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Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas

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Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas

  1. 1. Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo,4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ououtras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema.Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau comduas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo:Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodospara a sua solução.Esses dois métodos são: Substituição e Adição.Método da substituiçãoEsse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir naoutra equação, veja como:Dado o sistema , enumeramos as equações.Escolhemos a equação 1 e isolamos o x:x + y = 20x = 20 – yAgora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y.3x + 4 y = 723 (20 – y) + 4y = 7260-3y + 4y = 72-3y + 4y = 72 – 60 y = 12Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equaçãox = 20 – y.x = 20 – yx = 20 – 12x=8Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12)Método da adiçãoEsse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitasseja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ouapenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.Dado o sistema:
  2. 2. Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar aprimeira equação por – 3.Agora, o sistema fica assim:Adicionando as duas equações: - 3x – 3y = - 60+ 3x + 4y = 72 y = 12Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir ovalor de y encontrado:x + y = 20x + 12 = 20x = 20 – 12x=8Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12).Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será sempre o mesmo.Exemplo 1A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somandoa população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população dacidade A?Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valordesconhecido).Cidade A = xCidade B = yx = 3yx + y = 200 000
  3. 3. Substituindo x = 3yx + y = 200 0003y + y = 200 0004y = 200 000y = 200 000/4y = 50 000x = 3y , substituindo y = 50 000Temosx = 3 * 50 000x = 150 000População da cidade A = 150 000 habitantesPopulação da cidade B = 50 000 habitantesExemplo 2Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?x notas de 20 reais y notas de 5 reaisEquação do número de notas: x + y = 10Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140x + y = 1020x + 5y = 140Aplicar método da substituiçãoIsolando x na 1ª equaçãox + y = 10x = 10 - ySubstituindo o valor de x na 2ª equação20x + 5y = 14020(10 – y) + 5y = 140200 – 20y + 5y = 140- 15y = 140 – 200- 15y = - 60 (multiplicar por -1)15y = 60y = 60/15y=4
  4. 4. Substituindo y = 4x = 10 – 4x=6Exemplo 3Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um,seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes?Pequenos: xGrandes: yx+y=8x + 1 = 2yIsolando x na 1ª equaçãox+y=8x=8-ySubstituindo o valor de x na 2ª equaçãox + 1 = 2y(8 – y) + 1 = 2y8 – y + 1 = 2y9 = 2y + y9 = 3y3y = 9y = 9/3y=3Substituindo y = 3x=8–3x=5Peixes pequenos: 5Peixes grandes: 3Exemplo 4Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo domenor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1.Maior: xMenor: y
  5. 5. 2x + 3y = 16x + 5y = 1Isolando x na 2ª equaçãox + 5y = 1x = 1 – 5ySubstituindo o valor de x na 1ª equação2(1 – 5y) + 3y = 162 – 10y + 3y = 16- 7y = 16 – 2- 7y = 14 (multiplica por -1)7y = - 14y = -14/7y=-2Substituindo y = - 2x = 1 – 5 (-2)x = 1 + 10x = 11Os números são 11 e -2.1º) método da adiçãoEste método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma,somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma únicaincógnita.EXEMPLO:1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.
  6. 6. 3º passo: dar a solução do sistema.S = { (4, -2) }2º) método da substituiçãoEste método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equaçãodo sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.EXEMPLO:1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.y = 6 – 2xy = 6 – 2.4y=6–8y = -24º passo: dar a solução do sistema.S = { (4, -2) }Sistema de equação( substituição )
  7. 7. No método da susbstituição vamos isolar um dos termos(letra) que no caso do exemplo acimafoi o X subtraimos y dos dois lados obtendo x = 50 - y donde substituiremos em x-y=10 obtendoy = 20 .Dai substituimos na equação onde o x esta isolado resultando em X = 30 Sistemas de Equações: Método da ComparaçãoResolver um sistema de equações com duas variáveis consiste em utilizar técnicas matemáticas nadeterminação das incógnitas x e y. Os métodos utilizados pelos matemáticos na resolução consistem em:resolução gráfica, substituição, adição e comparação. Vamos fixar nosso estudo no método dacomparação, que consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações, realizando a comparaçãoentre elas. Observe a resolução dos modelos a seguir:Exemplo 1Isolando x na 1ª equaçãox + y = 7x = 7 – yIsolando x na 2ª equaçãox – 2y = – 5x = – 5 + 2yRealizando a comparaçãox = x7 – y = – 5 + 2y– y – 2y = –5 –7– 3y = – 12 *(–1)3y = 12y = 12/3y = 4Para calcularmos o valor de x utilizamos qualquer uma das equações substituindo y por 4.x = – 5 +2yx = – 5 + 2 * 4x = – 5 + 8
  8. 8. x = 3Solução do sistema: (3; 4)Exemplo 2Isolando x na 1ª equaçãox + 2y = 40x = 40 – 2yIsolando y na 2ª equaçãox – 3y = – 35x = – 35 + 3yRealizando a comparaçãox = x–35 + 3y = 40 – 2y3y + 2y = 40 + 355y = 75y = 15Calculamos o valor de x substituindo y = 15 em qualquer das equações.x = – 35 + 3yx = – 35 + 3 * 15x = –35 + 45x = 10Solução do sistema: (10; 15)Exemplo 3Isolar y na 1ª equação2x + y = 4y = 4 – 2xIsolar y na 2ª equação3x + y = – 3y = – 3 – 3xRealizando a comparaçãoy = y4 – 2x = – 3 – 3x–2x + 3x = –3 – 4x = –7Calculando y através de x = – 7
  9. 9. y = – 3 – 3xy = –3 – 3 * (–7)y = –3 + 21y = 18

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