1:69) Demostrar P&~Q                                 1:70) Demostrar ~ (~S&~T)= (S∨T)
Premisas:                           ...
Premisas:                                     Premisas:
      1) (P∨Q) → [R→ (S&T] (H)                         1) P       ...
Premisas:                        Premisas:
     1) ~ (S∨Τ) →~P            (H)     1) (P→Q)
   2) ~ S                   (H)...
1) (P∨ Q)         (H)                                    1) (P∨ Q)       (H)
2) P→ (R→ S) (H)                             ...
1) (M∨ N)              (H)                        1) (P∨ Q) (H)
2) M          (P∨Q) (H)                          2) R→~Q (...
Premisas:                                                 Premisas:
 1) (P∨Q)      (H)                                    ...
1:48)       Demostrar (~P∨Q) ∨ (~Q∨ P)                   1:49)       Demostrar (S&P)
1) (P→Q) ∨ (Q → P) (H)               ...
1:62)      Demostrar (~P∨Q)
Premisas:                          2:2.7) Simbolización de las Variables proposicionales.
1) (...
1:54) Demostrar (P&R)                    1:55) Demostrar P→ (R→(S&Q))
Premisas:                                Premisas:
1...
1:56) Demostrar (~R∨W)              Ley Negación Condicional en 19
Premisas:                            (~W∨~R)=(W&~R) (20...
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Clave de Correccion leyes de inferencia y equivalecia

  1. 1. 1:69) Demostrar P&~Q 1:70) Demostrar ~ (~S&~T)= (S∨T) Premisas: Premisas: 1) P→(Q→ R) (H) 1) P→(Q∨) ( H) 2) ~(P→ R) (H) 2) (P→Q)→S (H) Solución: 3) (P→R)→S (H) Ley negación Condicional en 1 Solución: [P→ (Q→ R)]=~P& (Q→ R) (3) Ley negación Condicional en 1 Simplificación en 3 [P→ (Q∨) ]= ~P& (Q∨ R ) (4) ~P&(Q→ R) Ley negación Condicional en 2 (Q→R) [(P→Q) →S]= ~ (P→Q) & S (5) Ley negación condicional en 4 Simplificación en 5 (Q→R)=~Q&R (5) ~(P→Q)& S Simplificación en 5 ~ (P→Q) (6) ~Q&R Ley negación Condicional en 7 ~Q (6) ~ (P→Q)=P&~Q (8) Ley negación Condicional en 2 Simplificación en 8 ~ (P→ R)=P&~R (7) P~&Q Simplificación en 7 ~Q (9) P&~R Simplificación en 4 P (8) ~P&(Q∨ R) Adjunción 8 y 6 (Q∨ R ) (10) P     Conmutatividad   en 10 ~Q (Q∨ R ) = (R∨Q ) (11) P&Q         MTT  en 11 y 9 L.q.q.d (R∨ Q ) ~Q 2:2.1) Simbolización R (12) Simplificación en 4 P: Los maracucho son Alegres. ~P&(Q∨ R) Q: Maracaibo es una Ciudad Alegre. R: Es una Ciudad Feliz. ~P (13)      Adición en 13 Premisas: Demostrar R ~P 1) (P→Q) MPP en 1 y 3 MPP en 2 y 4 ~P∨R (14)       Ley Condicional Disyunción  2) (Q→ R) (P→Q) (Q→ R) ( ~P∨R)= (P→R) (15) 3) P P Q MPP en 3 y 15 R Q (4) R (5) L.q.q.d (P→R)→S 2:2.2) Simbolización ( P→R) S (16) P: Un Ángulo de un Triangulo es mayor que noventa      Adición en 16 grados.                      S Q: La Suma de los Otros ángulos es mayor que noventa (S ∨ Τ) (17) grados.    Ley de Morgan en 17 Premisas: Demostrar ~P (S ∨ Τ) = ~ (~S&~T) (18) 1) P→Q) MTT  1 y 2 L.q.q.d 2)~Q (P→Q) 1:67) Demostrar (Q∨P) → [R→~ ~P ~Q ~P (3) L.q.q.d (~S∨~T)] Lcdo.Laryenson Gutiérrez Página 1
  2. 2. Premisas: Premisas: 1) (P∨Q) → [R→ (S&T] (H) 1) P (H) Solución: 2) (Q∨R) (H) Ley negación Condicional en 1 Solución: {(P∨Q) → [R→ (S&T]} =~ (P∨Q) & [R→ (S&T)] 2 Adjunción 1 y 2 Simplificacion en 2 P ~ (P∨ Q) & [R→ (S&T)] (Q∨ R) ~ (P∨Q) (3) P & (Q∨R) (3) R→ (S&T) (4) Distributividad en 3 Ley de Morgan en 3 [P & (Q∨R)]= (P&Q) ∨ (P&R) ~ (P∨Q) = (~ P&~Q) (5) L.q.q.d Conmutatividad en 5 (~ P&~Q)= (~Q&~ P) (6) 2:2.2) Simbolización de la Variables Ley de Morgan en 6 proposicionales. (~Q&~ P)= ~ (Q∨ P) (7) P: Un Ángulo de un Triangulo es mayor que Ley de Transposición en 4 noventa grados. R→ (S&T) = ~(S&T) → ~R (8) Q: La Suma de los Otros ángulos es mayor que Ley negación Condicional en 8 noventa grados. [~(S&T) → ~R]= [~ (~(S&T)) &~ R] (9) Premisas: Demostrar ~P Simplificacion en 9 1) (P→Q) MTT  1 y 2 [~ (~(S&T)) &~ R] 2)~Q (P→Q) ~ (~(S&T)) (10) ~P ~Q ~R (11) ~P (3) L.q.q.d Ley de Morgan en 10 ~ (~(S&T))= ~ (~S∨~T) (12) 2:2.4) Simbolización de la Variables Adjunción 11 y 12 proposicionales. ~R P: La Cuidad de valencia es una ciudad del centro de ~ (~S∨ ~T) Venezuela. ~ R&~ (~S∨~T) (13) Q: La Cuidad de valencia es una ciudad del centro de Ley negación Condicional en 13 España. [~ R& ~ (~S∨~T)] = [R→ (~S∨~T)] (14) R: Sus Habitantes se llaman valencianos. Adjunción 7 y 14 S: Sus Habitantes se llaman Maracuchos. ~ (Q∨ P) Premisas: [R→ (~S∨ ~T)] 1) (P∨Q) (H) Demostrar ~S ~ (Q∨ P) & [R→ (~S∨~T)] (15) 2) (P∨Q) →R (H) MPP en 2 y 1 Ley negación Condicional en 15 3) R→~S ( H) (P∨Q) →R {~ (Q∨ P) & [R→ (~S∨~T)]}= (Q∨P) → [R→~ (~S∨~T)] ~S (P∨ Q) L.q.q.d R (4) MPP en 3 y 4 R→~S R ~S L.q.q.d 1:68) Demostrar (P&Q) ∨ (P&R) 1:61) Demostrar (P∨Q) → T Lcdo.Laryenson Gutiérrez Página 2
  3. 3. Premisas: Premisas: 1) ~ (S∨Τ) →~P (H) 1) (P→Q) 2) ~ S (H) Solución: 3) Q → ~R (H) Ley Condicional Disyunción en 1 4) ~ T→ R (H) (P→Q)= ~P∨Q Solución: L.q.q.d Ley negación Condicional en 3 (Q → ~R)= ~ Q&~R (5) 3:2.1) Simbolización de las variables Simplificacion en 5 proposicionales. ~Q&~R P: Caracas es la capital de Venezuela. ~R (6) Q: Sus Habitantes son venezolanos. Ley de Transposición en 4 Premisas: Demostrar Q (~ T→ R)= (~R→ T) (7) MPP 7 y 6 1) (P→Q) (H) MPP en 1 y 2 ~R→ T 2) P (H) P→Q ~R Q P T (8) Q (3) L.q.q.d Adición en 2 ~S 3:2.3) Simbolización de las variables ~ S∨~T (9) proposicionales. Ley de Morgan en 9 (~ S∨~T)= ~ (S∨T) (10) P: Habito en la capital de los estados unidos. MPP 1 y 10 Q: Vivo en Caracas. ~ (S∨T) →~P Premisas: Demostrar ~P ~ (S∨ T) 1) (P→~Q) (H) MTT  1 y 2 ~P (11) 2) P (H) (P→~Q) Simplificacion en 5 ~P P ~Q&~R ~Q (3) L.q.q.d ~Q (12) Adjunción 11 y 12 ~P ~Q ~P&~Q (13) Ley de Morgan en 13 (~P&~Q)= ~ (P∨Q) (14) Adjunción 14 y 8 ~ (P∨Q) T [~ (P∨Q) &T] (15) Ley negación Condicional en 15 [~ (P∨Q) &T]= (P∨Q) → T L.q.q.d 1:52) Demostrar S 1:62) Demostrar ~P∨Q Premisas: Lcdo.Laryenson Gutiérrez Página 3
  4. 4. 1) (P∨ Q) (H) 1) (P∨ Q) (H) 2) P→ (R→ S) (H) 2) ~P∨ R (H) 3) R& (Q→ S) (H) 3) (R→ S) (H) Solución: 4) ~Q∨ R (H) Simplificacion en 3 Solución: R& (Q→ S) Ley Condicional Disyunción en 2 (Q→ S) (4) (~P∨ R) = (P→R) (5) Ley Negación Condicional en 4 Ley Negación Condicional en 5 (Q→ S)= ~Q& S (5) (P→R) = (~P&R) (6) Simplificacion en 5 Simplificacion en 6 ~Q& S (~P&R) ~Q (6) ~P (7) MTP en 1 y 6 MTP en 1 y 6 (P∨ Q) (P∨ Q) ~Q ~P P (7) Q (8) MPP en 2 y 7 Ley Condicional Disyunción en 4 P→ (R→ S) (~Q∨ R)= (Q→R) (9) P MPP en 9 y 8 (R→ S) (8) Q→R Simplificacion en 3 Q R& (Q→ S) R (10) R (9) MPP en 3 y 10 MPP en 8 y 9 (R→ S) (R→ S) R R S (11) S (10) L.q.q.d Adición 11 S 4:1.1) Simbolización de las Variables proposicionales. (S∨Τ) (12) P: El Hielo se derrite. Conmutatividad (12) Q: Se transformará en agua. (S∨Τ) = (Τ ∨ S) (13) L.q.q.d R: Los Ríos se desbordan. Premisas: Demostrar (P→ R) 4:1.2) Simbolización de las Variables 1) (P→Q) (H) Silogismo Hipotético en 1 y 2 proposicionales. 2) (Q→R) ( H) (P→Q) P: Mérida es una Ciudad Fría. (P→ R) (Q→R) Q: Sus Habitantes se Visten con ropa de lana. (P→ R) (3) R: Tendrán Frío. L.q.q.d Premisas: Demostrar (P→ R) 1) (P→Q) (H) Silogismo Hipotético en 1 y 2 2) (Q→R) ( H) (P→Q) (P→ R) (Q→R) (P→ R) (3) L.q.q.d 1:53) Demostrar (T∨ S) 1:58) Demostrar S Premisas: Premisas: Lcdo.Laryenson Gutiérrez Página 4
  5. 5. 1) (M∨ N) (H) 1) (P∨ Q) (H) 2) M (P∨Q) (H) 2) R→~Q (H) 3) ~Q&R ( H) 3) (R∨T) (H) 4) (P→T) (H) 4) P S (H) Solución: 5) N (~R∨ S) (H) Ley Condicional Disyunción en 3 Solución: (R∨T) = (~R→T) (5) Leyes De Bicondicionalidad en 2,4 y 5 Ley Negación Condicional en 5 [M ↔ (P∨Q)]= [M→ (P∨Q)] & [(P∨Q) → M] (6) (~R→T)= (R&T) (6) (P↔ S)= (P→ S) & (S→P) (7) Simplificacion en 6 [N↔ (~R∨ S)]= [N→ (~R∨ S)] & [(~R∨ S) → N] (8) (R&T) R (7) Simplificacion en 8 MPP en 2 y 7 [N→ (~R∨ S)] & [(~R∨ S) → N] R→~Q [N→ (~R∨ S)] (9) R Ley Negación Condicional en 9 ~Q (8) [N→ (~R∨ S)]= ~N& (~R∨ S) (10) MTP 1 y 8 Simplificacion en 10 (P∨ Q) ~Q ~N& (~R∨ S) P (9) ~N (11) MPP en 4 y 9 MTP en 1 y 11 P→T (M∨ N) P ~N T (10) L.q.q.d M (12) Simplificacion en 6 3:2.3) Simbolización de las Variables proposicionales. P: Llueve. [M→ (P∨ Q)] & [(P∨ Q) → M] Q: Hace Frio. [M→ (P∨Q)] (13) R: Iremos al cine. MPP en 13 y 12 Premisas: Demostrar ~R M→ (P∨Q) 1) (P&Q) →~R (H) MPP en 1 y 2 M 2) (P&Q) (H) (P&Q) →~R (P∨Q) (14) ~R (P&Q) Simplificacion en 3 ~R (3) L.q.q.d ~Q&R ~Q (15) 3:2.4) Simbolización de las Variables proposicionales. P: Estudio. MTP en 14 y 15 Q: Apruebo los exámenes. (P∨Q) R: Me graduaré de Médico. ~Q S: Podré salvar muchas vidas humanas. P (16) Premisas: MPP en 2 y 5 Simplificacion en 7 1) (P→Q) (H) Q→R 2) Q→R (H) Q (P→ S) & (S→P) 3) R→S (H) R (6) P→ S (17) 4)P ( H) MPP en 3 y 6 MPP en 17 y 16 S R→S P→ S Demostrar S R MPP en 1 y 4 S (7) L.q.q.d P (P→Q) S (18) P L.q.q.d Q (5) 1:59) Demostrar T 1:50) Demostrar (S∨Τ) Premisas: Lcdo.Laryenson Gutiérrez Página 5
  6. 6. Premisas: Premisas: 1) (P∨Q) (H) 1) (P→ R) (H) 2) ~Q&R (H) 2) ~R∨ S (H) 3) (P &R ) → S (H) 3) (P↔Q) (H) Solución: 4) Q (H) Simplificacion en 2 Solución: ~Q&R Leyes de Bicondicionalidad en 3 ~Q (4) (P↔ Q) = (P→Q) & (Q→ P) (5) R (5) Simplificacion en 5 MTT en 1 y 4 (P→Q) & (Q→ P) (P∨ Q) (Q→ P) (6) ~Q MPP en 6 y 4 P (6) (Q→ P) Adjunción en 6 y 5 Q P P (7) R MPP en 1 y 7 (P&R ) (7) (P→ R) P MPP en 3 y 7 R (8) (P &R ) → S Ley Condicional disyunción en 2 (P&R ) (~R∨ S) = (R→S) (9) S (8) MPP en 9 y 8 Adición en 8 (R→S) S R (S∨Τ) (9) S (10) L.q.q.d L.q.q.d 4:1.4) Simbolización de las Variables 4:1.3) Simbolización de las Variables proposicionales. proposicionales. P: Barquisimeto es la Ciudad de los Crepúsculos. P: Barcelona de Venezuela. Q: Es una Ciudad maravillosa. Q: Barcelona de España. R: Es una Ciudad bella. R: Son de Nombre Homónimos Premisas: S: Tienen Cierta relación entre sí. 1) (P→Q) (H) Premisas: 2) Q→R ( H) 1) (P&Q) → R (H) (P→R) 2) Q→R (H) Demostrar (P→R) (P&Q) → S Silogismo Hipotético en 1 y 2 Demostrar (P&Q) → S (P→Q) Silogismo Hipotético en 1 y 2 Q→R (P&Q) → R (P→R) L.q.q.d Q→R (P&Q) → S L.q.q.d 1:51) Demostrar S Lcdo.Laryenson Gutiérrez Página 6
  7. 7. 1:48) Demostrar (~P∨Q) ∨ (~Q∨ P) 1:49) Demostrar (S&P) 1) (P→Q) ∨ (Q → P) (H) Premisas: Solución: 1) (P&Q) (H) Ley de Morgan en 1 2) ~ Q∨R (H) [(P→Q) ∨ (Q → P)] = (P→Q) & (Q→P) (2) 3) (R→S) (H) Simplificacion en 2 Solución: (P→Q) & (Q → P) Simplificacion en 1 (P→Q) (3) (P&Q) (P→Q) (4) P (4) Ley Condicional disyunción en 3 y 4 Ley Condicional disyunción en 2 (P→Q) = (~P∨Q) (5) (~Q∨R) = (Q→R) (5) (Q→P) = (~Q∨ P) (6) Ley Negación Condicional en 5 Adición en 5 (Q→R) = (~Q&R) (6) (~P∨ Q) Simplificacion en 6 (~P∨Q) ∨ (~Q∨ P) (7) L.q.q.d (~Q&R) R (7) 4:1.4) Simbolización de las Variables proposicionales. MPP en 3 y 7 P: Barcelona de Venezuela. (R→S) Q: Barcelona de España. R R: Son de Nombre Homónimos S (8) S: Tienen Cierta relación entre sí. Adjunción en 8 y 4 Premisas: S 1) (P&Q) → R (H) P 2) Q→R (H) (S&P) (9) L.q.q.d (P&Q) → S 4:1.5) Simbolización de las Variables Demostrar (P&Q) → S proposicionales. Silogismo Hipotético en 1 y 2 P: Soy Ciclista (P&Q) → R Q: Soy Futbolista. Q→R R: Soy un Atleta. (P&Q) → S L.q.q.d S: Tengo Buena Salud Física. Premisas: 1) (P∨Q) → R (H) 2) R → S ( H) (P∨Q) → S Demostrar (P∨Q) → S Silogismo Hipotético en 1 y 2 (P∨Q) → R R→S (P∨Q) → S L.q.q.d Lcdo.Laryenson Gutiérrez Página 7
  8. 8. 1:62) Demostrar (~P∨Q) Premisas: 2:2.7) Simbolización de las Variables proposicionales. 1) (P→Q) (H) P: El Arrendatario se Comporta Correctamente. Solución: Q: El Inquilino es Responsable de las Reparaciones. Ley condicional Disyunción en 2 R: El Arrendatario se Beneficia. (P→Q) = (~P∨Q) (2) L.q.q.d Premisas: 1) P→Q (H) 2) Q →R ( H) 1:63) Demostrar R → (P→ Q) 3) ~R (H) Premisas: ~P 1) P→ (R→Q) (H) Solución: Demostrar ~P MTT en 2 y 3 Ley Negación Condicional en 1 Q →R [P→ (R→ Q)] = ~P& (R→ Q) (2) ~R Simplificacion en 2 ~Q (4) ~P & (R→ Q) MTT en 1 y 4 ~P (3) P→Q (R→ Q) (4) ~Q Ley Negación Condicional en 4 ~P (5) (R→ Q) = (~R&Q) (5) L.q.q.d Simplificacion en 5 (~R&Q) ~R (6) Q (7) Adición en 3 ~P (~P∨ Q) (8) Ley Condicional en 8 (~P∨ Q) = (P→Q) (9) Adición en 6 ~R ~R ∨ (P→Q) (10) Ley Condicional Disyunción en 10 [~R ∨ (P→Q)] = [R → (P→ Q)] (11) L.q.q.d 1:64) Demostrar ~ (P&~Q) Premisas: 1) (P→Q) (H) Solución: Ley Condicional Conjunción en 1 (P→Q) = ~ (P&~Q) (2) L.q.q.d Lcdo.Laryenson Gutiérrez Página 8
  9. 9. 1:54) Demostrar (P&R) 1:55) Demostrar P→ (R→(S&Q)) Premisas: Premisas: 1) [P↔Q] (H) 1) (~P∨Q) (H) 2) [Q↔R] (H) 2) (T→~R)  (H) 3) P (H) 3) (~T→S) (H) Solución: Solución: Leyes de Bicondicionalidad en 1 y 2 Ley Condicional Disyunción en 1 [P↔Q]= (P→ Q) & (Q→ P) (4) (~P∨Q) = (P→Q) (4) [Q↔R]= (Q→R) &(R → Q) (5) Ley Negación Condicional en 4 Simplificacion en 4 y 5 (P→Q) = (~P&Q) (5) (P→ Q) & (Q→ P) Ley Negación Condicional en 2 (P→ Q) (6) (T→~R) = (~T&~R) (6) (Q→R) &(R → Q) Ley Negación Condicional en 3 (Q→R) (7) MPP en 6 y 3 (~T →S) = (T&S) (7) Simplificacion en 5, 6,7 (P→ Q) P (~P&Q) Q (8) ~P (8) MPP en 7 y 8 Q (9) (Q→R) (~T&~R) Q ~R (10) R (9) (T&S) Adición en 3 y 9 S (11) P Adjunción 11 y 9 R S (P&R) (10) L.q.q.d Q (S&Q) (12) 1:57) Demostrar P∨( R∨ S) Adjunción 10 y 12 1) (P∨Q) ∨ (R∨ S) (H) ~R Ley de Morgan en 1 (S&Q) [(P∨Q) ∨ (R∨ S)]= [(P∨Q) & (R∨ S)] (2) ~R&(S&Q) (13) Simplificacion en 2 Ley Negación Condicional en 13 (P∨Q) & (R∨ S) [~R&(S&Q)]= R→(S&Q) (14) (P∨Q) (3) Adjunción 8 y 14 ( R∨ S) (4) ~P Ley Condicional Disyunción en 3 R→(S&Q) (P∨Q) = (~P→Q) (5) ~P& [R→(S&Q)] (15) Ley Negación Condicional en 5 Ley Negación Condicional en 15 (~P→Q) = (P&Q) (6) Simplificacion en 6 {~P& [R→(S&Q)]}= P→ (R→(S&Q)) (16) (P&Q) P (7) L.q.q.d Adición en 7 P P∨( R∨ S) (8) L.q.q.d Lcdo.Laryenson Gutiérrez Página 9
  10. 10. 1:56) Demostrar (~R∨W) Ley Negación Condicional en 19 Premisas: (~W∨~R)=(W&~R) (20) 1) (R↔~Q) (H) L.q.q.d 2) Q∨(S&T) (H) 3) (R→~T) (H) Solución: Leyes de Bicondicionalidad en 1 (R↔~Q)=(R→~Q) & (~Q→R) (4) Simplificación en 4 (R→~Q) & (~Q→R) (R→~Q) (5) (~Q→R) (6) Ley Negación Condicional en 5 (R→~Q)= (~R&~Q) (7) Simplificación en 7 (~R&~Q) ~R (8) Silogismo Hipotético en 6 y 3 (~Q→R) (R→~T) (~Q→~T) (9) Ley Negación Condicional en 9 (~Q→~T)= (Q&~T) (10) Simplificación en 10 (Q&~T) ~T (11) Adición en 11 ~T (~T∨~S) (12) Ley de Morgan en 12 (~T∨~S)= ~(T&S) (13) MTP en 2 y 13 Q∨(S&T) ~(T&S) Q (14) Adición en 14 Q (Q∨~W) (15) Ley condicional disyunción en 15 (Q∨~W)= (~Q→~W) (16) Ley Negación Condicional en 16 (~Q→~W)= (Q&~W) (17) Simplificación en 17 (Q&~W) ~W (18) Adición en 18 ~W (~W∨~R) (19) Lcdo.Laryenson Gutiérrez Página 10

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