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Interes Compuesto

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Interes Compuesto

  1. 1. Interés Compuesto<br />Matemáticas <br />Karla Viviana Aguilar<br />
  2. 2. 2<br />“El interés compuesto es la operación<br /> financiera en la cual el capital aumenta<br /> al final de cada período por adición de<br /> los intereses vencidos.” [Vidaurri,1997].<br /> En otras palabras, si a un capital le <br /> agregamos los intereses que ha obtenido<br /> en un determinado período, y a este nuevo<br /> capital e intereses le pagamos un nuevo<br /> interés en un período siguiente, entonces,<br /> el interés pagado ha sido compuesto.<br />
  3. 3. 3<br />El interés compuesto se usa principalmente<br />para operar los depósitos en los bancos<br />y en las asociaciones de préstamos y<br />ahorros.<br />Cuando se deposita el dinero en un banco,<br />el depositante está prestando su dinero al <br />banco por un tiempo definido con el fin de<br />ganar intereses, es decir, está invirtiendo<br />su dinero. <br />
  4. 4. 4<br />Es importante observar en esta acumulación<br />(capital más los intereses del período), que<br />los intereses de cada período no son pagados<br />sino al finalizar el plazo establecido para la<br />inversión.<br />El interés compuesto será la diferencia entre el monto o importe compuesto y el principal original (o capital), si no se han realizado depósitos adicionales durante el período de inversión. <br /> IC = Monto Compuesto - Capital<br />
  5. 5. 5<br />El período convenido para convertir el<br />interés en capital se llama período de<br />capitalización o período de conversión.<br />La expresión: “período de capitalización<br />semestral”, significa que el interés gene-<br />rado se capitaliza; es decir, se suma al<br />capital, al término de cada 6 meses. <br />
  6. 6. 6<br />Al igual que en el interés simple, la tasa<br />de interés dada en un problema de interés<br />compuesto será una tasa anual, excepto<br />que se diga lo contrario.<br />
  7. 7. 7<br />Matemáticamente:<br />Primer semestre<br />(C + Ci)<br />Segundo semestre<br />(C+Ci) + (C+Ci) i factorizando <br />(C+Ci) (1+i) = C (1+i) (1+i)= C(1+i)2 <br />Es decir, el monto compuesto para el período n será por lo tanto:<br /> MC = C(1+i)n<br />interés del<br />período<br />
  8. 8. 8<br />Tasa de interés nominal y efectiva<br />La tasa de interés anual aplicable a una inversión o a un préstamo a interés compuesto se llama tasa de interés nominal o simplemente tasa nominal. La tasa nominal es la tasa de interés convenida en la operación financiera.<br />La tasa efectiva por período es la tasa de interés que efectivamente se aplica en cada período de capitalización. Esta tasa se obtiene al dividir la tasa nominal anual entre el número de períodos de capitalización que hay en un año.<br />
  9. 9. 9<br />Problemas<br /><ul><li>Determine el importe compuesto (monto) y</li></ul> el interés compuesto para $1,000 al 9% <br /> capitalizable en forma mensual durante 1<br /> año.<br /><ul><li>Determine el interés compuesto y el monto</li></ul> compuesto si se deposita en un banco<br /> $3,000 al 8% por 12 años con interés<br /> capitalizable en forma trimestral.<br />
  10. 10. 10<br />Solución al primer problema<br />Capital:$1,000 Interés:9% Capitalización: mensual<br />Tasa efectiva: 9%/12 = 0.0075 % Períodos: 12<br /> MC = C(1+i)n MC=1,000(1+0.0075)12<br />MC = 1,000(1.093806) = $1,093.81<br /> Interés Compuesto = MC – Capital<br /> Interés Compuesto = 1,093.81 – 1,000 = $93.81<br />
  11. 11. 11<br />Solución al segundo problema<br />Capital:$3,000 Interés:8% Capitalización: trimestral<br />Tasa efectiva: 8%/4 = 2 % Períodos: 48<br /> MC = C(1+i)n MC =3,000(1+0.02)48<br />MC = 3,000(2.587070) = $7,761.21<br /> Interés Compuesto = MC – Capital<br /> Interés Compuesto = 7,761.21 – 3,000 = $4,761.21<br />
  12. 12. 12<br />Problema con cambio de tasa durante el<br />período de inversión<br /> Se invirtieron $5,000 en un banco de ahorro<br /> por 6 años. Cuando se realizó el depósito,<br /> el banco estaba pagando 8% capitalizable<br /> en forma trimestral. Después de dos años y<br /> medio, la tasa cambió al 8% capitalizable en<br /> forma mensual. Determínese el interés y el<br /> monto compuesto al finalizar los 6 años.<br />
  13. 13. 13<br />Solución utilizando una escala de tiempo1<br />MC1<br />C<br />MC2<br />……..<br />42<br />Meses<br />10<br />1<br />Trimestres<br />1 Escala de tiempo: es un método gráfico que permite visualizar el flujo previsto <br /> de efectivo resultante de una inversión propuesta. [Taylor,1977]<br />
  14. 14. 14<br />MC1<br />C<br />MC2<br />……..<br />42<br />Meses<br />10<br />1<br />Trimestres<br />MC1 = C (1+ 0.02)10<br />MC1 = 5000 (1.218994)<br />MC1 = $6,094.97<br />MC2 = 6,094.97 (1 + 0.006666)42<br />MC2 = 6,094.97 (1.3219)<br />MC2 = $8,056.94<br />
  15. 15. 15<br />El monto compuesto al final del<br />sexto año es:<br /> $8,056.94<br />El interés compuesto generado<br />por la inversión es de:<br /> IC = MC2 – C<br /> IC = 8,056.94 – 5,000 = $3,056.94<br />
  16. 16. 16<br />Tasa de interés efectiva(ie)<br />También conocida como tasa efectiva, se<br />define como la tasa de interés simple que<br />produciría el mismo interés en un año que<br />la tasa nominal capitalizada “m” períodos al<br />año.<br />Matemáticamente:<br /> ie = (1 + i/m)m -1<br />donde, ie= tasa efectiva<br /> i = tasa nominal <br /> m = número de períodos de capitalización<br /> en un año<br />
  17. 17. 17<br /><ul><li> Suponga que un inversionista deposita $1,000 en</li></ul> un banco que ofrece 10% capitalizado mensualmente.<br /> ¿Cuál es la tasa de interés efectiva al final de un año?<br />Tasa nominal: 10% períodos: 12<br />Tasa efectiva por período: 0.10/12 =0.008333<br />Valor nominal compuesto<br />al final del año: (1+0.0083333)12 = 1.104712<br />Valor tasa nominal compuesta: 10.47%<br />Tasa efectiva<br /> ie = (1 + i/m)m -1 ie = (1 + 0.10/12)12-1<br /> ie =1.104712 – 1 = 0.104712 ie = 10.47%<br />

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