Defesa de dissertação

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Defesa de dissertação

  1. 1. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos eAplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´arioLeandro Alexandre da SilvaOrientador: Prof. Dr. Rudnei O. RamosUniversidade do Estado do Rio de JaneiroIFADT - PPGF12/03/2009Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  2. 2. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisTrabalhos resultantesR. L. S. Farias, R. O. Ramos and L. A. da Silva, NumericalSolutions for non-Markovian Stochastic Equations of MotionComp. Phys. Comm. 180, 574 (2009).R. L. S. Farias, R. O. Ramos and L. A. da Silva, Langevinsimulations with colored noise and non-Markovian dissipation,Braz. J. Phys. 38,499 (2008).R. L. S. Farias, L. A. da Silva and R. O. Ramos,Non-Markovian stochastic Langevin equations: Markovian andnon-Markovian dynamics, submetido para publica¸c˜ao.R. L. S. Farias, L. A. da Silva and R. O. Ramos, Inflation withNonMarkovian Dissipation and Noise: Conditions for WarmInflation , em fase final de reda¸c˜ao.Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  3. 3. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios Finais1 Motiva¸c˜ao2 Objetivos3 Implementa¸c˜ao Num´erica4 Dinˆamica N˜ao-markoviana × markoviana5 Aplica¸c˜ao `a infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica6 Coment´arios FinaisProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  4. 4. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUm Breve Hist´oricoOrigens da F´ısica fora do equil´ıbrio:1827: Movimento Browniano observado de forma sistem´atica(R. Brown)1904: Primeira descri¸c˜ao bem fundamentada (A. Einstein) →eq. Fokker-Planck1908: Abordagem focada na trajet´oria da part´ıcula (P.Langevin) → Inclus˜ao de um termo estoc´astico na segunda leide NewtonProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  5. 5. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUm Breve Hist´oricoOrigens da F´ısica fora do equil´ıbrio:1827: Movimento Browniano observado de forma sistem´atica(R. Brown)1904: Primeira descri¸c˜ao bem fundamentada (A. Einstein) →eq. Fokker-Planck1908: Abordagem focada na trajet´oria da part´ıcula (P.Langevin) → Inclus˜ao de um termo estoc´astico na segunda leide NewtonAbordagens equivalentesAbordagens gerais → Processos Markovianos e cont´ınuosEq. de Langevin → apenas um caso particular de eq.diferencial estoc´asticaAplica¸c˜oes de eqs. tipo Langevin: Biologia, Qu´ımica,Economia...Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  6. 6. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisImportˆancia dentro da F´ısicaPor que equa¸c˜oes tipo Langevin s˜ao importantes na F´ısica?Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  7. 7. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisImportˆancia dentro da F´ısicaPor que equa¸c˜oes tipo Langevin s˜ao importantes na F´ısica?Sistemas na natureza = isolados↓Intera¸c˜ao com um meio, p.ex um banho t´ermico↓Intera¸c˜ao conduz `a dissipa¸c˜ao e efeitos estoc´asticos↓Dinˆamica via eq. tipo LangevinProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  8. 8. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioO modelo cosmol´ogico padr˜ao (MCP)Princ´ıpio Cosmol´ogico:HomogeneidadeIsotropiaElemento de linhads2= dt2− a(t)2 dr21 − kr2+ r2(dθ2+ sin2θdφ2)Gµν =8πm2plTµννTµν= 0Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  9. 9. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioEqua¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  10. 10. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioEqua¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Equa¸c˜ao de Acelera¸c˜ao:¨aa= −4π3m2pl i(1 + 3ωi )ρiEqua¸c˜ao de Estado:pi = ωi ρiProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  11. 11. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioEqua¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Conserva¸c˜ao de Energia˙ρi = −3H(ρi + pi )Equa¸c˜ao de Acelera¸c˜ao:¨aa= −4π3m2pl i(1 + 3ωi )ρiEqua¸c˜ao de Estado:pi = ωi ρiProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  12. 12. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioEqua¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Conserva¸c˜ao de Energia˙ρi = −3H(ρi + pi )Parˆametro de densidadeΩi = ρi /ρcEqua¸c˜ao de Acelera¸c˜ao:¨aa= −4π3m2pl i(1 + 3ωi )ρiEqua¸c˜ao de Estado:pi = ωi ρiProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  13. 13. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioEqua¸c˜oes fundamentais do MCP:Equa¸c˜ao de Friedmann:H2=8π3m2pl iρi −κa2Conserva¸c˜ao de Energia˙ρi = −3H(ρi + pi )Parˆametro de densidadeΩi = ρi /ρcEqua¸c˜ao de Acelera¸c˜ao:¨aa= −4π3m2pl i(1 + 3ωi )ρiEqua¸c˜ao de Estado:pi = ωi ρiDensidade Cr´ıticaρc =3m2pl8πH2Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  14. 14. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioId´eias B´asicas:Corrige falhas do MCPProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  15. 15. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioId´eias B´asicas:Corrige falhas do MCPProblema: ¨a(t) > 0¨aa= −4π3m2pl(ρ + 3p) → ω < −13Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  16. 16. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioId´eias B´asicas:Corrige falhas do MCPProblema: ¨a(t) > 0¨aa= −4π3m2pl(ρ + 3p) → ω < −13Solu¸c˜ao: usar um campo escalar (inflaton) para prover aexpans˜ao aceleradaProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  17. 17. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioId´eias B´asicas:Corrige falhas do MCPProblema: ¨a(t) > 0¨aa= −4π3m2pl(ρ + 3p) → ω < −13Solu¸c˜ao: usar um campo escalar (inflaton) para prover aexpans˜ao aceleradaTransi¸c˜ao de fase p˜oe o inflaton em equil´ıbrio inst´avel:Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  18. 18. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  19. 19. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao Fria:Inflaton ´e um campo livreProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  20. 20. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao Fria:Inflaton ´e um campo livredo MCP: fase de radia¸c˜ao precede a domina¸c˜ao por mat´eriaProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  21. 21. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao Fria:Inflaton ´e um campo livredo MCP: fase de radia¸c˜ao precede a domina¸c˜ao por mat´eriaProblema: sem intera¸c˜ao → sem radia¸c˜aoSolu¸c˜ao: postula-se uma fase de reaquecimento para conduzir`a domina¸c˜ao por radia¸c˜aoProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  22. 22. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao Fria:Inflaton ´e um campo livredo MCP: fase de radia¸c˜ao precede a domina¸c˜ao por mat´eriaProblema: sem intera¸c˜ao → sem radia¸c˜aoSolu¸c˜ao: postula-se uma fase de reaquecimento para conduzir`a domina¸c˜ao por radia¸c˜aoEqua¸c˜oes b´asicas:¨φ(t) + 3H(t) ˙φ = −V (φ)ρφ =12˙φ2+ V (φ) , pφ =12˙φ2− V (φ)ωφ ≡12˙φ2− V (φ)12˙φ2 + V (φ).Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  23. 23. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao Fria:Quanta infla¸c˜ao?N ≡ lna(tf )a(ti )> 60 ,Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  24. 24. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao Fria:Quanta infla¸c˜ao?N ≡ lna(tf )a(ti )> 60 ,↓Restri¸c˜oes sobre a forma do potencial:(φ) ≡m2pl16πVV21 ,|η(φ)| =m2pl8πVV1 .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  25. 25. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao Fria:Eqs aproximadas:3H ˙φ = −V (φ) ,H2=8π3m2plV (φ) .V (φ) =m22φ2.a(t) = a0 exp4π3mmplφ0 −mmpl t√48πt .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  26. 26. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica (warm inflation):Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  27. 27. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica (warm inflation):Id´eias b´asicas s˜ao as mesmasInflaton interage com outros campos → produ¸c˜ao de radia¸c˜aoProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  28. 28. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica (warm inflation):Id´eias b´asicas s˜ao as mesmasInflaton interage com outros campos → produ¸c˜ao de radia¸c˜aoN˜ao necessita de uma fase de reaquecimentoTransi¸c˜ao “suave” para a fase de radia¸c˜aoProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  29. 29. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica (warm inflation):Id´eias b´asicas s˜ao as mesmasInflaton interage com outros campos → produ¸c˜ao de radia¸c˜aoN˜ao necessita de uma fase de reaquecimentoTransi¸c˜ao “suave” para a fase de radia¸c˜aoA. Berera and L. Z. Fang,Phys. Rev. Lett. 74, 1912 (1995):dinˆamica do inflaton → equa¸c˜ao tipo Langevin¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,¨a = −8π3m2plρr + ˙φ2− V (φ) a ,˙ρφ = −3˙aa˙φ2− Υ ˙φ2+ ν ˙φ , ˙ρr = −4˙aaρr + Υ ˙φ2− ν ˙φ .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  30. 30. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica (warm inflation):(Berera, Moss e Ramos, Rep. Prog. Phys.72, 026901 (2009))Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  31. 31. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica (warm inflation):¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  32. 32. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica (warm inflation):¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,A equa¸c˜ao de movimento derivada microscopicamente possuiessa forma?Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  33. 33. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisUniverso Inflacion´arioInfla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica (warm inflation):¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,A equa¸c˜ao de movimento derivada microscopicamente possuiessa forma?N˜AO!!Eq. derivada via TQC: eq. de Langevin generalizadaEq. fenomenol´ogica: tipo LangevinProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  34. 34. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisMovimento BrownianoEq. de Langevin para uma part´ıcula browniana de massa m:dpdt= −∂V∂x− ηp + R(t)dxdt=pm,Propriedades do ru´ıdo branco ⇒ Teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜aocl´assicoR(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  35. 35. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisModelos de intera¸c˜ao sistema-banhoProblema: deriva¸c˜oes mais realistas → dissipa¸c˜ao n˜ao-Markoviana(mem´oria) e ru´ıdo coloridoProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  36. 36. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisModelos de intera¸c˜ao sistema-banhoProblema: deriva¸c˜oes mais realistas → dissipa¸c˜ao n˜ao-Markoviana(mem´oria) e ru´ıdo coloridoExemplo:Modelo de Caldeira-Leggett (mec. estat´ıstica)Sistema (q) em intera¸c˜ao com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :H =p22+ V (q) +12Nα=1p2αmα+ mαωα xα −cαmαω2αF(q)2Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  37. 37. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisModelos de intera¸c˜ao sistema-banhoProblema: deriva¸c˜oes mais realistas → dissipa¸c˜ao n˜ao-Markoviana(mem´oria) e ru´ıdo coloridoExemplo:Modelo de Caldeira-Leggett (mec. estat´ıstica)Sistema (q) em intera¸c˜ao com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :H =p22+ V (q) +12Nα=1p2αmα+ mαωα xα −cαmαω2αF(q)2Tomando a intera¸c˜ao sistema-banho como sendo linear (∼ qxα⇒ F(q) = q e eliminando os graus de liberdade do banho:Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  38. 38. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisModelos de intera¸c˜ao sistema-banho¨q(t) +t0dt Λ(t − t )˙q(t ) + V [q(t)] = ξ(t)Λ(t − t ) = Θ(t − t )1MNα=1c2αmαω2αcos(ωαt)⇒ Equa¸c˜ao n˜ao-Markoviana (kernel n˜ao-local Λ(t − t ), possuimem´oria da hist´oria passada) com ru´ıdo gaussiano e colorido:ξ(t) ρ(0)B= 0, ξ(t)ξ(t ) ρ(0)B= kBTΛ(t − t )Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  39. 39. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposExemplo:S[φ, χ, σ] = d4x12(∂µφ)2−12m2φφ2−λ4!φ4+12(∂µχ)2−12m2χχ2+12(∂µσ)2−12m2σσ2−g22φ2χ2− f χσ2.φ → campo cl´assico em cuja dinˆamica estamos interessadosχ → campo intermedi´ario que se acopla `a σ e φσ → campo em equil´ıbrio t´ermico `a temperatura TProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  40. 40. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposProcedimento: integrar funcionalmente os campos χ e σ.Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  41. 41. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposProcedimento: integrar funcionalmente os campos χ e σ.Situa¸c˜oes fora do equil´ıbrio → Formalismo de tempo realSeff [φ] = S[φ] + ∆S[φ] ,Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  42. 42. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposA¸c˜ao efetiva em termos de φc = 12φ+ + 12φ− e φ∆ = φ+ − φ−:Seff [φ∆, φc] = S[φ∆, φc]− g2d4xφ∆(x)φc(x)d3k(2π)31 + 2nχωχ−g42d4xd4x φ∆(x)φc(x)φ2∆(x )+ 4φ∆(x)φc(x)φ2c(x ) Im G++χ2x,xθ(t − t ) ++ ig4d4xd4x φ∆(x)φc(x)φ∆(x )φc(x )Re G++χ2x,x,Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  43. 43. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposG++χ2x,x≡d3k(2π)3eik(x−x )×d3q(2π)3G++χ q, t − t G++χ q − k, t − t ,G++χ (q, t − t ) → propagador f´ısico de χ que incorpora ascorre¸c˜oes de auto-energia, devido a primeira integra¸c˜ao funcionalsobre σ.G++χ q, t − te−Γχ(q)|t−t |ωχ (q)× (1 + 2nχ) cos ωχ t − t − i sin ωχ t − t+ 2βΓχ (q) nχ (1 + nχ) sin ωχ t − t + OΓ2χT2Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  44. 44. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposΓχ (q) → largura de decaimento (χ → 2σ) vindo do termo deintera¸c˜ao entre χ e σΓχ (q) = −ImΣ (q)2ωχ (q),Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  45. 45. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposΓχ (q) → largura de decaimento (χ → 2σ) vindo do termo deintera¸c˜ao entre χ e σΓχ (q) = −ImΣ (q)2ωχ (q),Termo imagin´ario na a¸c˜ao efetiva → reescrever em termos de umcampo ξ estoc´astico (Hubbard-Stratonovich):Distribui¸c˜ao gaussianaP[ξ] = N−1exp −12d4xd4x ξ(x) 2g4Re G++χ2x,x−1ξ(x ) .Fun¸c˜ao de correla¸c˜aoξ(x)ξ(x ) = 2g4Re G++χ2x,x,Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  46. 46. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposEqua¸c˜ao de Movimento Efetivaδδφ∆Seff [φ∆, φc, ξ]φ∆=0= 0 .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  47. 47. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposEqua¸c˜ao de Movimento Efetivaδδφ∆Seff [φ∆, φc, ξ]φ∆=0= 0 .∂2t − 2+ m2φ +λ6φ2c + g2 d3k(2π)31 + 2n (ωχ)ω (k)φc (x)−φc(x)2d3x φ2c(x , t)Kχ(x − x , 0)+φc(x) d3xt−∞dt φc(x , t ) ˙φc(x , t )Kχ(x − x , t − t )= φc (x) ξ (x) .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  48. 48. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposAproxima¸c˜ao de campo homogˆeneo:d2φc(t)dt2+dVeff(φc)dφc+ φc(t)t−∞dt φc(t ) ˙φc(t )Kχ(t − t )= φc (t) ξ (t) ,ondeVeff(φc) =12m2φφ2c +λ4!φ4c+g22φ2cd3k(2π)31 + 2n (ωχ)ωχ (k)−g44φ4cd3k(2π)314ω2χ(k)1 + 2nχ2ω(k)+ βnχ(1 + nχ) .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  49. 49. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposKernel de flutua¸c˜ao:ξ(t)ξ(t ) = 2g4 d3q(2π)314ω2χ(q){2nχ [1 + nχ] ++ [1 + 2nχ + 2n2χ] cos 2ωχ|t − t | ++ 2βΓχ(q)nχ[1 + nχ][1 + 2nχ] sin[2ωχ|t − t |] ×× e−2Γχ(q)|t−t |+ O g4Γ2χT2≡ N(t, t ) .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  50. 50. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposKernel de flutua¸c˜ao:ξ(t)ξ(t ) = 2g4 d3q(2π)314ω2χ(q){2nχ [1 + nχ] ++ [1 + 2nχ + 2n2χ] cos 2ωχ|t − t | ++ 2βΓχ(q)nχ[1 + nχ][1 + 2nχ] sin[2ωχ|t − t |] ×× e−2Γχ(q)|t−t |+ O g4Γ2χT2≡ N(t, t ) .Termo exponencial puro + termo oscilat´orioTrabalharemos no regime de altas temperaturas (T ω)Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  51. 51. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisIntera¸c˜ao sistema-banho em teoria de camposCaso a intera¸c˜ao fosse gφχ2,d2φc(t)dt2+dVeff(φc)dφc+t−∞dt ˙φc(t )Kχ(t − t ) = ξ (t) .Portanto,Equa¸c˜ao de movimento efetiva geral:d2φc(t)dt2= −dVeff(φc)dφc− φnc (t)t−∞dt φnc (t ) ˙φc(t )Kχ(t − t )+ φnc (t) ξ (t) ,n = 0: ru´ıdo aditivon = 1: ru´ıdo multiplicativoProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  52. 52. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisPrimeira quest˜ao:Esse tipo de equa¸c˜ao pode ser facilmente resolvida?Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  53. 53. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisPrimeira quest˜ao:Esse tipo de equa¸c˜ao pode ser facilmente resolvida?Resposta: N˜ao!Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  54. 54. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisPrimeira quest˜ao:Esse tipo de equa¸c˜ao pode ser facilmente resolvida?Resposta: N˜ao!↓Aproxima¸c˜ao markovianaProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  55. 55. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisAproxima¸c˜ao MarkovianaEqua¸c˜ao de movimento n˜ao-markoviana:∂2t + m2R +λR3!φ(t)2φ(t) + φn(t)tt0dt K(t − t )φn(t ) ˙φ(t )= φn(t)ξ(t) .Aproxima¸c˜ao markoviana:φn(t)tt0dt K(t − t )φn(t ) ˙φ(t ) φ2n(t) ˙φ(t)tt0→−∞dt K(t − t )→ Q φ2n(t) ˙φ(t) .Equa¸c˜ao de movimento markoviana:¨φ(t) + Q φ2n(t) ˙φ(t) + m2φφ +λ6φ3= φn(t) ξ(t)Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  56. 56. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisQuest˜oes que surgem:´E poss´ıvel desenvolver uma abordagem num´erica para estudara equa¸c˜ao de movimento n˜ao-markoviana?Integradores padr˜oes (p.ex Runge-Kutta) podem ser usadospara tratar esse problema estoc´astico?A aproxima¸c˜ao markoviana ´e suficiente para descrever adinˆamica do sistema?A escolha do conjunto de parˆametros do sistema-banhodetermina o qu˜ao boa ´e a aproxima¸c˜ao?A discrepˆancia entre as duas dinˆamicas (caso exista) ´edependente do tempo?Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  57. 57. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisTipos de ru´ıdoKOU(t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: exponencialpuraKH(t − t ) ≡ Kernel harmˆonico: exponencial multiplicandotermo oscilat´orioProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  58. 58. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisTipos de ru´ıdoKOU(t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: exponencialpuraKH(t − t ) ≡ Kernel harmˆonico: exponencial multiplicandotermo oscilat´orioKOU(t − t ) + KH(t − t ) = Kernel de teoria de camposProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  59. 59. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisTipos de ru´ıdoKOU(t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: exponencialpuraKH(t − t ) ≡ Kernel harmˆonico: exponencial multiplicandotermo oscilat´orioKOU(t − t ) + KH(t − t ) = Kernel de teoria de camposEqua¸c˜ao de movimento mais geral:¨φ(t) + V (φ) =1n=0 lφn(t) ξl (t) −tt0dt Kl (t − t )φn(t ) ˙φ(t ) .Ru´ıdo colorido:ξl (t)ξl (t ) = TKl (t − t ) ,Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  60. 60. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisTipos de ru´ıdoCaso harmˆonico:Parte estacion´aria da solu¸c˜ao de¨ξH(t) = −2γ ˙ξH(t) − m2ξH(t) + m22TQζ(t) , (1)comζ(t) = 0ζ(t)ζ(t ) = δ(t − t ) .↓KH(t−t ) =Qm22γe−γ(t−t )cos[Ω1(t − t )] +γΩ1sin[Ω1(t − t )] ,Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  61. 61. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisTipos de ru´ıdoCaso OU:Parte estacion´aria da solu¸c˜ao de˙ξOU(t) = −γ ξOU(t) − 2TQζ(t) , (2)comζ(t) = 0ζ(t)ζ(t ) = δ(t − t ) .↓KOU(t − t ) = γQe−γ(t−t ),Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  62. 62. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisNovas vari´aveisDefinindowln(t) ≡ −tt0dt Kl (t − t )φn(t ) ˙φ(t ) ,a equa¸c˜ao de movimento se torna¨φ(t) + m2φφ(t) +λ6φ3(t) =1n=0 l[φn(t) (ξl (t) + wln(t))] . (3)Definindo outra vari´aveluHn(t) ≡t0dt ˙KH(t − t ) − 2γKH(t − t ) φn(t ) ˙φ(t ) ,e tomando sua derivada e de wln(t), particularizando para os casosn = 0, n = 1, l = OU e l = H, e juntando as equa¸c˜oes diferenciaispara os termos de ru´ıdo ξOU e ξH, obtemos:Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  63. 63. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisSistema local˙φ = y˙y = −V (φ) + ξH + wH+ + ξ0U + wO++ φ[ξH + wHX + ξOU + wOX ]˙wO+ = −γwO+ − KOU(0)y˙wH+ = uH+ − 2γwH+ − KH(0)y˙wOX = −γwOX − KOU(0)φy˙wHX = uHX − 2γwHX − KH(0)φy˙uH+ = −m2wH+ + ˙KH(0)y − 2γKH(0)y˙uHX = −m2wHX + ˙KH(0)φy − 2γKH(0)φy˙ξH = zH˙zH = −2γzH − m2ξH + m22TQζ˙ξOU = −γ ξOU − 2TQζProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  64. 64. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisSistema localEm resumo:Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  65. 65. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisSistema localEm resumo:Reescrevemos a equa¸c˜ao n˜ao-markoviana originalem termos de um sistema de equa¸c˜oes diferenciaismarkovianas!Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  66. 66. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisTestes da abordagem num´ericaSolu¸c˜ao anal´ıtica via transformada de Laplace:Desligar a intera¸c˜ao (λ = 0).Considerar o ru´ıdo como sendo aditivo, somente.Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  67. 67. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisTestes da abordagem num´ericaSolu¸c˜ao anal´ıtica via transformada de Laplace:Desligar a intera¸c˜ao (λ = 0).Considerar o ru´ıdo como sendo aditivo, somente.¨φ(t) + m2φφ(t) +t0dt K(t − t ) ˙φ(t ) = ξ(t) .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  68. 68. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisTestes da abordagem num´ericaSolu¸c˜ao anal´ıtica via transformada de Laplace:Desligar a intera¸c˜ao (λ = 0).Considerar o ru´ıdo como sendo aditivo, somente.¨φ(t) + m2φφ(t) +t0dt K(t − t ) ˙φ(t ) = ξ(t) .L{φ(t)} = ˜φ(s) ≡∞0dt exp(−st)φ(t) ,φ(t) = L−1{˜φ(s)} = φ(t) +t0dt g(t − t )ξ(t ) ,Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  69. 69. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisTestes da abordagem num´ericaondeϕ(t) = L−1˙φ(0) + s + ˜K(s) φ(0)s2 + m2 + s ˜K(s),eg(t − t ) = L−1 1s2 + m2 + s ˜K(s).Tomando a m´edia, φ(t) = ϕ(t) eφ2(t) = ϕ2(t) + Tt0dt g(t − t )t0dt g(t − t )K(t − t ) .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  70. 70. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso OU:(a) para γ = 0, 5, (b) para γ = 1, 0 e (c) para γ = 5, 0Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  71. 71. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso H:(a) para γ = 0, 1, (b) para γ = 0, 3 e (c) for γ = 0, 5.Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  72. 72. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios Finaisφ2(t) : caso OU e HFigure: Evolu¸c˜ao temporal para φ2(t) no caso OU (painel esquerdo) eharmˆonico (painel direito). Os parˆametros utilizados foram: γ = 0, 5,m = 1, 0, mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  73. 73. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios Finais∆φ: caso OU e H∆φ = ϕanalitico − ϕnumericoFigure: A diferen¸ca ∆φ no caso OU (painel esquerdo) e harmˆonico(painel direito). Os parˆametros usados foram: γ = 0, 5, m = 1, 0,mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  74. 74. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios Finais∆φ2: caso OU e H∆φ2= φ2analitico − φ2numerico .Figure: A diferen¸ca ∆φ2no caso OU (painel esquerdo) e harmˆonico(painel direito). Os parˆametros usados foram: γ = 0, 5, m = 1, 0,mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  75. 75. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCompara¸c˜ao entre as dinˆamicas markoviana en˜ao-markovianaQuatro situa¸c˜oes distintas:ru´ıdo harmˆonico aditivoru´ıdo OU aditivoru´ıdo harmˆonico multiplicativoru´ıdo OU multiplicativoEqua¸c˜ao de movimento markoviana:¨φ(t) + Q φ2n(t) ˙φ(t) + m2φφ +λ6φ3= φn(t) ξ(t) ,Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  76. 76. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso OU aditivo:Equa¸c˜ao de Movimento¨φ(t) + m2φφ +λ6φ3= ξOU(t) −t0dt KOU(t − t ) ˙φ(t ) ,correspondente sistema local˙φ = y˙y = −m2φφ −λ6φ3+ ξ0U + wO+˙wO+ = −γwO+ − KOU(0)y˙ξOU = −γ ξOU − 2TQζ .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  77. 77. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso OU aditivo: (a) γ = 0, 5, (b) γ = 1, 0 e (c) γ = 5, 0Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  78. 78. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso OU aditivo: TeffTef(t) = ˙φ2(t) .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  79. 79. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso harmˆonico aditivo:Equa¸c˜ao de Movimento¨φ(t) + m2φφ +λ6φ3= ξH(t) −t0dt KH(t − t ) ˙φ(t ) ,correspondente sistema local˙φ = y˙y = −m2φφ −λ6φ3+ ξH + wH+˙wH+ = uH+ − 2γwH+ − KH(0)y˙uH+ = −m2wH+ + ˙KH(0)y − 2γKH(0)y˙ξH = zH˙zH = −2γzH − m2ξH + m22TQζ .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  80. 80. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso harmˆonico aditivo: (a) γ = 0, 1, (b) γ = 0, 3 e (c) γ = 0, 5Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  81. 81. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso harmˆonico aditivo: TeffTef(t) = ˙φ2(t) .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  82. 82. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso OU multiplicativo:Equa¸c˜ao de Movimento¨φ(t)+m2φφ+λ6φ3= φ(t) ξOU(t) −t0dt KOU(t − t )φ(t ) ˙φ(t ) ,correspondente sistema local˙φ = y˙y = −m2φφ −λ6φ3+ φ[ξOU + wOX ]˙wOX = −γwOX − KOU(0)φy˙ξOU = −γ ξOU − 2TQζ .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  83. 83. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso OU multiplicativo: (a) γ = 0, 5, (b) γ = 1, 0 e (c) γ = 5, 0Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  84. 84. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso OU multiplicativo: TeffTef(t) = ˙φ2(t) .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  85. 85. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso harmˆonico multiplicativo:Equa¸c˜ao de Movimento¨φ(t) + m2φφ +λ6φ3= φ ξH(t) −t0dt KH(t − t )φ(t ) ˙φ(t ) ,correspondente sistema local˙φ = y˙y = −m2φφ −λ6φ3+ φ[ξH + wHX ]˙wHX = uHX − 2γwHX − KH(0)φy˙uHX = −m2wHX + ˙KH(0)φy − 2γKH(0)φy˙ξH = zH˙zH = −2γzH − m2ξH + m22TQζ .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  86. 86. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso harmˆonico multiplicativo: (a) γ = 0, 1, (b) γ = 0, 3 e (c) γ = 0, 5Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  87. 87. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisCaso harmˆonico multiplicativo: TeffTef(t) = ˙φ2(t) .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  88. 88. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisAplica¸c˜ao `a infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opicaEqua¸c˜ao de movimento efetiva n˜ao-markoviana¨φ + 3H ˙φ + V (φ) = ξ −tt0dt K(t − t ) ˙φ(t ) .K(t − t ) =Qm2χ2γe−γ(t−t )cos[Ω1(t − t )]+γΩ1sin[Ω1(t − t )] + γQe−γ(t−t ),V (φ) =m2φ2φ2+λ4!φ4Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  89. 89. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisAproxima¸c˜ao markoviana¨φ + 3H ˙φ + V (φ) + 2Q(t) ˙φ = 2 2TQη ,com 2Q ≡ Υ e 2√2TQη ≡ ν, recuperamos a forma da equa¸c˜aofenomenol´ogica:Equa¸c˜ao de movimento markoviana¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  90. 90. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisAproxima¸c˜ao markoviana¨φ + 3H ˙φ + V (φ) + 2Q(t) ˙φ = 2 2TQη ,com 2Q ≡ Υ e 2√2TQη ≡ ν, recuperamos a forma da equa¸c˜aofenomenol´ogica:Equa¸c˜ao de movimento markoviana¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,Compara¸c˜ao da dinˆamica markoviana e n˜ao-markoviana → mesmoprocedimento + equa¸c˜oes cosmol´ogicasProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  91. 91. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisAproxima¸c˜ao markoviana¨φ + 3H ˙φ + V (φ) + 2Q(t) ˙φ = 2 2TQη ,com 2Q ≡ Υ e 2√2TQη ≡ ν, recuperamos a forma da equa¸c˜aofenomenol´ogica:Equa¸c˜ao de movimento markoviana¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,Compara¸c˜ao da dinˆamica markoviana e n˜ao-markoviana → mesmoprocedimento + equa¸c˜oes cosmol´ogicasParˆametros:Υ ≈ Cg2h4 T3m2χ, γ ≈h232πmχ , mχ > H(Berera, Moss e Ramos, Rep. Prog. Phys.72, 026901 (2009))Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  92. 92. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisSistema dinˆamico - caso n˜ao-markoviano˙a = A˙A = −8π3m2plρr + y2− V (φ) a˙y = −3Aa− m2φφ −λ6φ3+ ξH + wH+ + ξ0U + wO+˙wO+ = −γwO+ − KOU(0)y˙wH+ = uH+ − 2γwH+ − KH(0)y˙uH+ = −m2χwH+ + ˙KH(0)y − 2γKH(0)y˙ξH = zH˙zH = −2γzH − m2χξH + m2χ 2TQζProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  93. 93. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisSistema dinˆamico - caso n˜ao-markoviano˙ξOU = −γ ξOU − 2TQζ .˙ρr = −4Aaρr − y [wH+ + wO+ + ξH + ξOU]˙ρφ = −3Aay2+ y [wH+ + wO+ + ξH + ξOU] .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  94. 94. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisSistema dinˆamico - caso markoviano˙φ = y˙y = − 3Aa+ Υ ˙φ − V (φ)˙a = A˙A = −8π3m2plρr + y2− V (φ) a˙ρφ = −3Aay2− Υy2+ yν˙ρr = −4Aaρr + Υy2− yν .Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  95. 95. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisEvolu¸c˜ao temporal do inflaton: mχ = (a) 50H(0), (b) 150H(0) e (c) 250H(0)Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  96. 96. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisTemperatura efetiva: mχ = (a) 50H(0), (b) 150H(0) e (c) 250H(0)Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  97. 97. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisComent´arios Finais´E poss´ıvel desenvolver uma abordagem num´erica para estudara equa¸c˜ao de movimento n˜ao-markoviana!Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  98. 98. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisComent´arios Finais´E poss´ıvel desenvolver uma abordagem num´erica para estudara equa¸c˜ao de movimento n˜ao-markoviana!Runge-Kutta usual nos oferece uma precis˜ao muito boa.Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  99. 99. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisComent´arios Finais´E poss´ıvel desenvolver uma abordagem num´erica para estudara equa¸c˜ao de movimento n˜ao-markoviana!Runge-Kutta usual nos oferece uma precis˜ao muito boa.Qualidade da aproxima¸c˜ao markoviana ´e extremamentedependente dos parˆametros utilizados e do tipo de ru´ıdo quecaracteriza seu problemaProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  100. 100. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisComent´arios Finais´E poss´ıvel desenvolver uma abordagem num´erica para estudara equa¸c˜ao de movimento n˜ao-markoviana!Runge-Kutta usual nos oferece uma precis˜ao muito boa.Qualidade da aproxima¸c˜ao markoviana ´e extremamentedependente dos parˆametros utilizados e do tipo de ru´ıdo quecaracteriza seu problemaMesmo num modelo microsc´opico onde a varia¸c˜ao dosparˆametros ´e bem restrita, a qualidade da aproxima¸c˜aomarkoviana ´e dependente desse conjunto de parˆametrosProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  101. 101. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisComent´arios Finais´E poss´ıvel desenvolver uma abordagem num´erica para estudara equa¸c˜ao de movimento n˜ao-markoviana!Runge-Kutta usual nos oferece uma precis˜ao muito boa.Qualidade da aproxima¸c˜ao markoviana ´e extremamentedependente dos parˆametros utilizados e do tipo de ru´ıdo quecaracteriza seu problemaMesmo num modelo microsc´opico onde a varia¸c˜ao dosparˆametros ´e bem restrita, a qualidade da aproxima¸c˜aomarkoviana ´e dependente desse conjunto de parˆametrosA utiliza¸c˜ao da aproxima¸c˜ao markoviana deve ser analisadacaso a casoProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  102. 102. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisComent´arios Finais - Passos futurosImplementar a parte espacialProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  103. 103. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisComent´arios Finais - Passos futurosImplementar a parte espacialImplementar caso quˆantico do teorema deflutua¸c˜ao-dissipa¸c˜aoProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  104. 104. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisComent´arios Finais - Passos futurosImplementar a parte espacialImplementar caso quˆantico do teorema deflutua¸c˜ao-dissipa¸c˜aoImplementar o caso multiplicativo da infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opicaProcessos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva
  105. 105. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Mark × n˜ao-mark Infla¸c˜ao n˜ao-isentr´opica Coment´arios FinaisObrigado pela aten¸c˜ao!!Processos Estoc´asticos em Teoria de Campos e Aplica¸c˜ao ao Universo Inflacion´ario Leandro Alexandre da Silva

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