Funciones trigonométricas

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definición de las funciones trigonométricas

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Funciones trigonométricas

  1. 1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASEntre la longitud de un vector ubicado en el plano cartesiano y sus proyecciones horizontal yvertical, se pueden establecer las razones; estas razones corresponden a las funcionestrigonométricas y su valor se determina según la ubicación del ángulo. Del gráfico podemos establecer las siguientes relaciones: FUNCIÓN SENO: Es la razón entre la proyección vertical del segmento orientado y la longitud del vector. Senα = EJEMPLO: calcula la función seno del ángulo β (beta) dado el punto P = ( -7 , 9 ) sobre el lado terminal.SOLUCIÓN: 1. Representamos gráficamente 2. Hallamos la longitud del vector “v” aplicando teorema de Pitágoras. Teniendo en cuenta: Vx = -7 y Vy = 9 V= 3. calculamos la función seno: sen β = FUNCIÓN COSENO: El coseno de un ángulo en posición normal es la razón entre la proyección horizontal del segmento orientado y la longitud del mismo.Simbólicamente: Cosα =EJEMPLO: Calcular la función coseno de un ángulo alfa dado el punto P = ( -3 , -7 ), sobre el ladoterminal: SOLUCIÓN: Vx = -3 ; Vy = -7
  2. 2. Cosα = =FUNCIÓN TANGENTE: La tangente de un ángulo en posición normal es la razón entre la proyecciónvertical y la proyección horizontal del vector; se debe tener en cuenta que la proyección horizontalno puede ser cero. Simbólicamente se representa así: Tanα =EJEMPLO: calcular el valor de la tangente del ángulo formado P = (4 , -3), sobre el lado terminal.SOLUCIÓN: Tanα = =FUNCIÓN COTANGENTE: La función cotangente es la recíproca de la tangente y se define como elcociente entre la proyección horizontal y la proyección vertical. Simbólicamente se representa así: Cot α =FUNCIÓN SECANTE: Es la función recíproca del coseno, y se define como el cociente entre lalongitud del vector y su proyección horizontal, así: Secα =FUNCIÓN COSECANTE: Es la función recíproca del seno; se define como la razón entre la longituddel vector y su proyección vertical; así: Cscα =
  3. 3. EJEMPLO: Hallar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo determinado cuyo ladoterminal es el punto P = (-5 , 3).SOLUCIÓN: Identificamos los elementos: Vx = -5 ; Vy = 3 y V, lo calculamos mediante elteorema de Pitágoras.senα = Tanα = = Secα =Cosα = = Cot α = Cscα = FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS MULTTIPLICATIVASDe acuerdo con las anteriores definiciones se satisfacen las siguientes relaciones:Cot θ = ; Sec θ = ; Csc θ =EJEMPLO:a. Determinar las funciones coseno y tangente del ángulo x, si: Secx = -1.2 y Cotx = -2b. Si el ; Sec θ= y tan θ = ; Hallar las demás funciones trigonométricasSolución: a. como, Sec x = = Tanx =b. = = Cot θ = Csc θ = SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN EL CUADRANTE Función Sen Cos Tan Cot Sec Csc Cuadrante I + + + + + +
  4. 4. II + - - - - +III - - + + - -IV - + - - + - ACTIVIDAD 1. Encuentra el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos determinados por el vector cuyo extremo es: a. P = (4,3) b. A = (-3,-5) c. Q = (-4, 4) d. R= (5, -3) 2. Las coordenadas del extremo de un vector situado en posición normal son P = . Calcula el valor de las siguientes expresiones: a. Sen θ + cos θ b. tan θ c. 5sen θ + 2 cos θ d. tan θ + cot θ e. tan² θ - sen²θ f. FUNCIONES DE ÁGULOS ESPECIALESFUNCIONES PARA ÁNGULOS DE 30° Y 60° h= h= L Funciones para ángulos de 30° Sen 30° = tan 30° =Cos 30° = = cot 30° =Sec 30° = csc 30° =Funciones para ángulos de 60°
  5. 5. Sen 60° = cot 60°= Cos 60° = sec 60° = Tan 60° = csc 60° = Funciones para el ángulo de 45° h= sen 45° = tan 45° = sec 45° = cos 45° = cot 45° = csc 45° = RESUMEN DE LAS FUNCIONES PARA ÁNGULOS ESPECIALESFunción sen cos tan cot sec cscÁngulo30° =60° = 1 145°= FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS
  6. 6. Para los ángulos anteriores podemos establecer las funciones trigonométricas: Para los ángulos de primer gráfico para los ángulos del segundo gráfico: sen α = sen (-α) = sen α = sen (-α) = cos α= cos (-α)= cos α= cos (-α)= tan α= tan (-α)= tan α= tan (-α)= Se deduce entonces que para cualquier ángulo alfa (α) se cumplen las siguientes relaciones: sen (-α) = -sen α cot (-α) = -cot α cos (-α)= cos α sec (-α) = sec α tan (-α) = - tan α csc (-α) = - csc α FUNCIONES DE ÁNGULOS CUADRANTESFUNCIONES Sen Cos tan cot sec csc ÁNGULO 0° 0 1 0 ∞ 1 ∞ 90° 1 0 ∞ 0 ∞ 1180°= 0 -1 0 ∞ -1 ∞
  7. 7. 270°= -1 0 ∞ 0 ∞ -1360°=2 0 1 0 ∞ 1 ∞

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