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° La probabilidad de que seleccione       al alumno numero 16.                   1               0 P(x=1) = (1/16)       *...
1                 0P(x=1) = (1/342)       * (341/342)       = 1/342               = 0.00292     ° La probabilidad de que N...
° La probabilidad de obtener cruz.                      1             0  P(x=1) = (0.5)          * (0.5)       = 0.5 = 0.5...
grupo de 4 amigos son aficionados          a la lectura:1. ¿Cuál es la probabilidad de que    en el grupo hayan leido la  ...
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3   2.Al menos tres personas.  3.Exactamente dos personas.4) Se lanza una moneda cuatroveces. Calc...
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• P=0.02  • P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746                   • X=4              •        =1.7      3) El número de mens...
P(X=3)= 0.09160366 b) ¿Cuál es la probabilidad de que   se reciban diez mensajes en 1.5               horas?              ...
posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el número de partículas que son        retiradas. Determine.a)   P(X=5)b)   P(X≤2)c)...
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Normal 1)Determine el área bajo la curva                   normal      a)Ala derecha de z= -0.85.      b)Entre z = 0.40 y ...
A – 1 – 0.1977 = 0.8023    B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478    C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338 D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404...
A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a        la derecha de Z es 0.0073  B –    la puntuación de z en el 25 º              ...
tenga resistencia       mayor a 12                          GPa?       b)Determine el primer cuartil de        la resisten...
4) La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en uncaldo, cuyo contenido de azúcar debe    controlarse...
RESULTADOS A)(6 – 4.9)/0.6 =1.83            1 –             0.9664 = 0.0336   B)Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00    1 –           ...
para que el 99% de las latas        contenga 12 onzas o mas?     c) Si la media del procesos siguesiendo de 12.05 onzas. ¿...
Gamma  1)El número de pacientes quellegan a la consulta de un médico      sigue una distribución de Poisson de media 3 pac...
Punt 10                o X 00                     0       Cola Izquierda Pr[X<=k]                  0,9826         Cola Der...
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es           menor que 0,1.     Cálculo de probabilida...
T- Student            1.Sea T ~ t(4,0.5)              a)   Determinar             b) Determinar           c) Determinar P(...
=   e –(0.5)(3)         - e –(0.5)(3)   - e –       (0.5)(3)         - e (0.5)(3)=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551      ...
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4) La duración de un ventilador, en  horas , que se usa en un sistema      computacional tiene una distribución de Weibull...
Sean X1 y X2 las duraciones de losdos componentes. Suponga que X1 yX2 son independientes y que cada uno sigue una distribu...
Ejemplos de distribuciones de probabilidad
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Ejemplos de distribuciones de probabilidad

  1. 1. Bernoulli 1)Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. 1 0P(x=1) = (1/9) * (8/9) = 1/9 = 0.111 ° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. 0 1 P(x=0) = (1/9) * (8/9) = 8/9 = 0.888 2) Una maestra enumera a susalumnos del 1 al 16, para así poderdarles un premio, pero la maestra los seleccionará con los ojoscerrados, ¿Cual es la probabilidadde que salga el alumno numero 16?
  2. 2. ° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. 1 0 P(x=1) = (1/16) * (15/16) = 1/16 = 0.0625 ° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. 0 1 P(x=0) = (1/9) * (15/16) = 15/16 = 0.937 3) Hay una urna con 342 boletos,para ganar un automóvil, al momento de sacar alguno de ellos ¿qué probabilidad hay para que pueda salir premiado el boleto número 342? ° La probabilidad de que saque el boleto número 342.
  3. 3. 1 0P(x=1) = (1/342) * (341/342) = 1/342 = 0.00292 ° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342. 0 1 P(x=0) = (1/342) * (341/342) = 341/342 = 0.997074) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz". Se trata de un solo experimento, condos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5. La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dosresultados posibles: 0 (ninguna cruz,es decir, salir cara) y 1 (una cruz). Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.
  4. 4. ° La probabilidad de obtener cruz. 1 0 P(x=1) = (0.5) * (0.5) = 0.5 = 0.5 ° La probabilidad de no obtener cruz. 0 1 P(x=0) = (0.5) * (0.5) = 0.5 = 0.5 Binomial1)Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):2) La última novela de un autorha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un
  5. 5. grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas? B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2 2.¿Y cómo máximo 2? 3) Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablasactuales, la probabilidad de queuna persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: 1. Las cinco personas.
  6. 6. B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3 2.Al menos tres personas. 3.Exactamente dos personas.4) Se lanza una moneda cuatroveces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces. B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5 5) La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es
  7. 7. la probabilidad de que acierteexactamente en tres ocasiones?¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión? B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
  8. 8. Poisson1)Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes • n= 100 • P=0.03 • =100*0.03=3 • x=52)La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos. • n=85
  9. 9. • P=0.02 • P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746 • X=4 • =1.7 3) El número de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es una variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora? -8 P(X=3)= e * -4 P(X=3)= 3.354626279x10 * -4P(X=3)= 3.354626279x10 * 273.0666667
  10. 10. P(X=3)= 0.09160366 b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas? -12 P(X=10)= e * -6 P(X=10)= 6.144212353x10 * -6 P(X=10)= 6.144212353x10 * 17062.76571 P(X=10)= 0.104837255 4) Una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso • n=20 • P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3! =0.2240418 • X=3 • =35) La concentración de partículas enuna suspensión es 2 por mL. Se agita por completo la concentración, y
  11. 11. posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el número de partículas que son retiradas. Determine.a) P(X=5)b) P(X≤2)c) μXd) σx -6 a) P(X=5)= e * -3 P(X=5)= 2.478752177x10 * -3 P(X=5)= 2.478752177x10 * 64.8 P(X=5)= 0.160623141 b) P(X≤2) -6 P(X=0)= e * -6 P(X=1)= e * -3 P(X=0)= 2.478752177x10 * -3 P(X=1)= 2.478752177x10 * -3 P(X=0)= 2.478752177x10 * 1 -3 P(X=1)= 2.478752177x10 * 6 -3 P(X=0)= 2.478752177x10 P(X=1)= 0.014872513
  12. 12. -6 P(X=2)= e * P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) -3 P(X=2)= 2.478752177x10 *P(X≤2)= 2.478752177+0.014872513+ 0.044617539 -3 P(X=2)= 2.478752177x10 * 18 P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804 c) μX μX= 6 d) σx σx= σx= 2.449489743
  13. 13. Normal 1)Determine el área bajo la curva normal a)Ala derecha de z= -0.85. b)Entre z = 0.40 y z = 1.30. c)Entre z =0.30 y z = 0.90. d)Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45Estos resultados se obtuvieron conlas tablas anexas al final de los problemas
  14. 14. A – 1 – 0.1977 = 0.8023 B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478 C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338 D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.74042) Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con media de 480 y desviación estándar de 90. a)¿Cuál es la proposición de puntuaciones mayores a 700? b)¿Cuál es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?c)Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En qué percentil se encuentra? d)¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520? µ = 480 σ = 90
  15. 15. A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073 B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67 El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082 Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91 D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67 Z = (520 – 480)/90 = 0.44El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.41863) La resistencia de una aleación dealuminio se distribuye normalmentecon media de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa. a)¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación
  16. 16. tenga resistencia mayor a 12 GPa? b)Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación. c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación. RESULTADOS µ = 10 σ = 1.4A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 = 0.0764 B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa. C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.
  17. 17. 4) La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en uncaldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. Laconcentración optima e azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentraciónexcede los 6 mg/mL, el hongo muerey el proceso debe suspenderse todo el día. a)¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL en que proporción de días se suspenderá el proceso? b)El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con menos días de producción perdida?
  18. 18. RESULTADOS A)(6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336 B)Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228 Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días5) El volumen de las llantasllenadas por cierta maquina se distribuye con media de 12.05onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas? b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que valor debe fijarse la media
  19. 19. para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas? c) Si la media del procesos siguesiendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe fijarse la media para que el99% de las latas contenga 12 onzas o mas? RESULTADOS A)(12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas C)– 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas
  20. 20. Gamma 1)El número de pacientes quellegan a la consulta de un médico sigue una distribución de Poisson de media 3 pacientes porhora. Calcular la probabilidad deque transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente. Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo quetranscurre hasta la llegada del segundo paciente”sigue una distribución Gamma (6, 2). Solución: Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Gam ma (a p) a : 60 Esca 00 la 0 p : 20 For 00 ma 0
  21. 21. Punt 10 o X 00 0 Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826 Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174 Media 0,3333 Varianza 0,0556 Moda 0,1667 La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98. 2) Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en unhospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese: 1. El tiempo medio de supervivencia.
  22. 22. 2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1. Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Gamma (a,p) a : Escala 0,8100 p : Forma 7,8100 Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000 Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420 Varianza 11,9037 Moda 8,4074 El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  23. 23. T- Student 1.Sea T ~ t(4,0.5) a) Determinar b) Determinar c) Determinar P(T P(T= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e – (0.5)(1) - e (0.5)(1) =1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636 =0.000175 d) Determinar P(T P(T
  24. 24. = e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e – (0.5)(3) - e (0.5)(3)=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551 =0.9344 2)Sea T ~ Weibull(0.5,3) a) Determinar b) Determinar c) Determinar P(T P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-
  25. 25. 3) En el articulo “ParameterEstimation with Only One CompleteFailure Observation”se modela la duracion en horas, de cierto tipode cojinete con la distribucion deWeibull con parámetrosa)Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000 horasb)Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas P(T<2000)= P(T c)La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en T=2000 horas? h(t) =
  26. 26. 4) La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema computacional tiene una distribución de Weibull con a)¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10 000 horas? P(T>10 000 ) =1 –(1- =0.3679 b)¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000 horas? P(t<5000) =P(T 5) Un sistema consiste de doscomponentes conectados en serie. El sistema fallara cuando alguno de los componentes falle. Sea T elmomento en el que el sistema falla.
  27. 27. Sean X1 y X2 las duraciones de losdos componentes. Suponga que X1 yX2 son independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull con 2 a) Determine P( P( b) Determine P(T 5) P(T =0.8647 c)T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus parametros? Si, T~ Weibull (2,

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