Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

многочлены чебышева

354 views

Published on

многочлены чебышева

Published in: Engineering
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

многочлены чебышева

  1. 1. Многочлены Чебышева Многочлены Чебышева Tn(x) при n 0 определяется соотношениями T0 (x) = 1; T1 (x) = x; Tn+1(x) = 2 x Tn (x) - Tn-1 (x) при n >0; тогда T2 = 2 x2 -1; T3 = 4 x3 - 3 x; T4 = 8 x4 - 8 x2 + 1. Старший член Tn+1 (x) получается из Tn (x) умножением на 2x и, следовательно, старший член Tn (x) при n > 0 есть 2n-1 xn . Тогда T2n (x) - четные T2n+1 (x) - нечетные. Рассмотрим тригонометрические преобразования: cos(n + ) = cos() cos(n) - sin() sin(n) = = cos() cos(n) - sin() (sin() cos((n-1)  ) + cos() sin((n-1) ) = = cos() cos(n) - cos(n-1+ cos () cos((n-1) -- cos() sin() sin((n-1)) = = cos() cos(n) - cos((n-1) ) + cos() (cos(сos((n-1)) -sin() sin((n-1)) = = 2cos() cos(n) - cos((n-1)). Полагая = arccos(x), получим cos((n+1)arccos(x)) = 2x cos(n arccos(x)) - cos((n-1)arccos(x)); cos(0 arccos(x)) = 1 = T0 (x); cos(1 arccos(x)) = x = T1 (x); Tn (x) = cos(n arccos(x)). Следовательно | Tn (x) | < 1 при всех | x | < 1 Из уравнения Tn (x) = cos(n arccos(x)) получаем
  2. 2. Tn (x) = cos(arccos(x) n) = 0 n arccos(x) 2 )12(   mm m = 0, 1, ... , n - 1 xm = cos        n m 2 )2( m = 0, 1, ... , m - 1 Точки экстремума будут иметь значение | T n(x) | = 1 n arccos(x) = m x = cos n m m = 0, 1, ... , n Tn (x) = 2 1-n Tn (x) = x n + ... T n(x) - называются многочленами, наименее уклоняющимися от нуля. Лемма. Если Pn (x) - многочлен степени n со старшим коэффициентом 1, то     n nn xTxP    1 1,11,1 2)(max)(max Доказательство. Предположим противное. Многочлен Tn (x) - Pn (x) имеет степень n - 1; в то же время sign (Tn (xm ) - Pn (xm )) = sign ((-1)m 21-m - Pn (xm )) = (-1)m , т.к. согласно предположению |Pn (xm)| < 21-n при всех m. Таким образом, между xm и x m+1 многочлен Tn(x) - Pn (x) меняет знак, т.е. он имеет n корней. Мы пришли к противоречию. Заменой x' = x abab 22    отрезок [-1,1] можно перевести в [a,b].   ; )(2 2)()( 1,           ab abx TabxT n nnba n т.е.       .2)( , maxmax 1 ,, )()( nn baba ab ba n n xTxP   Нулями Tn  ba, (x) являются точки Xm =        n mabab 2 )12( cos 22  ; m = 0,1, ... , n-1 Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы. Пусть f(x) приближается на [a,b] с помощью интерполяционного многочлена степени n-1 с узлами интерполяции x , ... , x [a,b], пусть погрешность оценивается в норме f = sup f(x) .
  3. 3. f(x) - Ln (x) = n xWf n n )()()(  ; тогда - ! )( n Wf Lf n n n  Займемся минимизацией правой части этой оценки за счет выбора узлов x , ... , x , для этой цели и были введены многочлены Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля. Многочлен Wn (x) имеет старший коэффициент 1, поэтому Wn = (b - a) n 21-n . Следовательно, при таком расположении узлов справедлива наилучшая из оценок, которая может быть получена ! )( n 2abf Lf 1nnn n   

×