Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Maciej Czarnecki


                      Geometria szkolna
                              skrypt dla studentów matematyki

...
2

    (2) Jeżeli r = p + v = q + v, to v = − = − Stad − = − − − = θ.
                                         → →
       ...
3

                                       m       ai
Jest on środkiem cieżkości (           i=0,i=j a    = 1) układu m pun...
4

Twierdzenie 14. Jeżeli H1 , . . . , Hm sa podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni
afinicznej E oraz H1 ∩ . . . ∩ Hm = ∅...
5

   (3) Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub ich cześcia
       wspólna jest prosta.
   (4) P...
6

  Baza punktowa przestrzeni afinicznej nazywamy dowolny maksymalny układ punk-
tów w położeniu ogólnym.
Twierdzenie 21.
...
7

2 ⇒ 3) oczywiste.
3 ⇒ 1) Załóżmy, że dla pewnego j = 0, . . . , m układ (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest
         ...
8

  Dla dowolnego punktu p ∈ E układ współczynników (a1 , . . . , an ) jednoznacznego
(na podstawie twierdzenia 22) przed...
9

p0 , . . . , pm , pm+1 ∈ A oraz a0 , . . . , am , am+1    0, a0 + . . . + am + am+1 = 1. Jedna z
wag aj = 1 (bo m + 2 =...
10

   Połóżmy a = a1a1 2 i zauważmy, że a ∈ (0, 1). Z wypukłości U1 dostajemy p1 p2 ⊂
                   −a
U1 , a wiec p...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Geometria - przestrzenie afiniczne

3,712 views

Published on

Skrypt dla studentów matematyki.
Autor: Maciej Czarnecki.
Tytuł: Przestrzenie afiniczne

Published in: Education, Technology
  • Be the first to comment

Geometria - przestrzenie afiniczne

  1. 1. Maciej Czarnecki Geometria szkolna skrypt dla studentów matematyki Rozdział II Przestrzenie afiniczne Definicja 1. Niech V bedzie rzeczywista przestrzenia liniowa. Przestrzenia afiniczna o przestrzeni wektorów swobodnych V nazywamy układ (E, V, − ), gdzie E jest zbio- → rem niepustym, a − : E × E → V jest funkcja taka, że → (1) Dla dowolnych p ∈ E i v ∈ V istnieje dokładnie jeden q ∈ E taki, że − = v. → pq (2) Dla dowolnych p, q, r ∈ E zachodzi zwiazek − + − = − → → → pq qr pr. Elementy zbioru E nazywamy punktami, a elementy zbioru V wektorami (swobod- nymi). Przykład 2. Niech dla p = (p1 , . . . , pn ) oraz q = (q1 , . . . qn ) → − = (q − p , . . . , q − p ). pq 1 1 n n Wówczas trójka (Rn , Rn , − ) → jest przestrzenia afiniczna. Bedziemy oznaczać ja przez En . W dalszym ciagu, o ile nie zaznaczymy inaczej, bedziemy rozważać przestrzeń afi- niczna (E, V, − ), przy czym przestrzeń V jest skończonego wymiaru. → Definicja 3. Suma punktu p ∈ E i wektora v ∈ V nazywamy jedyny taki punkt q ∈ E, że − = v. Piszemy wóczas q = p + v. → pq Jeżeli U ⊂ V , to p + U jest zbiorem wszystkich sum postaci p + u, gdzie u ∈ U . Twierdzenie 4. Dla dowolnych p, q ∈ E oraz u, v ∈ V spełnione sa nastepujace warunki: −− − −→ −−−− (1) p + u, p + v = v − u. (2) Jeżeli p + v = q + v, to p = q. (3) Jeżeli p + u = p + v, to u = v. (4) (p + u) + v = p + (u + v). Dowód: Zauważmy, że − = θ wtedy i tylko wtedy, gdy p = q oraz że − = −− → pq → qp → pq. → − = u i − = v. Stad (1) Niech p + u = q i p + v = r. Wówczas pq → pr −− − −→ − −−−− p + u, p + v = → = − + − = v − u. qr → → qp pr 1
  2. 2. 2 (2) Jeżeli r = p + v = q + v, to v = − = − Stad − = − − − = θ. → → pr qr. → → → pq pr qr (3) Wynika z 1. (4) Niech p + u = q i q + v = r. Wówczas − = − + − = u + v. → → → pr pq qr Definicja 5. Środkiem cieżkości układu punktów (p0 , . . . , pm ) z przestrzeni E o wa- gach odpowiednio a0 , . . . , am ∈ R takich, że a0 + . . . am = 1, nazywamy punkt p ∈ E, który dla dowolnego q ∈ E spełnia warunek → − = a · − + . . . a · −→. qp → qp − qp 0 0 m m Piszemy wówczas m p = a0 p0 + . . . + am pm = ai pi . i=0 Zbiór wszystkich środków cieżkości układu (p0 , . . . , pm ) oznaczamy przez af(p0 , . . . , pm ). Przykład 6. Jedynym środkiem cieżzkości układu jednopunktowego (p0 ) jest punkt p0 . Środkiem odcinka p0 p1 nazywamy punkt 1 p0 + 1 p1 . Środkiem cieżzkości trójkata 2 2 p0 p1 p2 (odpowiednio czworościanu p0 p1 p2 p3 ) jest punkt 3 p0 + 1 p1 + 1 p2 (odpowiednio 1 3 3 1 1 1 1 4 p0 + 4 p1 + 4 p2 + 4 p3 ). Uwaga 7. Łatwo zauważyć, że punkt p środkiem cieżkości układu punktów (p0 , . . . , pm ) z przestrzeni E o wagach odpowiednio a0 , . . . , am ∈ R takich, że a0 +. . . am = 1, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje punkt q ∈ E taki, że → − = a · − + . . . a · −→. qp → qp − qp 0 0 m m Definicja 8. Podprzestrzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E nazywamy niepusty podzbiór H ⊂ E, który wraz z dowolnym skończonym układem punktów zawiera jego wszystkie środki cieżkości. Twierdzenie 9. Podzbiór niepusty H ⊂ E stanowi podprzestrzeń afiniczna prze- strzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy każdy środek cieżkości dowolnego układu dwupunktowego z H należy do H. Dowód: ⇒) oczywiste. ⇐) Indukcja ze wzgledu na ilość elementów układu. Jeżeli p0 , p1 ∈ H, to z założenia af(p0 , p1 ) ⊂ H. Załóżmy teraz, że każdy środek cieżkości dowolnego układu m-elementowego (m 2) z H należy do H. Niech p0 , . . . , pm ∈ H oraz a0 , . . . , am ∈ R i a0 + . . . + am = 1. Istnieje takie j ∈ {0, . . . , m}, że aj = 1 (w przeciwnym wypadku suma wag wynosiłaby m = 1), a co za tym idzie m a= ai = 0. i=0,i=j Rozważmy punkt m ai p= pi . i=0,i=j a
  3. 3. 3 m ai Jest on środkiem cieżkości ( i=0,i=j a = 1) układu m punktów z H, czyli p ∈ H. Z drugiej strony m m ai ai pi = a pi + aj pj = ap + (1 − a)pj ∈ H. i=0 i=0,i=j a Niech odtad, dla podzbioru niepustego H ⊂ E, S(H) bedzie zbiorem wszystkich wektorów − takich, że p, q ∈ H. → pq Twierdzenie 10. Niech ∅ = H ⊂ E. Wówczas H jest podprzestrzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy S(H) jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni liniowej V . Dowód: ⇐) Załóżmy, że S(H) jest podprzestrzenia liniowa V i weźmy dowolne p0 , p1 ∈ H oraz a0 ∈ R. Wówczas − → ∈ S(H). Kładac q = a0 p0 + (1 − a0 )p1 p− 1 0p otrzymujemy − q = a · − → + (1 − a ) · − → = (−a ) · − → ∈ S(H) p→ − p− 1 p− 1 1 0 p1 p0 0 1p 0 0p (bo S(H) jest podprzestrzenia liniowa), czyli q ∈ H. Na mocy twierdzenia 9, H jest podprzestrzenia afiniczna. ⇒) Zalóżmy, że H jest podprzestrzenia afiniczna E i weźmy dowolne u, v ∈ S(H) oraz a ∈ R. Wówczas istnieja takie punkty p1 , p2 , q1 , q2 ∈ H, że u = − →, v = − →. p− 1 1q p− 2 2q − q, gdzie q = ap + (1 − a)q ∈ H. Stad au ∈ S(H). Zauważmy, że a · u = p1→ 1 1 Kładac r = 1 · q1 + 1 · q2 + (−1) · p2 ∈ H otrzymujemy na podstawie twierdzenia 4.1, że S(H) − r = − → + − → − − → = − → + − → = u + v. p→ p− 1 q p− q 1 1 p−p 1 2 p− q 1 2 p−q 1 1 2 2 Zatem S(H) jest podprzestrzenia liniowa. Definicja 11. Jeżeli H jest podprzestrzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E, to przedstawienie H w postaci H = p + S(H) nazywamy jej przedstawieniem liniowym, a sama podprzestrzeń S(H) — przestrzenia nośna podprzestrzeni H. Definicja 12. Wymiarem podprzestrzeni afinicznej nazywamy wymiar jej przestrzeni nośnej. Punkt jest podprzestrzenia afiniczna wymiaru 0. Podprzestrzeń afiniczna wymiaru 1 nazywamy prosta a wymiaru 2 — płaszczyzna. Jeżeli przestrzeń afiniczna E jest wymiaru n (tzn. dim V = n), to jej podprzestrzeń afiniczna wymiaru k nazywamy k–wymiarowa hiperpłaszczyzna, a gdy k = n − 1 — po prostu hiperpłaszczyzna. Uwaga 13. Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera–Cappellego k–wymiarowa hiperpłasz- czyzna przestrzeni En jest zbiorem wszystkich rozwiazań układu równań liniowych o n niewiadomych, o ile rzad macierzy układu wynosi k. W szczególności hiperpłaszczyzne H (kowymiaru 1) przestrzeni En można opisać nastepujaco H = {(x1 , . . . , xn ) ∈ En ; a1 x1 + . . . + an xn = b} , gdzie a1 , . . . , an , b ∈ R oraz a2 + . . . + a2 > 0. 1 n
  4. 4. 4 Twierdzenie 14. Jeżeli H1 , . . . , Hm sa podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni afinicznej E oraz H1 ∩ . . . ∩ Hm = ∅, to H1 ∩ . . . ∩ Hm jest podprzestrzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E i S(H1 ∩ . . . ∩ Hm ) = S(H1 ) ∩ . . . ∩ S(Hm ). Dowód: Niech p ∈ H1 ∩ . . . ∩ Hm . Wystarczy pokazać, że H1 ∩ . . . ∩ Hm = p + S(H1 ) ∩ . . . ∩ S(Hm ), bo cześć wspólna podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenia liniowa. Jeżeli q ∈ H1 ∩ . . . ∩ Hm , to dla każdego i = 1, . . . , m spełniony jest warunek → − ∈ S(H ). Na odwrót, jeżeli q ∈ p + S(H ) ∩ . . . ∩ S(H ), to q ∈ p + S(H ) = H pq i 1 m i i dla i = 1, . . . , m. Definicja 15. Niech H1 , H2 beda podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni afinicz- nej E. Mówimy, że H1 jest równoległa do H2 i piszemy H1 H2 , gdy S(H1 ) ⊂ S(H2 ) lub S(H2 ) ⊂ S(H1 ). Twierdzenie 16. Relacja równoległości podprzestrzeni afinicznych jest (1) zwrotna i symetryczna. (2) relacja równoległości w zbiorze podprzestrzeni afinicznych tego samego wy- miaru. Dowód: Cześć 1 jest oczywista, a 2 wynika z faktu, że jeżeli przestrzeń liniowa k–wymiarowa W1 jest zawarta w przestrzeni liniowej k–wymiarowej W2 , to W1 = W2 . Twierdzenie 17. (V postulat Euklidesa) Niech H bedzie k –wymiarowa podprze- strzenia afiniczna przestrzeni afinicznej E. Dla każdego punktu p ∈ E istnieje dokład- nie jedna k–wymiarowa podprzestrzeń afiniczna H0 zawierajaca punkt p i równoległa do H. Dowód: Wystarczy przyjać H0 = p + S(H). Zalóżmy teraz, że H1 jest k-wymiarowa podprzestrzenia afiniczna przechodzaca przez punkt p i równoległa do H. Wówczas ze wzgledu na równość wymiarów pod- przestrzeni S(H1 ) = S(H) = S(H0 ), skad H1 = p + S(H1 ) = p + S(H) = H0 . Uwaga 18. Możliwość udowodnienia V postulatu Euklidesa wynika z oparcia geometrii afinicznej na przestrzeni liniowej Rn . Istnieja modele geometrii, w której wszystkie postulaty Euklidesa poza piatym sa spełnione, a istnieje nieskończenie wiele różnych prostych przechodzacych przez dany punkt i równoległych do danej prostej. Taka geometria jest geometria Bolyai–Łobaczewskiego lub inaczej geometria hiper- boliczna. W wymiarze 2 cała przestrzenia (czyli płaszczyzna) jest otwarte koło jed- nostkowe, a prostymi — średnice tego koła i łuki okregów prostopadłych do brzegu tego koła. Twierdzenie 19. (wzajemne położenie prostych i płaszczyzn) (1) Dwie proste na płaszczyźnie sa równoległe lub maja dokładnie jeden punkt wspólny. (2) Dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub maja dokładnie jeden punkt wspólny lub sa skośne, tzn. sa nierównoległe i rozłaczne.
  5. 5. 5 (3) Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub ich cześcia wspólna jest prosta. (4) Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub maja do- kładnie jeden punkt wspólny. Dowód: Z twierdzenia 14 wynika, że cześcia wspólna hiperpłaszczyzn H1 i H2 jest hiperpłaszczyzna wymiaru nie przekraczajacego min(dim H1 , dim H2 ). (1) Jeżeli rozważanymi prostymi sa Li = pi + lin(vi ), i = 1, 2, to możliwe sa trzy przypadki: – układ (v1 , v2 ) jest liniowo zależny i p1 ∈ L2 — proste pokrywajace sie (czyli w szczególności równoległe), – układ (v1 , v2 ) jest liniowo zależny i p1 ∈ L2 — proste równoległe i / rozłaczne, – układ (v1 , v2 ) jest liniowo niezależny i co za tym idzie stanowi baze prze- strzeni nośnej płaszczyzny. Zatem istnieja takie liczby r, s, że − → = p− 2 1p rv1 − sv2 . Wówczas punkt q = p1 + rv1 = p2 + sv2 należy do obu prostych i jest ich jedynym punktem wspólnym, bo L1 ∩ L2 jest hiperpłaszczyzna wymiaru 1, a proste te nie pokrywaja sie. (2) Wprowadzajac oznaczenia jak w punkcie 1 otrzymujemy identyczne wnioski w pierwszych dwóch przypadkach, a w przypadku trzecim układ (v1 , v2 ) nie generuje przestrzeni nośnej przestrzeni trójwymiarowej, wiec proste L1 i L2 moga sie przecinać (oczywiście w dokładnie jednym punkcie) lub być rozłaczne (wtedy nazywamy je skośnymi). (3) Rozważmy płaszczyzny Pi = pi + lin(ui , vi ), i = 1, 2. Możliwe sa trzy przy- padki: – lin(u1 , v1 ) = lin(u2 , v2 ) i p1 ∈ P2 — płaszczyzny pokrywaja sie. – lin(u1 , v1 ) = lin(u2 , v2 ) i p1 ∈ P2 — płaszczyzny sa równoległe i rozłaczne. / – lin(u1 , v1 ) = lin(u2 , v2 ). Wówczas układ (u1 , v1 , u2 , v2 ) generuje prze- strzeń nośna przestrzeni trójwymiarowej, a układ (u1 , v1 , u2 ) stanowi jej baze (analogiczne rozumowanie można przeprowadzić, gdy baza jest układ (u1 , v1 , v2 )). (4) Niech płaszczyzna P i prosta L będą dane następująco: P = p + lin(u, v), L = q + lin(w). Możliwe sa trzy przypadki: – układ (u, v, w) jest liniowo zależny i q ∈ P ; wtedy L ⊂ P . – układ (u, v, w) jest liniowo zależny i q ∈ P ; wtedy L P i L ∩ P = ∅. / – układ (u, v, w) jest liniowo niezależny, czyli stanowi bazę przestrzeni trój- wymiarowej. Zatem istnieją r, s, t ∈ R takie, że − = s · u + t · v − r · w. → pq Ale wówczas punkt q + r · w = p + s · u + t · v ∈ L ∩ P , a z uwagi na S(L) ∩ S(P ) = {θ} taki punkt jest tylko jeden. Definicja 20. Układ punktów (p0 , . . . , pm ) przestrzeni aficznej E jest w położeniu szczególnym, jeżeli dla pewnego j = 0, . . . , m punkt pj jest środkiem cieżkości układu pozostałych punktów (tzn. (pi )i=m ). i=0,i=j W przeciwnym wypadku układ jest w położeniu ogólnym. Punkty układu nazywamy współliniowymi (odpowiednio współpłaszczyznowymi), jeżeli dowolny podukład trzypunktowy (odpowiednio czteropunktowy) tego układu jest w położeniu szczególnym.
  6. 6. 6 Baza punktowa przestrzeni afinicznej nazywamy dowolny maksymalny układ punk- tów w położeniu ogólnym. Twierdzenie 21. (1) Przez dowolne dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. (2) Przez dowolne trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płasz- czyzna. Dowód: Dla p, q ∈ E, p = q, jedyna prosta przechodzaca przez punkty p i q jest af(p, q) = {p + a− a ∈ R}. → pq; Istotnie, jeżeli L jest prosta przechodzaca przez p i q, to S(L) = lin(v), gdzie v − → pq, czyli L = af(p, q). Dla niewspółliniowych punktów p, q, r ∈ E jedyna płaszczyzna przechodzaca przez punkty p, q, r jest af(p, q, r) = {p + a− + a− a, b ∈ R}. → pq → pr; Istotnie, jeżeli P jest płaszczyzna przechodzaca przez p, q, r, to − i − należa do → → pq pr S(P ) i jako liniowo niezależne stanowia jej baze. Stad P = af(p, q, r). Uwaga 22. Prosta przechodzaca przez dwa różne punkty p i q bedziemy oznaczać pq, a płaszczyzne przechodzaca przez trzy niewspółliniowe punkty p, q, r — przez pqr. W dalszym ciagu znaczek nad elementem układu bedzie oznaczał, że element ten został z układu usuniety, np. (p0 , . . . , pj , . . . , pm ) = (pi )i=m . i=0,i=j Twierdzenie 23. Niech p0 , . . . , pm ∈ E. Nastepujace warunki sa równoważne: (1) Układ (p0 , . . . , pm ) jest w położeniu ogólnym. (2) Dla każdego j = 0, . . . , m układ wektorów (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest li- p− 0 jp p− j jp −→ pj pm niowo niezależny. (3) Istnieje j = 0, . . . , m takie, że układ wektorów (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest p− 0 jp p− j jp −→ p j pm liniowo niezależny. Dowód: 1 ⇒ 2) Przypuścmy, że dla pewnego j = 0, . . . , m układ − →, . . . , − →, . . . , − − ) jest liniowo zależny. − (pj p0 − pj pj −→ pj pm Istnieja zatem takie liczby a0 , . . . , aj , . . . am , że m ai −→ = θ p− i jp i=0,i=j oraz pewien współczynnik al = 0. Wówczas m −→ = − ai −→ p− l jp p− i , jp i=0,i=j,l al skad   m m ai − ai pl =pj + −→ = pj + p− l jp − −→ + 1 − pj p i −  −→ p− j jp i=0,i=j,l al i=1,i=j,l al   m m ai ai = − pi + 1 − −  pj ∈ af(p0 , . . . , pl , . . . , pm ), i=0,i=j,l al i=0,i=j,l al co jest sprzeczne z ogólnościa położenia układu (p0 , . . . , pm ).
  7. 7. 7 2 ⇒ 3) oczywiste. 3 ⇒ 1) Załóżmy, że dla pewnego j = 0, . . . , m układ (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest p− 0 jp p− j jp −→ pj pm liniowo niezależny i przypuśćmy, że dla pewnego l = 0, . . . , m m pl = ai pi . i=0,i=l Wówczas m −→ = p− l ai −→, p− i jp jp i=0,i=j,l co przeczy liniowej niezależności układu (− →, . . . , − →, . . . , − − ). p− 0 jp p− j jp −→ pj pm Twierdzenie 24. Niech p0 , . . . , pm ∈ E. Nastepujace warunki sa równoważne: (1) Układ (p0 , . . . , pm ) jest baza punktowa przestrzeni E. (2) Dla każdego j = 0, . . . , m układ wektorów (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest baza p− 0 jp p− j jp −→ pj pm przestrzeni liniowej S(E) = V . (3) Istnieje j = 0, . . . , m takie, że układ wektorów (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest p− 0 jp p− j jp −→ pj pm baza przestrzeni liniowej S(E) = V . (4) Każdy punkt p ∈ E można jednoznacznie przedstawić jako środek cieżkości układu (p0 , . . . , pm ). Dowód: Punkt 2 wynika z 1 na podstawie twierdzenia 21, a wynikanie 2 ⇒ 3 jest oczywiste. 3 ⇒ 4) Załóżmy, że dla pewnego j = 0, . . . m układ (− →, . . . , − →, . . . , − − ) jest p− 0 jp p− j jp −→ p j pm baza przestrzeni V i niech p ∈ E. Wówczas istnieja takie liczby a0 , . . . , aj , . . . , am , że m −p = p→ ai −→, p− i j jp i=0,i=j a co za tym idzie m m p= ai pi , gdzie aj = 1 − ai . i=0 i=0,i=j Jednoznaczość tego przedstawienia wynika z jednoznaczności przedstawienia wektora − p w bazie przestrzeni V . p→ j 4 ⇒ 1) Jeżeli każdy punkt można jednoznacznie przedstawić w postaci środka cieżzkości układu (p0 , . . . , pm ), to w szczególności pj = 1 pj + 0 pi dla j = 0, . . . , m i=0,i=j i żaden punkt pj nie jest środkiem cieżkości układu złożonego z pozostałych punktów. Zatem układ (p0 , . . . , pm ) jest w położeniu ogólnym. Bezpośrednio z założenia 4 wynika, że układ ten jest maksymalny. Definicja 25. Niech p0 ∈ E oraz układ wektorów (v1 , . . . vn ) bedzie baza przestrzeni V. Układ (p0 ; v1 , . . . , vn ) nazywamy układem współrzednych przestrzeni E o poczatku w punkcie p0 rozpietym na wektorach v1 , . . . , vn .
  8. 8. 8 Dla dowolnego punktu p ∈ E układ współczynników (a1 , . . . , an ) jednoznacznego (na podstawie twierdzenia 22) przedstawienia punktu p w postaci p = p0 + n ai vi i=0 nazywamy współrzednymi punktu p. Przykład 26. W przestrzeni En czesto rozważamy standardowy układ współrzednych o poczatku w punkcie (0, . . . , 0) i rozpiety na wektorach bazy kanonicznej e1 , . . . , en przestrzeni Rn . Definicja 27. Odcinkiem o końcach p, q ∈ E nazywamy zbiór pq = {ap + bq; a + b = 1, a, b 0}. Otoczka wypukła zbioru A ⊂ E nazywamy zbiór conv(A) wszystkich środków cieżkości skończonych układów punktów ze zbioru A o nieujemnych wagach. Twierdzenie 28. Jeżeli p, q ∈ E, to (1) pq ⊂ af(p, q). (2) pq = conv(p, q). (3) pq = {p + a− a ∈ [0, 1]}. → pq; Dowód: wynika bezpośrednio z definicji. Definicja 29. Zbiór A ⊂ E nazywamy wypukłym, jeżeli dla dowlonych p, q ∈ A odcinek pq zawiera sie w A. Przykład 30. Zbiorami wypukłymi sa odcinki i wszystkie podprzestrzenie afiniczne, w szczególności proste i płaszczyzny. Twierdzenie 31. Jeżeli A ⊂ E, to conv(A) jest najmniejszym zbiorem wpukłym zawierajacym zbiór A. Dowód: Wykażemy najpierw, że conv(A) jest zbiorem wypukłym. Niech r1 , r2 ∈ conv(A). Wówcza istnieja takie punkty p0 , . . . , pm , q0 , . . . , ql ∈ A oraz układy nieujem- nych wag (a0 , . . . , am ), (b0 , . . . , bl ), że m l r1 = ai pi , r2 = bj q j . i=0 j=0 Niech r ∈ pq, r = (1 − a)r1 + ar2 , gdzie a ∈ [0, 1]. Wtedy r = ((1 − a)a0 )p0 + . . . + ((1 − a)am )pm + (ab0 )q0 + . . . + (abl )ql ∈ conv(A), bo liczby (1 − a)a0 , . . . , (1 − a)am , ab0 , . . . , abl sa nieujemne oraz m l (1 − a)a0 + . . . + (1 − a)am + ab0 + . . . + abl = (1 − a) ai + a bj = (1 − a) + a = 1. i=0 j=0 Załóżmy teraz, że B ⊂ E jest zbiorem wypukłym zawierajacym A. Wykażemy indukcyjnie, że dla dowolnego m ∈ N środek cieżkości dowolnego układu m + 1 punk- tów ze zbioru A o nieujemnych wagach należy do B, z czego bedzie wynikała inkluzja conv(A) ⊂ B. Dla m = 0 stwierdzenie jest oczywiste, bo jedynym środkiem cieżkości układu jednopunktowego (p0 ) jest 1p0 = p0 . Przypuśćmy, że dla pewnego m 0 środek cieżkości dowolnego układu o co najwyżej m + 1 punktach ze zbioru A o nieujemnych wagach należy do B. Niech
  9. 9. 9 p0 , . . . , pm , pm+1 ∈ A oraz a0 , . . . , am , am+1 0, a0 + . . . + am + am+1 = 1. Jedna z wag aj = 1 (bo m + 2 = 1), wiec liczby a0 aj am+1 ,..., ,..., 1 − aj 1 − aj 1 − aj tworza układ m + 1 nieujemnych wag. Z założenia indukcyjnego mamy, że m+1 ai pi ∈ B, i=0,i=j 1 − aj co wraz z wypukłościa zbioru B daje ostatecznie m+1 m+1 ai ai pi = aj pj + (1 − aj ) pi ∈ B i=0 i=0,i=j 1 − aj kończac indukcje. Twierdzenie 32. Niech H bedzie hiperpłaszczyzna (kowymiaru 1) przestrzeni afi- nicznej E. Zbiór EH można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy mnogościowej zbiorów wypukłych W1 i W2 . Ponadto zbiory W1 ∩ W2 = ∅ oraz zbiory W1 ∪ H i W2 ∪ H sa wypukłe. Dowód: Niech p0 ∈ H oraz q ∈ E H. Ponieważ wektor − q nie należy do S(H) p→0 oraz kowymiar H jest równy 1, wiec V = S(H) ⊕ lin(− q). Zatem każdy punkt p ∈ E p→ 0 można jednoznacznie przedstawić w postaci p = p0 + a − q + v, p→ 0 gdzie a ∈ R oraz v ∈ S(H). Niech W1 = {p0 + a− q + v; v ∈ S(H), a < 0}, p→ 0 W2 = {p0 + a− q + v; v ∈ S(H), a > 0}. p→ 0 Oczywiście W1 ∩ W2 = ∅ i W1 ∪ W2 = E H, gdyż H = {p0 + v; v ∈ S(H)}. Pokażemy, że W1 jest zbiorem wypukłym. Niech p, q ∈ W1 , czyli p = p0 + a1 − q + v1 , p→ 0 q = p0 + a2 − q + v2 , p→ 0 gdzie v1 , v2 ∈ S(H) oraz a1 , a2 > 0. Dla a ∈ [0, 1] otrzymujemy p + a− =p0 + a1 − q + v1 + a ((a2 − a1 )− q + v2 − v1 ) → pq p→ 0 p→ 0 − q + ((1 − a)v + av ) , → =p0 + ((1 − a)a1 + aa2 ) p0 1 2 skad z uwagi na (1 − a)a1 + aa2 > 0 otrzymujemy, że p + a− ∈ W1 . To implikuje → pq wypukłość zbioru W1 . Analogicznie dowodzimy wypukłości zbiorów W2 , W1 ∪ H, W2 ∪ H. Pokażemy teraz, że jeżeli U1 ∪ U2 = E H oraz zbiory U1 I U2 sa wypukłe, to U1 = W1 i U2 = W2 lub U1 = W2 i U2 = W1 . Przypuśćmy przeciwnie; istnieja wtedy punkty p1 ∈ W1 , p2 ∈ W2 należace do jednego ze zbiorów Ui (np. U1 ). Mamy zatem, że p = p + a −q + v , 1 0 p→ 1 0 p = p + a −q + v , 1 2 p→ 0 2 0 2 gdzie a1 < 0 i a2 > 0.
  10. 10. 10 Połóżmy a = a1a1 2 i zauważmy, że a ∈ (0, 1). Z wypukłości U1 dostajemy p1 p2 ⊂ −a U1 , a wiec p1 + a− → ∈ U1 ⊂ E H. Z drugiej strony p− 2 1p 1p + a− → =p + a ((a − a )− q + v − v ) p−p 1 2 1 2 p→ 1 0 2 1 a1 =p1 − a1 − q + p→ 0 (v2 − v1 ) a1 − a2 a1 a2 a1 =p0 + v1 + (v2 − v1 ) = p0 − v1 + v2 ∈ H, a1 − a2 a1 − a2 a1 − a2 sprzeczność. Definicja 33. Dla hiperpłaszczyzny H przestrzeni afinicznej E każda z dwóch skła- dowych wypukłych zbioru E H nazywamy półprzestrzenia otwarta, a sume półprze- strzeni otwartej i wyznaczajacej ja hiperpłaszczyzny — półprzestrzenia. Pólprzestrzeń wymiaru 1 (pochodzaca od hiperpłaszczyzny wymiaru 0 — punktu) nazywamy pół- prosta, a półprzestrzeń wymiaru 2 (wyznaczona przez prosta) — półpłaszczyzna. Uwaga 34. Półprosta wyznaczona przez punkt p i zawierajaca punkt q = p oznaczamy przez pq → . Jeżeli punkty p, q, r sa niewspółliniowe, to symbol pqr→ oznacza półpłaszczyzne wyznaczona przez prosta pq i zawierajaca punkt q. Analogicznie dla niewspółpłaszczyznowych punktów p, q, r, s symbolem pqrs→ ozna- czamy półprzestrzeń trójwymiarowa wyznaczona przez płaszczyzne pqr i zawierajaca punkt s. Przykład 35. Jeżeli w przestrzeni En hiperpłaszczyzna H jest dana (na podstawie uwagi 13) równaniem a1 x1 + . . . an xn = b, to każda z półprzestrzeni jest opisana jedna z nierówności a1 x1 + . . . an xn b, a1 x1 + . . . an xn b, a każda z nierówności a1 x1 + . . . an xn < b, a1 x1 + . . . an xn > b opisuje półprzestrzeń otwarta.

×