Ecuación de continuidad y de Bernoulli

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Ecuación de contiuidad y de Bernoulli

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  • Ecuación de continuidad y de Bernoulli

    1. 1. MECÁNICA DE FLUIDOS Ecuación de continuidad. Ecuación de Bernoulli. Aplicaciones: teorema de Torricelli, Teorema de Venturi. Tubo de Pitot. Efecto Magnus. Viscosidad. Teorema de Poisseuille
    2. 2. ¿POR QUÉ LA VELOCIDAD DEL RÍO DISMINUYE COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA?
    3. 3. • Un fluido ideal es Incompresible y no tiene fricción interna (viscosidad). El camino de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama línea de flujo. Si el patrón del flujo no cambia con el tiempo, el flujo es estable. • El flujo puede ser: • Laminar, en el que las capas adyacentes de fluido se deslizan suavemente unas sobre otras. • Turbulento, donde el flujo es irregular y caótico. FLUJO DE FLUIDOS Línea de flujo Tubo de flujo
    4. 4. • El producto de la rapidez del fluido ideal por el área que atraviesa es constante en todos los puntos. • Para un fluido incompresible y en flujo estable • De donde se deduce la ecuación de continuidad, 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 • El producto Av es la razón del flujo de volumen o la rapidez con que el volumen cruza una sección del tubo, 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝐴. 𝑣 • También el producto 𝐴𝑣 se conoce como gasto o caudal y se mide en el SI en 𝑚3 /𝑠. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 𝑑𝑚1 = 𝑑𝑚2 𝜌𝐴1 𝑣1 𝑑𝑡 = 𝜌𝐴2 𝑣2 𝑑𝑡
    5. 5. • La ecuación de Bernoulli relaciona la presión p, la rapidez de flujo 𝑣 y la altura 𝑦 de dos puntos 1 y 2 cualesquiera, suponiendo que el trabajo realizado por las fuerzas producidas por la presión producen un cambio en las energías cinética y potencial del fluido. TEOREMA DE BERNOULLI 𝑝1 + 𝜌𝑔𝑦1 + 1 2 𝜌𝑣1 2 = 𝑝2 + 𝜌𝑔𝑦2 + 1 2 𝜌𝑣2 2
    6. 6. EC. CONTINUIDAD O EC. BERNOULLI
    7. 7. EC. DE CONTINUIDAD O EC. BERNOULLI
    8. 8. EC. DE CONTINUIDAD O EC. BERNOULLI
    9. 9. ¿CÓMO EXPLICAR LA VELA ROTATORIA?
    10. 10. SUSTENTACIÓN DEL ALA DE UN AVIÓN • Los tornados y los huracanes suelen levantar el techo de las casas. Explique por qué sucede basándose en la ecuación de Bernoulli.
    11. 11. ¿POR QUÉ AGREGAR ESTE DISPOSITIVO AL MÓVIL?
    12. 12. • Presión de agua en el hogar. Entra agua en una casa por tubo con diámetro interior de 2,0 𝑐𝑚 a una presión absoluta de 4,0105 𝑃𝑎 (unas 4 𝑎𝑡𝑚 ). Un tubo de 1,0 cm de diámetro va al cuarto del del segundo piso, 5,0 𝑚 más arriba. La rapidez de flujo en tubo de entrada es de 1,5 𝑚/𝑠 . Calcule la rapidez de flujo, presión y razón de flujo de volumen en el cuarto de baño. EJERCICIO Al segundo piso (tubo de 1,0 cm) Medidor de agua Tanque de agua caliente Del suministro de agua (tubo de 2,0 cm)
    13. 13. • Si el tanque está cerrado • Si el tanque está abierto TEOREMA DE TORRICELLI 𝑃 𝑎 𝒗 𝟐 𝑃0 𝐴2 𝑣1 𝐴1 h 𝑃 𝑎 𝒗 𝟐 𝑃 𝑎 𝐴2 𝑣1 A1 h 𝑣2 = 2 𝑝0 − 𝑝 𝑎 𝜌 + 2𝑔 ℎ 𝑣2 = 2𝑔 ℎ
    14. 14. MEDIDOR DE VENTURI I • Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 (𝑦1 = 𝑦2), • Y como 𝑣1 = 2𝑔 ℎ 𝐴1 𝐴2 2 − 1 𝑝1 + 1 2 𝜌 𝑣1 2 = 𝑝2 + 1 2 𝜌 𝑣2 2 𝑣2 = 𝐴1 𝑣1 𝐴2 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌𝑔ℎ
    15. 15. TUBO DE PITOT 𝑝2 + 1 2 𝜌 𝑔𝑎𝑠 𝑣2 = 𝑝1 𝑣 = 2𝜌 𝑔𝑎𝑠 𝑔ℎ 𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜
    16. 16. • La viscosidad es el rozamiento interno entre las capas de fluido. A causa de la viscosidad, es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizarse sobre la otra. FLUJO VISCOSO Diferentes niveles de viscosidad en el fluido
    17. 17. • Entre dos capas de fluido que están separadas por una distancia dx habrá una diferencia de velocidad igual a: • La fuerza por unidad de área que hay que aplicar es proporcional al gradiente de velocidad. • La constante de proporcionalidad se denomina viscosidad (𝜇). 𝐹 = −𝐴𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑥 Unidad • 𝜇 = 𝑃𝑎. 𝑠 • 𝜇 = 𝑃(𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒) = 0,1 𝑃𝑎. 𝑠 FLUJO VISCOSO
    18. 18. VISCOSIDAD DE ALGUNOS FLUIDOS Fluido μ (Pa.s) Agua 8,91×10-4 Aire 17,4×10-6 Argón 22,9×10-6 Benceno 6,04×10-4 Brea 2,3×108 Etanol (alcohol etílico) 1,074×10-3 Glicerina (glicerol) 1,5 Helio 19,9×10-6 Hidrógeno 8,4×10-6 Mercurio 1,526×10-3 Metano 11,2×10-6 Metanol 5,44×10-4 Nitrobenceno 1,863×10-3 Nitrógeno líquido 1,58×10-4 Propanol 1,945×10-3 Sangre humana 3×10-3 - 4×10-3 Xenón 21,2×10-6
    19. 19. (𝑃1 − 𝑃2)𝜋𝑟2 2𝜋𝑟𝐿 = −𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑟 LEY DE POISEUILLE • Un fluido viscoso circula en régimen laminar por una tubería de radio interior R, y de longitud L, por la diferencia de presión existente en los extremos del tubo. 𝑟 𝑝1 𝜋 𝑟2 𝑝2 𝜋 𝑟2 𝐿 𝑅 El signo negativo se debe a que v disminuye al aumentar r. el área lateral de un cilindro de longitud L y radio r. 𝐹 = (𝑃1 − 𝑃2)𝜋𝑟2 𝐹 = −𝐴𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑟 𝐹 = −2𝜋𝑟𝐿𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑟
    20. 20. • Integrando la ecuación (de r a R y de v a 0) se obtiene el perfil de velocidades en función de la distancia radial, al eje del tubo. • Se obtiene: que corresponde a un perfil parabólico. • La velocidad máxima en el centro del tubo ( 𝑟 = 0). • La velocidad mínima se da en los bordes del tubo ( 𝑟 = 𝑅). LEY DE POISEUILLE: PERFIL DE VELOCIDADES (𝑃1 − 𝑃2)𝜋𝑟2 2𝜋𝑟𝐿 = −𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑟 𝑣 𝑟 = (𝑃1 − 𝑃2) (𝑅2 − 𝑟2) 4𝜇𝐿
    21. 21. • El caudal de fluido 𝑑𝑄 que circula por el anillo de radio r y espesor 𝑑𝑟 es: 𝑑𝑄 = 𝑣 𝑟 𝑑𝐴 = 𝑣 𝑟 2𝜋𝑟𝑑𝑟 • El caudal total se obtiene tomando en cuenta la expresión para la velocidad • Esta ley relaciona la causa, la diferencia de presiones ∆𝑃, con el caudal. LEY DE POISEUILLE: CAUDAL O GASTO 𝑅 r𝑟 + 𝑑𝑟 𝑄 = 0 𝑅 ∆𝑃 (𝑅2 − 𝑟2) 4𝜇𝐿 2𝜋𝑟𝑑𝑟 𝑄 = 𝜋𝑅4 8𝜇𝐿 ∆𝑃
    22. 22. • Un bloque de 10 𝑘𝑔 se desliza por un plano inclinado. Calcular la velocidad terminal del bloque si se mueve sobre una película de aceite de 0,10 𝑚𝑚 de espesor. Considere que la viscosidad del aceite es 0,021 𝑃𝑎. 𝑠 . Considere que la distribución de velocidades es lineal y que la superficie de contacto del bloque con el aceite es de 0,10 𝑚2. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 20°0,10 𝑚𝑚 𝑣
    23. 23. • Una capa de agua fluye cuesta abajo por un plano inclinado con un perfil de velocidades que se muestra en la figura. Determine la magnitud y dirección del esfuerzo de corte que el agua ejerce sobre la superficie del plano. Considere que 𝑈 = 3,0 𝑚/𝑠 y ℎ = 0,30 𝑐𝑚 . La viscosidad del agua es 𝜇 = 1,21 × 10−3 𝑃𝑎. 𝑠 EJERCICIO
    24. 24. EJERCICIO • El espacio entre dos cilindros concéntricos de 6 in de largo está lleno de glicerina. El cilindro interior tiene un radio de 3 in y la separación ente cilindros es de 0,10 in . Calcule el torque y la potencia requerida para rotar el cilindro interior. Considere que la distribución de las velocidades es lineal.
    25. 25. • La expresión • La resistencia hidrodinámica es mayor cuanto mayor es la viscosidad del fluido, y mayor cuanto más largo y más estrecho es el conducto. • ¿Cuál es la resistencia al agua de una aguja hipodérmica de 20,0 cm de longitud y 0,060 cm de radio interno? • Solución: • Reemplazamos valores: LEY DE POISEUILLE h 4 8 L R R    Resistencia hidrodinámica h 4 8 L R R        3 H 42 8 1,0 10 0,20 R 0,060 10        9 h 5 Ns R 3,93 10 m  
    26. 26. • El número de Reynolds es una magnitud adimensional que sirve para determinar si el flujo es laminar o turbulento. • El número de Reynolds para un flujo de fluido de radio R se define como: • Si Re > 1 500, el flujo es turbulento • Si Re < 1 000, el flujo es laminar • La velocidad media de la sangre en la aorta (r=1,19 cm) durante la parte estacionaria del latido del corazón es de unos 35,0 cm/s . ¿Es laminar o turbulento el flujo? La viscosidad de la sangre es 2,08 x 10-3 Pa.s • Solución: NÚMERO DE REYNOLDS e vR R       3 2 2 e 3 1,1 10 35,0 10 1,19 10 R 2,08 10         2 203eR  Flujo turbulento
    27. 27. REPRESA RICOCOCHA
    28. 28. WARU WARU
    29. 29. ACUEDUCTOS NAZCA
    30. 30. LAGUNA DE CARHUACOCHA http://hidraulicainca.com/puno/waru-waru-puno/sistemas-de-produccion-pre-inca-waru-waru/
    31. 31. ACUEDUCTO ROMANO
    32. 32. BARRERAS DEL RIO TÁMESIS
    33. 33. RÍO MOSCÚ
    34. 34. LAGO DE BRASILIA
    35. 35. TRASVASE DEL RIO TOCANTIS AL SAN FRANCISCO
    36. 36. VENECIA.: PROYECTO MOISÉS
    37. 37. EL GRAN RIO ARTIFICIAL DE LIBIA
    38. 38. MAR ARAL 1973-2014
    39. 39. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. R. Serway, J. Jewett. Física para Ciencias e Ingeniería. 7° edición. Ed.Cengage Learning. Pág. 403-406. 2. J. Wilson, A. Buffa. Física. 6° edición. Ed. Pearson Educación. Pág. 322-324. 3. Sears Zemansky. Física Universitaria. 12° edición. Pearson Educación. Pág. 470-472.

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