Upn moo s02

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Upn moo s02

  1. 1. Facultad de Ingeniería y ArquitecturaMovimiento en una dimensiónMovimiento en una dimensión: Definiciones generales.MECÁNICA, OSCILACIONES Y ONDASYuri Alexis Milachay Vicenteyur@upnorte.edu.pe
  2. 2. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 2La física comenzó con el estudio del movimiento
  3. 3. Preguntas1. ¿Qué objetos celestes fueron importantes en la antigüedad y porqué?2. ¿Qué clase de movimiento interesaba conocer a los antiguos?3. ¿Cómo, según usted debía comenzar el estudio del movimiento?29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 3
  4. 4. Objetivo1. Describe matemáticamente el movimiento rectilíneo y deduce susecuaciones.2. Describe matemáticamente el movimiento parabólico y deducesus ecuaciones.3. matemáticamente el movimiento circular y deduce susecuaciones.4. Aplica lo aprendido en la resolución de problemas prácticos.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 4
  5. 5. La cinemática y el movimiento29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 5La cinemática es la parte de la física que se encarga del estudio delmovimiento. Es decir, de la determinación de la posición, velocidad yaceleración de un cuerpo.Como todo movimiento implica un cambio de posición del móvil enun determinado intervalo de tiempo, nuestro estudio del movimientocomienza con la definición de posición.1x 2xLa partícula pasa de la posición x1 a la posición x2
  6. 6. Movimiento de una partícula en una dimensiónSe denomina movimiento rectilíneo a aquel movimiento cuya trayectoriaes una línea recta.El desplazamiento 6Δx en este movimiento está dado por el cambio en lacoordenada x en un intervalo de tiempo transcurrido Δt.Desplazamiento x = x2 – x129/05/2013 Mg. Yuri Milachay 6
  7. 7. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 7La posición como función del tiempox(t) x(t1) x(t2) x(t3)Gráfica x-tp1 p2
  8. 8. Velocidad mediaoLa velocidad media es unamagnitud vectorial que se definecomo la razón del desplazamientopor unidad de tiempo29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 82 1med2 1x x x mvt t t s   0 5 107  x 2,0 mmed2,0m mv 0,2010,0 s s t 10,0 sx (m)
  9. 9. Velocidad instantáneao La velocidad instantánea permite sedefine como el límite de la velocidadmedia.o Que a su vez, matemáticamente, esla derivada de la posición respectodel tiempo.o Ejercicio. Con ayuda del gráfico x-t(a) determine la velocidad mediaentre 0 s y 2 s. (b) Determine lavelocidad instantánea en el t = 0 s.(c) ¿En qué instante la velocidad escero?29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 9t 0xv limt dxvdt
  10. 10. Ejercicio• Un Honda Civic viaja en línea recta en carretera. Su distancia x de unletrero de alto está dada en función de t por:• Donde a =1,50 m/s2 y b=0,0500 m/s3.• Calcule la velocidad media del auto para los intervalos a) 0 a 2,00 s; b) 0a 4,00 s; c) 2,00 s a 4,00 s.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 102 3x(t) t t  
  11. 11. Aceleración mediaLa aceleración media es la tasamedia de cambio de la velocidad enun intervalo de tiempo t.v2– velocidad finalv1 – velocidad inicialt – intervalo de tiempoSe halla su valor calculando de lapendiente de la gráfica velocidad-tiempo del móvil.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 112x 1xmed x2 1v vat t
  12. 12. Aceleración instantánea• Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempose acerca a cero.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 12x xxt 0v dva limt dt  
  13. 13. EjerciciosDe los gráficos v en función de t representados en la figura ¿Cuál describemejor el movimiento de una partícula con velocidad positiva y aceleraciónnegativa?.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 13
  14. 14. PreguntasEn un intervalo de tiempo dado, un auto acelera de 15 m/s a 20 m/smientras que un camión acelera de 36 m/s a 40 m/s. ¿Cuál vehículotiene mayor aceleración media?Solución29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 14auto20 15 5at t  camión40 36 4at t  
  15. 15. PreguntasLa figura muestra la velocidad de unauto en función del tiempo. Elconductor acelera desde el letrerode alto, viaja 20 s con rapidezconstante de 60 km/h y frena hastadetenerse 40 s después de partir delletrero. Calcule la aceleración mediapara estos intervalos: de 0 s a 10 s;de 30 s a 40 s; de 10 s a 30 s; d) de 0s a 40 s.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 15
  16. 16. Problemas3031x x t 4,40 t61x 1,40 4,40t 1,2 t6        29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 16La aceleración de un camión está dada por ax(t)=at, donde a =1,2 m/s3. a)Si la rapidez del camión en 1,0 s es 5,0 m/s, ¿cuál será en t=2,0 s? b) Si laposición del camión en 1,0 s es 6,0 m, ¿cuál será en 2,0 s? Dibuje todaslas gráficas para este movimiento.Solución1 2 3 451015202530xt2 2x x1 1v t C v 4,40 1,2 t2 2      x(2) 10,4m2 4 6 8 1020406080100120vt
  17. 17. Movimiento rectilíneo uniformeo Es aquel movimiento en el que lavelocidad del móvil en cualquierinstante permanece constante.o Es decir, el móvil se mueve enlínea recta, en una sola direccióny con desplazamientos iguales enintervalos de tiempo iguales.o Debido a que la velocidad nocambia, la aceleración en estetipo de movimiento es nula.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 17xdxvdtxx v dt 0 xx x v t 
  18. 18. Ejercicios• Ejercicio. Un vehículo parte de la posición -25,0 metros. Al cabo de 70,0s se encuentra en la posición 245,0 metros. ¿Cuál ha sido el valor de suvelocidad si se sabe que realizó un MRU?• Solución• x1 = -25,0 m• x2 = 245,0 m• t = 70,0 s29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 18245,0 ( 25,0)mv70,0 s mv 3,86s
  19. 19. Gráfico posición-tiempofx 2,0 5,0 t  t (s) x(m)0 2,01,0 7,02,0 12,03,0 17,029/05/2013 Mg. Yuri Milachay 19o El gráfico posición-tiempo (x vs t)se obtiene de tabular lasposiciones para instantesdeterminados.o La gráfica x vs t tiene el siguienteaspecto:x (m)t (s)2,07,012,017,01,0 2,0 3,0
  20. 20. Preguntaso Del gráfico mostrado, ¿cuál es laposición inicial del móvil?, ¿enqué instante se encuentra en elorigen de coordenadas? ¿cuál essu velocidad?29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 20x (m)t (s)-8,08,016,01,0 2,0 3,0
  21. 21. Gráfico velocidad-tiempoo Como en el MRU la velocidad esconstante, la gráfica velocidad-tiempo será una rectahorizontal, paralela al eje deltiempo.o De este tipo de gráfico puedesobtener directamente el valor dela velocidad, v = +5,0 m/s .o También puedes obtener eldesplazamiento total delmóvil, calculando el “área”comprendida entre el gráfico dela velocidad y el eje del tiempo.x =vt = +15,0 m29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 21v (m/s)t (s)5,01,0 2,0 3,0fx 2,0 t5,0  
  22. 22. Preguntas• Para un móvil que realiza MRU: ¿en qué casos la velocidad es negativa?,¿en qué casos la posición inicial es positiva?, y ¿cuándo el móvil sedesplaza en el sentido del semieje positivo?29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 22xtvxttxvxt
  23. 23. Movimiento con aceleración constanteo En el movimiento rectilíneouniformemente variado secumple que la aceleración esconstante.o Integrando la aceleración seobtiene la expresión de lavelocidad.o Antiderivando la velocidad delpaso anterior se obtiene laexpresión de la posicióninstantánea del móvil.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 230v v at 0x (v at)dt 20 01x x v t at2  0Si t 0, v v 0Si t 0, x x 
  24. 24. 3º ecuación del mruaf ov v a t  2f o o1x x v t a t2    29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 24o Se obtiene despejando el tiempode la primera ecuación del mrua yreemplazando lo que resulta en lasegunda ecuación del mrua.o Es una ecuación escalar y se debetener cuidado al utilizarla en elcálculo de las velocidades, porcuanto resultarán dos valoressiempre que exista solución; por loque deberá seleccionar el signo deacuerdo con el movimiento que sedescribe en el problema. 2 2f o f iv v 2a (x x )   
  25. 25. Preguntas• ¿En qué casos la aceleración es positiva? ¿En qué casos el móvil sedetiene en algún instante? ¿Es posible conocer la posición inicial delmóvil a partir de la información que proporciona el gráfico velocidad-tiempo?29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 25vxtvxttaxvxt
  26. 26. Ejercicioo La gráfica de la figura muestra lavelocidad de un policía enmotocicleta en función deltiempo. A) Calcule la aceleracióninstantánea en: t =3 s, t = 7 s y t =11 s. ¿Qué distancia cubre elpolicía los primeros 6 s? ¿Losprimeros 9 s? ¿Cuál es eldesplazamiento del policía a los13 s?29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 26
  27. 27. Caída libreg g j  oEn el caso de la caída libre (caídade un cuerpo cerca de la superficieterrestre), se considera queg = 9,8 m/s2oEso significa que TODOS loscuerpos, cerca de la superficieterrestre, caen con la mismaaceleración.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 270v v at 201x x vt at2  0v v gt 201y y vt gt2  
  28. 28. Ejercicios• Se deja caer un tabique (rapidez inicial cero) desde la azotea deun edificio. El tabique choca con el piso 2,50 s después. Se puededespreciar la resistencia del aire, así que el tabique está en caídalibre. a) ¿Qué altura tiene el edificio? b) ¿Qué magnitud tiene lavelocidad del tabique justo antes de tocar el suelo? c) dibuje lasgráficas ay-t, vy-t y y-t para el movimiento.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 282( 9,81)0 H 0(2,50) (2,50)2  y 2o oyay(t) y v t t2   H 30,7m
  29. 29. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 29Posición de una partícula en el espacior x i y j z k     
  30. 30. Desplazamiento en el espacio2r29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 301r2 1r r r   
  31. 31. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 31Velocidad media de la partículamedrvt r
  32. 32. Vector velocidad instantánea2v29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 321vt 0rv limt 1v2v
  33. 33. Aceleración media y aceleración instantáneao La aceleración media se definecomo el cambio de la velocidaden la unidad de tiempo.o La aceleración instantánea sedefine como el límite de laaceleración media cuando elintervalo de tiempo tiende acero.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 33medvat t 0va limt 
  34. 34. Movimiento en dos dimensionesx yr r i r j   29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 34x yv v i v j   o Las magnitudes relevantes de un movimiento en dos dimensiones seexpresan de manera general a través de dos componentes: x y y; comose muestra en la figura.
  35. 35. Movimiento en dos dimensionesa 0 i 9,81 j   29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 35o En el movimiento parabólico (sin tomar en cuenta la fricción delaire), la aceleración que sufre el cuerpo, es debida exclusivamente ala aceleración de la gravedad actuando sobre el eje y, siendo nula enel eje x.xy0v
  36. 36. Ecuaciones del movimiento parabólico29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 36o Como las componentes pueden integrarse por separado, esposible hallar expresiones para la velocidad y posición para lasproyecciones de la trayectoria de la partículas a los ejes x y y.MovimientoHorizontal (eje x)MovimientoVertical (eje y)VelocidadInicialv0 x = v0 cos θ v 0y = v0 sen θAceleración a x = 0 a y = -gVelocidad v x = v0 cos θ v y = v0 sen θ – g tPosición x = x0 + v0 cos θ t y = y0 + v0 sen θ t– g t2/2
  37. 37. 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 37Escriba las ecuaciones de movimientoo Lanzamiento de proyectil desde elsuelo.o Lanzamiento de un proyectil conproyección horizontal.o Lanzamiento de un proyectil conproyección oblicua201y v sen t gt2  0x v cos t 0x v t  201y y gt2 0x v cos t 20 01y y v sen t gt2   
  38. 38. Ejemplox 9,0 t 29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 38Un acróbata en motocicleta se lanza del borde de un risco. Justo en elborde, su velocidad es horizontal con magnitud 9,0 m/s. Obtenga laposición, distancia del borde y velocidad de la moto después de 0,50 s.xv 9,00x v t  21y gt2 yv 9,81 t  x 9,0 0,50 4,50m  21y 9,81 0,50 1,23m2    xv 9,0m/syv 4,95m/s RespuestasDato de lavelocidadEcuaciones del movimiento parabólico delmotociclista
  39. 39. Ejemplo 3.9 página 63oUn helicóptero deja caer unpaquete con suministros a lasvictimas de una inundación que seencuentran en una balsa. Cuando elpaquete se lanza, el helicóptero seencuentra a 100 m por encima de labalsa, volando a 25,0 m/s yformando un ángulo de 36,9º sobrela horizontal. a) ¿Durante cuantotiempo estará el paquete en el aire?b) ¿Dónde caerá el paquete?Solución. Ecuaciones en el eje xo Ecuaciones en el eje yo El movimiento termina cuando y= 0o Cuando el paquete llega al piso,hallamos el valor de lacoordenada x29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 39x(t) 0 25cos(36,9 )t  xv (t) 25cos(36,9 )  2y(t) 100 25sen(36,9 )t 4,905t   yv (t) 25sen(36,9 ) 9,81t   20 100 25sen(36,9 )t 4,905t   t 6,30sx 25cos(36,9º) 6,30 x 126 m
  40. 40. Cinemática CircularCada punto de un cuerpo que girarespecto de un eje fijo se mueve enuna circunferencia cuyo centro está enel eje de rotación, y cuyo radio es ladistancia de un punto de la trayectoriaal eje de rotación.Desplazamiento angularCuando el disco se mueve unalongitud de arco S, comprende unángulo barrido llamadodesplazamiento angular θ medidoen radianes.El tiempo que tarda el móvil en daruna vuelta se llama periodo, T [s] .o El número de vueltas por unidad detiempo se denomina frecuencia, f [Hz]29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 401fTds rd 
  41. 41. Cinemática CircularVelocidad AngularLa variación del desplazamientoangular respecto del tiempo sedenomina rapidez angular (ω).Rapidez angular mediaEn una revolución, un punto barreun desplazamiento angular de 2π enun tiempo llamado periodo ToAdemás, la rapidez tangencial yrapidez angular están relacionadaspor:Rapidez angular instantánea•La rapidez angular instantánea sedefine como el límite de la rapidezangular media.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 41t22 fT   t 0dlimt dt   sv r rt t     
  42. 42. Movimiento Circular Uniforme (MCU)Movimiento circular uniforme (MCU)En el movimiento circular uniforme lapartícula se mueve con rapidezangular constante. Es decir, lapartícula barre ángulos iguales entiempos igualesDe la definición de rapidez angularIntegrando finalmente obtenemos laposición angular en función deltiempo.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 42tt    0(t) t    cte ssttBarre desplazamientosangulares iguales en tiemposiguales
  43. 43. ProblemasoEjemplo 1Los puntos periféricos de un disco querota uniformemente, se mueven a40,0 cm/s. Si los puntos que seencuentran a 2,00 cm de la periferiagiran a 30,0 cm/s, ¿qué diámetro tieneel disco?SoluciónoEjemplo 2Considerando que el período de laLuna alrededor de la Tierra es 28 días.Determinar la rapidez angular de laLuna respecto de la Tierra en rad/h.Solución29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 43v r rr 2v r 40,0 rv r 2 30,0 r 2   r 8,00 cm y D 16,0 cm r 2v (r 2)   Luna24hT 28 días 672h1día 3Luna29,35 10 rad/hT   
  44. 44. Velocidad media e instantánea en el movimientocirculart 0r drv limt dt   29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 44La rapidez (módulo de lavelocidad) y la rapidez angular2r1r    2 1r r rmedrvt  d Rvdtv R VelocidadmediaVelocidadinstantánea
  45. 45. Aceleración media e intantánea en el movimientocirculart 0v dva limt dt   29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 451v2v1v2v2 1v v v    medvat El valor de la aceleracióny la aceleración angularda R Rdt  
  46. 46. Bibliografía• Física, Conceptos y Aplicaciones. Tippens P. Ed. McGraw Hill. 7ed, 2011. Páginas 111-150.29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 46

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