Verifica 2 e_matematica_24-1-2011[1]

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esercizi svolti sulle equazioni di 2° Grado

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Verifica 2 e_matematica_24-1-2011[1]

  1. 1. Matematica – dalla lezione del 27-1-2011 del prof. L.G. Cancelliere Classe 2ESvolgimento esercizi assegnati nel compito in classe del 24/1/2011:N1) Risolvere lequazione:Per prima cosa si porta tutti a sinistra gli addendi che formano lespressione:Eliminiamo poi il coefficiente frazionario moltiplicando per 5 tutta lequazione (ovviamente a destrail risultato di tale operazione da ancora 0 in quanto 5 x 0 = 0) (Equazione Completa)Successivamente ci si chiede se lequazione abbia effettivamente soluzioni (reali), e per far ciòcalcolo il  allora risulta quindi che le soluzioni reali esistono e sono distinte (caso Andiamo allora a calcolarle tramite la classica formula risolutiva per le equazioni di II° grado:Queste soluzioni possono essere indirettamente confermate cercando di plottare lequazione conuno strumento quale Derive; risulta il grafico qui a seguire: Pagina 1 A. Veneziani – Analisi compito in classe su equazioni di II° grado
  2. 2. Le soluzioni sono confermate tenuto conto che -5/3 = -1,6666... e 2/5 = 0.4N2) Risolvere lequazione:Mancando il termine noto (c=0), lequazione qui sopra è detta spuria, e rappresenta un casoparticolare del caso generale. Il procedimento per la sua soluzione può essere “semplificato”.Questo tipo di equazione di II° grado ammette sempre soluzioni reali e distinte, una delle quali èpari a 0, infatti essa può essere scomposta come: per la legge dell’annullamento del prodotto pongo ogni fattore = 0 Pagina 2 A. Veneziani – Analisi compito in classe su equazioni di II° grado
  3. 3. In effetti una conferma visiva di queste soluzioni si ha tracciando il grafico della equazione(ponendola nella forma cartesiana y = 8x2 – 4xN3) Risolvere lequazione:svolgendo i relativi prodotti otteniamo: cioèLequazione considerata è del tipo definito pura, ossia senza il termine in x, la sua soluzionetermina in pochi semplici passaggi:In questo caso cè da notare che le soluzioni sono sempre simmetriche rispetto allorigine; inparticolare il grafico della curva cartesiana relativa alla equazione considerata risulta: Pagina 3 A. Veneziani – Analisi compito in classe su equazioni di II° grado
  4. 4. N4) Domanda:Quando un equazione di secondo grado non ammette soluzioni ?Risposta: Quando N5) Trovare il valore di k affinchè lequazione: abbia due soluzioni reali e coincidenti.La condizione assegnata impone quindi che x1 = x2.Troviamo la soluzione dellequazione data in funzione di k e poi individuiamo tale valore in base alvincolo della condizione data :ordiniamo e raggruppiamo i termini:Se x1 = x2 vuol dire altresì che deve essere pari a 0 ( = 0), quindi si può imporre: Pagina 4 A. Veneziani – Analisi compito in classe su equazioni di II° grado
  5. 5. Verifichiamo quanto trovato inserendo questo valore al posto di k e verificando cheeffettivamente le soluzioni sono in questo caso coincidenti:moltiplichiamo tutta lequazione per 8:Non effettuo il calcolo del perché la condizione considerata impone già che le soluzioni esistano.La curva cartesiana corrispondente alla equazione, risulta:e come si può osservare tange lasse delle x nel punto x = ¾ = 0,75, che corrisponde(qualitativamente) al punto di tangenza visibile. Pagina 5 A. Veneziani – Analisi compito in classe su equazioni di II° grado
  6. 6. N6) Trovare k in modo che le due soluzioni siano reali ed opposte:La condizione data (soluzioni uguali ed opposte), impone che si annulli il coefficiente della x digrado 1 nellequazione, vale a dire, più sinteticamente che sia b = 0.Imponiamo tale condizione per ricavare il valore di k che soddisfa la nostra condizione:Verifica:Andiamo ad inserire il valore di k trovato e verifichiamo effettivamente che lequazione che risultadalla sostituzione ha soluzioni coincidenti: quindiEd in effetti constatiamo che le soluzioni sono in questo caso reali ed opposte (pari a +- 1).In effetti il grafico cartesiano (ottenuto inserendo la seconda coordinata y al posto dello 0) dellacurva corrispondente alla equazione data risulta essere: Pagina 6 A. Veneziani – Analisi compito in classe su equazioni di II° grado

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