Maciej Czarnecki


                      Geometria szkolna
                                skrypt dla studentów matematyki...
2

Twierdzenie 7. Dla dowolnego k ∈ N równoległościan k–wymiarowy jest zbiorem
wypukłym.
    Dowód:


Definicja 8. Kompleks...
3

   Dowód:      Zbudujemy triangulację L(k) pryzmy Q(conv(p0 , . . . , pk−1 ), v) indukcyj-
nie kładąc
                 ...
4

  Dowód: Przeprowadzimy tylko rozumowanie dla k ∈ {2, 3}.
  Równoległościan dwuwymiarowy jest pryzmą dwuwymiarową, zate...
5

Twierdzenie 18. Dla dowolnej podprzestrzeni afinicznej H i i dowolnego punktu
p ∈ E zbiór H ∩ H ⊥ (p) jest jednopunktowy...
6

                                                      −−→ → −−→
                                                       ...
7

  Dowód: Niech najpierw p1 , p1 ∈ H1 , p2 ∈ H2 i niech v bedzie wektorem normal-
nym do hiperpłaszczyzny H2 . Wówczas v...
8

Zatem d(L1 , L2 ) = d(q1 , q2 ), co wraz z faktem − → + − → ∈ lin(v1 , v2 ) oraz własnością
                           ...
9

   Dowód: Jeżeli układ punktów (p0 , . . . , pk−1 ) jest w położeniu szczególnym, to
także układ (p0 , . . . , pk ) jes...
10

     (3) Rozumowanie przebiega analogicznie jak dla przyzmy. Korzystamy z twierdze-
         nia 14, które orzeka, że ...
11

(1) Czworościany conv(∆i , p), i = 1, . . . , l, stanowią triangulację ostrosłupa conv(P, p).
    Ponieważ każdy z tró...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Geometria - wielościany i objętość

3,851 views

Published on

Skrypt dla studentów matematyki.
Autor: Maciej Czarnecki.
Tytuł: Wielościany i objętość

Published in: Education, Technology
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
3,851
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
25
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Geometria - wielościany i objętość

  1. 1. Maciej Czarnecki Geometria szkolna skrypt dla studentów matematyki Rozdział III Wielościany i objętość Niech (E, V, − ) bedzie przestrzenią afiniczną skończonego wymiaru n. → Definicja 1. Niech układ punktów (p0 , . . . , pk ) będzie ciągiem punktów w położeniu ogólnym. Zbiór conv(p0 , . . . , pk ) nazywamy k–wymiarowym sympleksem rozpiętym na punktach p0 , . . . , pk , a same te punkty wierzchołkami sympleksu. Przykład 2. Punkt jest sympleksem zerowymiarowym, a odcinek — sympleksem jed- nowymiarowym. Sympleks dwumiarowy nazywamy trójkątem, a sympleks trójwymia- rowy — czworościanem. Definicja 3. Niech układ punktów (p0 , . . . , pk ) będzie ciągiem punktów w położeniu ogólnym, a układ (pi0 , . . . , pil ) jego podciągiem. Sympleks conv(pi0 , . . . , pil ) nazywamy l–wymiarową ścianą sympleksu conv(p0 , . . . , pk ). Przykład 4. Zerowymiarową ścianą sympleksu jest każdy jego wierzchołek. Jedno- wymiarowe ściany trójkąta nazywamy bokami. Jednowymiarowe ściany czworościanu nazywamy krawędziami, a ściany dwuwymiarowe po prostu ścianami. Definicja 5. Niech p0 ∈ E i niech (v1 , . . . , vk ) będzie liniowo niezależnym układem wektorów. Zbiór k P(p0 ; v1 , . . . , vk ) = p0 + ai vi ; ai ∈ [0, 1], i = 1, . . . , k i=1 nazywamy k–wymiarowym równoległościanem rozpiętym na wektorach v1 , . . . , vk za- czepionych w punkcie p0 . Punkty postaci k p0 + εi vi , gdzie εi ∈ {0, 1} i=1 nazywamy wierzchołkami tego równoległościanu. Przykład 6. Równoległościanem jednowymiarowym jest odcinek, a równoległościany dwu– i trójwymiarowy nazywamy odpowiednio równoległobokiem i równoległościa- nem. 1
  2. 2. 2 Twierdzenie 7. Dla dowolnego k ∈ N równoległościan k–wymiarowy jest zbiorem wypukłym. Dowód: Definicja 8. Kompleksem symplicjalnym w przestrzeni afinicznej E nazywamy taki układ sympleksów (S1 , . . . , Sm ) w tej przestrzeni, że dla dowolnych i, j = 1, . . . , m zbiór Si ∩ Sj jest pusty lub jest wspólną ścianą sympleksów Si i Sj . Podzbiór przestrzeni afinicznej E, który można przedstawić jako sumę mnogościową sympleksów pewnego kompleksu symplicjalnego składającego sie tylko z sympleksów k–wymiarowych nazywamy k–wymiarowym wielościanem, a jego przedstawienie w postaci sumy sympleksów kompleksu symplicjalnego — triangulacją. Wieościan dwuwymiarowy nazywamy wielokątem. Przykład 9. Każdy podzbiór skończony jest wielościanem zerowymiarowym. Zbiór posiadający triangulację postaci (p1 p2 , . . . , pm pm+1 ) nazywamy łamaną ot- wartą, jeżeli punkty p1 , . . . , pm+1 są parami różne, a łamaną zamkniętą — jeżeli punkty p1 , . . . , pm są parami różne oraz p1 = pm+1 . Zbiór, który jest sumą sympleksów kompleksu symplicjalnego zawierającego tylko sympleksy wymiaru nie przekraczającego 1, nazywamy grafem skończonym. Definicja 10. Dla sympleksu (k − 1)–wymiarowego ∆(k−1) = conv(p0 , . . . , pk−1 ) i wektora v ∈ lin(− →, . . . , − pk−1 ) zbiór / p− 1 0p p− − 0 −→ Q(∆(k−1) , v) = (∆(k−1) + α · v) 0 α 1 nazywamy k–wymiarową przymą o podstawach ∆(k−1) i ∆(k−1) + v. Punkty p0 , . . . , pk−1 , p0 + v, . . . , pk−1 + v nazywamy wierzchołkami tej pryzmy. Przykład 11. Równoległobok jest pryzmą dwuwymiarową. Pryzmę trójwymiarową nazywamy graniastosłupem trójkątnym. Twierdzenie 12. Dla dowolnego k ∈ N pryzma k–wymiarowa jest zbiorem wypukłym. Dowód: Rozważmy pryzmę Q(∆(k−1) , v), gdzie ∆(k−1) = conv(p0 , . . . , pk−1 ). Jeżeli p, q ∈ Q(∆(k−1) , v), to istnieją liczby a0 , . . . , ak−1 , b0 , . . . , bk−1 , α, β ∈ [0, 1] takie, że p = a0 p0 + . . . + ak−1 pk−1 + α · v, q = b0 p0 + . . . + bk−1 pk−1 + β · v. Wówczas dla a ∈ [0, 1] ap + (1 − a)q =(aa0 + (1 − a)b0 )p0 + . . . + (aak−1 + (1 − a)bk−1 )pk−1 + (aα + (1 − a)β) · v ∈ Q(∆(k−1) , v), ponieważ sympleks ∆(k−1) jest wypukły oraz aα + (1 − a)β ∈ [0, 1]. Twierdzenie 13. Dla dowolnego k ∈ N pryzma k–wymiarowa jest wielościanem k– wymiarowym. Pewna triangulacja pryzmy Q(conv(p0 , . . . , pk−1 ), v) składa się z k sympleksów, z których każdy jest rozpięty na k wektorach postaci ε1 · − → + . . . + εk−1 · − pk−1 + ε · v, p− 1 0p p− − 0 −→ gdzie ε1 , . . . , εk−1 , ε ∈ {−1, 0, 1}.
  3. 3. 3 Dowód: Zbudujemy triangulację L(k) pryzmy Q(conv(p0 , . . . , pk−1 ), v) indukcyj- nie kładąc (1) (1) L(1) = ∆1 , gdzie ∆1 = conv(p0 , p0 + v) a dla m 2 (m) L(m) = ∆1 , . . . , ∆(m) , m gdzie (m) (m−1) ∆i = conv ∆i , pm−1 + v dla i = 1, . . . , m − 1 ∆(m) = conv(p0 , . . . , pm−1 , pm−1 + v) m Fakt, że ciąg sympleksów L(k) jest triangulacją pryzmy i że każdy z tych sympleksów jest rozpięty na wektorach ε1 · − →, . . . , εk−1 · − pk−1 , ε·v, gdzie ε1 , . . . , εk−1 , ε ∈ {0, 1}, p− 1 0p p− − 0 −→ sprawdzimy tylko dla k ∈ {2, 3}. Dla pryzmy dwuwymiarowej Q(conv(p0 , p1 ), v) mamy (1) ∆1 = conv(p0 , p0 + v), (2) ∆1 = conv(p0 , p0 + v, p1 + v), (2) ∆2 = conv(p0 , p1 , p1 + v), (2) (2) (2) (2) skąd ∆1 ∩ ∆2 = conv(p0 , p1 + v) ∆1 ∪ ∆2 = Q(conv(p0 , p1 ), v) , czyli L(2) jest (2) triangulacją tej pryzmy. Ponadto sympleks ∆1 jest zaczepiony w punkcie p0 + v i rozpięty na wektorach − →, −v, a sympleks ∆2 jest zaczepiony w punkcie p1 i p− 1 (2) 0p rozpięty na wektorach −− →, v. p− 1 0p Dla pryzmy trójwymiarowej Q(conv(p0 , p1 , p2 ), v) mamy (3) ∆1 = conv(p0 , p0 + v, p1 + v, p2 + v), (3) ∆2 = conv(p0 , p1 , p1 + v, p2 + v), (3) ∆3 = conv(p0 , p1 , p2 , p2 + v), skąd (3) (3) (3) ∆1 ∪ ∆2 ∪ ∆3 = Q(conv(p0 , p1 , p2 ), v), (3) (3) ∆1 ∩ ∆2 = conv(p0 , p1 + v, p2 + v), (3) (3) ∆1 ∩ ∆3 = conv(p0 , p2 + v), (3) (3) ∆2 ∩ ∆3 = conv(p0 , p1 , p2 + v), (3) czyli L(3) jest triangulacją tej pryzmy. Ponadto sympleks ∆1 jest zaczepiony w punk- cie p0 + v i rozpięty na wektorach − →, − →, −v, sympleks ∆2 jest zaczepiony w p− 1 p− 2 (3) 0p 0p punkcie p1 i rozpięty na wektorach −− →, −− → + − → + v, v, a sympleks ∆3 jest p− 1 p− 1 p− 2 (3) 0p 0p 0p zaczepiony w punkcie p2 i rozpięty na wektorach −− →, − → − − →, v. p− 2 p− 1 p− 2 0p 0p 0p Twierdzenie 14. Dla dowolnego k ∈ N równoległościan k–wymiarowy jest wielościa- nem k–wymiarowym. Pewna triangulacja równoległościanu P(p0 ; v1 , . . . , vk ) składa się z k! sympleksów, z których każdy jest rozpięty na k wektorach postaci ε1 · v1 + . . . + εk · vk , gdzie ε1 , . . . , εk ∈ {−1, 0, 1}.
  4. 4. 4 Dowód: Przeprowadzimy tylko rozumowanie dla k ∈ {2, 3}. Równoległościan dwuwymiarowy jest pryzmą dwuwymiarową, zatem wystarczy w tym przypadku zastosować twierdzenie 13 i zauważyć, że 2! = 2. Równoległościan trójwymiarowy P(p0 ; v1 , v2 , v3 ) można przedstawić jako sumę mno- gościową dwóch pryzm trójwymiarowych P(p0 ; v1 , v2 , v3 ) =Q(conv(p0 , p0 + v1 , p0 + v2 ), v3 ) ∪ Q(conv(p0 + v1 , p0 + v2 , p0 + v1 + v2 ), v3 ), których częścią wspólną jest dwuwymiarowa pryzma (równoległobok) Q(conv(p0 + v1 , p0 + v2 ), v3 ). Triangulując obie pryzmy trójwymiarowe jak w dowodzie twierdzenia 13 otrzymu- jemy 3! = 6 sympleksów: ∆1 = conv(p0 , p0 + v3 , p0 + v1 + v3 , p0 + v2 + v3 ), ∆2 = conv(p0 , p0 + v1 , p0 + v1 + v3 , p0 + v2 + v3 ), ∆3 = conv(p0 , p0 + v1 , p0 + v2 , p0 + v2 + v3 ), ∆4 = conv(p0 + v1 , p0 + v1 + v3 , p0 + v2 + v3 , p0 + v1 + v2 + v3 ), ∆5 = conv(p0 + v1 , p0 + v2 , p0 + v2 + v3 , p0 + v1 + v2 + v3 ), ∆6 = conv(p0 + v1 , p0 + v2 , p0 + v1 + v2 , p0 + v1 + v2 + v3 ). Wystarczy sprawdzić, ∆i ∩ ∆j , gdzie i = 1, 2, 3, j = 4, 5, 6, jest zbiorem pustym lub wspólną ścianą sympleksów ∆i i ∆j . Opis wierzchołków sympleksów bezpośrednio wskazuje, że wektory je rozpinające są żądanej postaci. Załóżmy od tego miejsca, że w przestrzeni V jest okreslony iloczyn skalarny .,. . Definicja 15. Podprzestrzenie afiniczne H1 i H2 są prostopadłe, jeżeli S(H1 ) jest ortogonalna do S(H2 ), tzn. v1 ⊥ v2 dla vi ∈ S(Hi ), i = 1, 2. Twierdzenie 16. Dla dowolnego punktu p ∈ E i dowolnej k–wymiarowej podprze- strzeni afinicznej H istnieje dokładnie jedna (n − k)–wymiarowa podprzestrzeń afi- niczna H ⊥ (p) przechodząca przez punkt p i prostopadła do H. Dowód: Podprzestrzeń H ⊥ (p) ma przedstawienie liniowe p + (S(H))⊥ , gdzie (S(H))⊥ jest dopełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni S(H). Przykład 17. Jeżeli H jest hiperpłaszczyzną w E, p ∈ E i wektor v = θ jest prostopa- dły do H (czyli do S(H)), to mówimy, że v jest wektorem normalnym do hiperpłasz- czyzny H. Wówczas H ⊥ (p) = p + lin(v), H = {q ∈ E ; − ⊥ v} . → pq W szczególności jeżeli H jest hiperpłaszczyzną w En opisaną równaniem a1 x1 + . . . + an xn + b = 0, to wektorem normalnym do H jest v = (a1 , . . . , an ). Istotnie, jeżeli q = (q1 , . . . , qn ), r = (r1 , . . . , rn ) ∈ H, to → − v = (r − q , . . . , r − q ), (a , . . . , a ) qr, 1 1 n n 1 n =a1 r1 + . . . + an rn + b − (a1 q1 + . . . + an qn + b) = 0.
  5. 5. 5 Twierdzenie 18. Dla dowolnej podprzestrzeni afinicznej H i i dowolnego punktu p ∈ E zbiór H ∩ H ⊥ (p) jest jednopunktowy. Dowód: Jeżeli r ∈ H oraz r ∈ H ⊥ (p), to z uwagi na V = S(H) ⊕ S H ⊥ (p) istnieją wektory u ∈ S(H) oraz u ∈ S H ⊥ (p) takie, że − = u + u . Wówczas → pq r + u = r − u ∈ H ∩ H ⊥ (p), czyli zbiór ten jest niepusty. Z drugiej strony jeżeli q, q ∈ H ∩ H ⊥ (p), to − → qq ∈ S H ∩ H ⊥ (p) = S(H) ∩ S H ⊥ (p) = {θ}, czyli q = q . Definicja 19. Niech H bedzie podprzestrzenią afiniczną. Rzutem prostopadłym punktu p ∈ E na podprzestrzeń H nazywamy jedyny punkt πH (p) ∈ H ∩ H ⊥ (p). Definicja 20. Funkcję d : E × E → R daną wzorem d(p, q) = |− = → pq| → → − − pq, pq dla p, q ∈ E nazywamy odległością w przestrzeni E. Zamiast d(p, q) piszemy często |pq|. Odległością punktu p od zbioru niepustego A ⊂ E nazywamy liczbę d(p, A) = inf{d(p, q) ; q ∈ A}, a odległością zbiorów niepustych A, B ⊂ E — liczbę d(A, B) = inf{d(q, r) ; q ∈ A, r ∈ B}. Twierdzenie 21. (E, d) jest przestrzenią metryczną, to znaczy dla p, q, r ∈ E speł- nione są warunki (1) d(p, q) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy p = q, (2) d(q, p) = d(p, q), (3) d(p, q) d(p, r) + d(r, q). Dowód: Wynika bezpośrednio z własności normy (twierdzenie I.8). Twierdzenie 22. Niech H będzie podprzestrzenią afiniczną. Punkt πH (p) jest jedy- nym punktem podprzestrzeni H odległym od punktu p o d(p, H). −−→ −−→ −− −− Dowód: Jeżeli q ∈ H, to z uwagi na pπH (p) ⊥ qπH (p) i twierdzenie Pitagorasa (wn. I.16) otrzymujemy −−→2 −− −−→2 −− (d(p, q))2 = |− 2 = pπH (p) + qπH (p) = (d(p, πH (p)))2 + (d(q, πH (p)))2 . → pq| Zatem d(p, q) d(p, πH (p) dla q ∈ H, czyli d(p, πH (p) = d(p, H). Ponadto na podstawie powyższego równoważne są warunki: d(p, q) = d(p, πH (p)); d(q, πH (p)) = 0; q = πH (p). Tym samym punkt podprzestrzeni H odległy od p o d(p, H) jest wyznaczony jednoznacznie. Twierdzenie 23. Jeżeli (p; v1 , . . . , vk ) jest układem współrzędnych podprzestrzeni afi- nicznej H, to dla dowolnego punktu q ∈ E det G (v1 , . . . , vk , − → pq) d(q, H) = . det G(v1 , . . . , vk )
  6. 6. 6 −−→ → −−→ −− −− Dowód: Niech q ∈ E. Wówczas wektor qπH (q) = − pπH (q) różni się od wektora qp+ → − o kombinację liniową wektorów v , . . . , v , bo rozpinają one przestrzeń S(H). Stąd qp 1 k i z twierdzenia I.21.3-5 otrzymujemy −−→ −− det G(v1 , . . . , vk , − = det G(v1 , . . . , vk , qπH (q)). → pq) −−→ −− Z definicji wyznacznika Grama po uwzględnieniu warunku qπH (q) ⊥ S(H), czyli −−→ −− qπH (q) ⊥ vi dla i = 1, . . . k, i twierdzenia 22. dostajemy −−→2 −− det G(v1 , . . . , vk , − = qπH (q) det G(v1 , . . . , vk ) = (d(q, H))2 det G(v1 , . . . , vk ). → pq) Teza wynika teraz z dodatniości wyznacznika Grama dla układu liniowo niezależnego (v1 , . . . , vk ) (tw. I.21.1-2). Twierdzenie 24. Jeżeli v jest wektorem normalnym do hiperpłaszczyzny H i p ∈ H, to dla q ∈ E |− v | → pq, d(q, H) = . |v| W szczególności, jeżeli hiperpłaszczyzna H ⊂ En jest określona równaniem a1 x1 + . . . + an xn + b = 0, to dla q = (q1 , . . . , qn ) ∈ En |a1 q1 + . . . + an qn + b| d(q, H) = . a2 + . . . + a2 1 n Dowód: Zauważmy, że dla q ∈ E rzut ortogonalny wektora − na kierunek wektora → pq v jest postaci −−→ −− → − v pq, −qπH (q) = − · v, |v|2 skąd na mocy twierdzenia 22 otrzymujemy −−→ −− |− v | → pq, d(q, H) = |qπH (q)| = . |v| Dla hiperpłaszczyzny H : a1 x1 + . . . an xn + b = 0 zawartej w En i punktu q ∈ En wybierzmy dowolny punkt p ∈ H. Wówczas a1 p1 + . . . an pn + b = 0 i korzystając z wyprowadzonego już wzoru ogólnego oraz faktu, że v = (a1 , . . . , an ) dostajemy |(q1 − p1 )a1 + . . . + (qn − pn )an | |a1 q1 + . . . + an qn + b| d(q, H) = = . a2 + . . . + a2 1 n a2 + . . . + a2 1 n Twierdzenie 25. Jezeli hiperpłaszczyzny H1 i H2 są równoległe, to dla p1 ∈ H1 i p2 ∈ H 2 d(H1 , H2 ) = d(p1 , H2 ) = d(p2 , H1 ). W szczególności, jeżeli hiperpłaszczyzny H1 i H2 są dane odpowiednio równaniami a1 x1 + . . . an xn + bi = 0, i = 1, 2, to |b1 − b2 | d(H1 , H2 ) = . a2 + . . . + a2 1 n
  7. 7. 7 Dowód: Niech najpierw p1 , p1 ∈ H1 , p2 ∈ H2 i niech v bedzie wektorem normal- nym do hiperpłaszczyzny H2 . Wówczas v jest normalny także do H1 , bo H1 H2 , −→ − skąd wynika, że p1 p1 ⊥ v. Zatem na mocy twierdzenia 24 mamy −→ −→ − − | − →, v | p− 2 1p | p1 p1 + p1 p2 , v | d(p1 , H2 ) = = |v| |v| −→ − | p p2 , v | = 1 = d(p1 , H2 ). |v| Tym samym odległość punktów hiperpłaszczyzny H1 od hiperpłaszczyzny H2 jest stała. Niech teraz q1 ∈ H1 , q2 = πH2 (q1 ). Wówczas −→ ⊥ S(H1 ) = S(H2 ), skąd dla q− 2 1q −→ + −→ ⊥ −→, co wraz z twierdzeniem Pitagorasa − r1 ∈ H1 oraz r2 ∈ H2 mamy r1 q1 q2 r2− − q1 q2 daje podobnie jak w dowodzie tw.22, że d(r1 , r2 ) d(q1 , q2 ). Tym samym na mocy poprzedniego spostrzeżenia d(H1 , H2 ) = d(q1 , q2 ) = d(q1 , H2 ) = d(p1 , H2 ) i analogicznie d(H1 , H2 ) = d(p2 , H1 ). Jeżeli w przestrzeni En hiperpłaszczyzna Hi jest dana równaniem a1 x1 +. . .+an xn + bi = 0, i = 1, 2 oraz q ∈ H1 , to na mocy pierwszej części twierdzenia i twierdzenia 25 otrzymujemy |a1 q1 + . . . + an qn + b2 | d(H1 , H2 ) =d(q, H2 ) = a2 + . . . + a2 1 n |(a1 q1 + . . . + an qn + b1 ) + (b2 − b1 )| |b2 − b1 | = = . a2 + . . . + a2 1 n a2 + . . . + a2 1 n Wniosek 26. W przestrzeni E3 odległość prostej L od płaszczyzny P , gdzie L P, jest równa d(P, P1 ), przy czym płaszczyzna P1 zawiera L i P1 P . Twierdzenie 27. Niech Li = pi + lin(vi ), i = 1, 2, będą prostymi w przestrzeni E3 , gdzie układ (v1 , v2 ) je liniowo niezależny. Wówczas |(v1 ; v2 ; − →)| p− 2 1p | v1 × v2 , − → | p− 2 1p d(L1 , L2 ) = = . |v1 × v2 | |v1 × v2 | Dowód: Istnieją takie punkty qi ∈ Li , i = 1, 2, że −→ ⊥ lin(v1 , v2 ). Istotnie, q− 2 1q jeżeli q = p + t v , i = 1, 2, to warunek −→ ⊥ lin(v , v ) jest równoważny układowi i i i i q−q 1 2 1 2 równań t1 |v1 |2 − t2 v1 , v2 − →, v p− 2 1 = 1p t1 v2 , v1 − t2 |v2 |2 = − →, v p−p 1 2 2 który ma dokładnie jedno rozwiązanie, bo jego wyznacznik jest równy − det G(v1 , v2 ). Dla tak wyznaczonych q1 i q2 oraz r1 ∈ L1 , r2 ∈ L2 mamy −→ ⊥ −→ + −→ i na q− 2 r− 1 q− 2 1q 1q 2r mocy twierdzenia Pitagorasa: (d(r , r ))2 = |−→| = |−→| + |−→ + −→| r− q− r− q− 2 2 2 1 2r q 1 2 q r 1 2 1 1 2 2 2 (d(q1 , q2 )) .
  8. 8. 8 Zatem d(L1 , L2 ) = d(q1 , q2 ), co wraz z faktem − → + − → ∈ lin(v1 , v2 ) oraz własnością p− 1 q− 2 1q 2p z twierdzenia I.24.1 daje | v1 × v2 , − → | | v1 × v2 , −→ | p− 2 1p q− 2 1q v1 × v2 −→ = = , q− 2 1q |v1 × v2 | |v1 × v2 | |v1 × v2 | = |−→| = d(L1 , L2 ), q− 2 1q bo w przestrzeni trójwymiarowej wektor −→ prostopadły do liniowo niezależnych q− q 1 2 wektorów v1 , v2 jest równoległy do ich iloczynu wektorowego v1 × v2 . Przykład 28. Jeżeli na płaszczyźnie E2 prosta L jest dana równaniem Ax+By+C = 0, gdzie A2 + B 2 > 0, oraz p = (x0 , y0 ) ∈ E2 , to |Ax0 + By0 + C| d(p, L) = √ . A2 + B 2 Jeżeli w E2 proste równoległe L1 i L2 opisane są równaniami Ax + By + C1 = 0 i Ax + By + C2 = 0, odpowiednio, to |C1 − C2 | d(L1 , L2 ) = √ . A2 + B 2 Uwaga 29. Jeżeli dwie poprzestrzenie afiniczne przecinają się chociaż w jednym punk- cie, to ich odległość wynosi 0. Dwie równoległe podprzestrzenie afiniczne H1 i H2 wymiaru k < n − 1 można −−−→ −−− umieścić w przestrzeni afinicznej E = p1 + S(H1 ) ⊕ lin p1 πH2 (p1 ) wymiaru k + 1, gdzie p1 ∈ H1 . Będą one wtedy hiperpłaszczyznami kowymiaru 1 i można zastosować wzór z twierdzenia 25. Definicja 30. Niech k ∈ N. Miarą k–wymiarową (objętością k–wymiarową) układu punktów (p0 , . . . , pk ) zawartego w przestrzeni afinicznej E nazywamy liczbę 1 det G(− →, . . . , − →). volk (p0 , . . . , pk ) = p− 1 0p p− k 0p k! Jeżeli wielościan k–wymiarowy P ma triangulację postaci ∆i = conv(pi , . . . , pi ) i=1,...,l 0 k złożoną z różnych sympleksów, to objętością k–wymiarową wielościanu P nazywamy sumę objętości k–wymiarowych układów punktów rozpinających sympleksy ∆i , i = 1, . . . , l. Innymi słowy l volk (P ) = volk (pi , . . . , pi ). 0 k i=1 Objętość dwuwymiarową nazywamy polem i oznaczamy przez P , a trójwymiarową — po prostu objętością i oznaczamy przez V . Uwaga 31. Z własności wyznacznika Grama wynika, że objętość układu punktów nie zależy od ich kolejności. Można udowodnić, że tak funkcja volk nie zależy od triangulacji wielościanu. Twierdzenie 32. Dla dowolnego k 2 i dowolnego układu punktów (p0 , . . . , pk ) zachodzi równość 1 volk (p0 , . . . , pk ) = d(pk , H) · volk−1 (p0 , . . . , pk−1 ), k gdzie H = af(p0 , . . . , pk−1 ).
  9. 9. 9 Dowód: Jeżeli układ punktów (p0 , . . . , pk−1 ) jest w położeniu szczególnym, to także układ (p0 , . . . , pk ) jest w położeni szczególnym i obie objętości są równe 0. Załóżmy teraz, że układ (p0 , . . . , pk−1 ) jest w położeniu ogólnym. Przyjmując vi = −→ dla i = 1, . . . , k −1 otrzymujemy, że (p ; v , . . . , v p− i 0p 0 1 k−1 jest układem współrzędnych na H = af(p0 , . . . , pk−1 ). Z twierdzenia 23. i definicji objętości otrzymujemy zatem, że 1 d(pk , H)·volk−1 (p0 , . . . , pk−1 ) k 1 det G(v1 , . . . , vk−1 , − →)p− k 0p 1 = · det G(v1 , . . . , vk−1 ) k det G(v1 , . . . , vk−1 ) (k − 1)! 1 = det G(v1 , . . . , vk−1 , − →) = volk (p0 , . . . , pk−1 , pk ). p− k 0p k! Przykład 33. Pole trójkąta ABC = conv(A, B, C) wyraża się wzorem 1 1 P ( ABC) = vol2 ( ABC) = vol1 (AB) · d(C, af(A, B)) = |AB| · hC , 2 2 czyli jest połową iloczynu długości podstawy i długości wysokości opuszczonej z punktu nienależącego do tej podstawy. Analogicznie objętość czworościanu conv(A, B, C, D) wyraża się wzorem 1 V (conv(A, B, C, D)) =vol3 (conv(A, B, C, D)) = vol2 ( ABC) · d(D, af(A, B, C)) 3 1 = P ( ABC) · hD , 3 czyli jest trzecią częścią iloczynu pola podstawy i długości wysokości opuszczonej z punktu nienależącego do tej podstawy. Twierdzenie 34. (objętość sympleksu, pryzmy i równoległościanu) Niech (p0 , . . . , pk ) będzie układem punktów w położeniu ogólnym, vi = −→ dla i = 1, . . . , k oraz v ∈ p− i 0p S(E). Wówczas 1 (1) volk (conv(p0 , . . . , pk )) = k! det G(v1 , . . . , vk ), 1 (2) volk (Q(conv(p0 , . . . , pk−1 ), v)) = (k−1)! det G(v1 , . . . , vk−1 , v), (3) volk (P(p0 ; v1 , . . . , vk )) = det G(v1 , . . . , vk ). Dowód: (1) Każdy sympleks ma triangulację złożoną z niego samego. (2) Zgodnie z twierdzeniem 13. pryzma Q(conv(p0 , . . . , pk−1 ), v) ma triangulację złożoną z k sympleksów, z których każdy jest rozpięty na k liniowo niezależ- nych wektorach postaci ε1 v1 + . . . + εk−1 vk−1 + εk vk , gdzie ε1 , . . . , εk−1 , ε ∈ {−1, 0, 1}. Z własności wyznacznika Grama (tw. I.21) wynika, że każdy z tych sympleksów ma tę samą objętość równą objętości sympleksu rozpiętego na wektorach v1 , . . . , vk−1 , v. Zatem volk (Q(conv(p0 , . . . , pk−1 ), v)) =k · volk (conv(p0 , p0 + v1 , . . . , p0 + vk−1 , p0 + v)) 1 =k · det G(v1 , . . . , vk−1 , v) k! 1 = det G(v1 , . . . , vk−1 , v). (k − 1)!
  10. 10. 10 (3) Rozumowanie przebiega analogicznie jak dla przyzmy. Korzystamy z twierdze- nia 14, które orzeka, że pewna triangulacja równoległościanu P(p0 ; v1 , . . . , vk ) składa się z k! sympleksów o objętościach równych objętości sympleksu roz- piętego na wektorach v1 , . . . , vk . Stąd i z (1) wynika teza. Wniosek 35. (pole trójkąta i równoległoboku oraz objętość czworościanu i równole- głościanu) Dla wektorów u, v, w ∈ R3 oraz punktu p ∈ E3 zachodzą wzory 1 (1) P ( (p, p + u, p + v)) = 2 |u × v|, (2) P (P(p; u, v)) = |u × v|, (3) V (conv(p, p + u, p + v, p + w)) = 1 |(u; v; w)| = 1 | u × v, w |, 6 6 (4) V (P(p; u, v, w)) = |(u; v; w)| = | u × v, w |. Dowód: Wzory (1) i (2) wynikają z tw. I.24.2 oraz tw. 34. Natomiast wzory (3) i (4) są bezpośrednią konsekwencją zależności det(u, v, w) = (u; v; w), wn. I.20 i tw. 34. Definicja 36. Prostokątem n-wymiarowym nazywamy równoległościan n–wymiarowy rozpięty przez układ wektorów wzajemnie prostopadłych. Prostokąt dwuwymiarowy nazywamy po prostu prostokątem, a prostokąt trójwymiarowy — prostopadłościanem. Wniosek 37. (pole prostokąta i objętość prostopadłościanu) Załóżmy, że wektory v1 , . . . , vk są niezerowe i wzajemnie prostopadłe oraz p ∈ E. Wówczas (1) volk (P(p; v1 , . . . , vk )) = |v1 | · . . . · |vk |, (2) P (P(p; v1 , v2 )) = |v1 | · |v2 |, (3) V (P(p; v1 , v2 , v3 )) = |v1 | · |v2 | · |v3 |. Dowód: Wzory wynikają bezpośrednio z twierdzenia 34. oraz definicji wynacznika Grama. Definicja 38. Niech P będzie wielokątem wypukłym, p ∈ E, v ∈ V . Wielościan trójwymiarowy Q(P, v) = (P + αv) 0 α 1 nazywamy graniastosłupem o podstawach P i P + v. Wielościan trójwymiarowy conv(P, p) nazywamy ostrosłupem o podstawie P i wierzchołku p. Twierdzenie 39. Niech P bedzie wielokątem wypukłym zawartym w płaszczyźnie H, p ∈ E H, v ∈ V S(H). Wówczas (1) V (conv(P, p)) = 1 P (P) · d(p, H), 3 czyli objętość ostrosłupa jest trzecią częścią iloczynu pola jego podstawy i wy- sokości opuszczonej na tę podstawę z wierzchołka, (2) V (Q(P, v)) = P (P) · d(q + v, H) dla dowolnego punktu q ∈ P, czyli objętość graniastosłupa jest iloczynem pola jego podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę z punktu drugiej podstawy. Dowód: Niech ∆i = conv(pi , pi , pi ),i = 1, . . . , l, będzie dwuwymiarową triangu- 0 1 2 lacją wielokąta P.
  11. 11. 11 (1) Czworościany conv(∆i , p), i = 1, . . . , l, stanowią triangulację ostrosłupa conv(P, p). Ponieważ każdy z trójkatów ∆i jest zawarty w płaszczyźnie H, więc na mocy twierdzenia 32 dostajemy l l 1 V (conv(P, p) = V (conv(∆i , p)) = P (∆i ) · d(p, H) i=1 i=1 3 1 = P (P) · d(p, H). 3 (2) Graniastosłup Q(P, v) jest sumą mnogościową pryzm Q(∆i , v), przy czym czę- ściami wspólnymi tych pryzm są zbiór pusty lub równoległobok (o objętości 0). Dla q ∈ P+v i dowolnego i = 1, . . . , l na mocy twierdzenia 25. d(p2 +v, H) = i d(q, H), bo płaszczyzny H i H + v są równoległe. Z twierdzenia 13. wynika, że dla każdego i pryzma Q(∆i , v) posiada triangu- lację złożoną z trzech czworościanów o objętościach równych objętości czworo- ścianu conv(p1 , pi , pi , pi +v). Zatem na podstawie twierdzenia 25. dla q ∈ H+v 0 1 2 2 otrzymujemy l l V (Q(P, v)) = V (Q(∆i , v)) = 3V (conv(pi , pi , pi , pi + v)) 0 1 2 2 i=1 i=1 l 1 = 3 · P (conv(pi , pi , pi )) · d(pi + v, H) 0 1 2 2 i=1 3 l =d(q, H) · P (∆i ) = P (P) · d(q, H). i=1

×