Números imaginarios

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definiciones, operaciones, imaginarios y complejos

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Números imaginarios

  1. 1. NÚMEROS IMAGINARIOS<br />Se llaman números imaginarios a los números de la forma bi, y son el producto de un número real b y la unidad imaginaria i, donde i=-1.<br />Ejemplo 1: dada la ecuación x2+25=0, hallar el valor de x<br />SOLUCIÓN: x2+25=0<br />x2=-25 -> x=±-25 pero -25 = 25x(-1), por tanto<br />x=±25×(-1) =±25 ×-1 =±5-1 <br />x=±5i<br />Ejemplo 2: x2+16=0 <br /> x2=-6 -> x=-16 -> x=±16(-1)<br />x=4i<br />Potencias de i: Sea n∈z+, tenemos que:<br />i1=i5=i9=i13=i17=…=i<br />i2=i6=i10=i14=i18=…=-1<br />i3=i7=i11=i15=i19=…=-i<br />i4=i8=i12=i16=i20=…=1<br />NÚMEROS COMPLEJOS (C)<br />El conjunto de los números complejos “C” se define así:<br />C={a+bi/a,bєR, con i²=-1} ;<br /> se lee: “El conjunto de los números complejos C, es igual al conjunto de los números que tienen la forma a+bi; tal que a y b pertenecen a los números Reales y la cantidad imaginaria elevada al cuadrado igual a menos uno”.<br />Un número complejo a+bi se suele representar con la letra z y podemos decir que si z=a+bi, a, es la parte real del número complejo y b, es la parte imaginaria del mismo número, que se simboliza así:<br />a=Re(z); a, parte real de z<br />b=Im(z); b, parte imaginaria de z<br />Ejemplo: Determinar en cada caso la parte imaginaria y la parte compleja de cada número:<br /> z₁=3-2ib. z₂=5+8i<br />SOLUCIÓN: <br />z₁=3-2i -> Re(z₁)=3 ; Im(z₁)=-2<br />z₂=5+8i -> Re(z₁)=5 ; Im(z)=8<br />Los números complejos, se pueden escribir de dos formas:<br />Forma polinomial: Es la forma ya conocida z=a+bi<br />Forma cartesianas: Se expresar como una pareja ordenada que se puede representar en el plano complejo.<br />Así z = a + bi = (a,b), de manera que el par (a, b) es la forma cartesiana del complejo "z”.<br />Ejemplo: Dados los número z₁ = 3 + 2i; z₂ = -4 - 3i; z₃ = 6 - 2i; z₄= -3 + i; escribirlos de forma cartesiana y representarlos en el plano complejo.<br />SOLUCIÓN:<br />Z₁ = 3 + 2i = (3, 2) <br />z₂ = -4 - 3i = (4, -3) <br />z₃ = 6 - 2i = (6, -2)<br />z₄= -3 + i = (-3, 1)<br />CONJUGADA DE UN NÚMERO COMPLEJO<br />Sea Z = a + bi, un número complejo; la conjugada de Z, que se representa como Ž, se define como Ž = a –bi.<br />Es decir que para hallar la conjugada de un número complejo basta con cambiarle el signo a su parte imaginaria.<br />Ejemplo: Hallar la conjugada de los siguientes complejos:<br />z₁ = -3 + 2i b. z₂ = 8 – 5i c. z₃ = 2 + 4i<br />SOLUCIÓN:<br /> #complejoconjugada<br />z₁ = -3 + 2i -> Ž₁ = -3 - 2i <br />z₂ = 8 – 5i -> Ž₂ = 8 + 5i <br />z₃ = 2 + 4i ->Ž3 = 2 - 4i <br /> <br />NORMA DE UN NÚMERO COMPLEJO<br />La norma de un número complejo es la magnitud o longitud del vector que representa a un número complejo. Sea Z = a + bi, la norma de z representada así |z| se define de la siguiente manera:<br /> | z | = a2+b2<br />Ejemplo: Hallar la norma de los siguientes números complejos:<br />z₁ = -2 – 8i b. z₂ = 4 z₃ = 5i<br />SOLUCIÓN:<br />a. z₁ = -2 – 8i -> | z₁ |= (-2)2+(-8)2 = 4+64= 68 <br /> | z₁|=8.4<br />b. z₂ = 4 = 4 + 0i -> | z₂ | = 42+o2=16=4 <br />c. z₃ = 5i = 0 + 5i -> | z3 |= 02+52=25 = 5<br />OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS<br />adición y sustracción de números complejos<br />Para sumar o restar números complejos, basta con sumar a restar algebraicamente sus partes imaginarias y complejas respectivamente; simbólicamente lo representamos así: <br />Si: z₁= a + bi y z₂ =c +di, entonces:<br />z₁ + z₂ = (a+c) + (b+d)i.<br />Ejemplo: Dados los números complejos Z₁ = 4+ 7i y Z₂ = -3 -7i. <br />Hallar: a. Z₁+ Z₂ b. Z₁ -Z₂ <br />SOLUCIÓN: <br />Z₁+ Z₂ =(4+ 7i) + (-3 -7i ) = (4-3) + (7i-7i)= 1 + 0i = 1<br />Z₁ -Z₂ = (4+ 7i) - (-3 -7i ) = 4+7i +3+7i = (4+3) + (7i+7i) = 7 + 14i<br />Multiplicación de números complejos<br />Para multiplicar dos o más números complejos seguimos este proceso:<br />1 desarrollar los productos como binomios.<br />2 Reemplazar las potencias de i por sus respectivos valores.<br />3 se reducen los términos semejantes y se expresa la respuesta como un número de la forma a+ bi.<br />Ejemplo: Multiplicar: a. (4+3i)*(5-4i) b. (5-2i)²<br />SOLUCIÓN:<br />(4+3i)*(5-4i) = 4*5+4*(-4i)+3i*5+3i*(-4i) = 20 -16i +15i – 12i =20-16i +15i – 12(-1)<br /> = 20-16i +15i + 12= (20+12) + (15i-16i) = 32 – i<br />(5-2i)² = 5² - 2(5)(2i) – (2i)² = 25 – 20i – 4i² = 25 – 20i – 4(-1) = 25 – 20i + 4 = (25 + 4) – 20i<br /> = 29 – 20i<br />División de números complejos<br />Para dividir dos números complejos realizamos los siguientes pasos:<br />Expresar la operación en forma de fracción <br />Se multiplica el numerador y el denominador por la conjugada del denominador<br />Se resuelven los productos indicados y el resultado de la forma a + bi<br />Ejemplo: Dividir: (-2 + 8i) ÷ (-2 +6i)<br />SOLUCIÓN: 1. -2+8i-2+6i2. La conjugada de -2+6i = -2 -6i<br />Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por la conjugada:<br />-2+8i-2+6i= -2+8i-2+6i*-2 -6i-2 -6i= -2+8i*-2 -6i-2+6i*-2 -6i<br /> =-2*-2-2*-6i+8i*-2+8i*-6i-2*-2-2*-6i+6i*-2+6i*-6i<br /> <br /> =4+12i-16i-48i24-12i+12i-36i2=4+12i-16i-48-14-12i+12i-36-1<br /> =4+12i-16i+484-12i+12i+36=52-4i40<br />=5240-440i=1310-110i<br /> <br />

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