></ul><ul><li>- Requiere de una escala de intervalo. </li></ul><ul><li>- Todos los valores son utilizados. </li></ul><ul><li>- Es única. </li></ul><ul><li>- La suma de las desviaciones con respecto a la media </li></ul><ul><li> es cero. </li></ul>
  3. 3. Media poblacional <ul><li>Para datos no agrupados, la media poblacional es la suma de todos los valores de la población divididos entre el número total de valores de la población: donde µ es la media poblacional, N es el total de observaciones de la población y X un valor particular. </li></ul>
  4. 4. Ejemplo 1 <ul><li>Un parámetro es una medida característica de la población. </li></ul><ul><li>Ejemplo 1: La familia Castro es propietaria de cuatro autos. Los siguientes datos corresponden al kilometraje de cada uno de ellos: </li></ul><ul><li>56,000 23,000 42,000 73,000 </li></ul><ul><li>Encuentre la media aritmética del kilometraje de los autos: </li></ul><ul><li>µ = (56,000 + … + 73,000)/4 = 48,500 </li></ul>
  5. 5. Media muestral <ul><li>Para datos no agrupados, la media muestral es la suma de todos los valores de la muestra dividida por el número de valores de la muestra. Donde n es el número total de valores en la muestra. </li></ul>
  6. 6. Ejemplo 2 <ul><li>Un estadístico es una medida característica de una muestra. </li></ul><ul><li>Ejemplo 2: Una muestra de cinco ejecutivos recibió los siguientes bonos el último año ($000): </li></ul><ul><li>14.0, 15.0, 17.0, 16.0, 15.0 </li></ul>
  7. 7. Propiedades de la media aritmética <ul><li>Todos los datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tienen una media. </li></ul><ul><li>Para evaluar la media se consideran todos los valores. </li></ul><ul><li>Un conjunto de datos sólo tiene una media la cual es un valor único. </li></ul><ul><li>La media es afectada por valores inusualmente grandes o pequeños. </li></ul><ul><li>La media aritmética es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor, respecto de la media, siempre es igual a cero. </li></ul>
  8. 8. Ejemplo 3 <ul><li>Considere el siguiente conjunto de valores: 3, 8, y 4. La media es 5. Ilustrando la quinta propiedad: </li></ul>
  9. 9. Media ponderada <ul><li>La media ponderada de un conjunto de números X 1 , X 2 , …, X n con pesos correspondientes w 1 , w 2 , …, w n es calculada con la siguiente fórmula: </li></ul>
  10. 10. Ejemplo 6 <ul><li>Durante el periodo de una hora, en una tarde calurosa de sábado, Cristina sirvió 50 refrescos. Ella vendió 5 bebidas de $0.50, 15 de $0.75, 15 de $0.90, y 15 de $1.15. Calcule la media ponderada para el precio de estas bebidas. </li></ul>
  11. 11. La mediana <ul><li>La mediana es el valor que corresponde al punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor. </li></ul><ul><li>Cincuenta por ciento de las observaciones son mayores que la mediana, y 50% son menores que ella. </li></ul><ul><li>Para un conjunto par de valores, la mediana será el promedio aritmético de los dos valores centrales. </li></ul>
  12. 12. Ejemplo 4 <ul><li>Las edades de una muestra de 5 estudiantes del colegio son: </li></ul><ul><li>21, 25, 19, 20, 22 </li></ul><ul><li>Ordenando los datos en forma ascendente, tenemos: </li></ul><ul><li>19, 20, 21, 22, 25. Entonces la mediana es 21. </li></ul><ul><li>Las estaturas de 4 jugadores de basquetbol, en pulgadas, son: </li></ul><ul><li>76, 73, 80, 75 </li></ul><ul><li>Entonces la mediana es 75.5 </li></ul>
  13. 13. Propiedades de la mediana <ul><li>Es única; esto es, a semejanza de la media, sólo existe una mediana para un conjunto de datos. </li></ul><ul><li>No se ve afectada por valores extremadamente grandes o muy pequeños, y por tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando se presenta esta clase de valores. </li></ul><ul><li>Puede calcularse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal. </li></ul><ul><li>Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en tal clase. </li></ul>
  14. 14. La moda <ul><li>La moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia. </li></ul><ul><li>Ejemplo 5: Las calificaciones de 10 estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87 </li></ul><ul><li>Dado que 81 es el dato que aparece con más frecuencia, éste es la moda. </li></ul>
  15. 15. La media geométrica <ul><li>La media geométrica ( GM ) de un conjunto de n números se define como la raíz enésima del producto de n números. </li></ul><ul><li>La media geométrica es útil para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento. </li></ul><ul><li>La fórmula es: </li></ul>
  16. 16. Ejemplo 7 <ul><li>La tasa de interés de tres bonos son: 5, 21 y 4 por ciento. </li></ul><ul><li>La media aritmética es (5+21+4)/3 =10.0 </li></ul><ul><li>La GM da una utilidad más conservadora porque no está demasiado influenciada por la tasa del 21 por ciento. </li></ul><ul><li>La media geométrica es: </li></ul>
  17. 17. Media geométrica (Continuación) <ul><li>Otro uso de la media geométrica es determinar el aumento porcentual en ventas, producción o series económicas de un periodo de tiempo a otro. </li></ul>
  18. 18. Ejemplo 8 <ul><li>El número total de mujeres contratadas en Colegios Americanos se incrementó de 755,000 en 1992 a 835,000 en 2000. Esto es, la media geométrica o tasa de incremento es 1.27%. </li></ul>
  19. 19. La media para datos agrupados <ul><li>La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias es calculada por la siguiente fórmula: </li></ul>
  20. 20. Ejemplo 9 <ul><li>Una muestra de 10 cines en una gran área metropolitana contó el número total de películas en exhibición la última semana. Calcule el número medio de películas en exhibición. </li></ul>
  21. 21. Ejemplo 9 (Continuación) 66 10 Total 30 10 3 9 hasta 11 8 8 1 7 hasta 9 18 6 3 5 hasta 7 8 4 2 3 hasta 5 2 2 1 1 hasta 3 ( f )( X ) Punto medio de clase ( X ) Frecuencia f Películas en cartelera
  22. 22. La mediana para datos agrupados <ul><li>La mediana de una muestra de datos agrupados en una distribución de frecuencias se calcula con: </li></ul><ul><li>donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, n es el número total de frecuencias, CF es la frecuencia acumulada precedente a la clase mediana, f es la frecuencia de la clase que contiene a la mediana, e i es la amplitud de la clase en que se encuentra la mediana. </li></ul>
  23. 23. Encontrar la clase que contiene a la mediana <ul><li>Para determinar la clase que contiene a la mediana para datos agrupados: </li></ul><ul><li>Construya una distribución de frecuencias acumuladas. </li></ul><ul><li>Divida el número total de datos entre 2. </li></ul><ul><li>Determine cuál clase contiene este valor. </li></ul><ul><li>Por ejemplo, si n = 50, 50/2 =25, entonces determine cuál clase contiene el valor en la posición 25. </li></ul>
  24. 24. Ejemplo 10 10 3 9 hasta 11 7 1 7 hasta 9 6 3 5 hasta 7 3 2 3 hasta 5 1 1 1 hasta 3 Frecuencia acumulada Frecuencia Películas en cartelera
  25. 25. Ejemplo 10 (Continuación) <ul><li>De la tabla, tenemos: L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, CF = 3 </li></ul>
  26. 26. La moda en datos agrupados <ul><li>Para datos agrupados en una distribución de frecuencias, es posible aproximar la moda usando el punto medio de la clase que contiene el mayor número de frecuencias de clase. </li></ul><ul><li>Las modas en el ejemplo 10 son 8 y 10. Cuando dos valores ocurren un gran número de veces, la distribución es llamada bimodal , como en el ejemplo 10. </li></ul>
  27. 27. Distribución simétrica <ul><li>Cero asimetría moda = mediana = media </li></ul>
  28. 28. Distribución con sesgo positivo <ul><li>Asimetría positiva: media y mediana están a la derecha de la moda. </li></ul><ul><li>Moda<Mediana<Media </li></ul>
  29. 29. Distribución con sesgo negativo <ul><li>Asimetría negativa: media y mediana están a la izquierda de la moda. </li></ul><ul><li>Media<Mediana<Moda </li></ul>

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