Aritmética i conj. numéricos

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Programa PSU UDP. Clase de Matemáticas.

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Aritmética i conj. numéricos

  1. 1. Aritmética I<br />ConjuntosNuméricos<br />Sebastián Lavanderos B.<br />
  2. 2. Contenidos<br /><ul><li>NúmerosNaturales
  3. 3. Números Cardinales
  4. 4. NúmerosEnteros
  5. 5. NúmerosRacionales
  6. 6. NúmerosIrracionales
  7. 7. NúmerosReales
  8. 8. Propiedades
  9. 9. Desafíos y ProblemasNuméricos</li></ul>2<br />
  10. 10. NúmerosNaturales<br />
  11. 11. NúmerosNaturales (IN)<br />IN = {1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8,…}<br />Todo IN tiene un sucesor (n+1).<br />Todo IN tiene un antecesor (n-1).<br /><ul><li>Excepto el 1.</li></ul>ConjuntoInfinito<br />4<br />
  12. 12. Pares e Impares<br />Pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14… 2n<br />Impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15… 2n-1<br />5<br />
  13. 13. Pares e Impares<br />Par + Par = Par<br />Par + Impar = Impar<br />Impar + Impar = Par<br />6<br />
  14. 14. NúmerosPrimos<br />Todos son númerosimpares (menos el 2).<br />Sólo se puedendescomponer en 1 y ellosmismos.<br />2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…<br />7<br />
  15. 15. Divisibilidad<br />Para saber si un número “x” es divisible por un número “y” aplicamos las siguientes reglas:<br />8<br />
  16. 16. Divisibilidad<br />2 - Su última cifra es un número par o el cero.<br />Ejemplo: <br />48 8 es par<br />90 termina en 0<br />54 4 es par<br />9<br />
  17. 17. Divisibilidad<br />3 – La suma de sus dígitos es múltiplo de 3.<br />Ejemplo: <br />42 4+2=6, y 6 es múltiplo de 3<br />10<br />
  18. 18. Divisibilidad<br />4 – Las 2 últimas cifras forman un múltiplo de 4, o sus 2 últimas cifras son 0.<br />Ejemplo: <br />708 8 es múltiplo de 4.<br />11<br />
  19. 19. Divisibilidad<br />5 – Termina en 5 ó 0.<br />Ejemplo: <br />80 termina en 0.<br />105 termina en 5.<br />12<br />
  20. 20. Divisibilidad<br />6 – El número es divisible por 2 y 3 a la vez.<br />Ejemplo: <br />42 es divisible por 2 (21) y por 3 (14).<br />13<br />
  21. 21. Divisibilidad<br />9 – La suma de sus cifras es múltiplo de 9.<br />Ejemplo: <br />3.699 la suma de sus cifras es múltiplo de 9 (3+6+9+9=27, es múltiplo de 9).<br />14<br />
  22. 22. Divisibilidad<br />10 – Termina en 0.<br />Ejemplo: <br />3.840<br />500<br />30<br />15<br />
  23. 23. Mínimo Común Múltiplo<br />Descomposición prima de todos los números.<br />Multiplicación de todos los factores.<br />El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación.<br />16<br />
  24. 24. Máximo Común Divisor<br />Se calcula entre 2 números.<br />Calculamos el M.C.M. y multiplicamos los factores que dividen a ambos números.<br />Corresponde al mayor nº. Que los divide sin dejar resto.<br />17<br />Sólo el 2 multiplica a ambos números, por lo tanto el M.C.D es 2.<br />
  25. 25. Operaciones en Naturales<br />Adición (a+b)<br />Clausura: a+b siempre pertenece a N.<br />Conmutativa: a+b = b+a<br />Asociativa a+(b+c)=(a+b)+c<br />No hay elemento neutro.<br />18<br />
  26. 26. Operaciones en Naturales<br />Sustracción (a-b)<br />a > b<br />19<br />
  27. 27. Operaciones en Naturales<br />Multiplicación (a * b)<br />Clausura<br />Conmutativa<br />Asociativa<br />Elemento Neutro: 1<br />20<br />
  28. 28. Operaciones en Naturales<br />División (a / b)<br />Sólo si a es divisible por b (no existen los decimales, por lo tanto el resto debe ser 0).<br />21<br />
  29. 29. Números Cardinales<br />
  30. 30. Números Cardinales<br />IN + 0.<br />Adición con elemento neutro.<br />Multiplicación absorbente (cualquier cosa multiplicada por 0 es 0).<br />División: a/b b ≠ 0.<br />23<br />
  31. 31. NúmerosEnteros<br />
  32. 32. Números Enteros<br />25<br />
  33. 33. Operaciones en Enteros<br />Adición (a+b)<br />Igual Signo: Se suman valores absolutos y se mantiene el signo.<br />Propiedades<br />Clausura, Conmutativa, Asociativa<br />Elemento Neutro: 0<br />Inverso Aditivo: El número a que sumado al número b da 0. Es el número con signo cambiado.<br />Ejemplo: Inverso aditivo de 3 = -3<br />26<br />
  34. 34. Operaciones en Enteros<br />Sustracción (a-b)<br />Concepto del Tengo(+) y Debo(-).<br />No es asociativa ni conmutativa.<br />Suma Ordenada.<br />Ejemplos:<br />7-4=3<br />4-7=-3<br />27<br />
  35. 35. Operaciones en Enteros<br />Sustracción (a-b) Método Analítico<br />Para restar enteros, cambia el signo en el entero que se va a restar.<br />Si los dos signos son positivos, el resultado será positivo.Ejemplo: 14 - (-6) = 14 + 6 = 20<br />Si los dos signos son negativos, el resultado será negativo.Ejemplo: -14 - (+6) = -14 - 6 = -20<br />Si los signos son distintos resta el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. El signo será el signo del entero que produjo el valor absoluto mayor. Ejemplo: 14 - (+6) = 14 - 6 = 8 Ejemplo: -14 - (-6) = -14 + 6 = -8<br />28<br />
  36. 36. Operaciones en Enteros<br />Multiplicación (a*b)<br />29<br />
  37. 37. Operaciones en Enteros<br />División (a:b)<br />30<br />
  38. 38. Prioridades<br />Paréntesis (del más interior, al más exterior).<br />Potencias<br />Multiplicaciones/Divisiones<br />Sumas/Restas<br />31<br />SIEMPRE de Izquierda a Derecha<br />
  39. 39. NúmerosRacionales<br />
  40. 40. Números Racionales (Q)<br />Se pueden escribir como fracción:<br />33<br />𝑎𝑏<br /> <br />numerador (dividendo)<br />denominador (divisor)<br />
  41. 41. Números Racionales (Q)<br />Ejemplos:<br />−0,25 ; −34 ; −11,5 ; −827 ; −9 ; 0,66666…<br /> <br />34<br />
  42. 42. Propiedades de las Fracciones<br />Amplificación: Multiplicación del numerador y denominador por el mismo factor<br />𝑎𝑏×𝑐𝑐<br />Simplificación: División del numerador y denominador por el mismo factor<br />𝑎𝑏÷𝑐𝑐<br /> <br />35<br />Estos procedimientos NO CAMBIAN el valor de una fracción<br />
  43. 43. Operatoria de Fracciones<br />Suma: 𝑎𝑏+𝑐𝑑=𝑎𝑑±𝑏𝑐𝑏𝑑<br />Producto: 𝑎𝑏×𝑐𝑑=𝑎𝑐𝑏𝑑<br />División: 𝑎𝑏÷𝑐𝑑=𝑎𝑏×𝑑𝑐=𝑎𝑑𝑏𝑐<br /> <br />36<br />
  44. 44. Número Mixto<br />Forma simplificada de escribir fracciones con numeradores muy grandes.<br />𝐴𝑏𝑐=𝐴𝑐+𝑏 𝑐<br /> <br />37<br />7∙23=143<br /> <br />No Confundir:<br />
  45. 45. Transformaciones de Racionales<br />De Fracción a Decimal:<br />Se divide el numerador por el denominador.<br />Ejemplo:<br />12=0,5<br /> <br />38<br />
  46. 46. Transformaciones de Racionales<br />De Decimal Finito a Fracción:<br />Se cuentan los decimales, el denominador de la fracción corresponde a tantos 0 como decimales tenga la fracción, con un 1 al principio.<br />El numerador es el número entero sin coma.<br />0,125=1251000         1,125=11251000  ó  11251000<br /> <br />39<br />
  47. 47. Transformaciones de Racionales<br />De Decimal Periódico a Fracción:<br />El numerador es el periodo.<br />El denominador son tantos 9 como cifras tenga el periodo.<br />Los números detrás de la coma se le suman a la fracción.<br />1,45=1+0,45=1+4599=14499<br /> <br />40<br />
  48. 48. Transformaciones de Racionales<br />De Decimal Semiperiódico a Fracción:<br />El Numerador es el número sin la coma menos lo que está antes del periodo.<br />El denominador es un número con tantos 9 como cifras tenga el periodo seguido de tantos 0 como cifras tenga el anteperiodo.<br />0,527=527−5990=522990=2955<br /> <br />41<br />
  49. 49. Comparación de Fracciones<br />Multiplicación Cruzada de las fracciones.<br />Se deja el resultado de la multiplicación en la fracción de la cual sacamos el numerador.<br />La fracción con número más grande es mayor que la otra.<br />211 𝑦317 ->2×17 ∧ 3×11 ->34∧33<br /> <br />42<br />
  50. 50. NúmerosIrracionales<br />
  51. 51. Números Irracionales<br />Decimales que no pueden ser expresados como una fracción.<br />Tienen infinitas cifras decimales, pero sin un periodo.<br />Ejemplos:<br />8125, 𝜋<br /> <br />44<br />
  52. 52. NúmerosReales<br />
  53. 53. Definición<br />Unión de los conjuntos Racional e Irracional.<br />Recta numérica en su máxima expresión de infinidad.<br />46<br />
  54. 54. Diagrama de Conjuntos<br />47<br />
  55. 55. Desafíos y ProblemasNuméricos<br />
  56. 56. Cuadrados Mágicos<br />Cuadrículas de 3x3, 4x4, 5x5… n x n.<br />Todas las sumas de sus números (verticales, horizontales o diagonales) tienen el mismo resultado: La Constante Mágica (K).<br />49<br />
  57. 57. Regularidades Numéricas<br />Secuencias numéricas que cumplen un patrón.<br />12,23,34,45,56,… <br />Numerador y Denominador: Aumenta de 1 en 1.<br />𝑛𝑛+1<br />Donde n va a ser el número del término en la secuencia.<br /> <br />50<br />
  58. 58. Ejercicios<br />
  59. 59. Ejercicios<br />El valor de la siguiente expresión corresponde a:<br />13+3615+615<br />56<br />915<br /> <br />52<br />2518<br />6554<br /> <br />8063<br /> <br />
  60. 60. Ejercicios<br />Si –P es un entero negativo:<br />P es un entero positivo.<br />P ∈ IN<br />P < -P<br />Sólo I<br />Sólo II<br />Sólo III<br />I y II<br />I, II y III<br /> <br />53<br />
  61. 61. Ejercicios<br />De la siguientes aseveraciones:<br />24, 36, 48, 96 son múltiplos comunes de 2, 4 y 8, siendo 24 el MCM.<br />El que un número sea natural nos asegura totalmente que también es entero, sin embargo, lo inverso no es siempre cierto.<br />El MCD entre 6, 9, 12 y 15 es 3.<br />Sólo II<br />I y II<br />I y III<br />II y III<br />I, II y III<br />54<br />
  62. 62. Ejercicios<br />¿Cuál(es) de los siguientes números está(n) entre 13 𝑦12?<br />0,4<br />0,2<br />1327<br />Sólo I<br />Sólo II<br />Sólo III<br />I y III<br />II y III<br /> <br />55<br />
  63. 63. ¿Dudas?<br />

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