Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

сплайны

254 views

Published on

сплайны

Published in: Engineering
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

сплайны

  1. 1. Сплайны Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всем заданном отрезке [a,b], а на каждом частичном отрезке [x1 ,xi+1 ] в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом. Максимальная по всем частичным структурам степень многочленов называется степенью сплайна , а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на [a,b] производной - дефектом сплайна . Наиболее широкое распространение получил кубический сплайн, который обозначается S3(x) mi = S'3(x ) - наклон сплайна в xi Нетрудно убедиться, что S3(x) имеет на отрезке следующий вид:        13 1 2 3 2 1 3 ))(2()())(2()( )( i iiiii f h hxxxx f h hxxxx xs 12 1 2 2 2 1 )()()()(       i ii i ii m h xxxx m h xxxx Кубический сплайн, принимающий в xi те же значения fi, что и некоторая функция f, называется интерполяционным. Способы задания наклонов интерполяционного сплайна. Упрощенный: h ff m ii i 2 11    i = 1, 2, ... , N-1 h fff m 2 34 021 0   h fff m nnn n 2 43 12    Это локальный способ. Непрерывность второй производной в узлах сплайна не гарантируется. Глобальный способ          12 1 2 2 2 2 1' 3 ))(2)((22)())(2)((2 )0( i ii i i i ii i f h hxxxx f h xx f h hxxxx xs            12 1 2 2 1 2 1 12 2 ))((2)())((22)( i ii i i i ii i i m h xxxx m h xx m h xxxx f h xx 12 2 )(   i i m h xx              12122 1 2 1 2 2'' )(4))(2(2)(4)(4))(2(2 )0( i i i i i i i i i i i f h xx f h hxx f h xx f h xx f h hxx xS              122 1 2 1 212 )(2)(2)(2)(2)(4 i i i i i i i i i i m h xx m h xx m h xx m h xx f h xx       1212 1 )(2)(2 i i i i m h xx m h xx 11 2226442   iiiiiii m h m h m h f h f h f h f h
  2. 2. 2 11'' 3 6 24 )0( h ff h m h m xs iiii i    2 11'' 3 6 42 )0( h ff h m h m xs iiii i    Требуем непрерывность )0()0( '' 3 '' 3  ii xSxS i=1,2 …, N-1 2 11 2 11 6 24 6 42 h ff h m h m h ff hh m iiiiiii      h ff mmm ii iii )(3 4 11 1     i=1,2 …, N-1 Необходимо задать два краевых условия. Известны f '(a) и f '(b), тогда m0 = f '(a) mn = f '(b) Производные f', f' аппроксимируем формулами численного дифференцирования третьего порядка точности. m 0= (-11f0 + 18f1 - 9f 2+ 2f3) формула Лагранжа m n = (11fn - 18 fn-1 + 9fn-2 - 2fn-3 ) . В некоторых случаях бывают известны значения f''(a) и f''(b), тогда 0110'' 0 6 2 4 ff h m h m f   Следовательно '' 0 011 0 42 3 2 f h h ffm m    ''11 42 3 2 n nnn n f h h ffm m     Эти условия можно комбинировать. Система уравнений имеет единственное решение и решается методом прогонки или итераций. Теорема. Если f Ck+1 [a,b], 0<x<3, то интерполяционный глобальный сплайн S3(x) удовлетворяет неравенству   mkmm xx ChxSxf ii    1)( 3 )( , )()(max 1   )(max )1( , xf k ba 
  3. 3. где i = 0, 1, ... , N-1; m = 0, 1, ... , k; c - независящая от h, i, f постоянная. Если f непрерывно дифференцируема на всей действительной оси k+1 раз (0<k<3) и имеет период, равный b-a, то следует положить m0 = mn и к системе присоединить уравнение h ff mmm n n )(3 4 11 101    

×