Seminários do grupo de dinâmica não-linear da UFABC

1. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Dinˆmica estoc´stica em neurociˆncia te´rica
a
a
e
o
Leandro A. da Silva
P´s-doutorado FAPESP/CMCC-UFABC
o
Supervisor: Rafael D. Vilela
Semin´rios do grupo de dinˆmica n˜o-linear
a
a
a
11 de Dezembro de 2013

2. Outline
Introdu¸˜o
ca
1
Introdu¸˜o
ca
2
Motiva¸˜es
co
3
Alguns resultados
4
Outros interesses
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses

3. Outline
Introdu¸˜o
ca
1
Introdu¸˜o
ca
2
Motiva¸˜es
co
3
Alguns resultados
4
Outros interesses
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses

4. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Abordagens te´ricas:
o
Qual escala?
1 neurˆnio
o
Hodgkin-Huxley
FitzHugh-Nagumo
Integrate-and-fire
Passive cable
N neurˆnios
o
Intera¸˜es numa rede discreta finita
co
campos neurais
classe de modelos tipo Wilson-Cowan
Outros interesses

5. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Abordagens te´ricas:
o
Qual escala?
1 neurˆnio
o
Hodgkin-Huxley
FitzHugh-Nagumo
Integrate-and-fire
Passive cable
N neurˆnios
o
Intera¸˜es numa rede discreta finita
co
campos neurais
classe de modelos tipo Wilson-Cowan
Conex˜es entre as abordagens?
o
Outros interesses

6. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Modelos te´ricos:
o
Modelo integra-e-dispara:
τ
dv(t)
= −v(t) + I(t)
dt
Passive cable model:
τ
∂ 2 v(x, t)
∂v(x, t)
= λ2
− v(x, t)
∂t
∂x2
Campos neurais
τ
∂φ(x, t)
= −φ(x, t) +
∂t
∞
dx w(x − x )f φ x , t
−∞
Outros interesses

7. Outline
Introdu¸˜o
ca
1
Introdu¸˜o
ca
2
Motiva¸˜es
co
3
Alguns resultados
4
Outros interesses
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses

8. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Movimento browniano
Em 1827, Robert Brown publica: “A brief account of
microscopical observations made in the months of June, July,
and August, 1827, on the particles contained in the pollen of
plants and on the general existence of active molecules in
organic and inorganic bodies”

9. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Movimento browniano
Computacionalmente invi´vel tratar a dinˆmica levando em
a
a
conta as in´meras colis˜es
u
o

10. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Movimento browniano
Computacionalmente invi´vel tratar a dinˆmica levando em
a
a
conta as in´meras colis˜es
u
o
Dinˆmica efetiva: Paul Langevin, 1908
a
F = ma

11. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Movimento browniano
Computacionalmente invi´vel tratar a dinˆmica levando em
a
a
conta as in´meras colis˜es
u
o
Dinˆmica efetiva: Paul Langevin, 1908
a
F = ma = −ηv

12. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Movimento browniano
Computacionalmente invi´vel tratar a dinˆmica levando em
a
a
conta as in´meras colis˜es
u
o
Dinˆmica efetiva: Paul Langevin, 1908
a
√
F = ma = −ηv+ 2T R(t)

13. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Movimento Browniano
De forma mais geral:
dp
dt
dx
dt
= −
=
∂V
− ηp + R(t)
∂x
p
,
m
Propriedades do ru´ branco ⇒ Teorema de flutua¸˜o-dissipa¸˜o
ıdo
ca
ca
cl´ssico
a
R(t) = 0
e
R(t)R(t ) = 2kB T ηδ(t − t )

14. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Movimento browniano
Mecˆnica newtoniana: apenas um caso particular de sistema
a
dinˆmico
a

15. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Movimento browniano
Mecˆnica newtoniana: apenas um caso particular de sistema
a
dinˆmico
a
Aspecto mais sutil e geral por tr´s desse procedimento?
a
Coarse-graining: distin¸˜o e separa¸˜o entre sistema e
ca
ca
ambiente
Posi¸˜o da part´
ca
ıcula → outra grandeza dinˆmica
a
Temperatura → intensidade do ru´
ıdo
Viscosidade → grandeza que fixa uma escala de tempo

16. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Ru´ neural
ıdo
Principais fontes de flutua¸˜es na dinˆmica neural:
co
a
Abertura e fechamento de canais iˆnicos
o
Libera¸˜o de neurotransmissores pelas sinapses
ca
Entradas sin´pticas provenientes do “ambiente” (∼ 104
a
jun¸˜es sin´pticas por neurˆnio)
co
a
o
Outros interesses

17. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Ru´ neural
ıdo
Principais fontes de flutua¸˜es na dinˆmica neural:
co
a
Abertura e fechamento de canais iˆnicos
o
Libera¸˜o de neurotransmissores pelas sinapses
ca
Entradas sin´pticas provenientes do “ambiente” (∼ 104
a
jun¸˜es sin´pticas por neurˆnio)
co
a
o
τ
√
dv(t)
= g(v) + I(t) + σ 2τ η(t)
dt
Outros interesses

18. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Modelos de intera¸˜o sistema-banho
ca
Problema: deriva¸˜es mais real´
co
ısticas → efeitos de mem´ria e
o
ru´ colorido
ıdo
Exemplo 1:

19. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Modelos de intera¸˜o sistema-banho
ca
Problema: deriva¸˜es mais real´
co
ısticas → efeitos de mem´ria e
o
ru´ colorido
ıdo
Exemplo 1:
Modelo de Caldeira-Leggett (1983) :
Sistema (q) em intera¸˜o com um banho (xα , α = 1, . . . , N ) :
ca
H=
1
p2
+ V (q) +
2
2
N
α=1
p2
cα
α
+ mα ωα xα −
F (q)
2
mα
mα ωα
2
Tomando a intera¸˜o sistema-banho como sendo linear (∼ qxα
ca
⇒ F (q) = q e eliminando os graus de liberdade do banho:

20. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Modelos de intera¸˜o sistema-banho
ca
t
dt Λ(t − t )q(t ) + V [q(t)] = ξ(t)
˙
q (t) +
¨
0
Λ(t − t ) = Θ(t − t )
1
M
N
α=1
c2
α
cos(ωα t)
2
mα ωα
⇒ Equa¸˜o n˜o-Markoviana (kernel n˜o-local Λ(t − t ), possui
ca a
a
mem´ria da hist´ria passada) com ru´ gaussiano e colorido:
o
o
ıdo
ξ(t)
(0)
ρB
= 0,
ξ(t)ξ(t )
(0)
ρB
= kB T Λ(t − t )

21. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Modelos de intera¸˜o sistema-banho
ca
Exemplo 2 1 :
Cosmologia do universo primordial:
S[φ, χ, σ] =
−
d4 x
1
1
λ
1
(∂µ φ)2 − m2 φ2 − φ4 + (∂µ χ)2
2
2 φ
4!
2
1
g2
1 2 2 1
mχ χ + (∂µ σ)2 − m2 σ 2 − φ2 χ2 − f χσ 2 .
σ
2
2
2
2
φ → campo cl´ssico em cuja dinˆmica estamos interessados
a
a
χ → campo intermedi´rio que se acopla ` σ e φ
a
a
σ → campo em equil´
ıbrio t´rmico ` temperatura T
e
a
1
Rep. Prog. Phys. 72,026901(2009)

22. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Modelos de intera¸˜o sistema-banho
ca
Procedimento: integrar funcionalmente os campos χ e σ.
Situa¸˜es fora do equil´
co
ıbrio → Formalismo de tempo real
Equa¸˜o de movimento efetiva (aproxima¸˜o homogˆnea):
ca
ca
e
d2 φc (t) dVeff (φc )
+
+ φc (t)
dt2
dφc
= φc (t) ξ (t) ,
onde
t
˙
dt φc (t )φc (t )Kχ (t − t )
−∞
1
λ
Veff (φc ) = m2 φ2 + φ4
φ c
2
4! c

23. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Modelos de intera¸˜o sistema-banho
ca
ξ(t)ξ(t )
= 2g 4
d3 q
1
{2nχ [1 + nχ ] +
3 4ω 2 (q)
(2π)
χ
+
[1 + 2nχ + 2n2 ] cos 2ωχ |t − t | +
χ
+
2βΓχ (q)nχ [1 + nχ ][1 + 2nχ ] sin[2ωχ |t − t |] ×
× e−2Γχ (q)|t−t | + O g 4
Γ2
χ
T2
≡ N (t, t ) .

24. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Id´ia central 1:
e
Inserir nos modelos fenomenol´gicos neurais efeitos de ru´
o
ıdo
colorido em conjunto com um feedback distribu´ (mem´ria),
ıdo
o
o que parece ser a situa¸˜o f´
ca ısica mais real´
ıstica.

25. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Id´ia central 1:
e
Inserir nos modelos fenomenol´gicos neurais efeitos de ru´
o
ıdo
colorido em conjunto com um feedback distribu´ (mem´ria),
ıdo
o
o que parece ser a situa¸˜o f´
ca ısica mais real´
ıstica.
O que ´ esperado? Dado um conjunto de parˆmetros que
e
a
caracteriza o sistema e o ambiente, a aproxima¸˜o markoviana
ca
pode ou n˜o ser satisfat´ria:
a
o

26. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Aproxima¸˜o markoviana
ca
Equa¸˜o de movimento n˜o-markoviana:
ca
a
t
d2
˙
φ(t) + V (φ) + φn (t)
dt K(t − t )φn (t )φ(t )
dt2
t0
= φn (t)ξ(t) .
Aproxima¸˜o markoviana:
ca
t
φn (t)
˙
dt K(t − t )φn (t ) φ(t )
˙
φ2n (t) φ(t)
t
dt K(t − t )
t0 →−∞
t0
˙
→ Q φ2n (t) φ(t) .
Equa¸˜o de movimento markoviana:
ca
λ
¨
˙
φ(t) + Q φ2n (t) φ(t) + m2 φ + φ3 = φn (t) ξ(t)
φ
6

27. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Tipos de ru´
ıdo
KOU (t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: decaimento
exponencial
KH (t − t ) ≡ Kernel harmˆnico: decaimento exponencial
o
KOU (t − t ) + KH (t − t )
etc

28. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Tipos de ru´
ıdo
KOU (t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: decaimento
exponencial
KH (t − t ) ≡ Kernel harmˆnico: decaimento exponencial
o
KOU (t − t ) + KH (t − t )
etc

29. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Tipos de ru´
ıdo
KOU (t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: decaimento
exponencial
KH (t − t ) ≡ Kernel harmˆnico: decaimento exponencial
o
KOU (t − t ) + KH (t − t )
etc
Equa¸˜o de movimento mais geral:
ca
¨
φ(t) + V (φ) =
1
t
φn (t) ξl (t) −
n=0
l
˙
dt Kl (t − t )φn (t )φ(t )
t0
Ru´ colorido:
ıdo
ξl (t)ξl (t ) = T Kl (t − t ) ,
.

30. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Compara¸˜o entre as dinˆmicas markoviana e
ca
a
n˜o-markoviana
a
Ex: Caso OU aditivo
Equa¸˜o de Movimento
ca
λ
¨
φ(t) + m2 φ + φ3 = ξOU (t) −
φ
6
t
˙
dt KOU (t − t )φ(t ) ,
0
correspondente sistema local
˙
φ = y
wO+
˙
λ 3
φ + ξ0U + wO+
6
= −γwO+ − KOU (0)y
˙
ξOU
= −γ ξOU −
y = −m2 φ −
˙
φ
2T Qζ .

31. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Caso OU aditivo: (a) γ = 0, 5, (b) γ = 1, 0 e (c) γ = 5, 0
Outros interesses

32. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Caso harmˆnico aditivo: (a) γ = 0, 1, (b) γ = 0, 3 e (c) γ = 0, 5
o
Outros interesses

33. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Id´ia central 2: Efeitos da n˜o-linearidade
e
a
Como a discrepˆncia entre as dinˆmicas markoviana
a
a
e n˜o-markoviana ´ afetada pela n˜o-linearidade do
a
e
a
seu potencial?

34. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Id´ia central 2: Efeitos da n˜o-linearidade
e
a
Como a discrepˆncia entre as dinˆmicas markoviana
a
a
e n˜o-markoviana ´ afetada pela n˜o-linearidade do
a
e
a
seu potencial?
φ2 λ 4
V (φ) = m + φ
2
4
∆φ = φ
non−Markovian
− φ
Markovian
Fixando η = 1.0, T = 1.0, Ω0 = 1.0, m2 = 1.0 e
γ = 0.5 (caso EDH).

35. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Efeitos da n˜o-linearidade: caso harmˆnico
a
o
Figure : Painel esquerdo: ru´ aditivo. Painel direito: ru´
ıdo
ıdo
multiplicativo
Outros interesses

36. Outline
Introdu¸˜o
ca
1
Introdu¸˜o
ca
2
Motiva¸˜es
co
3
Alguns resultados
4
Outros interesses
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses

37. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Modelo integra-e-dispara
Proposta de generaliza¸˜o:
ca
1
t
v n (t) ξl (t) −
λ¨(t)−g(v(t)) = I(t)+
v
n=0
l
dt Kl (t − t )v n (t )v(t )
˙
t0
Principais motiva¸˜es decorrentes:
co
ressonˆncia estoc´stica
a
a
mecanismos de bifurca¸˜o
ca
efeito de entradas sin´pticas em diferentes escalas de tempo
a
caracter´
ısticas

38. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
O papel do ru´
ıdo
Ru´ ´ sempre algo destrutivo, delet´rio, que induz ` desordem?
ıdo e
e
a

39. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
O papel do ru´
ıdo
Ru´ ´ sempre algo destrutivo, delet´rio, que induz ` desordem?
ıdo e
e
a
Resposta: N˜o!
a
Na F´
ısica:
Ressonˆncia estoc´stica
a
a
Coerˆncia estoc´stica
e
a
Indu¸˜o de auto-organiza¸˜o
ca
ca
etc

40. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
O papel do ru´
ıdo
Ru´ ´ sempre algo destrutivo, delet´rio, que induz ` desordem?
ıdo e
e
a
Resposta: N˜o!
a
Na F´
ısica:
Ressonˆncia estoc´stica
a
a
Coerˆncia estoc´stica
e
a
Indu¸˜o de auto-organiza¸˜o
ca
ca
etc
E em sistemas biol´gicos?
o

41. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
O papel do ru´
ıdo
Ressonˆncia estoc´stica em dinˆmica neural:
a
a
a
Aumento da sensibilidade de um dado sistema a sinais
externos peri´dicos quando se ajusta um n´ ´timo de ru´
o
ıvel o
ıdo

42. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
O papel do ru´
ıdo
Ressonˆncia estoc´stica em dinˆmica neural:
a
a
a
Aumento da sensibilidade de um dado sistema a sinais
externos peri´dicos quando se ajusta um n´ ´timo de ru´
o
ıvel o
ıdo
Sistema → detector de sinais melhorado pelo aux´ de
ılio
flutua¸˜es
co

43. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
O papel do ru´ - Nature, 1993
ıdo
Alguns resultados
Outros interesses

44. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
O papel do ru´ - PRL, 1996
ıdo
Alguns resultados
Outros interesses

45. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
O papel do ru´ - J. Neurosci., 2011
ıdo
Outros interesses

46. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Integra-e-dispara n˜o-markoviano
a
Quest˜o 1: mecanismo de ressonˆncia estoc´stica sobrevive a uma
a
a
a
formula¸˜o mais real´
ca
ıstica?
t
λ¨(t) +
v
√
dt KOU (t − t )v(t ) − g(v(t)) = I(t) + σ 2τ ξOU (t) ,
˙
t0
KOU (t − t ) = τ e−τ (t−t )
√
˙
ξOU = −τ ξOU − 2ση

47. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Integra-e-dispara n˜o-markoviano
a
Alguns resultados
Outros interesses

48. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Integra-e-dispara n˜o-markoviano
a
Intensidade do noise dependente do tempo: σ(t) = t/200
Outros interesses

49. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Integra-e-dispara n˜o-markoviano
a
Alguns resultados
Outros interesses

50. Outline
Introdu¸˜o
ca
1
Introdu¸˜o
ca
2
Motiva¸˜es
co
3
Alguns resultados
4
Outros interesses
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses

51. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Neurˆnios como um continuum
o
Modelo padr˜o:
a
τ
∂φ(x, t)
= −φ(x, t) +
∂t
∞
dx w(x − x )f φ x , t
−∞
τ → tempo caracter´
ıstico de decaimento da sinapse
w(x − x ) → intensidade das conex˜es entre neurˆnios
o
o
separados por uma distˆncia d ≡ x − x
a
f → fun¸˜o taxa m´dia de disparos
ca
e
Outros interesses

52. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Neurˆnios como um continuum
o
Poss´ generaliza¸˜o2 :
ıvel
ca
τ
∂
φ(x, t) =−V (φ) +
∂t
∞
dx w(x − x )f (φ(x , t))
−∞
1/2
1/2
+ση g(φ)η(x, t) + σξ h(φ)ξ(x, t)
+σζ ζ(x, t)
2
Bressloff and Webber - SIAM J. Appl. Dyn. Syst (2012);
Hutt, Longtin and Schimansky-Geier - Physica D (2008)
Outros interesses

53. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Neurˆnios como um continuum - Motiva¸oes:
o
c˜
Estudar forma¸˜o de padr˜es espaciais
ca
o
Dinˆmica de rivalidade monocular e binocular:
a
multistabilidade 3
3
Webber and Bressloff: The effects of noise on binocular rivalry waves: a
stochastic neural field model. Journal of Statistical Mechanics: Theory and
Experiment, 2013(03)

54. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Forma¸˜o de padr˜es espaciais
ca
o
Linearizando, tomando a transformada de Fourier, usando o
teorema de Novikov e a defini¸˜o de fun¸˜o de estrutura,
ca
ca
∞
S(k, t) = −∞ dk δ ϕ(k, t)δ ϕ(k , t) :
¯
¯
Sst (k) =
1
τ
g(ϕ )2 ση + h(ϕ )2 σξ + σζ
V (ϕ ) − f (ϕ )w(k) −
¯
1 −r/σ
e
,
2σ
w(r) = e−r − λe−r/σ
ση g (ϕ )2
τ ∆x
−
σξ h (ϕ )2
τ ∆x
w(r) =
and
w(r) = Θ(σ − r)/(2σ) , where r ≡ |x − x |.
f (φ) =
1
1+
e−γ(φ−θ)
2
, and f (φ) = 1 − e−γ(φ−θ) .
.

55. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Alguns resultados
Outros interesses
Forma¸˜o de padr˜es espaciais: w(r) = e−r − λe−r/σ
ca
o

56. Outline
Introdu¸˜o
ca
Motiva¸˜es
co
Forma¸˜o de padr˜es espaciais: w(r) =
ca
o
Alguns resultados
1 −r/σ
2σ e
Outros interesses
× w(r) = Θ(σ − r)/(2σ)