よくある問題ですが、微妙なバリエーションがあり、見抜くことのできる球数が異なります。既に何万人も解答済みレベルですが、少しだけ整理してみました。

1. 天秤を N 回使って
球の軽重をみぬく

2. テーマの趣旨
 見ただけでは区別のつかない球が沢山ある
 １個を除いて、重さも同じ
 天秤を N 回だけ使って良いものとして
 最大何個の球の異常を見抜けるか
 以下、便宜的に k 番目の球を(k)で表す
 標準問題
 「天秤3回で13個の中から異常球を見抜け」

3. テーマのバリエーション
 異常球の性質と、見抜く条件で３通りに分類
 Ａ類
 異常球が重いか軽いか、あらかじめ判明している
 Ｂ類
 異常球が重いか軽いかは分からない
 異常球が重いか軽いかまでは見分ける必要がないものとする
 Ｃ類
 異常球が重いか軽いかは分からない
 異常球が重いか軽いかまで見分ける必要があるものとする

4. Ａ類は天秤１回の試行で３球を判別
できる
 手順
a. (1)と(2)を比較する
b. 釣り合えば、(3)が異常球
c. 傾けば、(1)(2)のいずれかが異常球
d. 異常球はあらかじめ軽重が分かっているので、(1)(2)のいずれ
が異常球であるかは自動的に分かる
補題 A-1

5. Ａ類は天秤２回の試行で９球を判別
できる
 手順
a. (1)(2)(3)と(4)(5)(6)を比較する（残り試行１回）
b. 釣り合えば、(7)(8)(9)の中に異常球がある
c. 試行１回で３球を判別できる補題A-1の場合に帰着する
d. 傾けば、(1)～(6)の中に異常球がある
e. 異常球はあらかじめ軽重が分かっているので、(1)(2)(3)と
(4)(5)(6)のいずれが異常球を含むかは自動的に分かる
f. 試行１回で３球を判別できる補題A-1の場合に帰着する
補題 A-2

6. Ａ類は天秤3回の試行で27球を判別
できる
 手順
a. (1)～(9)と(10)～(18)を比較する（残り試行２回）
b. 釣り合えば、(19)～(27)の中に異常球がある
c. 試行２回で９球を判別できる補題A-2の場合に帰着する
d. 傾けば、(1)～(18)の中に異常球がある
e. 異常球はあらかじめ軽重が分かっているので、(1)～(9)と
(10)～(18)のいずれが異常球を含むかは自動的に分かる
f. 試行２回で９球を判別できる補題A-2の場合に帰着する
補題 A-3

7. Ａ類は天秤N回の試行で3N個の球を
判別できる
 手順
a. N-1回で3N-1個の球を判別できているものとする
b. 3N個の球を3N-1個ずつ３組に分ける
c. 第１組と第２組を比較する（残り試行 N-1 回）
d. 釣り合えば、第３組の中に異常球がある
e. 試行N-1回で3N-1個の球を判別できる場合に帰着する
f. 傾けば、第１組または第２組の中に異常球がある
g. 異常球はあらかじめ軽重が分かっているので、第１組と第２
組のいずれに異常球が含まれるかは自動的に分かる
h. 試行N-1回で3N-1個の球を判別できる場合に帰着する
 Ａ類は、全く難しくない
定理 A

8. Ｂ類は、天秤１回の試行では１球も
判別できない
 ２球のケース
a. (1)(2)を比較すると必ず傾くが、Ａ類と違って、異常球の軽重
が分かっていないため、(1)(2)いずれが異常球なのか判別でき
ない
 ３球以上のケース
b. 片方の皿に何球のせたかにかかわらず、傾くと判別できない
補題 B-1a

9. Ｂ類は、別に正常球を１球使えるならば、
天秤１回の試行で２球を判別できる
 手順
b. (1)と正常球を比較する（残り試行０回）
c. 釣り合った場合は、(2)が異常球である
d. 傾いた場合は、(1)が異常球であり、かつ、(1)は正常球より
軽いか重いかも分かる
 (2)を天秤に乗せなくても良い
 (1)と正常球を比較して傾いた場合は、実はＣ類に
移行している
補題 B-1b

10. Ｂ類は、天秤2回の試行で4球を判別
できる
 手順
a. (1)(2)を比較する（残り試行１回）
b. 釣り合った場合は、(3)(4)のいずれかが異常球である
c. 傾いた場合は、(1)(2)のいずれかが異常球である
d. b, c いずれの場合も、他の２球が正常球であるから、補題B-1b
を適用することができ、異常球の判別が可能となる
補題 B-2a

11. Ｂ類は、別に正常球を３球使えるならば、
天秤２回の試行で５球を判別できる
 手順
a. (1)(2)(3)を正常球３個と比較する（残り試行１回）
b. 釣り合った場合は、(4)(5)のいずれかが異常球である
c. 補題B-1bを適用して、異常球が判別できる
d. 傾いた場合は、(1)(2)(3)の中に異常球があるが、正常球との比較
であるので、異常球の軽重も合わせて判明する
e. 補題A-1を適用して、異常球が判別できる
 d の時点で、残った３球がＡ類に変化する点がミソ
補題 B-2b

12. Ｂ類は、天秤3回の試行で13球を判別
できる
 手順
a. (1)～(4)と(5)～(8)を比較する（残り試行２回）
b. 釣り合った場合は、(9)～(13)の中に異常球が含まれることから、
補題B-2bを適用することができ、異常球が判別できる
c. 傾いた場合は、(1)(6)(7)(8)と(5)(10)(11)(12)を比較する
d. 釣り合った場合は、(2)(3)(4)の中に異常球が含まれるが、１回目
の試行の結果から(2)(3)(4)の軽重が同時に分かるので、補題A-1
を適用でき、異常球が判別できる
e. 同様に傾いた場合は、(1)または(5)が異常球である。補題B-1bを
適用でき、異常球が判別できる（実は補題C-1cが適用できる）
f. 反対に傾いた場合は、(6)(7)(8)が異常球である。同時に軽重もわ
かるので、補題A-1を適用でき、異常球が判別できる
補題 B-3a
（残り試行1回）

13. Ｂ類は、別に正常球を９球使えるならば、
天秤３回の試行で14球を判別できる
 手順
a. (1)～(9)を正常球９個と比較する（残り試行２回）
b. 釣り合った場合は、(10)～(14)の中に異常球がある
c. 補題B-2bを適用して、この５個の中から異常球が判別できる
d. 傾いた場合は、(1)～(9)の中に異常球があるが、正常球との比較
であるので、異常球の軽重も合わせて判明する
e. 補題A-2を適用して、異常球が判別できる
補題 B-3b

14. Ｂ類は、天秤4回の試行で40球を判別
できる
 手順
a. (1)～(13)と(14)～(26)を比較する（残り試行３回）
b. 釣り合った場合は、(27)～(40)の中に異常球が含まれる
c. 補題B-3bを適用することができ、異常球が判別できる
d. 傾いた場合は、(27)～(40) は正常球である。仮に、(1)～(13) が
左の皿、(14)～(26)が右の皿に載っているものとし、左の皿が
軽かったものとする。
e. (1)～(13)と(14)～(26)をそれぞれ4＋9個とみる
f. 左の皿は、(1)～(4)はそのまま、(5)～(13)は皿から取り除き、右
の皿から(18)～(26)を持ってくる
g. 右の皿は、(14)～(17)はそのまま、(18)～(26)は取除いて左の皿
に移し、新たに正常球(27)～(35)に加える
補題 B-4a

15. Ｂ類は、天秤4回の試行で40球を判別
できる（続き）
 手順
h. (1)～(4)(18)～(26)と(14)～(17)(26)～(35)を比較する（残り試行２回）
i. 釣り合った場合は、今回取り除いた(5)～(13)の中に異常球が含ま
れるが、１回目の試行の結果から(5)～(13)は正常球より軽いこと
が同時に分かるので、補題A-2を適用でき、異常球が判別できる
j. 再び左の皿が軽かった場合は、(1)～(4)または(14)～(17)の８球の
中に異常球が含まれるが、正常球が３球使える場合であるので、
補題B-3aの手順 a. で傾いた状態に帰着しており、異常球が判別
できる。
k. 左の皿が重くなった場合は、今回動かした(18)～(26)の中に異常
球がある。この9球に含まれる異常球は重いことが分かるので、
補題A-2を適用でき、異常球が判別できる
補題 B-4a

16. Ｂ類は、別に正常球を27球使えるならば、
天秤４回の試行で41球を判別できる
 手順
a. (1)～(27)を正常球27個と比較する（残り試行３回）
b. 釣り合った場合は、(28)～(41)の14球の中に異常球がある
c. 補題B-3bを適用して、この14個の中から異常球が判別できる
d. 傾いた場合は、(1)～(27)の27球の中に異常球があるが、正常球
との比較であるので、異常球の軽重も合わせて判明する
e. 補題A-3を適用して、異常球が判別できる
補題 B-4b

17. 定理B
 次の２つの命題で構成される
 命題B-a
 Ｂ類は、N>1のとき、天秤N回の試行で 𝑖=1
𝑁
3𝑖−1個の球を判別
できる
 命題B-b
 Ｂ類は、別途正常球 3N-1 個を用いることができれば、 N>1の
とき、天秤N回の試行で 𝑖=1
𝑁
3𝑖−1＋1 個の球を判別できる

18. 定理B の証明
 ２つの命題を同時に数学的帰納法で証明する
 N=2 のとき、定理の主張は補題B-2a及び補題B-2bと
して証明済みである
 N-1 まで定理の主張が成立しているものと仮定する
 命題 B-(N-1)a
 Ｂ類は、N>1のとき、天秤N-1回の試行で 𝑖=1
𝑁−2
3𝑖−1
個の球を判
別できる
 命題 B-(N-1)b
 Ｂ類は、別途正常球 3N-2 個を用いることができれば、 N>1の
とき、天秤N-1回の試行で 𝑖=1
𝑁−2
3𝑖−1
+1個の球を判別できる

19. 命題 B-Na の証明
 手順
a. 𝑖=1
𝑁
3𝑖−1個の球を 𝑖=1
𝑁−1
3𝑖−1個、 𝑖=1
𝑁−1
3𝑖−1個、 𝑖=1
𝑁−1
3𝑖−1＋1個
の３組に分け、順に第１組、第２組、第３組とする
b. 第１組と第２組を比較する（残り試行 N-1 回）
c. もし釣り合えば、第３組の 𝑖=1
𝑁−1
3𝑖−1
＋1個の中に異常球がある
d. 正常な第１組から3N-2 個を用いることとすれば、命題 B-(N-1)b
の主張に帰着している
e. もし傾けば、第１組及び第２組をそれぞれ 𝑖=1
𝑁−2
3𝑖−1
個の組と
3N-1 個の組に分ける
f. 第１組の 𝑖=1
𝑁−2
3𝑖−1個＋第２組の 3N-1個と、
第２組の 𝑖=1
𝑁−2
3𝑖−1個＋正常球の 3N-1個とを比較する
（残り試行 N-2 回）

20. 命題 B-Na の証明（つづき）
 手順
g. 釣り合った場合、取り除いた第１組の 3N-1個の中に異常球が含
まれることがわかる
h. 同時に、最初の試行の結果から、この異常球の軽重も判明する
i. こうして、この3N-1個はＡ類に移行するので、定理Aが適用で
き、異常球の判別も可能となる
j. 同様に傾いた場合、第１組及び第２組それぞれ 𝑖=1
𝑁−2
3𝑖−1
個の
組のなかに異常球が含まれる。これは、命題 B-(N-1)a の最初
の手順に帰着している
k. 反対に傾いた場合、今移した第２組の 3N-1個の中に異常球が含
まれることがわかる
l. 同時に、この試行の結果から、この異常球の軽重も判明する

21. 命題 B-Na の証明（つづき３）
 手順
m. こうして、全ての場合で、命題B-Naは、定理A、命題B-(N-1)a、
命題B-(N-1)b のいずれかに帰着することがわかり、正しいこと
が示された

22. 命題 B-Nb の証明
 手順
a. 𝑖=1
𝑁
3𝑖−1+1個の球を、3N-1個と 𝑖=1
𝑁−1
3𝑖−1個 とに分ける
b. 3N-1個を正常球3N-1個と比較する（残り試行 N-1 回）
c. もし釣り合えば、残りの 𝑖=1
𝑁−1
3𝑖−1
＋1個の中に異常球があるが、
これは命題 B-(N-1)b の主張に帰着している
e. もし傾けば、この3N-1個の中に異常球があるが、正常球との比
較であるから、異常球の軽重は同時に判明し、異常球はＡ類に
移行する
f. すなわち、定理A が適用でき、N-1 回の試行で異常球を特定す
ることができる
g. こうして、命題B-Nbは、定理Aまたは命題B-(N-1)b のいずれか
に帰着することがわかり、正しいことが示された

23. Ｃ類は、天秤１回の試行では２球以上
の判別はできない
 ２球のケース
a. (1)(2)を比較すると、必ず傾くが、Ａ類と違って、異常球の軽
重が分かっていないため、(1)(2)いずれが異常球なのかがわか
らない
 ３球以上のケース
b. 片方の皿に何球のせたかにかかわらず、傾くと判別不能
補題 C-1a

24. Ｃ類は、別に正常球を使える場合でも、
天秤１回の試行では判別できない
 ２球のケース
a. 正常球と(1)を比較すると、傾いた場合は異常球が軽重まで含
めて判明するが、釣り合った場合は(2)の軽重は判明しない
 ３球以上のケース
b. 片方の皿に何球のせたかにかかわらず、傾くと判別不能
c. 釣り合った場合も、載せなかった球の軽重は判明しない
 B類は異常球の軽重を言う必要がないので、１球を残
して全ての球が正常球だと判明した時点で分別が終了
するが、C類は異常球の軽重も言う必要があるので、
最後の１球まで天秤に乗せない限り分別が終了しない
補題 C-1b

25. 予め (1)＞(2) が判明している２球は、
正常球があれば試行１回で判明する
 手順
a. 正常球と(1)を比較する
b. 釣り合った場合は、(2)が異常球で、かつ、(2)は軽い
c. 傾いた場合は、(1)が異常球で、かつ、(1)は重い
 Ｂ類と比較してＣ類は条件が厳しいので、補題B-1bに
相当する部分が成立せず、少し弱い補題C-1cに置き換
わる
 このことが響いて、補題C-Na、補題C-Nb においても
判別可能な球数が減少する
補題 C-1c

26. Ｃ類は、天秤2回の試行で３球を判別
できる
 手順
a. (1)(2)を比較する（残り試行１回）
b. 釣り合った場合は、(3)が異常球であるので、(1)と(3)を比較して
(3)の軽重がわかる
c. 傾いた場合は、(1)(2)のいずれかが異常球であるが、補題 C-1c
に帰着するので、異常球が軽重も含めて判明する
補題 C-2a

27. Ｃ類は、別に正常球を３球使えるならば、
天秤２回の試行で４球を判別できる
 手順
a. (1)(2)(3)を正常球３個と比較する（残り試行１回）
b. 釣り合った場合は、(4)が異常球である
c. (1)と(4)を比較して、(4)の軽重が判別できる
d. 傾いた場合は、(1)(2)(3)の中に異常球があるが、正常球との比較
であるので、異常球の軽重も合わせて判明する
e. 補題A-1を適用して、異常球が判別できる
 d の時点で、残った３球がＡ類に変化する点がミソ
補題 C-2b

28. Ｃ類は、天秤3回の試行で12球を判別
できる
 手順
a. (1)～(4)と(5)～(8)を比較する（残り試行２回）
b. 釣り合った場合は、(9)～(12)の中に異常球が含まれる
c. 補題C-2bを適用することができ、異常球が判別できる
d. 傾いた場合は、(1)(6)(7)(8)と(5)(10)(11)(12)を比較する
e. 釣り合った場合は、(2)(3)(4)の中に異常球が含まれるが、１回目
の試行の結果から(2)(3)(4)の軽重が同時に分かるので、補題A-1
を適用でき、異常球が判別できる
f. 同様に傾いた場合は、(1)または(5)が異常球である。補題C-1cを
適用することができ、異常球が判別できる
g. 反対に傾いた場合は、(6)(7)(8)が異常球である。同時に軽重もわ
かるので、補題A-1を適用でき、異常球が判別できる
補題 C-3a
（残り試行1回）

29. Ｃ類は、別に正常球を９球使えるならば、
天秤３回の試行で13球を判別できる
 手順
a. (1)～(9)を正常球９個と比較する（残り試行２回）
b. 釣り合った場合は、(10)～(13)の中に異常球がある
c. 補題C-2bを適用して、この４個の中から異常球が判別できる
d. 傾いた場合は、(1)～(9)の中に異常球があるが、正常球との比
較であるので、異常球の軽重も合わせて判明する
e. 補題A-2を適用して、異常球が判別できる
 C 系の補題は、Ｂ系と同様の考え方で示すことができ
るが、補題C-1c に帰着する場合があるため、判定可
能となる球数が１個減少している
補題 C-3b

30. Ｃ類は、天秤4回の試行で39球を判別
できる
 手順
a. (1)～(13)と(14)～(26)を比較する（残り試行３回）
b. 釣り合った場合は、(27)～(39)の中に異常球が含まれる
c. 補題C-3bを適用することができ、異常球が判別できる
d. 傾いた場合は、(27)～(39)は正常球である。仮に、(1)～(3)が左の
皿、(14)～(26)が右の皿に載っているものとし、左の皿が軽かっ
たものとする。
e. (1)～(13)と(14)～(26)をそれぞれ4＋9個とみる
f. 左の皿は、(1)～(4)はそのまま、(5)～(13)は皿から取り除き、右
の皿から(18)～(26)を持ってくる
g. 右の皿は、(14)～(17)はそのまま、(18)～(26)は取除いて左の皿に
移し、新たに正常球(27)～(35)に加える
補題 C-4a

31. Ｃ類は、天秤4回の試行で39球を判別
できる（続き）
 手順
h. (1)～(4)(18)～(26)と(14)～(17)(26)～(35)を比較する（残り試行２回）
i. 釣り合った場合は、今回取り除いた(5)～(13)の中に異常球が含ま
れるが、１回目の試行の結果から(5)～(13)は正常球より軽いこと
が同時に分かるので、補題A-2を適用でき、異常球が判別できる
j. 再び左の皿が軽かった場合は、(1)～(4)または(14)～(17)の８球の
中に異常球が含まれるが、正常球が３球使える場合であるので、
補題C-3aの手順 a. で傾いた状態に帰着しており、異常球が判別
できる
k. 左の皿が重くなった場合は、今回動かした(18)～(26)の中に異常
球が含まれるが、この9球に含まれる異常球は正常球より重いこ
とが同時に分かるので、補題A-2を適用でき、異常球が判別でき
る
補題 C-4a

32. Ｃ類は、別に正常球を27球使えるならば、
天秤４回の試行で40球を判別できる
 手順
a. (1)～(27)を正常球27個と比較する（残り試行３回）
b. 釣り合った場合は、(28)～(40)の13球の中に異常球がある
c. 補題C-3bを適用して、この13個の中から異常球が判別できる
d. 傾いた場合は、(1)～(27)の27球の中に異常球があるが、正常球
との比較であるので、異常球の軽重も合わせて判明する
e. 補題A-3を適用して、異常球が判別できる
補題 C-4b

33. 定理C
 次の２つの命題で構成される
 命題C-a
 Ｃ類は、N>1のとき、天秤N回の試行で 𝑖=1
𝑁
3𝑖−1-1 個の球を判
別できる
 命題C-b
 Ｃ類は、別途正常球 3N-1 個を用いることができれば、 N>1の
とき、天秤N回の試行で 𝑖=1
𝑁
3𝑖−1 個の球を判別できる

34. 定理C の証明
 ２つの命題を同時に数学的帰納法で証明する
 N=2 のとき、定理の主張は補題C-2a及び補題C-2bと
して証明済みである
 N-1 まで定理の主張が成立しているものと仮定する
 命題 C-(N-1)a
 Ｃ類は、N>1のとき、天秤N-1回の試行で 𝑖=1
𝑁−2
3𝑖−1
-1 個の球を
判別できる
 命題 C-(N-1)b
 Ｃ類は、別途正常球 3N-2 個を用いることができれば、 N>1の
とき、天秤N-1回の試行で 𝑖=1
𝑁−2
3𝑖−1
個の球を判別できる

35. 命題 C-Na の証明
 手順
a. 𝑖=1
𝑁
3𝑖−1 -1個の球を 𝑖=1
𝑁−1
3𝑖−1 個ずつ３組に分け、順に第１組、
第２組、第３組とする
b. 第１組と第２組を比較する（残り試行 N-1 回）
c. もし釣り合えば、第３組の 𝑖=1
𝑁−1
3𝑖−1
個の中に異常球がある
d. 正常な第１組から3N-2 個を用いることとすれば、命題 C-(N-1)b
の主張に帰着している
e. もし傾けば、第１組及び第２組をそれぞれ 𝑖=1
𝑁−2
3𝑖−1
個の組と
3N-1 個の組に分ける
f. 第１組の 𝑖=1
𝑁−2
3𝑖−1個＋第２組の 3N-1個と、
第２組の 𝑖=1
𝑁−2
3𝑖−1個＋正常球の 3N-1個とを比較する
（残り試行 N-2 回）

36. 命題 C-Na の証明（つづき）
 手順
g. 釣り合った場合、取り除いた第１組の 3N-1個の中に異常球が含
まれることがわかるが、最初の試行の結果からこの異常球の軽
重も同時に判明し、この3N-1個はＡ類に移行しているので、定
理Aが適用でき、異常球の判別も可能となる
h. 同様に傾いた場合、第１組及び第２組各 𝑖=1
𝑁−2
3𝑖−1
個の組の中
に異常球が含まれることがわかるが、これは命題 C-(N-1)a の
最初の手順に帰着しており、異常球が判別できる
i. 反対に傾いた場合、動かした第２組の3N-1 個の中に異常球が含
まれることがわかるが、最初の試行の結果からこの異常球の軽
重も同時に判明し、この3N-1個はＡ類に移行することが分かる
ので、定理Aが適用でき、異常球の判別も可能となる

37. 命題 C-Na の証明（つづき２）
 手順
j. こうして、全ての場合で、命題C-Naは、定理A、命題C-(N-1)a、
命題C-(N-1)b のいずれかに帰着することがわかり、正しいこ
とが示された

38. 命題 Ｃ-Nb の証明
 手順
a. 𝑖=1
𝑁
3𝑖−1個の球を、3N-1個と 𝑖=1
𝑁−1
3𝑖−1-1個 とに分ける
b. 3N-1個を正常球3N-1個と比較する（残り試行 N-1 回）
c. もし釣り合えば、残りの 𝑖=1
𝑁−1
3𝑖−1
個の中に異常球があるが、
これは命題Ｃ-(N-1)b の主張に帰着している
e. もし傾けば、この3N-1個の中に異常球があるが、正常球との比
較であるから、異常球の軽重は同時に判明し、異常球はＡ類に
移行する
f. すなわち、定理A が適用でき、N-1 回の試行で異常球を特定す
ることができる
g. こうして、命題Ｃ-Nbは、定理Aまたは命題C-(N-1)b のいずれ
かに帰着することがわかり、正しいことが示された

39. まとめ
A) 異常球が重いか軽いか、あらかじめ判明している場合
 天秤N回の試行で3N個の球が判別できる
B) 異常球が正常球より重いか軽いかを見分けなくても良い場合
 N>1 なら天秤N回の試行で 𝑖=1
𝑁
3𝑖−1個の球が判別できる
C) 異常球が正常球より重いか軽いかを見分ける必要がある場合
 N>1 なら天秤N回の試行で 𝑖=1
𝑁
3𝑖−1
-1個の球が判別できる
 これらはNについての数学的帰納法で示すことができる
 3つの場合は、互いに関係している
 Nを大きくすると天秤が壊れるので、実際はNに上限がある