matematicas

1. Universidad de la Frontera
Facultad de Ingenier´ıa TEMUCO, Agosto 8 de 2013
Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica
Resoluci´on Gu´ıa de Trabajo. Geometr´ıa Anal´ıtica.
Fundamentos de Matem´aticas.
Profesores: P. Valenzuela - A. Sep´ulveda - A. Parra - L. Sandoval - J. Molina - E. Milman -
M. Choquehuanca - H. Soto - E. Henr´ıquez.
Ayudante: Pablo Atu´an.
1 Circunferencia.
1. Escribir la ecuaci´on de la circunferencia de centro C(−3, −5) y radio 7.
Soluci´on: Tenemos (x + 3)2 + (y + 5)2 = 49.
2. Los extremos de un di´ametro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y B(−4, 5). Hallar la ecuaci´on
de la circunferencia.
Soluci´on: Determinamos la longitud del di´ametro utilizando la f´ormula ”Distancia entre dos puntos”
como sigue:
d[(2, 3) : (−4, 5)] = (2 − (−4))2 + (3 − 5)2
d = 62 + (−2)2
d = 2
√
10
Luego, el radio es igual a
√
10. Por otra parte, determinamos el punto medio entre A y B para obtener
el centro de la circunferencia como sigue:
C =
2 + −4
2
,
3 + 5
2
C = (−1, 4)
Por lo tanto, la ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por (x + 1)2 + (y − 4)2 = 10
3. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia de centro (7, −6) y que pasa por el punto (2, 2)
Soluci´on: Reemplazando el centro C(7, −6) en la f´ormula general de la circunferencia tenemos que:
(x − 7)2
+ (y + 6)2
= r2
Como la ecuaci´on de la circunferencia pasa por el punto (2, 2), tenemos que:
(2 − 7)2
+ (2 + 6)2
= r2
r2
= 89
r =
√
89
Por lo tanto, la ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por:
(x − 7)2
+ (y + 6)2
= 89
.

2. 4. Hallar la ecuaci´on de circunferencia que tiene por centro el punto (2, −4) y que es tangente al eje y.
Soluci´on: Reemplazando en centro C(2, −4) en la f´ormula general de la circunferencia tenemos que:
(x − 2)2
+ (y + 4)2
= r2
Como la circunferencia es tangente al eje y, tenemos que r = 2. Por lo tanto, nuestra ecuaci´on de
circunferencia queda determinada por:
(x − 2)2
+ (y + 4)2
= 4
5. Una circunferencia tiene su centro en el punto C(0, −2) y es tangente a la recta 5x − 12y + 2 = 0. Hallar
su ecuaci´on.
Soluci´on: Reemplazando el centro C(0, −2) en la f´ormula general de la circunferencia tenemos que:
x2
+ (y + 2)2
= r2
Determinamos el radio de la circunferencia, utilizando la f´ormula ”Distancia Punto - Recta” como sigue:
d[(0, −2) : 5x − 12y + 2 = 0] =
|5 · 0 − 12 · −2 + 2|
52 + (−12)2
=
26
13
= 2
Por lo tanto, la ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por:
x2
+ (y + 2)2
= 4
6. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia cuyo centro es el punto (−4, −1) y que es tangente a la recta
3x + 2y − 12 = 0
Soluci´on: Reemplazando el centro C(−4, −1) en la f´ormula general de l circunferencia tenemos que:
(x + 4)2
+ (y + 1)2
= r2
Determinamos el radio de la circunferencia, utilizando la f´ormula ”Distancia Punto - Recta” como sigue:
d[(−4, −1) : 3x + 2y − 12 = 0] =
|3 · −4 + 2 · −1 − 12|
√
32 + 22
= 2
√
13
Por lo tanto, la ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por:
(x + 4)2
+ (y + 1)2
= 52
7. Encuentre la ecuaci´on de la circunferencia de radio 5 y que tiene como centro el punto de intersecci´on de
las rectas 3x − 2y − 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0.
Soluci´on: Determinamos el centro de nuestra circunferencia, resolvi´endo el sistema de ecuaciones entre
3x − 2y − 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0, tenemos que el centro es el punto (6, −3). Reemplazando el centro
C(6, −3) y el radio 5 en la f´ormula general tenemos que la ecuaci´on de la circunferencia esta dada por:
(x − 6)2
+ (y + 3)2
= 25

3. 8. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto (7, −5) y cuyo centro es el punto de inter-
secci´on de las rectas 7x − 9y − 10 = 0 y 2x − 5y + 2 = 0.
Soluci´on: Determinamos el centro de nuestra circunferencia, resolvi´endo el sistema de ecuaciones entre
7x − 9y − 10 = 0 y 2x − 5y + 2 = 0, tenemos que el centro es el punto (4, 2). Reemplazando el centro
C(4, 2) en la f´ormula general tenemos que:
(x − 4)2
+ (y − 2)2
= r2
Como la ecuaci´on de la circunferencia pasa por el punto (7, −5) tenemos que:
r2
= (7 − 4)2
+ (−5 − 2)2
r2
= 58
r =
√
58
Por lo tanto, la ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por:
(x − 4)2
+ (y − 2)2
= 58
9. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia cuyo centro se encuentra sobre el eje x y que pasa por los puntos
(1, 3) y (4, 6).
Soluci´on: Tenemos que el centro de nuestra circunferencia es de la forma C(a, 0). Por otra parte
se cumple que:
d[(a, 0) : (1, 3)] = d[(a, 0) : (4, 6)]
(a − 1)2 + (0 − 3)2 = (a − 4)2 + (0 − 6)2
(a − 1)2
+ (0 − 3)2
= (a − 4)2
+ (0 − 6)2
a2
− 2a + 1 + 9 = a2
− 8a + 16 + 36
6a = 42
a = 7
Luego, el centro de nuestra circunferencia es C(7, 0). Por otra parte, calculamos el radio como sigue:
r = d[(7, 0) : (1, 3)]
r = (7 − 1)2 + (0 − 3)2
r =
√
45
Por lo tanto, la ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por:
(x − 7)2
+ y2
= 45

4. 10. Una circunferencia pasa por los puntos (−3, 3) y (1, 4) y su centro est´a sobre la recta 3x − 2y − 23 = 0.
Hallar su ecuaci´on.
Soluci´on: Como el centro C(h, k) pasa por la recta 3x − 2y − 23 = 0, se cumple que 3h − 2k − 23 = 0.
Por otra parte se cumple que:
d[(h, k) : (−3, 3)] = d[(h, k) : (1, 4)]
(h + 3)2 + (k − 3)2 = (h − 1)2 + (k − 4)2
(h + 3)2
+ (k − 3)2
= (h − 1)2
+ (k − 4)2
h2
+ 6h + 9 + k2
− 6k + 9 = h2
− 2h + 1 + k2
− 8k + 16
6h − 6k + 18 = −2h − 8k + 17
8h + 2k + 1 = 0
Resolvi´endo el sistema de ecuaciones entre 3h − 2k − 23 = 0 y 8h + 2k + 1 = 0. Tenemos que h = 2 y
k = −
17
2
. Luego el centro es C(2, −17
2 ). Por otra parte, calculamos el radio como sigue:
r = d 2, −
17
2
: (1, 4)
r = (2 − 1)2 + −
17
2
− 4
2
r =
629
4
Por lo tanto, la ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por:
(x − 2)2
+ y −
17
2
2
=
629
4
11. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto (7, −5) y es tangente a la recta x−y −4 = 0
en el punto (3, −1).
Soluci´on: Tomando las relaciones d[(h, k) : (7, −5)] = d[(h, k) : (3, −1)] y d[(h, k) : x − y − 4 =
0] = d[(h, k) : (7, −5)] y resolvi´endo el sistema de ecuaciones, llegamos a la soluci´on:
(x − 5)2
+ (k + 3)2
= 8
12. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia cuyo centro est´a sobre la recta 6x + 7y − 16 = 0 y es tangente a
cada una de las rectas 8x + 15y + 7 = 0 y 3x − 4y − 18 = 0.
Soluci´on: Como el centro C(h, k) pasa por la recta 6x + 7y − 16 = 0, se cumple que 6h + 7k − 16 = 0.
Por otra parte, se cumple que:
d[(h, k) : 8x + 15y + 7 = 0] = d[(h, k) : 3x − 4y − 18 = 0]
|8h + 15k + 7|
17
=
|3h − 4k − 18|
5
Resolvi´endo el sistema de ecuaciones, llegamos a las siguientes soluciones:
(x − 3)2
+ (y +
2
7
) =
121
49
(x − 5)2
+ (k + 2)2
= 1

5. 13. Determinar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los tres puntos (−1, 1), (3, 5) y (5, −3).
Soluci´on: Sea (x − h)2 + (y − k)2 = r2 la circunferencia pedida. Como los tres puntos pasan por
la circunferencia, se cumple que:
(−1 − h)2
+ (1 − k)2
= r2
(3 − h)2
+ (5 − k)2
= r2
(5 − h)2
+ (−3 − k)2
= r2
Resolvi´endo el sistema de ecuaciones tenemos que: h =
16
5
, y =
4
5
y r =
442
25
.
Por lo tanto, nuestra ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por:
x −
16
5
2
+ y −
4
5
2
=
442
25
.
14. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos (6, 2), (8, 0) y cuyo centro est´a sobre la
recta de ecuaci´on 3x + 7y + 2 = 0.
Soluci´on: Como el centro C(h, k) pasa por la recta 3x + 7y + 2 = 0, se cumple que 3h + 2y + 2 = 0.
Por otra parte se cumple que:
d[(h, k) : (8, 0)] = d[(h, k) : (6, 2)]
(h − 8)2 + (k − 0)2 = (h − 6)2 + (k − 2)2
(h − 8)2
+ (k − 0)2
= (h − 6)2
+ (k − 2)2
h2
− 16h + 64 + k2
= h2
− 12h + 36 + k2
− 4k + 4
h − k = 6
Resolvi´endo el sistema de ecuaciones, tenemos que h = 4, k = −2. Por otra parte, determinamos el radio
de la circunferencia, utilizando la f´ormula ”Distancia Punto - Recta” como sigue:
d[(4, −2) : (8, 0)] = (4 − 8)2 + (−2 − 0)2
r =
√
20
Por lo tanto, la ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por:
(x − 4)2
+ (y + 2)2
= 20
15. Demostrar que las circunferencias x2 + y2 + 4x + 6y − 23 = 0 y x2 + y2 − 8x − 10y + 25 = 0 son tangentes.
Soluci´on: Completando cuadrados tenemos que la circunferencia de ecuaci´on x2 +y2 +4x+6y −23 = 0
tiene centro C1(−2, −3) y radio r1 = 6. La circunferencia de ecuaci´on x2 + y2 − 8x − 10y + 25 = 0 tiene
centro C2(4, 5) y radio r2 = 4. Calculando la distancia entre los dos centros tenemos que:
d[(−2, −3) : (4, 5)] = (−6)2 + (−8)2
=
√
10
= r1 + r2
Luego, las dos circunferencias son tangentes.

6. 16. Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 + 2x − 2y − 39 = 0 en el punto (4, 5).
Soluci´on: Completando cuadrados tenemos que la circunferencia de ecuaci´on x2 +y2 +2x−2y −39 = 0
tiene centro C(−1, 1) y radio r =
√
41. La pendiente de la recta formada por los puntos (−1, 1) y (4, 5) es
4
5
, por lo tanto, la pendiente de nuestra recta es −
5
4
. Luego, la recta es de la forma y = −
5x
4
+ n. Reem-
plazando el punto (4, 5) en la recta tenemos que n = 10. Por lo tanto, la recta buscada es y = −
5x
4
+ 10.
17. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (11, 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y2 −
8x − 6y = 0.
Soluci´on: Sea y = mx + n o en su defecto mx − y + n = 0 la recta pedida. Como pasa por el
punto (11, 4), entonces se cumple que 11m + n = 4. Utilizando la f´ormula ”Distancia Punto - Recta”
tenemos que:
d[(4, 3) : mx − y + n = 0] = 5
|4m − 3 + n|
√
m2 + 1
= 5
(4m − 3 + n)2
= 25m2
+ 25
Resolvi´endo el sistema de ecuaciones, llegamos a las soluciones: y = −
3x
4
+
49
4
o y =
4x
3
−
32
3
.
18. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por (−1, −4) y (2, −1) y cuyo centro est´a sobre la recta
4x + 7y + 5 = 0.
Soluci´on: Como el centro (h, k) pasa por la recta de ecuaci´on 4x+7y = 5, se cumple que 4h+7k+5 = 0.
Utilizando la f´ormula ”Distancia Punto - Recta” tenemos que:
d[(h, k) : (−1, −4)] = d[(h, k) : (2, −1)]
(h + 1)2
+ (k + 4)2
= (h − 2)2
+ (k + 1)2
h + k = −2
Resolvi´endo el sistema de ecuaciones tenemos que h = −3 y k = 1. Luego, se sigue que el radio es
r =
√
29. Por lo tanto, la ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por:
(x + 3)2
+ (y − 1)2
= 29
19. Una circunferencia de radio
√
13 es tangente a la circunferencia x2 + y2 − 4x + 2y − 47 = 0 en el punto
(6, 5). Hallar su ecuaci´on.
Soluci´on: Completando cuadrados en la ecuaci´on de circunferencia dada tenemos que C(2, −1) y
r = 2
√
13. La pendiente de la recta formada por los puntos (2, −1) y (6, 5) es 3
2. Luego, tenemos la
relaci´on
k − 5
h − 6
=
3
2
, es decir, h =
2k + 8
3
. Reemplazando esta relaci´on en la ecuaci´on y resolvi´endo,
llegamos a las soluciones h = 4, k = 2 o h = 8, k = 8. Por lo tanto, las soluciones quedan determinadas
por:
(x − 4)2
+ (y − 2)2
= 13
(x − 8)2
+ (y − 8)2
= 13

7. 20. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto (1, 4) y es tangente a la circunferencia
x2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el punto (−2, 1).
Soluci´on: Completando cuadrados en la ecuaci´on de la circunferencia dada tenemos que: C(−3, −1) y
r =
√
5. Utilizando la f´ormula ”Distancia entre dos puntos” tenemos que:
d[(h, k) : (1, 4)] = d[(h, k) : (−2, 1)]
h + k = 2
La pendiente de la recta formada por los puntos (−3, −1) y (−2, 1) es 2. Luego, tenemos que
k − 1
h + 2
= 2.
Resolvi´endo el sistema de ecuaciones, llegamos a la soluci´on:
(x + 1)2
+ (y − 3)2
= 5
21. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto (5, 9) y es tangente a la recta x + 2y − 3 = 0
en el punto (1, 1).
Soluci´on: Utilizando la f´ormula ”Distancia entre dos puntos” tenemos que:
d[(h, k) : (5, 9)] = d[(h, k) : (1, 1)]
(h − 5)2
+ (k − 9)2
= (h − 1)2
+ (k − 1)2
h + 2k = 13
Por otra parte, se cumple la siguiente relaci´on:
|h + 2k − 3|
√
12 + 22
= (h − 1)2 + (k − 1)2
(h + 2k − 3)2
= 5(h − 1)2
+ 5(k − 1)2
Resolvi´endo el sistema de ecuaciones, tenemos que: h = 3 y k = 5. Calculamos el radio utilizando la
distancia desde el centro al punto (1, 1). Luego, el radio es r =
√
20. Por lo tanto, la ecuaci´on de la
circunferencia queda determinada por:
(x − 3)2
+ (y − 5)2
= 20
22. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0, 2) y (7, 3). Hallar la ecuaci´on de dicha circunferencia.
Soluci´on: Sea (x − h)2 + (y − k)2 = 25 la ecuaci´on de la circunferencia pedida. Reemplazando los
puntos (0, 2) y (7, 3) y resolvi´endo el sistema de ecuaciones tenemos las siguientes soluciones:
(x − 4)2
+ (y + 1)2
= 25
(x − 3)2
+ (y − 6)2
= 25
23. Determinar el valor del par´ametro k tal que la recta 2x + 3y + k = 0 sea tangente a la circunferencia
x2 + y2 + 6x + 4y = 0.
Soluci´on: Completando cuadrados, tenemos que el centro de la circunferencia x2 + y2 + 6x + 4y = 0 es
(−3, −2) y r =
√
13. Utilizando la f´ormula ”Distancia Punto - Recta” se debe cumplir que:

8. d[(−3, −2) : 2x + 3y + k = 0] =
√
13
|k − 12|
√
13
=
√
13
|k − 12| = 13
k = 25 ∨ k = −1
24. Desde el punto A(−2, −1) se traza la tangente a la circunferencia x2 + y2 − 6x − 4y − 3 = 0. Si B es el
punto de tangencia, encuentre la longitud del segmento AB.
Soluci´on: Completando cuadrados, tenemos que el centro de la circunferencia x2 +y2 −6x−4y −3 = 0
es (3, 2) y r = 4. Utilizando Teorema de Pitagor´as, conclu´ımos que AB = 3
√
2.
25. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por el punto (6, 1) y es tangente a cada una de las rectas
4x − 3y + 6 = 0 y 12x + 5y − 2 = 0.
Soluci´on: Utilizando la f´ormula ”Distancia Punto - Recta” tenemos que:
d[(h, k) : 4x − 3y + 6 = 0] = d[(h, k) : 12x + 5y − 2 = 0]
|4h − 3k + 6|
5
=
|12h + 5k − 2|
13
Tomando la relaci´on: d[(h, k) : (6, 1)] = d[(h, k) : 4x − 3y + 6 = 0] y resolvi´endo el sistema de ecuaciones,
llegamos a las soluciones:
(x − 3)2
+ (k − 1)2
= 9
(x − 48)2
+ (y +
37
8
) =
114921
64
26. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por lo puntos (−3, −1), (5, 3) y es tangente a la recta
x + 2y − 13 = 0.
Soluci´on: Tomando la relaci´on: d[(h, k) : (−3, −1)] = d[(h, k) : (5, 3)], tenemos que 2h + k = 3.
Por otra parte, tomando la relaci´on d[(h, k) : (5, 3)] = d[(h, k) : x + 2y − 13 = 0] y resolvi´endo el sistema
de ecuaciones, tenemos las siguientes soluciones:
(x − 1)2
+ (k − 1)2
= 20
(x −
19
4
)2
+ (y +
13
2
) =
1445
16
27. Determinar la ecuaci´on de la circunferencia que es tangente a la recta 4x−3y −26 = 0 en el punto (5, −2)
y adem´as su centro se ubica en la recta de ecuaci´on y = x + 1.
Soluci´on: Como el centro (h, k) pasa por la recta y = x + 1, entonces se cumple que k = h + 1.
Por otra parte, entablamos la siguiente relaci´on:
d[(h, k) : (5, −2)] = d[(h, k) : 4x − 3y − 26 = 0]
(h − 5)2 + (k + 2)2 =
|4h − 3k − 26|
5
5(h − 5)2
+ 5(k + 2)2
= (4h − 3k − 26)2

9. Resolvi´endo el sistema de ecuaciones, llegamos a las siguientes soluciones:
(x + 11)2
+ (y + 10)2
= 320
x −
61
9
2
+ y −
70
9
=
8000
81
28. Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 + 2x + 4y − 15 = 0 y que pasa por
el punto de tangencia (1, 2).
Soluci´on: Completando cuadrados tenemos que el centro de la circunferencia es el punto (−1, −2).
La pendiente de la recta formada por (−1, −2) y (1, 2) es 2. Por lo tanto, la pendiente de nuestra recta
es −1
2. Reemplazando el punto (1, 2), tenemos que la recta pedida es y =
−x
2
+
5
2
.
29. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia tangente a las rectas x + y + 4 = 0, 7x − y + 4 = 0 y que tiene su
centro en la recta de ecuaci´on 4x + 3y − 2 = 0.
Soluci´on: Como el centro (h, k) pasa por la recta 4x+3y−2 = 0, entonces se cumple que 4h+3k−2 = 0.
Utilizando la f´ormula ”Distancia Punto - Recta” tenemos que:
d[(h, k) : x + y + 4 = 0] = d[(h, k) : 7x − y + 4 = 0]
|h + k + 4|
√
2
=
|7h − k + 4|
√
50
(h + k + 4)2
2
=
(7h − k + 4)2
50
Resolvi´endo el sistema de ecuaciones, llegamos a las siguientes soluciones:
(x + 4)2
+ (k − 6)2
= 18
(x − 2)2
+ (k + 2)2
= 88
30. Determine la ecuaci´on de la circunferencia de centro (0, −2) y que es tangente a la recta 5x−12y +2 = 0.
Soluci´on: Resuelto en Ejercicio 5.
31. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos P1(2, 3) y P2(−1, 1) con centro situado en
la recta x − 3y − 11 = 0.
Soluci´on: Como C(h, k) pasa por la recta x − 3y − 11 = 0, se cumple que h − 3k − 11 = 0. Uti-
lizando la f´ormula ”Distancia entre dos puntos” tenemos que:
d[(h, k) : (2, 3)] = d[(h, k) : (−1, 1)]
6h + 4k = 11
Resolvi´endo el sistema de ecuaciones, la ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por:
(x −
7
2
)2
+ (y +
5
2
) =
65
4

10. 32. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por (5, 9) y sea tangente a la recta x + 2y − 3 = 0 en el
punto (7, 2).
Soluci´on: Tomando la relaci´on: d[(h, k) : (5, 9)] = d[(h, k) : (1, 1)] y d[(h, k) : x + 2y − 3 = 0] =
d[(h, k) : (1, 1)], llegamos a la soluci´on:
(x − 3)2
+ (k − 5)2
= 20
33. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia de radio 10 tangente a la recta 3x − 4y − 13 = 0 en el punto (7, 2).
Soluci´on: Tomando las relaciones d[(h, k) : (7, 2)] = 10, d[(h, k) : 3x − 4y − 13 = 0] y resolvi´endo
el sistema de ecuaciones, llegamos a las soluciones:
(x − 13)2
+ (k + 6)2
= 100
(x − 1)2
+ (k − 10)2
= 100
34. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia conc´entrica a la circunferencia x2 + y2 − 4x + 6y − 17 = 0 que sea
tangente a la recta 3x − 4y + 7 = 0.
Soluci´on: Completando cuadrados, tenemos que el centro para ambas circunferencias es el punto
(2, −3). Calculamos el radio utilizando la f´ormula ”Distancia Punto - Recta”, tenemos que r = 5.
Luego, la ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por:
(x − 2)2
+ (y + 3)2
= 25
.
35. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia cuyo centro est´a sobre la recta 6x + 7y − 16 = 0 y que es tangente
a las rectas 8x + 15y + 7 = 0 y 3x − 4y − 18 = 0.
Soluci´on: Como el centro C(h, k) pasa por la recta 6x + 7y − 16 = 0, se cumple que: 6h + 7k − 16 = 0.
Utilizando la f´ormula ”Distancia Punto - Recta” tenemos que:
d[(h, k) : 8x + 15y + 7 = 0] = d[(h, k) : 3x − 4y − 18 = 0]
|8h + 15k + 7|
17
=
|3h − 4k − 18|
5
Resolvi´endo el sistema de ecuaciones, llegamos a las soluciones h = 3, k = −2
7 o h = 5, k = −2. Luego, la
ecuaci´on de la circunferencia queda determinada por:
(x − 3)2
+ (y +
2
7
) =
121
49
(x − 5)2
+ (k + 2)2
= 1