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Espressioni mate 10-12-2010tris

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esercizi sulle equazioni logaritmiche

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Espressioni mate 10-12-2010tris

  1. 1. Esercizi di Matematica – lezione del 10-12-2010 – classe 4A liceo (docente: L. G. Cancelliere) “Disequazioni Esponenziali”-Esercizio 1  x−2   2 3 ⋅ 3 2 1notiamo che 3/2 è il reciproco di 2/3, ossia la frazione và solo arrovesciata per essere la medesima.Effettuare il reciproco (o inverso) di una base, vuol dire elevare ad esponente negativo, ossia:  x−2 −1   2 3 ⋅ 2 3 1inoltre bisogna considerare che qualunque base elevata a 0 dà come risultato 1 (a 0 = 1, qualunque a) ,quindi si può scrivere:  x−2 −1 0    2 3 ⋅ 2 3  2 3a questo punto applico la nota regola delle potenze (a n x am = an+m), al membro di sinistra, e quindi:  x−2−1 0  2 3  2 3ora posso applicare il teorema delle equazioni / disequazione esponenziali che data un uguaglianza /disuguaglianza con basi uguali, permette di scrivere la uguaglianza / disuguaglianza degli esponenti.In questo caso specifico devo considerare che essendo la base minore di 1 il segno della disuguaglianza siinverte1: e quindi concludo:  x−30 x3-Esercizio 2 x  x1 4 ⋅16 Innanzitutto noto che tutte le basi sono potenze di 2. Anche la costante 1  x−3 1 8 può essere considerata come la potenza di 2 pari a 2 0 = 1. Esplicitiamoquindi questo fatto: 2 2  x⋅2 4  x1 0 considerate le regole delle potenze (specificamente quelle relative al 2 lelevamento di una potenza, ossia (an)m = anm ) si conclude: 2 3 x−3 2 2x⋅2 4 x1 0 a questo punto è opportuno operare sul denominatore della frazione per 3 x−3 2 2 portarlo al numeratore: 2x 2 ⋅2 4 x1 ⋅2 −3 x−3 2 01 Il motivo dellinversione del verso della disuguglianza è presto detto. Infatti per un numero minore di 1 nella base, il risultato è tanto inferiore quanto è più alto lelevamento, e da ciò si deduce che se a < 1 e a n > am significa che n < m, ossia il verso della diseguaglianza è invertito. 1 A. Veneziani – esercizi su disequazioni esponenziali
  2. 2. quindi applicando la regola del prodotto di potenze (ossia an x am = an + m), si ha:quindi a sinistra si sommano tutti gli esponenti fra loro, mantenendo la stessa base: svolgiamo ora i calcoli relativi allesponente di sinistra: 2x4x1−3x−3 0 2 2 2x4x 4−3x9 0 6x−3x13 0 3x13 0 2 2 2 2 2 2a questo punto possiamo applicare il teorema che trasferisce uguaglianze/disuguaglianze agli esponenti perrisolvere lequazione, ossia REGOLA: se a > 1 a^f(x) > a^g(x) ==> f(x) > g(x) se a < 1 a^f(x) > a^g(x) ==> f(x) < g(x) (e viceversa nel caso di disequazione nel senso inverso) 3x130 3x−13 13 x− 3-Esercizio 3 3 x1 1 Osserviamo come al solito che anche in questa espressione abbiamo tutte   x 52 27 2x 3 basi uguali. Esplicitiamo quindi la base comune a tutti gli elementi, ossia 3,e esprimiamo 27 come potenza di 3:  x1 3 1 3 2x   x 5 2 Adesso ricordando che per il prodotto di potenze vale (an)m = anm: 3  3 si può scrivere:  x1 3 1 6x   x 5 2 3 3 Infine consideriamo i denominatori delle frazioni e quindi facendo i lororeciproci invertiamo il segno degli esponenti ( vale a dire 1 / a = a ) n -n 2 dopodichè applicando le regole del prodotto di potenze con la stessa 3 x1⋅3−6x 1⋅3− x 5 base: 2 3−5x13− x −5La base è comune e abbiamo due sole potenze ai due lati della disequazione, quindi possiamo applicare ilben noto teorema delle equazioni esponenziali. La base delle potenze è > 1 e quindi il verso delladisequazione resta invariato rispetto a quello della espressione originaria: −5x1−x 2−5Perciò risulta: 2 Questa è una disequazione di secondo grado e si svolge come una comune x −5x 60 equazione , 2 semplicemente poi realizzando un diagramma x −5x 6=0dei segni; calcoliamo quindi il delta della equazione: 2 2 =b −4ac=−5 −4⋅1⋅6=25−24=10 −b±  5±  1quindi esistono soluzioni reali e distinte. Andiamo a trovarle: x1,2 = = 2a 2 2 A. Veneziani – esercizi su disequazioni esponenziali
  3. 3. Quindi le soluzioni risultano: 5  1 51 6 5−  1 5−1 4 x1 = = = =3 x 2= = = =2 2 2 2 2 2 2Quindi lequazione è scomponibile in: x 2−5x6=x −2⋅ x −30Si deve quindi studiare quando questo prodotto è minore di 0; come al solito impostiamo lo studio studiandoquando il prodotto è positivo (> 0) al di là di come sia posta la disequazione:  x−2⋅ x−30studiamo a sua volta quando i singoli fattori sono maggiori di 0: x−20 quindi per x 2 x−30 quindi per x3Il diagramma dei segni risulta: 2 3 XIn effetti il diagramma cartesiano diquesta disequazione risulta:e quindi la disequazione di partenzaè verificata per 2 < x < 3Ecco i diagrammi che mostrano la sovrapposizione (in effetti poco visibile anche con lausilio del calcolatore),delle due curve oggetto della disequazione iniziale, nel punto iniziale 2 e nel punto finale 3, 3 A. Veneziani – esercizi su disequazioni esponenziali
  4. 4. ove la y1 e inferiore alla y2:  x1 3 1 y 1 = 2x y 2=  x 2 5 e cerchiamo ove y 1 y 2 27 3 4 A. Veneziani – esercizi su disequazioni esponenziali

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