1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matemática
1
«ENFOQUE MATEMATICO PARA LAS MEDIDAS
DE RIESGO VaR Y CVaR»
TESIS QUE PRESENTAN:
Br. LUIS VALENTIN PURIZACA ROSILLO
Br. LUIS JHOAN ALDANA PURIZACA
ASESOR:
Mg. JOSE VALENTIN PURIZACA MARTINEZ

2. 2
PRESENTACIÓN
En el presente trabajo de investigación utilizaremos las herramientas
matemáticas que nos permitan dar un enfoque matemático a las medidas
de riesgo VaR y CVaR para luego aplicarlas en un caso real y concreto
para su respectivo análisis.
 Medida de Riesgo
• VaR
• CVaR
 Axiomas de Coherencia
 Métodos Estimación
• Paramétrico
• No Paramétrico
 IGBVL
Teoría de Riesgo Aplicación

3. 3
OBJETIVOS
I. Objetivo General
Elaborar un enfoque matemático para las medidas de riesgo VaR y
CvaR para luego aplicarlas al IGBVL
II. Objetivos Específicos
 Definir los conceptos básicos de Teoría de la Medida y Probabilidad.
 Estudiar los principales temas de estadística relacionados con las
medidas de riesgo (VaR y CVaR).
 Construir las ideas principales en el calculo de las medidas de riesgo
financiero ( VaR y CVaR).
 Analizar las medidas alternativas que cumplen con un conjunto de
condiciones mínimas tal que pueden ser llamadas medidas coherente de
riesgo.
 Definir las medidas de riesgo: VaR y CVaR así como su aplicación al
IGBVL para cada caso.

4. 4
HIPOTESIS
 Las medidas de riesgo VaR y CVaR se les puede dar un enfoque
matemático así como aplicar al IGBVL bajo las condiciones de invarianza por
translación, subaditividad, positivamente homogénea, monotonocidad.
Frecuencia
Pérdidas 99.57%
VaR ES

5. 5
TEORÍA DE RIESGO
I. Medida de Riesgo
P)F,,(LM 0

(X)X
RM:




Representemos los riesgos financieros por el conjunto
de variables aleatorias, asumiremos que M es un cono convexo. Una
medida de riesgo es un mapeo de M en R.
0(X) 0(X) 
SiRequerimiento
de capital
No

6. 6
MEDIDA DE RIESGO COHERENTE
MEDIDA
DE
RIESGO COHERENTE
INVARIANCIA
POR
TRANSLACIÓN
SUBADITIVIDAD
POSITIVAMENTE
HOMOGENEA
MONOTONICIDAD

7. 7
AXIOMAS DE COHERENCIA
I. Invariancia por translación
quetenemosRmtodoyMX      mXmX  
II. Subaditividad
     YXYXquetenemosMYX   ,
III. Monotonicidad
   YXYXMYX   ,/,
IV. Positivamente Homogénea
   XXquetenemostodoyMX   0

8. 8
Value-at-Risk (VaR)
Dado un intervalo de confianza ).1,0( El VaR de nuestro portafolio
a un determinado nivel de confianza  es dado por el menor número l tal
que la probabilidad que las pérdidas L excedan l no es mayor que )1( 
  
 



LFRlínf
lLPRlínfVaR
:
1:

9. 9
Expected Shortfall
Para una pérdida L con |)(| LE y función de distribución LF el
Expected Shortfall con un nivel de confianza )1,0( es definido
 

1
1
1



duFqES Lu
donde )()( uFFq LLu

 es la función quantil de .LF El expected
shortfall es por lo tanto relacionado al VaR
 

1
1
1


duLVaRES

10. 10
VaR vs ES
Value-at-Risk Expected Shortfall
• Fácil interpretación e
implementación
• No es una medida de riesgo
coherente: Falla en la
subaditividad
• Medida de riesgo coherente:
Permite una adecuada
asignación de capital
• Difícil interpretación.
Ventajas
Desventajas
Frecuencia
Pérdidas 99.57%
VaR
ES

11. 11
APLICACIÓN: Métodos de Estimación
Modelos No Paramétricos Modelos Paramétricos
• Los modelos más generales
son los modelos no
paramétricos los cuales basan
sus posibles escenarios de
distribución de rendimientos en
función de la data histórica.
•Los modelos paramétricos son
la forma más simple de
calcular ambas medidas de
riesgo: VaR y ES. Estos
modelos asumen de antemano
una distribución de
rendimientos conocida que en
la mayoría de casos suele ser
una distribución normal.
Definición
• No se realiza ningún supuesto
• Condicionado a la historia.
• Fácil implementación
• Supuestos no testeados
Ventajas
Desventajas

12. 12
APLICACIÓN: Caso IGBVL
 Utilizamos el IGBVL ya que resume el comportamiento bursátil del mercado
peruano es decir refleja la tendencia promedio de los rendimientos alcanzados de
las acciones más significativas de la negociación bursátil.
 El periodo de análisis: Enero 2000 hasta diciembre 2012 con frecuencia diaria

13. 13
APLICACIÓN: Caso IGBVL
 Trabajaremos con los retornos aritméticos.
 Se pueden apreciar periodos de alta volatilidad debido a la alta fluctuación de
las condiciones de mercado.
 Se trabajará con el software estadístico R 2.13.1
.

14. 14
APLICACIÓN: Caso IGBVL
 Análisis estadístico gráfico: Histogramas y qqplots.
 Gran concentración alrededor de un valor, quantiles no coinciden con los de
una distribución normal.

15. 15
APLICACIÓN: Var y ES al 99%
APLICACIÓN: Var 95% y VaR 99%

16. 16
APLICACIÓN: ES 95% y ES 99%
APLICACIÓN: ES 95% y VaR 99%

17. 17
CONCLUSIONES
 La importancia de los axiomas de coherencia para poder establecer una
adecuada medida de riesgo así como el avance matemático en el campo de las
finanzas especialmente en riesgos.
 El VaR como medida de riesgo tiende a subestimar el riesgo ante la presencia
de eventos extremos o de colas anchas sin embargo tiene una aceptación en la
industria debido a su fácil interpretación e implementación.
 El CVaR como alternativa para medir el riesgo de un portafolio es una medida
adecuada ya que cumple con los axiomas de coherencia de manera principal el
de subaditividad.
 Se demostró de manera practica a través de la aplicación con el IGBVL que el
CVaR es un medida de riesgo mas conservadora que el VaR, dado que el CVaR
solo considera las perdidas en la cola.

18. ANEXOS
18

19. 19
INVARIANCIA POR TRANSLACIÓN
quetenemosRmtodoyMX 
    mXmX  

20. 20
SUBADITIVIDAD
     YXYXquetenemosMYX   ,
 Riesgo puede ser reducido por diversificación (principio en economía y
finanzas)
 Si no se cumple, las instituciones tendrían incentivos a separarse
legalmente en varias subsidiarias.
 Si se cumple se puede realizar una correcta asignación de capital.

21. 21
MONOTONICIDAD
   YXYXMYX   ,/,
 Posiciones o portafolios más riesgosos requieren más capital o tienen más
pérdidas.

22. 22
POSITIVAMENTE HOMOGENEA
   XXquetenemostodoyMX   0

23. 23
RETORNOS
Sea el retorno del portafolio definido por tt rrr  1 donde
son los valores del portafolio en el tiempo t y t+1.tt rr ,1
1

t
t
g
r
r
LnR
1
1



t
tt
a
r
rr
R ag RLnR  1
Tasa de Retorno
Geométrica
Tasa de Retorno
Aritmética

24. FUNCION DE DISTRIBUCIÓN
Sea un espacio probabilístico, un espacio medible y
una variable aleatoria. La distribución de X se define por
la función: .
es una función de probabilidad definida en que cumple
ADR
 PF,,  ,E
EX :
1
 XPPX 
XP  ,E
       11
 
PEXPEPX

25. En el caso particular de que ,es decir cuando X
es un vector aleatorio denotaremos:
Para el caso d=1 tenemos la distribución de la variable aleatoria
X denotada por es una función definida sobre .
Si entonces:
La función de distribución de X, es la función definida
sobre R
ADR
    dd
RRE  ,,
     d
X RXPXPBP  
,][][ 1
XP  R
 
  ][
]1,0[:


XPBP
RP
X
X
 x,       xXPxXPPX  ,
.XF
     ][,
]1,0[:
xXPxxFx
RP
X
X



26. α- teal mean
Definición: Sea ; se define por:
Ahora Expect Shortfall se puede definir:
Sea
ADR

][XE meantail
      
          
 
xXPxXEXTMx xX  

}{1
1
   

 xXESES
)...(0][,1
0][,1
1
}{1
][
][
}{
}{
}{ IxXPsi
xXPsi
xX
xXP
xXP
xX
xX
xX
















27. Podemos verificar que:
En efecto demostraremos (2) para el caso
ADR
 
 
  )2...(1,01 }{ 

xX
 xX 
 
 
     
  
  
     
  
  









xXP
xFq
xFxF
xF
xXP
xXP
xXxX












1
11 }{

28. La segunda igualdad se define por:
luego la pertenencia se da por:
La expresión (1) también cumple:
En efecto tenemos:
ADR
          
  xFxFxXPx ,
         XFXFqXF  
 
 
 
 
 
   











xXE
qE
xX
xX
}{
1
}{
1
1
   
   qq xX
q
q
xX
xXP
xFq
EE 










 11 }{

29. Por linealidad de esperanza tenemos:
Debido a la definición de tenemos que el segundo
término de la ecuación (3) es igual a 0, por lo nos quedaría
En el caso de que la función indicadora de la ecuación
(3)se hace ambos términos, entonces tenemos:
ADR
    
    )3...(11










  qq xX
q
q
xX
xXP
xFq
EE
 qxX 1 qxX 
     qxXPE qxX q
1
qxX 
 
 
  
  q
q
q
q
xFEq
xFEq
xXP
xFq
E














1
1
1
1

30. Pues . Tenemos que el
valor esperado es q .
ADR
         qqqq xXPxXPExXPxFE 

31. Subaditividad del ES
Dada dos variables aleatorias X y Y con
se cumple para cualquier .
Demostración:
Definamos , por (1) tenemos
ADR
     
XEyXE
     YESXESYXES    1,0
YXZ 
      
         
              
                 
     
0
1111
1111
111

















yx
YyEx
YXE
YXZE
ZESYESXES
yYzZxXzZ
yYzZxXzZ
zZzZzZ

32. En la desigualdad empleamos lo siguiente:
Lo cual es como consecuencia de la propiedad 1
ADR
  
 
  
 
 
  
 
  
 
 
)4...(
,011
,011















xXsi
xXsi
xXzZ
xXzZ