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indice   Historia            Tartaglia       Cardano   Ferrari                                ´                    ECUACIO...
indice                 Historia   Tartaglia   Cardano   Ferrari         Temario         1 Historia         2 Tartaglia    ...
indice                Historia            Tartaglia   Cardano   FerrariHistoria         Scipione Del Fierro         Fiori ...
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Cardano%2c tartaglia y ferrari

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  1. 1. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari ´ ECUACIONES CUBICAS W. Parra, R. C´rdenas, L. Castro a Universidad Pedag´gica Nacional o Departamento de Matem´ticas a 15 de junio de 2012
  2. 2. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari Temario 1 Historia 2 Tartaglia 3 Cardano 4 Ferrari
  3. 3. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariHistoria Scipione Del Fierro Fiori (disc´ ıpulo) Vs Tartaglia Tartaglia Vs Cardano Ferrari (disc´ ıpulo) Vs Tartaglia Tartaglia regresa a casa
  4. 4. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariHistoria Scipione Del Fierro Fiori (disc´ ıpulo) Vs Tartaglia Tartaglia Vs Cardano Ferrari (disc´ ıpulo) Vs Tartaglia Tartaglia regresa a casa
  5. 5. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariHistoria Scipione Del Fierro Fiori (disc´ ıpulo) Vs Tartaglia Tartaglia Vs Cardano Ferrari (disc´ ıpulo) Vs Tartaglia Tartaglia regresa a casa
  6. 6. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariHistoria Scipione Del Fierro Fiori (disc´ ıpulo) Vs Tartaglia Tartaglia Vs Cardano Ferrari (disc´ ıpulo) Vs Tartaglia Tartaglia regresa a casa
  7. 7. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariHistoria Scipione Del Fierro Fiori (disc´ ıpulo) Vs Tartaglia Tartaglia Vs Cardano Ferrari (disc´ ıpulo) Vs Tartaglia Tartaglia regresa a casa
  8. 8. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariHistoria Scipione Del Fierro Fiori (disc´ ıpulo) Vs Tartaglia Tartaglia Vs Cardano Ferrari (disc´ ıpulo) Vs Tartaglia Tartaglia regresa a casa
  9. 9. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariTartaglia Cuando est´ el cubo con las cosas preso a y se iguala a alg´n n´mero discreto u u busca otros dos que difieran en eso. Despu´s t´ har´s esto que te espeto e u a que su producto siempre sea igual al tercio cubo de la cosa neto. Despu´s el resultado general e de sus lados c´bicos bien restados u te dar´ a ti la cosa principal a
  10. 10. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariTartaglia Cuando est´ el cubo con las cosas preso a y se iguala a alg´n n´mero discreto u u busca otros dos que difieran en eso. Despu´s t´ har´s esto que te espeto e u a que su producto siempre sea igual al tercio cubo de la cosa neto. Despu´s el resultado general e de sus lados c´bicos bien restados u te dar´ a ti la cosa principal a
  11. 11. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariTartaglia Cuando est´ el cubo con las cosas preso a y se iguala a alg´n n´mero discreto u u busca otros dos que difieran en eso. Despu´s t´ har´s esto que te espeto e u a que su producto siempre sea igual al tercio cubo de la cosa neto. Despu´s el resultado general e de sus lados c´bicos bien restados u te dar´ a ti la cosa principal a
  12. 12. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariTartaglia Cuando est´ el cubo con las cosas preso a y se iguala a alg´n n´mero discreto u u busca otros dos que difieran en eso. Despu´s t´ har´s esto que te espeto e u a que su producto siempre sea igual al tercio cubo de la cosa neto. Despu´s el resultado general e de sus lados c´bicos bien restados u te dar´ a ti la cosa principal a
  13. 13. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Ecuaci´n a solucionar: o x 3 + 6x = 20 Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia u−v = 20 6 u × v = ( )3 3 Despujando u y reemplanzando obtenemos v 2 + 20v − 20 = 0 Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v a p 2 − 4q −q + v = 2 √ v = −10 + 108
  14. 14. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Ecuaci´n a solucionar: o x 3 + 6x = 20 Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia u−v = 20 6 u × v = ( )3 3 Despujando u y reemplanzando obtenemos v 2 + 20v − 20 = 0 Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v a p 2 − 4q −q + v = 2 √ v = −10 + 108
  15. 15. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Ecuaci´n a solucionar: o x 3 + 6x = 20 Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia u−v = 20 6 u × v = ( )3 3 Despujando u y reemplanzando obtenemos v 2 + 20v − 20 = 0 Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v a p 2 − 4q −q + v = 2 √ v = −10 + 108
  16. 16. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Ecuaci´n a solucionar: o x 3 + 6x = 20 Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia u−v = 20 6 u × v = ( )3 3 Despujando u y reemplanzando obtenemos v 2 + 20v − 20 = 0 Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v a p 2 − 4q −q + v = 2 √ v = −10 + 108
  17. 17. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Ecuaci´n a solucionar: o x 3 + 6x = 20 Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia u−v = 20 6 u × v = ( )3 3 Despujando u y reemplanzando obtenemos v 2 + 20v − 20 = 0 Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v a p 2 − 4q −q + v = 2 √ v = −10 + 108
  18. 18. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Ecuaci´n a solucionar: o x 3 + 6x = 20 Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia u−v = 20 6 u × v = ( )3 3 Despujando u y reemplanzando obtenemos v 2 + 20v − 20 = 0 Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v a p 2 − 4q −q + v = 2 √ v = −10 + 108
  19. 19. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Ecuaci´n a solucionar: o x 3 + 6x = 20 Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia u−v = 20 6 u × v = ( )3 3 Despujando u y reemplanzando obtenemos v 2 + 20v − 20 = 0 Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v a p 2 − 4q −q + v = 2 √ v = −10 + 108
  20. 20. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Ecuaci´n a solucionar: o x 3 + 6x = 20 Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia u−v = 20 6 u × v = ( )3 3 Despujando u y reemplanzando obtenemos v 2 + 20v − 20 = 0 Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v a p 2 − 4q −q + v = 2 √ v = −10 + 108
  21. 21. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Ecuaci´n a solucionar: o x 3 + 6x = 20 Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia u−v = 20 6 u × v = ( )3 3 Despujando u y reemplanzando obtenemos v 2 + 20v − 20 = 0 Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v a p 2 − 4q −q + v = 2 √ v = −10 + 108
  22. 22. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos √ u = 10 + 108 El valor de x ser´ entonces: a 3 √ 3 √ x= 10 + 108 − −10 + 108
  23. 23. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos √ u = 10 + 108 El valor de x ser´ entonces: a 3 √ 3 √ x= 10 + 108 − −10 + 108
  24. 24. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos √ u = 10 + 108 El valor de x ser´ entonces: a 3 √ 3 √ x= 10 + 108 − −10 + 108
  25. 25. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos √ u = 10 + 108 El valor de x ser´ entonces: a 3 √ 3 √ x= 10 + 108 − −10 + 108
  26. 26. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Tartaglia e Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos √ u = 10 + 108 El valor de x ser´ entonces: a 3 √ 3 √ x= 10 + 108 − −10 + 108
  27. 27. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariCardano Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576), a a Roma. • Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y a e Jugador de cartas, dados y ajedrez. • Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones a e simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae (1572). • Ferrari, disc´ ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado. o M´todo 1, Modelo del cubo e x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1) M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado e o x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
  28. 28. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariCardano Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576), a a Roma. • Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y a e Jugador de cartas, dados y ajedrez. • Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones a e simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae (1572). • Ferrari, disc´ ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado. o M´todo 1, Modelo del cubo e x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1) M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado e o x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
  29. 29. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariCardano Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576), a a Roma. • Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y a e Jugador de cartas, dados y ajedrez. • Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones a e simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae (1572). • Ferrari, disc´ ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado. o M´todo 1, Modelo del cubo e x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1) M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado e o x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
  30. 30. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariCardano Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576), a a Roma. • Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y a e Jugador de cartas, dados y ajedrez. • Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones a e simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae (1572). • Ferrari, disc´ ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado. o M´todo 1, Modelo del cubo e x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1) M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado e o x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
  31. 31. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariCardano Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576), a a Roma. • Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y a e Jugador de cartas, dados y ajedrez. • Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones a e simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae (1572). • Ferrari, disc´ ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado. o M´todo 1, Modelo del cubo e x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1) M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado e o x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
  32. 32. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariCardano Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576), a a Roma. • Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y a e Jugador de cartas, dados y ajedrez. • Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones a e simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae (1572). • Ferrari, disc´ ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado. o M´todo 1, Modelo del cubo e x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1) M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado e o x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
  33. 33. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariCardano Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576), a a Roma. • Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y a e Jugador de cartas, dados y ajedrez. • Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones a e simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae (1572). • Ferrari, disc´ ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado. o M´todo 1, Modelo del cubo e x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1) M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado e o x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
  34. 34. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Ecuaci´n a resolver o x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0 sustituimos a x por 7 x =t+ 3 sustituimos 1t 2 t3 − − =0 3 27 Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos e o −q + p 2 − 4q v = 2 1 v = − 27 1 u = 27
  35. 35. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Ecuaci´n a resolver o x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0 sustituimos a x por 7 x =t+ 3 sustituimos 1t 2 t3 − − =0 3 27 Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos e o −q + p 2 − 4q v = 2 1 v = − 27 1 u = 27
  36. 36. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Ecuaci´n a resolver o x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0 sustituimos a x por 7 x =t+ 3 sustituimos 1t 2 t3 − − =0 3 27 Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos e o −q + p 2 − 4q v = 2 1 v = − 27 1 u = 27
  37. 37. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Ecuaci´n a resolver o x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0 sustituimos a x por 7 x =t+ 3 sustituimos 1t 2 t3 − − =0 3 27 Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos e o −q + p 2 − 4q v = 2 1 v = − 27 1 u = 27
  38. 38. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Ecuaci´n a resolver o x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0 sustituimos a x por 7 x =t+ 3 sustituimos 1t 2 t3 − − =0 3 27 Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos e o −q + p 2 − 4q v = 2 1 v = − 27 1 u = 27
  39. 39. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Ecuaci´n a resolver o x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0 sustituimos a x por 7 x =t+ 3 sustituimos 1t 2 t3 − − =0 3 27 Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos e o −q + p 2 − 4q v = 2 1 v = − 27 1 u = 27
  40. 40. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Ecuaci´n a resolver o x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0 sustituimos a x por 7 x =t+ 3 sustituimos 1t 2 t3 − − =0 3 27 Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos e o −q + p 2 − 4q v = 2 1 v = − 27 1 u = 27
  41. 41. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Ecuaci´n a resolver o x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0 sustituimos a x por 7 x =t+ 3 sustituimos 1t 2 t3 − − =0 3 27 Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos e o −q + p 2 − 4q v = 2 1 v = − 27 1 u = 27
  42. 42. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Ecuaci´n a resolver o x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0 sustituimos a x por 7 x =t+ 3 sustituimos 1t 2 t3 − − =0 3 27 Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos e o −q + p 2 − 4q v = 2 1 v = − 27 1 u = 27
  43. 43. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Reemplazamos 1 3 3 1 2 t= − − = 27 27 3 Por ultimo, retomamos la primera sustituci´n y obtenemos el valor ´ o de x 7 2 7 x =t+ →x = + 3 3 3 El valor de x ser´ a x =3
  44. 44. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Reemplazamos 1 3 3 1 2 t= − − = 27 27 3 Por ultimo, retomamos la primera sustituci´n y obtenemos el valor ´ o de x 7 2 7 x =t+ →x = + 3 3 3 El valor de x ser´ a x =3
  45. 45. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Reemplazamos 1 3 3 1 2 t= − − = 27 27 3 Por ultimo, retomamos la primera sustituci´n y obtenemos el valor ´ o de x 7 2 7 x =t+ →x = + 3 3 3 El valor de x ser´ a x =3
  46. 46. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Cardano e Reemplazamos 1 3 3 1 2 t= − − = 27 27 3 Por ultimo, retomamos la primera sustituci´n y obtenemos el valor ´ o de x 7 2 7 x =t+ →x = + 3 3 3 El valor de x ser´ a x =3
  47. 47. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariFerrari Ferrari y Cardano estudiaron la soluc´n de las c´icas que Tartaglia o u les hab´ comunicado. Ferrari descubri´ tambi´n la soluci´n general ıa o e o de las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumento reduc´ el problema a resolver una c´bica por el m´todo de ıa u e Tartaglia, como Cardano hab´ jurado a Tartaglia que no publicar´ ıa ıa las soluci´n de las c´bicas, esos tampoco pod´ publicar la o u ıa soluciones de las cuarticas ya que depend´ de la soluci´n de las ıan o ecuaciones cubicas.
  48. 48. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariFerrari Ferrari y Cardano estudiaron la soluc´n de las c´icas que Tartaglia o u les hab´ comunicado. Ferrari descubri´ tambi´n la soluci´n general ıa o e o de las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumento reduc´ el problema a resolver una c´bica por el m´todo de ıa u e Tartaglia, como Cardano hab´ jurado a Tartaglia que no publicar´ ıa ıa las soluci´n de las c´bicas, esos tampoco pod´ publicar la o u ıa soluciones de las cuarticas ya que depend´ de la soluci´n de las ıan o ecuaciones cubicas.
  49. 49. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariFerrari Ferrari y Cardano estudiaron la soluc´n de las c´icas que Tartaglia o u les hab´ comunicado. Ferrari descubri´ tambi´n la soluci´n general ıa o e o de las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumento reduc´ el problema a resolver una c´bica por el m´todo de ıa u e Tartaglia, como Cardano hab´ jurado a Tartaglia que no publicar´ ıa ıa las soluci´n de las c´bicas, esos tampoco pod´ publicar la o u ıa soluciones de las cuarticas ya que depend´ de la soluci´n de las ıan o ecuaciones cubicas.
  50. 50. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Ecuaci´n a resolver o x 4 + 6x 3 = 6x 2 + 30x + 11 La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al lado izquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x 2 x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 15x 2 + 30x + 11 (x 2 + 3x)2 = 15x 2 + 30x + 11
  51. 51. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Ecuaci´n a resolver o x 4 + 6x 3 = 6x 2 + 30x + 11 La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al lado izquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x 2 x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 15x 2 + 30x + 11 (x 2 + 3x)2 = 15x 2 + 30x + 11
  52. 52. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Ecuaci´n a resolver o x 4 + 6x 3 = 6x 2 + 30x + 11 La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al lado izquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x 2 x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 15x 2 + 30x + 11 (x 2 + 3x)2 = 15x 2 + 30x + 11
  53. 53. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Ecuaci´n a resolver o x 4 + 6x 3 = 6x 2 + 30x + 11 La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al lado izquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x 2 x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 15x 2 + 30x + 11 (x 2 + 3x)2 = 15x 2 + 30x + 11
  54. 54. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por lo que se hace necesario adicionar a la ecuaci´n la expresi´n o o 2yx 2 + 6xy + y 2 ,por lo que obtenemos la siguiente ecuaci´. n (x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 ) Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que la expresi´n del lado derecho de la igualdad (ecuaci´n de segundo o o grado) sea un cuadrado perfecto, por tal raz´n se debe buscar que o el discriminante de la ecuaci´n de segundo grado se igual a cero, o por tanto. (30 + 6y )2 − 4(15 + 2y )(11 + y 2 ) = 0
  55. 55. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por lo que se hace necesario adicionar a la ecuaci´n la expresi´n o o 2yx 2 + 6xy + y 2 ,por lo que obtenemos la siguiente ecuaci´. n (x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 ) Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que la expresi´n del lado derecho de la igualdad (ecuaci´n de segundo o o grado) sea un cuadrado perfecto, por tal raz´n se debe buscar que o el discriminante de la ecuaci´n de segundo grado se igual a cero, o por tanto. (30 + 6y )2 − 4(15 + 2y )(11 + y 2 ) = 0
  56. 56. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por lo que se hace necesario adicionar a la ecuaci´n la expresi´n o o 2yx 2 + 6xy + y 2 ,por lo que obtenemos la siguiente ecuaci´. n (x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 ) Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que la expresi´n del lado derecho de la igualdad (ecuaci´n de segundo o o grado) sea un cuadrado perfecto, por tal raz´n se debe buscar que o el discriminante de la ecuaci´n de segundo grado se igual a cero, o por tanto. (30 + 6y )2 − 4(15 + 2y )(11 + y 2 ) = 0
  57. 57. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica o u −8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0 y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0 La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de o u e Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces, o reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n o (x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
  58. 58. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica o u −8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0 y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0 La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de o u e Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces, o reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n o (x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
  59. 59. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica o u −8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0 y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0 La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de o u e Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces, o reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n o (x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
  60. 60. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica o u −8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0 y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0 La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de o u e Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces, o reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n o (x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
  61. 61. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica o u −8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0 y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0 La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de o u e Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces, o reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n o (x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
  62. 62. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo o grado. (x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 (x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36) (x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2 x 2 + 3x + 5 = 5x + 6 x 2 − 2x − 1 = 0 Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las o soluciones √ √ 1 + 2;1 − 2 Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica o propuesta inicialmente.
  63. 63. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo o grado. (x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 (x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36) (x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2 x 2 + 3x + 5 = 5x + 6 x 2 − 2x − 1 = 0 Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las o soluciones √ √ 1 + 2;1 − 2 Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica o propuesta inicialmente.
  64. 64. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo o grado. (x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 (x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36) (x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2 x 2 + 3x + 5 = 5x + 6 x 2 − 2x − 1 = 0 Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las o soluciones √ √ 1 + 2;1 − 2 Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica o propuesta inicialmente.
  65. 65. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo o grado. (x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 (x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36) (x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2 x 2 + 3x + 5 = 5x + 6 x 2 − 2x − 1 = 0 Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las o soluciones √ √ 1 + 2;1 − 2 Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica o propuesta inicialmente.
  66. 66. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo o grado. (x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 (x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36) (x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2 x 2 + 3x + 5 = 5x + 6 x 2 − 2x − 1 = 0 Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las o soluciones √ √ 1 + 2;1 − 2 Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica o propuesta inicialmente.
  67. 67. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo o grado. (x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 (x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36) (x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2 x 2 + 3x + 5 = 5x + 6 x 2 − 2x − 1 = 0 Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las o soluciones √ √ 1 + 2;1 − 2 Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica o propuesta inicialmente.
  68. 68. indice Historia Tartaglia Cardano FerrariM´todo de Ferrari e Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo o grado. (x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 (x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36) (x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2 x 2 + 3x + 5 = 5x + 6 x 2 − 2x − 1 = 0 Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las o soluciones √ √ 1 + 2;1 − 2 Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica o propuesta inicialmente.

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