Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

метод наименьших квадратов

310 views

Published on

метод наименьших квадратов

Published in: Engineering
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

метод наименьших квадратов

  1. 1. Метод наименьших квадратов Пусть в эвклидовом пространстве E дана система функций 0, 1, …,m Определитель (0, 0)( 1, 0)… ( m, 0) (0, 1)( 1, 0)… ( m, 1) ………………………….. (0, m)( 1, m)… ( m, m) составленный из скалярных произведений, называется определителем Грама системы функций 0, 1, …,m Лемма. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда система функций 0, 1, …,m линейно зависима Доказательство. Пусть {i} линейно зависима 0 ii Умножим на i скалярно и получим 0(0, 0)+ 1( 1, 0)+… +m( m, 0)=0 ………………………………….……… 0(0, m)+ 1( 1, m)+…+ m ( m, m) Это однородная система, имеющая ненулевое решение, следовательно, определитель равен нулю. Предположим, что определитель Грама равен нулю. Докажем, что {i} линейно зависима. Т.к. определитель равен нулю, то 1 не равен нулю. Систему можно записать (0, 00, +1 1+…+ m m) (1, 00, +1 1+…+ m m) ………………………….. (m, 00, +1 1+…+ m m) Умножим их на i и сложим ||00, +1 1+…+ m m)||2 =0
  2. 2. тогда 0 ii ч.т.д. Функция m(x)=c00(x), +c1 1(x)+…+ cm m(x) где ci-числовые коэффициенты, называются обобщенным многочленом по системе функций i Пусть fE. Найти многочлен m(x), для которого (f1m) - среднеквадратичное уклонение m от f минимально. Тогда m называется многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции f0. Покажем, что если система функций 0, 1, …,m линейно независима, то для любой функции fE многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения существует и притом единственный.    m j jikj m kj kjmmmm fcccffffffS 00, 22 ),(2),(),(),(),(  S2 (f, m)- квадратичная форма относительно коэффициентов. Квадратичная форма достигает своего неотрицательного минимума. Одновременно с S2 (f, m) минимума достигает и расстояние. Приравняем частные производные по cj к нулю, получим c0(0,0), +c1(1,0)+…+ cm(m,0)=(f, 0) c0(0,1), +c1(1,1)+…+ cm(m,1)=(f, 1) c0(0,m), +c1(1,m)+…+ cm(m,m)=(f, m) Система называется нормальной. По лемме 1 определитель Грама не равен нулю, поэтому система имеет единственное решение. Итак, если система i линейно независима, то коэффициенты построенного по ней единственного многочлена среднеквадратичного приближения функции fE находится в виде решения нормальной системы линейных алгебраических уравнений. На практике часто применяется среднеквадратичные приближения функций алгебраическими многочленами, т.е. в качестве 0, 1, …,m берутся 1,x,x2 , …,xm . Система этих функций линейно независима в с, в Rn+1 она линейно независима, если m<n. Метод наименьших квадратов чаще применяют в дискретном варианте, т.е. возникают сложности с вычислением скалярного произведения(f, i). При этом необходимо, чтобы точек в 1,5-2 раза больше степени многочлена. Если m=n, то найденный в дискретном варианте методов наименьших квадратов многочлен n-й степени совпадает с интерполяционного многочлена от заданной функции на множестве точек {xi}равно нулю, а меньше быть не может.
  3. 3. Метод используют, когда функция не обладает достаточной гладкостью и для нее не удается построить подходящего интерполяционного многочлена или сплайна, а также, если значения функции известны в достаточно большом числе точек, но со случайными ошибками.

×