01 Ecuaciones CuadráTicas

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01 Ecuaciones CuadráTicas

  1. 1. MATEMATICAS III QUINTO BIMESTRE
  2. 2. <ul><li>TEMA: </li></ul><ul><li>ECUACIONES CUADRÁTICAS </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Las ecuaciones de segundo grado , también llamadas cuadráticas son </li></ul><ul><li>aquellas cuyo máximo exponente de la variable es 2. </li></ul><ul><li>La forma general de las ecuaciones cuadráticas es: </li></ul><ul><li>ax 2 + bx + c = 0, </li></ul><ul><li>Donde a, b y c son constantes cualesquiera, pero a ≠ 0 </li></ul>
  4. 4. <ul><li>A la gráfica de una ecuación de segundo grado se le llama </li></ul><ul><li>parábola y tiene la forma parecida a una “u” </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Las ecuaciones cuadráticas se dividen en: </li></ul><ul><li>Ecuaciones cuadráticas completas: Son aquellas que cumplen con la forma general, es decir tienen todos sus elementos. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: x 2 + 6x + 9 = 0 </li></ul><ul><li>Ecuaciones cuadráticas incompletas: Carecen de uno de sus términos . </li></ul><ul><li>Si carecen del término lineal, se llaman incompletas mixtas . </li></ul><ul><li> Por ejemplo: x 2 - 9 = 0 </li></ul><ul><li>Si carecen del término independiente, se llaman incompletas puras. </li></ul><ul><li>Por ejemplo x 2 – 4x = 0 </li></ul>
  6. 6. <ul><li>SUBTEMA: </li></ul><ul><li>SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Las ecuaciones de segundo grado pueden presentar uno y solo uno de </li></ul><ul><li>los siguientes casos: </li></ul><ul><li>La ecuación tiene dos soluciones: La gráfica corta en 2 puntos al eje “x” </li></ul>
  8. 8. <ul><li>b) La ecuación tiene una solución: La gráfica corta en 1 punto al eje “x” </li></ul>
  9. 9. <ul><li>c) La ecuación no tiene solución: La gráfica no corta al eje “x” </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Nota: A las soluciones de las ecuaciones también se les llama </li></ul><ul><li>raíces </li></ul>
  11. 11. <ul><li>SUBTEMA: </li></ul><ul><li>SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS </li></ul><ul><li>INCOMPLETAS PURAS </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Pasos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas puras: </li></ul><ul><li>Se pasa el término independiente al segundo miembro de la igualdad. (Si se encuentra en el primer miembro) </li></ul><ul><li>Se despeja la “x” (Si es necesario) </li></ul><ul><li>Se obtienen la(s) solución(es), sacando la raíz cuadrada. </li></ul>
  13. 13. <ul><li>EJEMPLOS </li></ul>
  14. 14. <ul><li>x 2 – 4 = 0 </li></ul><ul><li> x 2 = 4 </li></ul><ul><li>___ </li></ul><ul><li>x = √ 4 </li></ul><ul><li>x = 2 x = - 2 </li></ul>
  15. 15. <ul><li>2x 2 – 18 = 0 </li></ul><ul><li>2x 2 – 18 = 0 </li></ul><ul><li>x 2 = _ 18 _ </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>x 2 = 9 </li></ul><ul><li>___ </li></ul><ul><li>x 2 = √9 </li></ul><ul><li>x = 3 x = -3 </li></ul>
  16. 16. <ul><li>c) x 2 + 1 = 0 </li></ul><ul><li> x 2 = -1 </li></ul><ul><li>___ </li></ul><ul><li>x = √ -1 </li></ul><ul><li>No hay solución, porque no existe la raíz cuadrada de un número </li></ul><ul><li>negativo en el conjunto de los números reales. </li></ul>
  17. 17. <ul><li>EJERCICIOS </li></ul>
  18. 18. <ul><li>Resuelve correctamente las siguientes ecuaciones cuadráticas </li></ul><ul><li>incompletas puras. </li></ul><ul><li>x 2 – 196 = 0 </li></ul><ul><li>x 2 – 256 = 0 </li></ul><ul><li>x 2 = 81 </li></ul><ul><li>3x 2 – 48 = 0 </li></ul>
  19. 19. <ul><li>SUBTEMA: </li></ul><ul><li>SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS </li></ul><ul><li>INCOMPLETAS MIXTAS </li></ul>
  20. 20. <ul><li>Pasos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas: </li></ul><ul><li>Colocar ambos términos deben estar en el primer miembro de la </li></ul><ul><li>igualdad </li></ul><ul><li>2. Se saca factor común. </li></ul><ul><li>3. Se igualan a cero los factores. </li></ul><ul><li>4. Se obtienen la(s) solución(es) despejando. </li></ul>
  21. 21. <ul><li>EJEMPLOS </li></ul>
  22. 22. <ul><li>x 2 + 4x = 0 </li></ul><ul><li>x (x + 4) = 0 </li></ul><ul><li>x = 0 x + 4 = 0 </li></ul><ul><li>x = -4 </li></ul>
  23. 23. <ul><li>b) 2x 2 + 4x = 0 </li></ul><ul><li>2x (x + 2) = 0 </li></ul><ul><li>2x = 0 x + 2 = 0 </li></ul><ul><li>x = _ 0 _ x = -2 </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>x = 0 </li></ul>
  24. 24. <ul><li>EJERCICIOS </li></ul>
  25. 25. <ul><li>Resuelve correctamente las siguientes ecuaciones cuadráticas </li></ul><ul><li>incompletas mixtas. </li></ul><ul><li>x 2 + 12x = 0 </li></ul><ul><li>x 2 – x = 0 </li></ul><ul><li>x 2 + 7x = 0 </li></ul><ul><li>3x 2 = 27x </li></ul>
  26. 26. <ul><li>SUBTEMA: </li></ul><ul><li>SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS </li></ul><ul><li>COMPLETAS </li></ul>
  27. 27. <ul><li>Existen diversos métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas </li></ul><ul><li>completas, entre ellos están. </li></ul><ul><li>Factorización: Como su nombre lo dice, este método consiste en </li></ul><ul><li>factorizar el trinomio que forma la ecuación, este método es </li></ul><ul><li>rápido, pero no es útil para cualquier ecuación. </li></ul><ul><li>Completando al cuadrado: Consiste en sacar la mitad del coeficiente del término lineal y elevarla al cuadrado, luego agregar ese número en ambos miembros y luego solucionar la ecuación. </li></ul><ul><li>Fórmula general: Consiste en aplicar la fórmula general para las </li></ul><ul><li>ecuaciones cuadráticas, este método es útil para cualquier </li></ul><ul><li>ecuación, pero es más lento. </li></ul>
  28. 28. <ul><li>SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS </li></ul><ul><li>POR EL MÉTODO DE FACTORIZACIÓN </li></ul><ul><li>Pasos para resolver por el método de factorización. </li></ul><ul><li>Tener todos los términos en el primer miembro de la igualdad. </li></ul><ul><li>Factorizar. </li></ul><ul><li>Igualar a cero los factores. </li></ul><ul><li>4. Despejar para hallar la(s) solución(es) </li></ul>
  29. 29. <ul><li>EJEMPLOS </li></ul>
  30. 30. <ul><li>Encuentra la(s) solución(es) de las siguientes ecuaciones cuadráticas. </li></ul><ul><li>x 2 + 5x + 6 = 0 </li></ul><ul><li> (x + 3) (x + 2) = 0 </li></ul><ul><li> x + 3 = 0 x + 2 = 0 </li></ul><ul><li> x = - 3 x = - 2 </li></ul>
  31. 31. <ul><li>b) x 2 + 2x + 1 = 0 </li></ul><ul><li> (x + 1) (x + 1) = 0 </li></ul><ul><li>x + 1 = 0 x + 1 = 0 </li></ul><ul><li>x = - 1 x = - 1 </li></ul>
  32. 32. <ul><li>EJERCICIOS </li></ul>
  33. 33. <ul><li>Resuelve correctamente las siguientes ecuaciones cuadráticas </li></ul><ul><li>completas por factorización </li></ul><ul><li>x 2 + 7x + 12 = 0 </li></ul><ul><li>x 2 – x – 6 = 0 </li></ul><ul><li>x 2 + 7x + 10= 0 </li></ul><ul><li>x 2 - 5x + 4 = 0 </li></ul>
  34. 34. <ul><li>SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS </li></ul><ul><li>POR EL MÉTODO DE COMPLETANDO AL CUADRADO </li></ul><ul><li>Pasos para resolver por el método de completando al cuadrado. </li></ul><ul><li>Los términos cuadrático y lineal deben estar en el primer </li></ul><ul><li>miembro de la igualdad y el término independiente en el </li></ul><ul><li>segundo miembro. </li></ul><ul><li>(El coeficiente del término lineal debe ser uno) </li></ul><ul><li>Se saca la mitad del coeficiente del término lineal y luego se </li></ul><ul><li> eleva al cuadrado, el resultado se agrega en ambos miembros </li></ul><ul><li> de la igualdad. </li></ul><ul><li>Se factoriza el primer miembro de la igualdad (T. C. P. ) y se obtiene un binomio al cuadrado. </li></ul>
  35. 35. <ul><li>Se obtiene la raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad. </li></ul><ul><li>Se despeja y se obtienen la(s) solución(es) </li></ul>
  36. 36. <ul><li>EJEMPLOS </li></ul>
  37. 37. <ul><li>a) x 2 + 4x - 12 = 0 </li></ul><ul><li>x 2 + 4x = 12 </li></ul><ul><li>x 2 + 4x + 4 = 12 + 4 </li></ul><ul><li>x 2 + 4x + 4 = 16 </li></ul><ul><li> (x + 2) 2 = 16 </li></ul><ul><li>x + 2 = 4 x + 2 = -4 </li></ul><ul><li>x = 2 x = -6 </li></ul>
  38. 38. <ul><li>b) x 2 + 8x - 180 = 0 </li></ul><ul><li>x 2 + 8x = 180 </li></ul><ul><li>x 2 + 8x + 16 = 180 + 16 </li></ul><ul><li>x 2 + 8x + 16 = 196 </li></ul><ul><li> (x + 4) 2 = 196 </li></ul><ul><li>x + 4 = 14 x + 4 = -14 </li></ul><ul><li>x = 10 x = -18 </li></ul>
  39. 39. <ul><li>EJERCICIOS </li></ul>
  40. 40. <ul><li>Resuelve correctamente las siguientes ecuaciones cuadráticas </li></ul><ul><li>completas por completando al cuadrado. </li></ul><ul><li>x 2 + 24x - 25 = 0 </li></ul><ul><li>x 2 – 10x – 56 = 0 </li></ul><ul><li>x 2 + 2x - 255= 0 </li></ul><ul><li>x 2 - 6x - 160 = 0 </li></ul>
  41. 41. <ul><li>SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS </li></ul><ul><li>POR EL MÉTODO DE FÓRMULA GENERAL </li></ul><ul><li>La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es: </li></ul><ul><li>_______ </li></ul><ul><li>x = __- b ± √b 2 – 4ac___ </li></ul><ul><li>2a </li></ul>
  42. 42. <ul><li>Pasos para resolver ecuaciones por fórmula general </li></ul><ul><li>Se ordena la ecuación para sustituir los valores de “a”, “b” y “c” en la fórmula general, de la siguiente manera: </li></ul><ul><li>El coeficiente del término cuadrático es “a” </li></ul><ul><li>El coeficiente del término lineal es “b” </li></ul><ul><li>El término independiente es “c” </li></ul><ul><li>2. Se realizan todas las operaciones indicadas para hallar la o las soluciones (Si las hay) </li></ul>
  43. 43. <ul><li>EJEMPLOS </li></ul>
  44. 44. <ul><li>Resuelve correctamente las siguientes ecuaciones cuadráticas </li></ul><ul><li>completas por fórmula general. </li></ul><ul><li>x 2 + 4x + 4 = 0 </li></ul><ul><li>a = 1 b = 4 c = 4 </li></ul><ul><li>_______ </li></ul><ul><li>x = __- b ± √b 2 – 4ac___ </li></ul><ul><li>2a </li></ul>
  45. 45. <ul><li>__________ </li></ul><ul><li>x = __- 4 ± √(4) 2 – 4(1)(4)___ </li></ul><ul><li>2(1) </li></ul><ul><li>______ </li></ul><ul><li>x = __- 4 ± √16 – 16 __ </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>___ </li></ul><ul><li>x = __- 4 ± √ 0__ </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>x = __- 4 + 0 __ x = __-4 – 0 __ </li></ul><ul><li>2 2 </li></ul><ul><li>x = -4 /2 x = -4 / 2 </li></ul><ul><li>x = -2 x = - 2 </li></ul>

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