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Unidad II Radicación

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Unidad II Radicación

  1. 1. REPÙBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL Elaborado por: Ing. MSc. Leonardo Romero Quidel
  2. 2. A manera de repaso: LEYES DE LOS EXPONENTES: m n m n 1. a a a m a m n m n mn 5. n a , a 0 2. a a a n n n n 1 3 . (a b ) a b 6. a n , a 0 a n n a a 7. a 0 1, a 0 4. n , b 0 b b
  3. 3. RAÍCES En esta unidad encontramos lo contrario de la potencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican (eliminan) con las raíces y viceversa Bueno tenemos 3 términos con los que trabajaremos los cuales son:Índice de la raíz Operante n radicando a Cantidad subradical oLas raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto: 1 n a an
  4. 4. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las propiedades de las raíces, veamos la primera: Raíz de una potencia con exponente igual al índice.  Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el radicando como potencia, una base elevado a una fracción de la siguiente forma: Al elevar a n la raíz n-ésima de a estamos simplificando el proceso anterior por lo cual el 1 n numero quedaría el númeron n n 1 a (a ) n an a
  5. 5.  Veamos unos ejemplos: Aplicando la propiedad, 2 vemos que el índice y el 2 2 1 exponente del radicando 5 5 5 5 se deja en forma de 3 potencia, por lo tanto3 3 1 igual numerador y 7 73 7 7 denominador dan como resultado 1, así se dice p que si se simplifica op p p 1 x x x x elimino la raíz y se convierte en una simple 5 base elevado a 1 lo que da 5 1 2 2 5 2 2 como resultado la misma5 base, como vemos en los 5 5 5 5 ejemplos.
  6. 6. Ahora te toca a ti trabajar: 2 1. 6 4 4 2 . 59 3 3 3. 23 5 5 4. 48
  7. 7. Raíz de un producto: Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen, como se muestra a continuación. n n n a b a b Así también podemos hacer el proceso inverso, donde el producto de dos raíces de igual índice que puede agrupar en una sola raíz n n n a b a b
  8. 8. Resolvamos juntos estos ejercicios, separando cada raíz en dosproductos de raíces y resolviéndolas por separado, luego se multiplica y se obtiene el resultado correspondiente: 4 4 4 4 1296 16 81 16 81 2 3 6 3 3 3 3 27000 125 216 125 216 5 6 30 4 25 4 25 100 10 3 3 3 3 8 27 8 27 216 6
  9. 9. Trabaja tu:1. 3 122. 3a 2a 6 3 3 33. 2x 4x 8x 4 3 4 7 4 64. 5p 5p 25 p
  10. 10. SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.1) 62) 6a3) 4x4) 5p4 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.
  11. 11. * Pasemos a Raíz de un cociente: De la raíz de una fracción o división se puede separar en 2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora. n a a ** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a n raíz de un producto n b b * Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se muestra a continuación: n a a n n b b
  12. 12. Resolvamos algunos ejemplos para aprender mejor: 18 18 : 2 6 2 125 125 : 5 25 5 5 Pero para poder resolver algunos 26 a ejercicios no solo 26 a : 2a 13 debemos dividir, 2a sino también 3 aplicar 3 444 a propiedades de 444 a : 111 a 4 2 las potencias 111 a como es la resta de exponentes
  13. 13.  Vamos te toca ahora 240 ______ 60 3 216 ______ 3 8 4096 4 ______ 16 600 ______ Si tienes alguna duda 6 no vaciles en repasar la materia.!!!!
  14. 14. SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.1) 22) 33) 24) 10Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.
  15. 15. Raíz de una Raíz: Bueno aquí simplemente se multiplican los índices y se deja al final una sola raíz con índice igual al producto de los índices. Como se puede ver: n m n m a a 2 2 4 2 2 2a b a b ab x x x3 4 34 12 531441 531441 531441 33 a 3a 3a 1 1 1 1
  16. 16. Sigue multiplicando tu los índices y resuelve los siguiente: 4 1. 64 ____ 5 4 3 2. 1 ____ 3. 81 ____ 4 4. 729 ____
  17. 17. SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.1) 22) 13) 34) 13Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.
  18. 18. Pasemos a amplificación y simplificación delíndice de una raíz:Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice como el exponente de la cantidad subradical, por un termino o numero en particular, ejemplo: n n p 1 p a a n x n: y x: y a a
  19. 19. Resolvamos estos ejercicios: 10 5 10 :5 5 :5 25 25 25 5 3 2 •3 1• 3 3• 2 12 6 3 2 6 3 4 3 4 3 4 432 • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver mas fácilmente, así queda como resultado 5 • En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores, ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se puede resolver como cualquier otro problema.
  20. 20.  Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la amplificación y simplificación de raíces. 6 2 7 _____ 2 3 5 _____ 15 5 4 _____ 3 4 p _____
  21. 21. SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1. 3 7 2. 5 5 3. 3 4 4. p 3 pSi acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.
  22. 22. Factor de una raíz como factor:* En palabras simples es pasar un número quemultiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debeelevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentromultiplicándolo por los otros términos dentro de ella, asíse pueden aplicar otras operaciones como la suma deraíces de igual índice. n n nSe da de la siguiente forma: a b b a** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera serno entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar: 2 288 12 2 12 2
  23. 23. Vamos resolvamos: Se puede ver dos 2 posibilidades: 20 2 5 2 5 • simplificar una raíz, dejándola 27 2 7 2 98 mas simple • O realizar una3 3 3 3 raíz, juntando 250 5 2 5 2 términos, pero de esta forma queda una raíz muy compleja.
  24. 24. Racionalización de denominadores:• La idea es dejar los denominadores sin expresiones conraíces para poder trabajar mas fácilmente.• Consiste en eliminar los radicales de los denominadores. 3 3 2 3 2 3 2 2 2 2 4 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que elradicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así podereliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.
  25. 25. • En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva o negativa), así se eliminan las raíces en el denominador. • Se presentan los siguiente casos de expresiones: 1 1 5 2 5 2 5 2 2 25 2 5 2 5 2 5 2 3 1 1 5 2 5 2 5 2 2 25 2 5 2 5 2 5 2 3
  26. 26. Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas: 3 3 2 2 a b a b a ab b 3 3 2 2 a b a b a ab b 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 6 2 2 3 6 23 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 6 2 5 Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.
  27. 27. • Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupan dos términos para dejarlos como suma por diferencia a la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una suma por diferencia simple: 3 3 5 2 3 5 2 3 3 5 2 3 3 5 2 3 2 2 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 2 10 4 2 103 5 2 3 3 5 2 3 2 2 10 5 2 3 2 10 5 2 3 2 10 4 2 10 4 10 4 2 10 16 8 10 8 10 4 100 4 Luego de resolver el trinomio, resolvemos el binomio resultante igual que si fuera suma por diferencia, y así se elimina términos con raíces en el denominador, y en este caso nos queda con denominador 4.
  28. 28. Te invito a resolver los siguientes ejercicios: 2 1) _____ 2 3 2) _____ 2 5 1 3) _____ 3 9
  29. 29. SOLUCIONESAcá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1. 2 2. - 2 5 3 81 3. 9Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.
  30. 30. Ecuaciones irracionales:son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical,para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice dela raíz, para eliminarla: Ejemplos: 6 3 3x 3 3 / () 2 3 6 + 3x + 3 9 / -6 3 3 3x + 3 3 / () 2x 1 2 7 / - 2 3x + 3 = 27 / -3 2 2x - 1 = 5 / () 3x = 24 / :3 2 2 2x - 1 5 x = 8 2x - 1 = 25 / +1 2x = 26 / : 2 x = 13
  31. 31. PRACTIQUEMOS UN POCO 1. x 1 x 3 2. x 3 5 3. x( x 3) x 5 2 4. x 4 3 x 2
  32. 32. SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1 . x1 5 x 2 2 2. x 28 25 3. x 13 3 4. x 2Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.
  33. 33. Cotrol: veamos si aprendiste 2n n 2 n 3 3 6 2 6 3 15 8+ 8 + 4 64 a 6 1 1 64 3 + 0,027 3 n 3n 4n 1 1 a b 2 3 4 +8 5 18a 2 64 + 7 3 27 16 c 3 3 n 4n 2n n 16x a b c 5 9y 8 4 7a b 3+ 3- x -1 2 x 2 3 2 5- 3x + 1 0 x 2 2 2 8x 9 2x 3 5 2 1 - 2 14 3 7 2 5 3
  34. 34. EJERCICIOS RESUELTOS 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 Ejemplo 1 3 8 8 2 2 2 4 64 3 3 3 3 3 1 64 4 4 4 4 1 1 12 2 1 5 3 5 3 5 2 3 2 2 12 1 12 Ejemplo 2 864 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 3 3 2 12 2 3 2 3 12 6 13 13 13 3 Ejemplo 3 z 13 3 1 z 13 1 z 13 1 z 13 19 1 1 z 19 z
  35. 35. EJERCICIOS RESUELTOS 13 13 6a 6a 8x 8x 6a 8x 8 13 x 2a 2x 2a Ejemplo 4 3 3b 3b 13 13 b b 27 y 27 y 27 y 3b 27 y 3y 13 2 2 2 3 3 6 4 3 3 6 4 0 .0 0 8 0 .0 0 6 4 2 10 2 10 2 10 2 10Ejemplo 5 3 2 3 3 4 2 3 4 2 80000 2 10 2 10 13 12 10 2 10 6 18 13 2 6 6 8 2 10 2 10 0 .0 0 0 0 0 4 2 10 2 13 Ejemplo 6 3 576 3 24 3 24 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3
  36. 36. Ejemplo 7 Si a1 2 , a2 2 2 , a3 2 2 2 , a4 2 2 2 2 , exprese como potencia fraccionaria de 2 cada uno de los términos de la sucesión anterior, y obtenga en la misma forma el término an de la sucesión, en donde n es un número entero positivo.Solución Nótese que: 2 1 12 2 a1 2 2 , 2 2 1 12 12 3 2 2 2 2 a2 2 2 2 2 2 2 3 12 2 1 12 12 7 2 3 3 2 a3 2 2 2 2 2 2 2 2 12 4 12 15 2 1 12 12 4 4 a4 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 n 2 1 Entonces: an 2 2 n

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