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Ap geometria 2 2009

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Apuntes de geometría de 2º E.S.O.
Autor: Francisco Montero

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Ap geometria 2 2009

  1. 1. Matemáticas 2º E.S.O. Geometría ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍAConceptos fundamentalesPunto ·RectaPlanoSemirrecta: porción de recta limitada en un extremo por un puntoSemiplano: es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas. semiplano A semiplano BSegmento: porción de recta comprendida entre dos de sus puntos, llamados extremos. A BRectas paralelas: son aquellas que pertenecen al mismo plano y no tienen ningún punto en común.Rectas secantes: son rectas que se cortan y dividen por tanto al plano en cuatro regiones.Un caso particular de rectas secantes son las perpendiculares, que dividen al plano en cuatro regionesiguales.Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular trazada en su punto medio. Cualquier punto de lamediatriz equidista de los extremos del segmento.Ángulo: es una región del plano limitada por dos semirrectas, que se llaman lados, y que tienen un puntocomún que se llama vértice.Clasificación de los ángulos: - recto: cuando los dos lados son perpendiculares - agudo: la abertura de los lados es menor que un ángulo recto - obtuso: la abertura de los lados es mayor que un ángulo rectoBisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales.Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo.Línea poligonal: es una figura formada por varios segmentos unidos por sus extremos.Cuando el extremo del último segmento coincide con el origen del primero, la línea poligonal se llama B D C Acerrada, y en caso de que no coincidan, abierta. Página 1 de 7
  2. 2. Matemáticas 2º E.S.O. GeometríaPolígono: es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. A B D CLos elementos de los polígonos son:a) Lados: segmentos que limitan el polígono, AB, BC, CD, DA.b) Perímetro: suma de las longitudes de los lados.c) Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos, A, B, C, D. En todo polígono el nº de lados yvértices coincide.d) Diagonales: son los segmentos que unen vértices no consecutivos.e) Ángulos interiores: son los ángulos formados por lados consecutivos.f) Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro consecutivo. Ángulo interior = ABC Ángulo exterior = CBF A B F D C Clasificación de los polígonos:a) Por el número de lados:Triángulo, Cuadrilátero, Pentágono, Hexágono, Heptágono, Octógono, Eneágono, Decágonob) Por su forma:Equilátero: lados iguales ;Equiángulo: ángulos iguales ; Regular: lados y ángulos iguales; Irregular: lados yángulos desigualesUn polígono se halla inscrito en una circunferencia cuando todos sus vértices están contenidos el ella. Sedice entonces que la circunferencia está circunscrita al polígono. Cuadrilátero inscrito en la circunferencia Pentágono circunscrito a una circunferencia o circunferencia circunscrita al cuadrilátero o circunferencia inscrita en el pentágonoUn polígono se halla circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes (tocan en unsolo punto) a la misma. Se dice entonces que la circunferencia está inscrita en el polígono.Medida de ángulosPuesto que el ángulo recto resulta una medida demasiado grande para medir ángulos, se definen otro tipo deunidades:a) División sexagesimalLa unidad que habitualmente se utiliza es el grado centesimal, que es la noventava parte de un ángulo recto.Por lo tanto una circunferencia tiene 4 ángulos rectos * 90º cada uno = 4·90 = 360ºMinuto sexagesimal es la sesentava parte de un grado sexagesimal. 1º = 60Segundo sexagesimal es la sesentava parte de un minuto sexagesimal. 1 = 60b) División centesimal (no se suele utilizar)La unidad es el grado centesimal, que es la centésima parte de un ángulo recto. Por lo tanto unacircunferencia tiene 4 ángulos rectos *100g = 4·100g = 400gMinuto centesimal es la centésima parte de un grado centesimal. 1g = 100mSegundo centesimal es la centésima parte de un minuto centesimal. 1m = 100sc) RadiánUn radián es el ángulo cuyo arco tiene la longitud igual al radio de una circunferencia centrada en el vértice.Como ya veremos el perímetro de una circunferencia es 2·π·R = 2·314·R=628·R es decir el perímetro de unacircunferencia es aproximadamente 6 veces el radio de la circunferencia que nosotros dibujemos. Por lo tantoen un giro completo hay 628 radianes, es decir: 1 revolución = 360º = 2·π radianes Página 2 de 7
  3. 3. Matemáticas 2º E.S.O. GeometríaSi hacemos una regla de tres: 360º → 2·π radianes xº → 1 radiánx = 360/2·π = 5729ºEn el caso de que tengamos que pasar de grados a radianes (o a la inversa) resolveremos una regla de tres,siempre dejando el valor de π sin operar, por ejemplo:Expresión compleja y decimal de la medida de un ángulo sexagesimalLa medida de un ángulo puede venir expresada en grados, minutos y segundos, o en una sola unidad: 8º 30 36 → 851º Forma compleja → Forma decimalVeamos como se pasa de una a otra:8º 30 36 = 8º 30 36/60 = 8º 30 06 = 8º 306 = 8º 306/60º = 8º 051º = 851º851º = 8º 051·60 = 8º 306 = 8º 30 06·60 = 8º 30 36Operaciones con medidas de ángulos sexagesimalesa) SumaPara sumar ángulos deberemos sumar grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. 32º 15 6 +2º 8 29 34º 23 35Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos a la unidad inmediatamentesuperior. 15º 20 16 +20º 30 54 35º 50 70Teniendo en cuenta que 70 = 1 10 el resultado de la suma lo expresaríamos como:35º 51 10Importante: si la suma de dos ángulos es 90º, es decir, juntos forman un ángulo recto, se dice que soncomplementarios. Si la suma de dos ángulos es 180º, es decir, forman un ángulo llano, se dice que sonsuplementarios.b) RestaLa operación se dispone igual que la suma 30º 31 12 -22 48Puesto que no podemos restarle 48 a 12 debemos modificar el minuendo pasando 1 minuto a segundos:30º 31 12 = 30º 30 72Con lo cual ya podemos realizar la resta: 30º 30 72 -22 48 30º 8 24TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROSTriángulos. Clasificación.Como ya vimos los triángulos son polígonos de 3 lados y por lo tanto 3 ángulos. Se puedenclasificar:a) Por sus lados:Equilátero, si tiene los tres lados igualesIsósceles, si tiene dos lados igualesEscaleno, si tiene los tres lados diferentesb) Por sus ángulos:Rectángulo, si tiene un ángulo rectoAcutángulo, si sus tres ángulos son agudosObtusángulo, si tiene un ángulo obtusoEn los triángulos rectángulos el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y losotros dos lados, catetos.Propiedades del triángulo1.En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos, pero mayor que su diferencia. Página 3 de 7
  4. 4. Matemáticas 2º E.S.O. Geometría2.La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.3.Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.Rectas y puntos notables de un triánguloMediatrices: son las rectas perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados.Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama circuncentro que equidista de losvértices del triángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.Bisectrices: son las semirrectas que dividen en dos partes iguales los ángulos interiores al triángulo.Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que equidista de los lados deltriángulo y por lo tanto es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.Alturas: son los segmentos perpendiculares a un lado o a su prolongación, trazados desde el vértice opuestoLas tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.Medianas: son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto.Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad.Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa b a a 2 = b 2 + c2 cCuadriláteros. Clasificación.Los cuadriláteros como su propio nombre indica son aquellos polígonos de cuatro lados y por lo tanto cuatroángulos. Se clasifican según el paralelismo de sus lados en:1.Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo a otro.2.Trapecios son los cuadriláteros con dos lados paralelos.Los trapecios se pueden clasificar en: - Trapecio rectángulo, es el que tiene dos ángulos rectos - Trapecio isósceles, es el que tiene los lados no paralelos iguales - Trapecio escaleno, sin ninguna propiedad específica3.Paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dosy por lo tanto los ángulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los ladosopuestos son iguales.Los paralelogramos se pueden clasificar en: - Rectángulo, es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales (rectos), pero los lados adyacentes no son iguales. - Cuadrado, es el que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales. - Rombo, es el que tiene los 4 lados iguales, y los ángulos opuestos iguales. - Romboide, cuando no es ninguno de los anteriores. ÁREAS Y VOLÚMENESÁreas de figuras planas Cuadrado Rectángulo Triángulo l h h l b b A = l.l A =b.h A= P = 4·l P = 2·b + 2·h P = Σ lados Página 4 de 7
  5. 5. Matemáticas 2º E.S.O. Geometría Trapecio Rombo Romboide D b h d h a B l b A= A=b·h P = Σ lados A= P = 2·b + 2·a P = 4·l Polígono regular Círculo Sector circular l n° r a A== A = π · r2 A= P = 6·l P = 2·π·r P=Nota: en el caso del hexágono regular, se puede calcular el área como la suma de 6 triángulos equiláteros, enlos demás polígonos regulares se podrá calcular como la suma de triángulos isósceles.Poliedros. ClasificaciónUn poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos. Los polígonos quelimitan al poliedro se llaman caras del poliedro, y los lados y vértices de las caras son las aristas y vértices delpoliedro respectivamente.Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales y concurren el mismo Tetraedro Octaedro Cubo (4 triángulos equiláteros) (8 triángulos equiláteros) (6 cuadrados) Icosaedro Dodecaedro (20 triángulos equiláteros) (12 pentágonos regulares)número de ellas en cada vértice. Solo existen 5 poliedros regulares que son:Dentro de los poliedros podemos distinguir dos casos especiales:1º) Prismas: son poliedros que tienen dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y sus otras caraslaterales son paralelogramos. Lógicamente tendrá tantas caras laterales como lados tenga la base.Los prismas se clasifican en: Página 5 de 7
  6. 6. Matemáticas 2º E.S.O. Geometríaa) Rectos y oblicuos. Un prisma es recto cuando el ángulo entre las caras laterales y las bases es recto, encaso contrario se dice que el prisma es oblicuo.b) Regulares e irregulares. Un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos regulares, encaso contrario se dice que el prisma es irregular.c) Por el número de lados de sus bases: -Triangulares, si sus bases son triángulos - Cuadrangulares, si sus bases son cuadriláteros - Pentagonales,....etc.Uno de los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo que tiene por bases dosparalelogramos, es decir, todas sus caras (6) son paralelogramos. Dentro de los paralelepípedos podemosencontrar algunos casos importantes como son el cubo (todas sus caras son cuadrados), ortoedro (todassus caras son rectángulos), romboedro (todas sus caras son rombos) y rombodiedro (todas sus caras sonromboides).Veamos algunos ejemplos de prismas: Prisma oblicuo cuadrangular(base cuadrada) Prisma recto pentagonal irregular o también paralelepípedo oblicuo Prisma cuadrangular(base rectangular) regular(recto) o paralelepípedo recto Prisma recto triangular irregularNota: no olvidar que si un prisma es regular entonces es recto y si es oblicuo es irregular y por tanto no esnecesario decirlo.Nota: La mejor forma de nombrarlos es: prisma recto de base pentagonal irregular, prisma oblicuo de basecuadrada, prisma recto de base triangular irregular y prisma recto de base rectangular.2º) Pirámides: son poliedros en los que una de sus caras (llamada base) es un polígono y las otras caraslaterales son triángulos que tienen un vértice común.Las pirámides se clasifican en:a) Rectas y oblicuas. Una pirámide es recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de su base, olo que es lo mismo, cuando las caras laterales no son triángulos escalenos. En caso contrario tendremos unpirámide oblicua.b) Regulares e irregulares. Una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono regular. Encaso contrario será irregular.c) Por el número de lados de su base: - Triangular - Cuadrangular - Pentagonal,....etc.Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base obtendremos lo que se llama tronco de pirámide.Veamos algunos ejemplos de pirámides: Pirámide hexagonal regular Pirámide cuadrangular Tronco de pirámide (base cuadrada) oblicuaNota: la mejor forma de nombrarlos es: pirámide recta de base hexagonal regular, pirámide oblicua de basecuadrada Página 6 de 7
  7. 7. Matemáticas 2º E.S.O. GeometríaCuerpos redondos o de revoluciónUn cuerpo redondo se obtiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el mismo plano, demodo que cada punto del recinto describe una circunferencia al dar una vuelta completa.Si un rectángulo gira sobre un lado describe un cilindro.Si un triángulo rectángulo gira sobre un cateto describe un cono.Si un semicírculo gira sobre su diámetro describe una circunferencia.Áreas laterales y volúmenes de los poliedros y cuerpos redondosVprisma = área de la base · altura = B · hVcilindro = área de la base · altura = B · h = π·r2 · h B• hVpirámide = 1/3.área de la base.altura = 3 B• h π • r2 •hVcono = 1/3.área de la base.altura = = 3 3 4•π•r 3Vesfera = 3Si la figura geométrica no es recta, si no que es oblicua, las fórmulas siguen siendo válidas siempre y cuandose tenga claro cual es la altura de la figura que se está estudiando y no se confunde con alguna de lasmedidas de las áreas laterales.Lógicamente también es necesario recordar cuales son las áreas de las figuras planas más importantes, parapoder calcular la base de la figura geométrica.Para poder calcular el volumen de un tronco de pirámide o cono deberíamos calcular el volumen de lapirámide o cono mayor, menos el menor.A prisma = 2·Abase + ΣAlateralesA pirámide = Abase + ΣAlateralesA tronco de pirámide = Amayor + Amenor + ΣAlateralesA cilindro = 2·π·r2 + 2·π·r·h (en este caso h = g)A esfera = 4·π·r2 rA cono = π·r2 + π·r·g ya que 2πg → 360 g 2πr 2πr → n = 360·2πr/2πg = 360r/gÁrea sector circular = πR2n/360 = πg2360r/360g = πrg n Página 7 de 7

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