1. transformadas de laplace
UNIVERSIDAD NACIONAL SAN
AGUSTIN DE AREQUIPA
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

2. TRANSFORMADA DE LA PLACE
La Transformada de Laplace, es una técnica matemática
que forma parte de ciertas transformadas integrales como
la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la
Transformada de Mellin entre otras.
Estas transformadas están definidas por medio de una
integral impropia y cambian una función en una variable de
entrada en otra función en otra variable
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

3. ¿PARA QUÉ SIRVE LA
TRANSFORMADA DE LA PLACE
La Transformada de Laplace, puede ser usada para
resolver:
1. Ecuaciones diferenciales
2. Lineales
3. Ecuaciones Integrales.
Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con
coeficientes variables, en general se aplica a problemas
con coeficientes constantes.
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

4. Dr. Alejandro N. Salas Begazo

5. TRANSFORMADAS DE LA PLACE
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

6. Dr. Alejandro N. Salas Begazo

7. Dr. Alejandro N. Salas Begazo

8. NOTAS
 La letra “s” representa una nueva variable, que para el
proceso de integración se considera una constante.
 La transformada de Laplace convierte una función en la
variable “s”
 Condiciones para la existencia de la transformada de una
función:
a) De orden Exponencial
b) Continua a trozos.
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

9. Dr. Alejandro N. Salas Begazo

10. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA
La Transformada Inversa de una función en “s” digamos F(s) es
una función de “t” cuya transformada es precisamente F(s), es
decir:
𝐋−𝟏
𝐅(𝐬) = 𝐟(𝐭)
Si es que acaso:
𝐋 𝐟(𝐭) = 𝐅(𝐬)
Esta definición obliga a que se cumpla:
𝑳 𝑳−𝟏
𝑭(𝒔) = 𝐅(𝐬) 𝑳−𝟏
𝑳 𝐟(𝐭) = 𝐟(𝐭)
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

11. FORMULAS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
TEOREMAS 1. 𝑳 𝒌 =
𝒌
𝒔
3.
𝑳 𝒕𝒏 =
𝒏!
𝒔𝒏+𝟏
𝑳 𝒆𝒂𝒕 =
𝟏
𝒔 − 𝒂
𝑳 𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒕 =
𝒂
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐
4.
5. 𝑳 𝒄𝒐𝒔 𝒂𝒕 =
𝒔
𝒔𝟐 + 𝒂𝟐
𝑳 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒂𝒕 =
𝒂
𝒔𝟐 − 𝒂𝟐
𝑳 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒂𝒕 =
𝒔
𝒔𝟐 − 𝒂𝟐
𝑳 ∝ 𝒇 ± 𝜷𝒈 =∝ 𝑭(𝒔) ± 𝜷𝑮(𝒔)
6.
2.
7.
8.
𝒕 ≥ 𝟎
𝑳 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒕 =
𝒆𝒕 + 𝒆−𝒕
𝟐
9.
Dr. Alejandro N. Salas Begazo
𝒔 > 𝟎

12. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t( y
g(t) son funciones que poseen la Transformada de Laplace.
1. LINEALIDAD
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas
y saca constantes que multiplican.
𝐋 𝐚 𝐟 𝐭 + 𝐛 𝐠(𝐭) = 𝐚 𝐋 𝐟(𝐭) + 𝐛 𝐋 𝐠(𝐭)
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

13. 2. PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en
una traslación en la variable “s”.
𝑳 𝒇 𝒕 𝒆𝒂𝒕
= 𝑭(𝒔 − 𝒂)
Donde:.
𝑳 𝒇 𝒕 = 𝑭(𝒔)
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

14. TEOREMA DE TRASLACIÓN
𝑳 𝒆𝟐𝒕
𝒕𝟑
Primero vamos a desarrollar la función 𝒕𝟑
𝑳 𝒆𝟐𝒕𝒕𝟑 =
𝟑!
𝒔𝟒
=
𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟎!
𝒔𝟒
𝑳 𝒆𝟐𝒕𝒕𝟑 =
𝟔
(𝒔 − 𝟐)𝟒
El valor de “s” va a ser reemplazado por :
(s-(exponente de “e” parte numérica, con su signo))

15. Ejemplo
𝑳 𝒆−𝟔𝒕
𝒕
Primero vamos a desarrollar la función t
𝑳 𝒆−𝟔𝒕
𝒕 =
𝟏!
𝒔𝟐
=
𝟏𝒙𝟎!
𝒔𝟐
El valor de “s” va a ser reemplazado por :
(s-(exponente de “e” parte numérica, con su signo))
𝑳 𝒆−𝟔𝒕
𝒕 =
𝟏
(𝒔 − (−𝟔))𝟐
𝑳 𝒆−𝟔𝒕 𝒕 =
𝟏
(𝒔 + 𝟔)𝟐

16. 3. TEOREMA DE LA TRANSFORMADA DE LA DERIVADA
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por
la variable “s”.
𝑳 𝒇′ 𝒕 = 𝒔𝑳 𝒇(𝒕) − 𝒇(𝟎))
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

17. TRANSFORMADAS DE LA TRES PRIMERAS DERIVADAS
𝑳 𝒇(𝒕) = 𝑭(𝒔)
𝑳 𝒇′(𝒕) = 𝒔𝑭 𝒔 − 𝒇(𝟎)
𝑳 𝒇′′(𝒕) = 𝒔𝟐
𝑭 𝒔 − 𝒔𝒇 𝟎 − 𝒇′(𝟎)
𝑳 𝒇′′′(𝒕) = 𝒔𝟑
𝑭 𝒔 − 𝒔𝟐
𝒇 𝟎 − 𝒔𝒇′
𝟎 − 𝒇′′(𝟎)
Dr. Alejandro N. Salas Begazo
𝑳 𝒇(𝒕) = 𝒀(𝒔)
𝑳 𝒇′(𝒕) = 𝒔𝒀 𝒔 − 𝒀(𝟎)
𝑳 𝒇′′(𝒕) = 𝒔𝟐
𝒀 𝒔 − 𝒔𝒀 𝟎 − 𝒀′(𝟎)
𝑳 𝒇′′′(𝒕) = 𝒔𝟑
𝒀 𝒔 − 𝒔𝟐
𝒀 𝟎 − 𝒔𝒀′
𝟎 − 𝒀′′(𝟎)

18. 4. TEOREMA DE LA TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL
𝑳
𝒔
𝒕
𝑳 𝒇(𝒕) 𝒅𝒕 =
𝟏
𝟐
𝑳 𝒇(𝒕)
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

19. 5. TEOREMA DE LA INTEGRAL DE LA TRANSFORMADA
𝑳 𝒇(𝒕) = 𝑳
𝒔
+∞
𝑳 𝒇(𝒕) 𝒅𝒔
Siempre y cuando exista:
𝐥𝐢𝐦
𝒇(𝒕)
𝒕
t tiende a 0
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

20. 6. TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA TRANSFORMADA
𝑳 𝒕𝒏
𝒇(𝒕) = (−𝟏)𝒏
𝒅𝒏
𝒅𝒔𝒏
𝑳 𝒇(𝒕)
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

21. 7. SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN
𝑳 𝒇 𝒕 𝑼𝒂(𝒕) = (𝒆)−∝𝒔
𝑳 𝒇(𝒕 + 𝒂)
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

22. TÉCNICAS PARA LA TRANSFORMADA INVERSA
 Separación de Fracciones.
 Primer Teorema de Traslación.
 Fracciones Parciales.
 Segundo teorema de Traslación
 Convolución.
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

23. Dr. Alejandro N. Salas Begazo
𝑳 𝒆𝒂𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒕) =
𝒃
𝒔 − 𝒂 𝟐 + 𝒃𝟐
𝑳 𝒕𝒆𝒂𝒕
=
𝟏
𝒔 − 𝒂 𝟐 𝒔 > 𝟎
𝑳 𝒆𝒂𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝒃𝒕) =
𝒔 − 𝒂
𝒔 − 𝒂 𝟐 + 𝒃𝟐

24. Ejercicios de Aplicación
𝟐
𝟒!
𝒔𝟒+𝟏
𝑳 𝟐𝒕𝟒
𝟐𝑳 𝒕𝟒
𝟐
𝟒𝒙𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟎!
𝒔𝟓
𝟒𝟖
𝒔𝟓
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

25. Ejercicios de Aplicación
−𝟒𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟎!
𝒔𝟐+𝟏
+
𝟏𝟔
𝒔𝟏+𝟏
+
𝟗
𝒔
𝑳 −𝟒𝒕𝟐
+ 𝟏𝟔𝒕 + 𝟗
−𝟒𝑳 𝒕𝟐
+ 𝟏𝟔𝑳 𝒕 + 𝑳 𝟗
−𝟖
𝒔𝟑
+
𝟏𝟔
𝒔𝟐
+
𝟗
𝒔
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

26. Ejercicios de Aplicación
𝟖𝒙𝟑𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟎!
𝒔𝟑+𝟏
−
𝟏𝟐𝒙𝟐𝒙𝟏𝒙𝟎!
𝒔𝟐+𝟏
+
𝟔𝒙𝟏𝒙𝟎!
𝒔𝟏+𝟏
−
𝟏
𝒔
𝑳 (𝟐𝒕 − 𝟏)𝟑
𝟖𝑳 𝒕𝟑
− 𝟏𝟐𝑳 𝒕𝟐
+ 𝟔𝑳 𝒕 − 𝟏
𝑳 𝟖 𝒕𝟑
− 𝟏𝟐 𝒕𝟐
+ 𝟔 𝒕 − 𝟏
𝟒𝟖
𝒔𝟒
−
𝟐𝟒
𝒔𝟑
+
𝟔
𝒔𝟐
−
𝟏
𝒔
Dr. Alejandro N. Salas Begazo

27. Ejercicios de Aplicación
𝑳 𝒆−𝒕
𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒕
𝑳 𝒆−𝒕
(
𝒆𝒕
+ 𝒆−𝒕
𝟐
)
𝟏
𝟐𝒔
+
𝟏
𝟐(𝒔 + 𝟐)
𝑳
𝒆−𝒕
𝟐
(𝒆𝒕
+ 𝒆−𝒕
) 𝑳
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝒆−𝟐𝒕
𝟏
𝟐
𝑳 𝟏 +
𝟏
𝟐
𝑳 𝒆−𝟐𝒕
𝟏
𝟐
𝟏
𝒔
+
𝟏
𝟐
𝟏
𝒔 − (−𝟐)
Dr. Alejandro N. Salas Begazo