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En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponenteal cual hay que elevar la base para obt...
•   7 Historia   •   8 Véase también   •   9 Notas   •   10 Referencias          o 10.1 Bibliografía   •   11 Enlaces exte...
definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de númerosnegativos usando el logaritmo comp...
indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no escrucial, ya que todos son proporcionale...
número y > 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado x0 y x1. Por lo tanto, elteorema del valor intermedio a...
un punto (t, u = bt) sobre el gráfico de f proporciona un punto (u, t = logbu) sobre el gráficodel logaritmo y viceversa. ...
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Una demostración visual de la fórmula del producto del logaritmo natural.La fórmula de la potencia ln(tr) = r ln(t) puede ...
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Si (G,·) es un grupo cíclico finito de orden n, donde · es el operador multiplicación, si seescoge un generador g de G, en...
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El logaritmo

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El logaritmo

  1. 1. En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponenteal cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de lamultiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a laexponenciación de la base del logaritmo.Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe laabreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamoshallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base,se puede omitir.Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como unmedio de simplificación de los cálculos. Estos fueron rápidamente adoptados porcientíficos, ingenieros, y otros para realizar operaciones más fácilmente, usando reglas decálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante —por derecho propio — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de losfactores:La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con lafunción exponencial en el siglo XVIII.Contenido • 1 Definición • 2 Propiedades generales • 3 Identidades logarítmicas o 3.1 Elección y cambio de base • 4 Propiedades analíticas o 4.1 Función logarítmica o 4.2 Función inversa o 4.3 Derivada e integral indefinida o 4.4 Representación integral del logaritmo natural o 4.5 Transcendencia del logaritmo • 5 Cálculo o 5.1 Serie de potencias o 5.2 Aproximación mediante media aritmético-geométrica • 6 Extensiones o 6.1 Números reales o 6.2 Números complejos o 6.3 Logaritmo en base imaginaria o 6.4 Matrices o 6.5 Logaritmo discreto
  2. 2. • 7 Historia • 8 Véase también • 9 Notas • 10 Referencias o 10.1 Bibliografía • 11 Enlaces externosDefiniciónDado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (opotencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Esla función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x, lo quepermite obtener n.1(esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; sí y sólo si b elevado a la n da porresultado a x)y n puede ser cualquier número real (n ∈ R).Para que la definición sea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tieneque ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10100 = 2.Propiedades generalesLos logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedadescomunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; logb b = 1 ya queb1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); logb 1=0 ya que b0 = 1.Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valornegativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 escero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la funciónlogarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puededemostrar usando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; puesto que a perteneceal intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que logb(a)=logb(1/a-1) =logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya quecualesquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn será mayor que cero, bn > 0;en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x seamenor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de
  3. 3. definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de númerosnegativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de losexponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son1,2,4,8,16,32,64...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4,23 = 8, y 24 = 16 etc. luego log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4 etc.Identidades logarítmicasArtículo principal: Identidades logarítmicas.Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizarcálculos: • El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. • El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. • El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia. • El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:Elección y cambio de baseEntre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo
  4. 4. indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no escrucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define allogaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tantob como k son diferentes de 1):en la que k es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicacionesen física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También es bastante utilizado ellogaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de lasmatemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física enmagnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), dela energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa ellogaritmo en base 2 la mayoría de veces.Propiedades analíticasUn estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de función. Un ejemplo esla función que produce la x-ésima potencia de b para cualquier número real x, donde la base(o raíz) b es un número fijo. Esta función se escribe comoFunción logarítmicaPara justificar la definición de logaritmos, es necesario mostrar que la ecuacióntiene una solución x y que esta solución es única, provista de que y es positivo y que b espositivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valorintermedio del cálculo elemental.2 Este teorema establece que una función continua queproduce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n.Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sinlevantar el lápiz del papel.Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función f(x) = bx. Puesto que ftoma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier
  5. 5. número y > 0 que se encuentra entre f(x0) y f(x1) para un adecuado x0 y x1. Por lo tanto, elteorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución. Más aún,hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamentecreciente (para b > 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1).3La única solución x es el logaritmo de y en la base b, logb(y). La función que asigna a caday su logaritmo se llama función logaritmo o función logarítmica (o logaritmo a secas).Función inversaGráfico de la función logarítmica logb(x) (azul) se obtiene mediante reflexión del gráfico dela función bx (roja) sobre la línea diagonal (x = y).La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier númerox,En lenguaje llano, tomando la x-ésima potencia de b y luego el base-b logaritmo se vuelve aobtener x. De modo contrario, dado un número positivo y, la fórmuladice que tomando primero el logaritmo y después exponenciando se vuelve a obtener y.Así, las dos maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y exponenciales vuelvea dar el número original. Por lo tanto, el logaritmo en base b es la función inversa de f(x) =bx.4Las funciones inversas están íntimamente relacionadas con las funciones originales. Susgráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas x ey (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha:
  6. 6. un punto (t, u = bt) sobre el gráfico de f proporciona un punto (u, t = logbu) sobre el gráficodel logaritmo y viceversa. Como consecuencia, logb(x) diverge a infinito (se hace másgrande que cualquier número dado) si x tiende a infinito, siempre que b sea mayor que 1.En ese caso, logb(x) es un función creciente. Para b < 1, logb(x) tiende a menos infinito enlugar de a infinito. Cuando x se aproxima a cero, logb(x) tiende a menos infinito para b > 1(a más infinito cuando b < 1, respectivamente).Derivada e integral indefinidaEl gráfico del logaritmo natural (verde) y su tangente en x = 1.5 (negro)Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas.2 Así, como f(x) = bx es unafunción continua y diferenciable, también lo será logb(y). Toscamente hablando, unafunción continua es diferenciable si su gráfico no tiene «trazos puntiagudos». Más aún,como la derivada de f(x) evaluada en ln(b)bx por las propiedades de la función exponencial,la regla de la cadena implica que la derivada de logb(x) es dada por3 5Esto es, la pendiente de la tangente que toca el gráfico del logaritmo en base-b en el punto(x, logb(x)) es igual a 1/(x ln(b)). En particular, la derivada de ln(x) es 1/x, lo que implicaque la integral indefinida de 1/x es ln(x) + C.La derivada con un argumento funcionalgeneralizado f(x) esEl cociente del miembro derecho es denominado derivada logarítmica de f. Calcular f(x)por medio de la derivada de ln(f(x)) se conoce como diferenciación logarítmica.6 La integralindefinida del logaritmo natural ln(x) es:7
  7. 7. Fórmulas relacionadas, tales como integrales indefinidas de logaritmos en otras basespueden ser obtenidas de esta ecuación usando el cambio de bases.8Representación integral del logaritmo naturalEl logaritmo natural de t es el área sombreada bajo el gráfico de la función f(x) = 1/x(inversa de x).Artículo principal: Logaritmo natural.El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/x dx desde 1 a t:En otras palabras, ln(t) es igual al área entre el eje x y el gráfico de la función 1/x, recorridodesde x = 1 a x = t (figura a la derecha). Esto es una consecuencia del teorema fundamentaldel cálculo y del hecho de que la derivada de ln(x) sea 1/x. El miembro de la derecha deesta ecuación puede servir con una definición para el logaritmo natural. Las fórmulas delproducto y potencias de logaritmo pueden ser obtenidas de esta definición.9 Por ejemplo, lafórmula del producto ln(tu) = ln(t) + ln(u) se deduce como:La igualdad (1) descompone la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es uncambio de variable (w = x/t). En la ilustración de abajo, la descomposición corresponde adividir el área en las partes azul y amarilla. Reescalando el área azul de la izquierdaverticalmente mediante el factor t y contrayendo esta por el mismo factor horizontalmenteno se cambia su tamaño. Moviéndola apropiadamente, el área de la gráfica se ajusta a lafunción f(x) = 1/x de nuevo. Por lo tanto, el área azul del término izquierdo, que es laintegral de f(x) desde t a tu es la misma que la de la integral desde 1 a u. Esto justifica laigualdad (2) con otra demostración geométrica más.
  8. 8. Una demostración visual de la fórmula del producto del logaritmo natural.La fórmula de la potencia ln(tr) = r ln(t) puede ser obtenida de manera similar:La segunda igualdad usa los cambios de variable (integración por sustitución), w := x1/r.La suma sobre los inversos de los números naturales,es llamada serie armónica. Está estrechamente vinculada al logaritmo natural: cuando ntiende a infinito, la diferencia,converge (i.e., se aproxima arbitrariamente cerca) a un número conocido como constante deEuler-Mascheroni. Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos, comoquicksort.10Transcendencia del logaritmoEl logaritmo es un ejemplo de función trascendente y desde un punto de vista teórico, elteorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores «difíciles» .La declaración formal se basa en la noción de números algebraicos, que incluye a todos losnúmeros racionales, pero también números tales como la raíz cuadrada de 2 oNúmeros complejos que no son algebraicos son llamados transcendentes;11 por ejemplo, π ye son dos de esos números. Casi todos los números complejos son trascendentes. Usandoestas nociones, el teorema de Gelfond–Scheider declara que dados dos números algebraicosa y b, logb(a) es, o un número trascendente, o un número racional p / q (en cuyo caso aq =bp, de manera que, para empezar, a y b estaban estrechamente relacionados).12Cálculo
  9. 9. Los logaritmos son fáciles del calcular en algunos casos, tales como log10(1,000) = 3. Engeneral, los logaritmos pueden ser calculados usando series de potencias o la mediaaritmético-geométrica, o ser obtenidos de una tabla de logaritmos precalculada queproporciona una precisión fijada.13 14 El método de Newton, un método iterativo pararesolver ecuaciones aproximadamente, puede ser usado también para calcular el logaritmo,porque su función inversa, la función exponencial, puede ser calculada eficientemente.15Usando tablas de referencias, métodos como CORDIC pueden ser usados para calcularlogaritmos si la únicas operaciones disponibles son la adición y el desplazamiento de bits.1617 Más aún, el algoritmo del logaritmo binario calcula lb(x) recursivamente basado en larepetición cuadrática de x, aprovechando la relaciónSerie de potenciasSerie de TaylorSerie de Taylor de ln(z) at z = 1. La animación muestra las primeras 10 aproximacionesjunto con las aproximaciones 99 y 100.Para cualquier número real z que satisfaga 0 < z < 2, la siguiente fórmula se cumple:nb 1 18Esta es una manera rápida de decir que ln(z) puede ser aproximado a un valor más y máspreciso mediante las siguientes expresiones:Por ejemplo, con z = 1.5 la tercera aproximación obtiene 0.4167, que es alrededor de 0.011mayor que ln(1.5) = 0.405465. Esta serie aproxima ln(z) con precisión arbitraria, siempreque el número de sumandos sea lo suficientemente grande. En cálculo elemental, ln(z) espor tanto, el límite de la serie. Esta es la serie de Taylor del logaritmo natural en z = 1. La
  10. 10. serie de Taylor de ln z proporciona una particular aproximación útil de ln(1+z) cuando z espequeño, |z| << 1, puesto quePor ejemplo, con z = 0.1 el primer orden de aproximación da ln(1.1) ≈ 0.1, que es menordel 5% del valor correcto 0.0953.Series más eficientesOtra serie está basada en la función argumento de tangente hiperbólica:para cualquier número real z > 0.nb 2 18 Usando la notación sumatorio esta también puedeser escrita comoEsta serie se puede obtener de la serie de Taylor anterior. Converge más rápido que la seriede Taylor, especialmente si z es cercano a 1. Por ejemplo, para z = 1.5, los tres primerostérminos de la segunda serie aproximan ln(1.5) con un error del entorno de 3×10−6. Larápida convergencia para z cercano a 1 puede ser tomada como una ventaja de la siguientemanera.: da una aproximación de baja exactitud y ≈ ln(z) y calculandoel logaritmo de z es:Cuando mejor es la aproximación inicial y, más cerca está A de 1, así que su logaritmopuede ser calculado eficientemente. A puede ser calculado usando la serie exponencial, queconverge rápidamente siempre que y no sea demasiado grande. Calculando el logaritmo deun z mayor, puede ser reducido a valores más pequeños que z mediante la escritura z = a ·10b, así que ln(z) = ln(a) + b · ln(10).
  11. 11. Un método íntimamente relacionado puede ser utilizado para calcular el logaritmo deenteros. De la serie anterior, se deduce que:Si el logaritmo de un entero grande n es conocido, entonces esta serie obtiene una velozserie convergente para log(n+1).Aproximación mediante media aritmético-geométricaLa media aritmético-geométrica da aproximaciones con gran precisión del logaritmonatural. ln(x) es aproximado con una precisión de 2−p (o p bits precisos) mediante lasiguiente fórmula (dada por Carl Friedrich Gauss):19 20Aquí M denota la media aritmético-geométrica. Se puede obtener mediante el cálculorepetido de la media (media aritmética) y de la raíz cuadrada del producto de dos números(media geométrica). Más aún, m es escogido tal queAmbas, media aritmético-geométrica y las constantes π y ln(2) pueden ser calculadasmediante series convergentes muy rápidas.ExtensionesEs posible extender el concepto de logaritmo más allá de los reales positivos.Números realesPara enteros b y x, el número es irracional (no puede representarse como elcociente de dos enteros) si b o x tienen un factor primo que el otro no tiene.El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sinembargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos sólo puede hacerseintroduciendo números complejos.Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección delogaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la másfrecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.
  12. 12. Números complejosArtículo principal: Logaritmo complejo.Principal rama del logaritmo complejo, Log(z).El logaritmo natural de un número complejo z es otro número complejo b = ln(z) que seasolución de la ecuación:(*)La ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito desoluciones, aunque todas ellas son fáciles de encontrar. Dado un número complejo z escritoen forma polar, una solución posible de la ecuación (*) es b0:Puede comprobarse que ésta no es la única solución, sino que para cualquier valorresulta que el número complejo bk, definido a continuación, también es solución:De hecho cada valor particular de k define una superficie de Riemann.Logaritmo en base imaginariaArtículo principal: Logaritmo en base imaginaria.Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidadimaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:
  13. 13. Dónde z es cualquier número complejo excepto 0. Sin embargo, cabe señalar que la fórmulaanterior sólo es una de las posibles soluciones ya que la ecuación:admite no sólo la solución dada anteriormente sino que cualquier x de la forma:también es solución.MatricesArtículo principal: Logaritmo de una matriz.Una matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A:A diferencia de la exponenciación de matrices, el logaritmo de una matriz real puede noestar definido siempre.En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo esté definido para todosy cada uno de los autovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de lamatriz está definido y es una matriz real.Si el logaritmo no está definido sobre el espectro o conjunto de autovalores, aún así esposible definir una matriz logaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos denúmeros negativos o complejos), aunque no resulta única.En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya querequiere encontrar primero su forma canónica de Jordan.Logaritmo discretoArtículo principal: Logaritmo discreto.Los logaritmos discretos son los análogos en teoría de grupos de los logaritmos ordinarios.En particular, un logaritmo ordinario loga(b) es una solución de la ecuación ax = b sobrenúmeros reales o números complejos. De manera similar, si g y h son elementos de ungrupo cíclico finito G, entonces una solución x de la ecuación gx = h es llamada logaritmodiscreto en la base g de h en el grupo G.
  14. 14. Si (G,·) es un grupo cíclico finito de orden n, donde · es el operador multiplicación, si seescoge un generador g de G, entonces cada elemento h de G puede ser escrito como h = gkpara algún entero k, de manera que la funciónasigna a cada h la clase de equivalencia modulo n de k, esto es, todos los k que cumplan queh ≡ gk mod n.Este logaritmo tiene aplicaciones en criptografía, en especial en el método de intercambiode claves de Diffie-Hellman o en el sistema de ElGamal.

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