Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

интерполяционный многочлен лагранжа

323 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

интерполяционный многочлен лагранжа

  1. 1. Интерполяционный многочлен Лагранжа Наиболее широко применяется приближение в виде g (x;a1, ... , an ) = i n   1 ai i (x) где i (x) - фиксированные функции, значения ai определяются из условия f(xi) = i n   1 ai i (xi) Для определения коэффициентов аi может быть использован метод неопределенных коэффициентов. Наиболее изучен случай интерполирования многочленами i n   1 ai xi-1 Определитель этой системы отличен от нуля (определитель Вандермонда). Следовательно, система i n   1 ai xj i-1 = f(xj ) j = 1, ... , n имеет решение и притом единственное. Будем строить многочлен в виде gn (x) = i n   1 f(xi ) Фj (x) т.к. Фi(xj) = 0 при i не равном j, то Фi(xj) делится на (x - xj) при i не равном j. Таким образом, нам известно n-1 делителей многочлена степени n-1, отсюда Фi (x) = C j i n   (x-xj ) Из условия Фi(xi) = 1 получаем Фi (x) = j i n j i j x x x x    Интерполяционный многочлен имеет вид gn (x) = Ln (x) = i n   1 f(xi ) j i n j i j x x x x   
  2. 2. Это интерполяционный многочлен Лагранжа. Введем в рассмотрение функцию Ln (x) = i n   1 f(xi ) j i n j i j x x x x    Wn = ( )x xj j n    1 W'n (x) = k n   1 ( )x xj j k n    При x - xi , k неравном i слагаемое обращается в нуль, тогда W'n (xi) = ( )x xi j j j n    Тогда j i n i i j x x x x    = W x W x x x n n i i ( ) ( )( )'  Ln = i n   1 f(xi ) W x W x x x n n i i ( ) ( )( )'  Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа Предположим непрерывность f(n) (x). Введем  (z) = f(x) - gn(z) - KWn(z). Выберем К из условия  (x) = 0, где x - точка в которой оценивается погрешность )( )()( zW zgzf K n n  При таком выборе К функция  (z) обращается в нуль в (n+1) - й точке x1 , x2 , ... , xn , x. На основании теоремы Ролля производная '(z) обращается в нуль по крайней мере в n - точках и т.д.  (n) (z) обращается в нуль по крайней мере в одной точке  , причем эта точка принадлежит отрезку [y1 , y2 ]. y1 = min (x1 , ... , xn , x); y22 = max (x1 , x2 , ... , xn ,x);  n (z) = f n (z) - Kn!; откуда
  3. 3. ! )( n f K n   Тогда ! )( )()( n f xgxf n n   ,   [y1 , y2 ].

×